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2012全国各地模拟试题理科数学分类汇编理6:数列2


2012 全国各地模拟分类汇编理:数列(2)
【哈尔滨市六中 2012 学年度上学期期末】在等差数列{ an }中, a1 > 0 , a10 ? a11 < 0 ,若此 哈尔滨市六中 学年度上学期期末】 数列的前 10 项和 S10 = 36 ,前 18 项和 S18 = 12 ,则数列{ | an | }的前 18 项和 T18 的值是() A.24 B

.48 C.60 D.84 【答案】C 【株洲市 2012 届高三质量统一检测】设等比数列 {an } 各项均为正数,且 a5 a6 + a4 a7 = 18 , 届高三质量统一检测】 株洲市 则 log 3 a1 + log 3 a2 + L + log 3 a10 = ( A. 12 【答案】B 【广东省江门市 2012 年普通高中高三调研测试】已知 {a n } ( n ∈ N ? )为等差数列,其公差 广东省江门市 年普通高中高三调研测试】 为 ? 2 ,且 a 7 是 a 3 与 a 9 的等比中项,则 {a n } 的首项 a1 = A. 14 【答案】D 【 江 西 省 2012 届 十 所 重 点 中 学 第 二 次 联 考 】 设 数 列 {an } 是 等 差 数 列 , 若 B. 16 C. 18 D. 20 B. 10 ) D. 2 + log 3 5

C. 8

a3 + a4 + a5 = 12, 则a1 + a2 + L + a7 =
A.14 B.21 【答案】C C.28 D.35





【安师大附中 2012 届高三第五次模拟】等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知 a 5 = 8 , S 3 = 6 , 安师大附中 届高三第五次模拟】 则 S10 ? S 7 的值是 A.24 【答案】C ( B.36 ) C.48 D.72

【临川十中 012 学年度上学期期末】 临川十中 学年度上学期期末】 已知等差数列 {a n } 的前 13 项之和为 39 , a 6 + a 7 + a8 则 等于( ) A. 18 【答案】C B. 12 C. 9 D. 6

? 2 x ? 1( x ≤ 0) 【 临 川 十 中 2012 学 年 度 上 学 期 期 末 】 已 知 函 数 f ( x) = ? 把函数 ? f ( x ? 1) + 1( x > 0)
g ( x ) = f ( x ) ? x 的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为
( )

-1-

an =
A、

n( n ? 1) 2

B、

an = n ? 1

C、

a n = n(n ? 1)

D、

an = 2 n ? 2

【答案】B 【 2012 大 庆 铁 人 中 学 第 一 学 期 高 三 期 末 】 已 知 各 项 均 不 为 零 的 数 列 {an } , 定 义 向 量

r r cn = (an , an +1 ) , bn = (n, n + 1) , n ∈ N* . 下列命题中真命题是
A. 若 ?n ∈ N 总有
*

cn / / bn 成立,则数列 {an } 是等差数列 cn / / bn 成立,则数列 {an } 是等比数列 cn ⊥ bn 成立,则数列 {an } 是等差数列]

B. 若 ?n ∈ N 总有
*

C. 若 ?n ∈ N 总有
*

D. 若 ?n ∈ N 总有
*

cn ⊥ bn 成立,则数列 {an } 是等比数列

【答案】A 【辽宁省沈阳四校协作体 2012 届高三上学期 12 月月考】等差数列 {an } 的公差 d < 0, 且 辽宁省沈阳四校协作体 月月考】 辽宁省
2 a12 = a11 ,则数列 {an } 的前 n 项和 S n 取得最大值时的项数 n 是(



A.5 B.6 【答案】C

C.5 或 6

D.6 或 7

【山东聊城市五校 2012 届高三上学期期末联考】等差数列 {an } 的前 n 项和是 S n ,若 山东聊城市五校 届高三上学期期末联考】

a1 + a2 = 5 , a3 + a4 = 9 ,则 S10 的值为(
A.55 【答案】A B.60 C.65 D.70



【江西省 2012 届十所重点中学第二次联考】已知正项等比数列 {a n } 满足 a 7 = a 6 + 2a 5 ,若 江西省 届十所重点中学第二次联考】 存在两项 a m , a n 使得 a m a n = 4a1 ,则 【答案】

1 4 + 的最小值为 m n

3 2

【哈尔滨市六中 2012 学年度上学期期末】 哈尔滨市六中 学年度上学期期末】 已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n = 2 n ? 3 , 则数列 {a n } 的通项公式 a n = __________ 【答案】 a n = ?

? ? 1, n = 1 n ?1 ?2 , n ≥ 2

【2012 大庆铁人中学第一学期高三期末】在数列 大庆铁人中学第一学期高三期末】

{an } 中,若 a1 = 2 ,且对任意的正整数 p, q

都有

a p+ q = a p aq

,则

a8 的值为



-2-

【答案】 256 【株洲市 2012 届高三质量统一检测】已知等差数列{ a n }中,a n ≠0,且 a n ?1 ? a n + a n +1 = 0 , 株洲市 届高三质量统一检测】
2

前 2n-1 项的和 S 2 n ?1 = 38 ,则 n 等于_______. 【答案】_10 【哈尔滨市六中 2012 上学期期末】在数列 {a n } 中,任意相邻两项为坐标的点 P ( a n , a n +1 ) 均在 哈尔滨市六中 上学期期末】 直线 y = 2 x + k 上,数列 {bn } 满足条件: b1 = 2, bn = a n +1 ? a n ( n ∈ N ? ) . (1)求数列 {bn } 的通项公式; (4 分) (2)若 c n = bn log 2

1 , S n = c1 + c 2 + L + c n , 求 2 n +1 ? S n > 60n + 2 成立的正整数 n 的最 bn

小值. (8 分) 【答案】 (1)依题意 a n +1 = 2a n + k , ∴ bn = a n +1 ? a n = 2a n + k ? a n = a n + k ∴ bn +1 = a n +1 + k = 2a n + k + k = 2( a n + k ) = 2bn --------------------(2 分)

Q b1 = 2,

bn +1 = 2 ,∴数列 {bn } 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列 bn

∴ bn = 2 n -----------------------------(4 分) 1 (2) c n = bn log 2 = ?n ? 2 n , bn ∴ ?S n = 1 × 2 + 2 × 2 2 + 3 × 2 3 + L + n × 2 n ? 2 S n = 1 × 2 2 + 2 × 2 3 + 3 × 2 4 + L + ( n ? 1) × 2 n + n × 2 n +1
以上两式相减得

S n = 2 n +1 ? n × 2 n +1 ? 2 ------------------------------(8 分)

2 n +1 ? S n > 60n + 2 ,即 n ? 2 n +1 > 60n,∴ 2 n +1 > 60 ,
又当 n ≤ 4 时,∴ 2 n +1 ≤ 2 5 = 32 < 60 所以当 n ≥ 5 时, 2 n +1 ≥ 2 6 = 64 > 60 故使 2 n +1 ? S n > 60n + 2 成立的正整数的最小值为 5.-------------------(12 分) 【江西省 2012 届十所重点中学第二次联考 】 已知等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,公差 江西省 届十所重点中学第二次联考】

d ≠ 0, 且S 3 + S 5 = 50, a1 , a 4 , a13 成等比数列. (Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式;
(Ⅱ)设 ?

? bn ? ? 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . an ? ?

【答案】 (Ⅰ)依题意得 3× 2 4×5 ? d + 5a1 + d = 50 ?3a1 + 2 2 ? ?(a + 3d ) 2 = a (a + 12d ) 1 1 ? 1 解得 ?

?a1 = 3 , ?d = 2

-3-

∴ a n = a1 + ( n ? 1)d = 3 + 2( n ? 1) = 2n + 1, a n = 2n + 1 . 即
(Ⅱ)

bn = 3 n ?1 , bn = a n ? 3 n ?1 = ( 2n + 1) ? 3 n ?1 an

Tn = 3 + 5 ? 3 + 7 ? 3 2 + L + ( 2n + 1) ? 3 n ?1 3Tn = 3 ? 3 + 5 ? 3 2 + 7 ? 33 + L + ( 2n ? 1) ? 3 n ?1 + ( 2n + 1) ? 3 n

? 2Tn = 3 + 2 ? 3 + 2 ? 3 2 + L + 2 ? 3 n ?1 ? ( 2n + 1)3 n
= 3+ 2? 3(1 ? 3n ?1 ) ? (2n + 1)3n = ?2n ? 3n 1? 3
∴ Tn = n ? 3 n

【 江 西 省 2012 届 十 所 重 点 中 学 第 二 次 联 考 】 已 知 数 列 { an } 中 ,

a1 = 2, an+1 =

a ?1 2 , 设bn = n , n∈ N * an + 1 an + 2

(1) 求数列{ bn }的通项公式; (2) 设数列{ bn }的前 n 项的和为 S n ,求证: bn S n ≤ (3) 令 cn = 【答案】

1 16

(n ∈ N * )

16 n 1 ,若数列{ cn }的前 n 项的和为 Tn ,求证: Tn ≤ (4 ? 1) (n∈ N * ) 3 bn S n
n +1

1 (1)Q bn +1 = bn , 2

?1? ∴ bn = ? ? ?2?
n

1 1 1 ?1? ?1? ?1? (2) S n = [1 ? ? ? ], an S n = [1 ? ? ? ] ? ? ≤ 2 4 ?2? ? 2 ? ? 2 ? 16
(3)Q cn =

n

n

1 1 ≤ ( )2 ≤ 4n +1 , bn S n bn

∴ Tn ≤

16 n (4 ? 1) 3

【河南省郑州市 2012 届高三第一次质量预测】 河南省郑州市 届高三第一次质量预测】 已知等差数列 {a n } 满足:a 5 = 9, a 2 + a 6 = 14 . (Ⅰ)求 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)若 bn = an + q 【答案】 (I)设 {an } 的首项为 a1 ,公差为 d ,则由 a5 = 9, a2 + a6 = 14, 得?
an

( q > 0 ),求数列 {bn } 的前 n 项和 S n .

?a1 + 4d = 9, ?2a1 + 6d = 14,

…………2 分

-4-

解得 ?

? a1 = 1, ? d = 2,
…………5 分

所以 {an } 的通项公式 an = 2n ? 1. (II)由 an = 2n ? 1 得 bn = 2 n ? 1 + q 2 n ?1 .

…………7 分

① 当 q > 0且q ≠ 1 时, Sn = [1 + 3 + 5 + L + (2n ? 1)] + q1 + q3 + q5 + L + q 2n?1

(

)

=n +
2

q (1 ? q 2 n ) 1 ? q2
;…………10 分



当 q = 1 时, bn = 2n ,得 Sn = n ( n + 1) ;

?n(n + 1), (q = 1) ? ? …………12 分 所以数列 {bn } 的前 n 项和 S n = ? q (1 ? q 2 n ) 2 , ( q > 0且q ≠ 1) ?n + 1 ? q2 ? ?
【株洲市 2012 届高三质量统一检测】一个数列中的数均为奇数时,称之为“奇数数列”. 我们 株洲市 届高三质量统一检测】 给定以下法则来构造一个奇数数列{an} ,对于任意正整数 n,当 n 为奇数时,an=n;当 n 为 偶数时,an= a n .
2

(1)试写出该数列的前 6 项; (2)研究发现,该数列中的每一个奇数都会重复出现,那么第 10 个 5 是该数列的第几项? (3)求该数列的前 2n 项的和 Tn. 【答案】 (1)a1=1,a2=1,a3=3,a4=1,a5=5,a6=3. …………………………3 分

(2)第 1 个 5 出现在第 5 项,第 2 个 5 出现在第 2×5=10 项,第 3 个 5 出现在第 22×5=20 项,第 4 个 5 出现在第 23×5=40 项,依次类推. 第 10 个 5 是该数列的第 29×5=2560 项. (3)Tn= a1+a2+a3+a4+a5+a6+…+ a2n ?1 + a2n =(a1+a3+a5+…+ a2n ?1 )+(a2+a4+a6+…+ a2n ) =(1+3+5+7+…+(2n-1) )+(a1+a2+a3+…+ a2n?1 ) =4n 1+Tn-1


…………………………7 分

(n≥ 2)


………………………………10 分

用累加法得:Tn=T1+4+42+…+4n 1= (4n + 2)

1 3

(n ≥ 2)……………………12 分

-5-

当 n=1 时,T1=2= (4 + 2) ∴对一切正整数 n 都有 Tn=

1 3

1 n (4 + 2) . 3

……………………………………13 分
?

【江西省赣州市 江西省赣州市2012届上学期高三期末】设 S n 为数列 {an } 的前 n 项和,对任意的 n ∈ N , 届上学期高三期末】 江西省赣州市 届上学期高三期末 都有 S n = ( m + 1) ? man ( m 为常数,且 m > 0 ). (1)求证:数列 an } 是等比数列; (2)设数列 an } 的公比 q = f (m ) ,数列 {bn } 满足 b1 = 2a1 , bn = f ( bn ?1 ) ( n ≥ 2 , n ∈ N * ) , 求数列 {bn } 的通项公式; (3)在满足(2)的条件下,求证:数列 bn 【答案】 解: (1)证明:当 n = 1 时, a1 = S1 = ( m + 1) ? ma1 , 解得 a1 = 1 ………………1分 当 n ≥ 2 时, an = S n ? S n ?1 = man ?1 ? man .即 (1 + m ) an = man ?1 ………………2分 ∵ m 为常数,且 m > 0 ,∴

{

{

{ } 的前 n 项和 T
2

n

<

89 . 18

an m = ( n ≥ 2 ) ……………………………3分 an ?1 1 + m

∴数列 an } 是首项为1,公比为

m 的等比数列……………………………4分 1+ m m (2)解:由(1)得, q = f (m ) = , b1 = 2a1 = 2 ………………………5分 1+ m
∵ bn = f ( bn ?1 ) =

{

bn ?1 ………………………………………………………6分 1 + bn ?1



1 1 1 1 = + 1 ,即 ? = 1 ( n ≥ 2 ) ……………………………………7分 bn bn ?1 bn bn ?1

∴?

?1? 1 ? 是首项为 ,公差为1的等差数列…………………………………8分 2 ? bn ?
1 1 2n ? 1 2 = + ( n ? 1) ?1 = ,即 bn = ( n ∈ N * )………………………8分 bn 2 2 2n ? 1
4 2 2 ,则 bn = 2 . ( 2n ? 1) 2n ? 1



(3)证明:由(2)知 bn =

-6-

2 2 2 2 ∴ Tn = b1 + b2 + b3 + L + bn = 4 +

4 4 4 + +L + , 9 25 (2n ? 1) 2

当 n ≥ 2 时,

4

( 2n ? 1)

2

<

4 1 1 = ? , 2n ( 2n ? 2 ) n ? 1 n

∴ Tn = 4 +

4 4 4 4 1 1 1 1 + +L + < 4 + + ( ? ) +L + ( ? ) 2 9 25 (2n ? 1) 9 2 3 n ?1 n

=

40 1 1 89 + ? < 9 2 n 18 …………………………………………………12 分
【安师大附中 2012 届高三第五次模拟】已知函数 f ( x) = 届高三第五次模拟】 安师大附中

x ,数列 {a n } 满足 a1 = 1 , x+3

a n +1 = f ( a n )( n ∈ N + )
(1)求数列 {a n } 的通项公式 a n ; (2)若数列 {bn } 满足 bn = 【答案】 (1)由已知:a n +1 =

1 an an +1 ? 3n , S n = b1 + b2 + …+ bn ,求 S n . 2

an 1 3 ∴ = + 1. ………………2 分 a n + 3 a n +1 a n



1 a n +1

+

1 1 1 1 1 3 = 3( + ), 并且 + = an 2 a1 2 2 2

? 1 1? 3 ∴ 数列? + ?为以 为首项, 3为公比的等比数列, an 2 ? 2 ? 1 1 3 2 ∴ + = ? 3 n ?1 ,∴ a n = n ………………………6 分 an 2 2 3 ?1

(2)bn =

2 ? 3n (3 ? 1)(3 ? 1)
n
n+1

=

1 1 ? n +1 3 ?1 3 ?1
n

………………………9 分

∴ S n = b1 + b2 + L + bn =

1 1 1 1 1 1 ? 2 +L + n ? n+1 = ? n +1 . 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 2 3 ?1

……………12 分

【广东省江门市 2012 年普通高中高三调研测试】 a 2 、 a 5 是方程 x 2 ? 12 x + 27 = 0 的两根, 广东省江门市 年普通高中高三调研测试】 数列 {a n } 是递增的等差数列,数列 {bn } 的前 n 项和为 S n ,且 S n = 1 ? ⑴求数列 {a n } , {bn } 的通项公式; ⑵记 c n = a n ? bn ,求数列 {c n } 的前 n 项和 Tn . 【答案】
-7-

1 . bn ( n ∈ N ? ) 2

⑴解 x ? 12 x + 27 = 0 得 x1 = 3 , x2 = 9 ,
2

因为 {a n } 是递增,所以 a 2 = 3 , a5 = 9 ………………………………………………2 分, 解?

?a5 = a1 + 4d = 9 ?a1 = 1 ……3 分,得 ? ,所以 a n = 2n ? 1 ………………………4 分 ?d = 2 ?a 2 = a1 + d = 3

1 1 2 bn 中,令 n = 1 得 b1 = 1 ? b1 , b1 = …………………………5 分, 2 2 3 1 1 1 1 当 n ≥ 2 时, Tn = 1 ? bn , Tn ?1 = 1 ? bn ?1 ,两式相减得 bn = bn ?1 ? bn ……6 分 2 2 2 2
在 Tn = 1 ?

bn 1 1 2 = , {bn } 是等比数列……7 分,所以 bn = b1 × ( ) n ?1 = n …………………8 分 bn?1 3 3 3
4n ? 2 ………………………………………………………………9 分 3n 4 ×1 ? 2 4 × 2 ? 2 4 × 3 ? 2 4 × ( n ? 1) ? 2 4n ? 2 ……10 分 Tn = + + +L+ + 1 2 3 3 3 3 3 n ?1 3n 4 ×1 ? 2 4 × 2 ? 2 4 × 3 ? 2 4 × ( n ? 1) ? 2 4n ? 2 3Tn = + + +L+ + n ?1 ……11 分 0 1 2 3 3 3 3 n?2 3 4 4 4 4n ? 2 两式相减得: 2Tn = 2 + 1 + 2 + L + n ?1 ? …………………………13 分 3 3 3 3n 4n + 4 2n + 2 ,所以 Tn = 2 ? ………………………………………………14 分 = 4? n 3 3n 【临川十中 2012 学年度上学期期末】设数列 {bn } 的前 n 项和为 S n ,且 bn = 2 ? 2 S n ;数 学年度上学期期末】 临川十中
⑵ c n = a n ? bn = 列 {an } 为等差数列,且 a 5 = 14 , a 7 = 20 . (Ⅰ) 求数列 {bn } 的通项公式;

(Ⅱ) 若 cn = an ? bn , n = 1, 2,3,L , Tn 为数列 {cn } 的前 n 项和. 求证: Tn < 【答案】 (1)由 bn = 2-2 S n ,令 n = 1 ,则 b1 = 2 ? 2 S1 ,又 S1 = b1 ,所以 b1 =

7 . 2

2 . 3

2 . 当 n ≥ 2 时,由 bn = 2-2 S n ,可得 9 b 1 bn ? bn ?1 = ?2( S n ? S n ?1 ) = ?2bn .即 n = . bn-1 3 2 1 1 所以 {bn } 是以 b1 = 为首项, 为公比的等比数列,于是 bn = 2 ? n . …………4 分 3 3 3 1 (2)数列 {an } 为等差数列,公差 d = ( a7-a5 ) = 3 ,可得 a n = 3n ? 1 . ………………6 2 b2 = 2 ? 2(b1 + b2 ) ,则 b2 =
分 从而 c n = a n ? bn = 2(3n ? 1) ?

1 . 3n



-8-

1 1 1 1 Tn = 2[2 ? + 5 ? 2 + 8 ? 3 + L + (3n ? 1) ? n ], 3 3 3 3 1 1 1 1 1 Tn = 2[ 2 ? 2 + 5 ? 3 + L + (3n ? 4) ? n + (3n ? 1) ? n +1 ]. 3 3 3 3 3 2 1 1 1 1 1 1 Tn = 2[ 2 ? + 3 ? 2 + 3 ? 3 + L + 3 ? n ? ? (3n ? 1) ? n +1 ] . 3 3 3 3 3 3 3
从 而

Tn =

7 7 1 n 7 ? ? n ? n ?1 < . 2 2 3 2 3

………………

…………12 分

【辽宁省沈阳四校协作体 2012 届高三上学期 12 月月考】 辽宁省沈阳四校协作体 月月考】 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 辽宁省 且 S n = 2a n ? 2 , (n=1, 3…) 2, 数列 {bn } 中,b1 = 1 , P (bn , bn +1 ) 在直线 x ? y + 2 = 0 点 上。 (Ⅰ)求数列 {a n } 和 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)记 S n = a1b1 + a 2 b2 + L + a n bn ,求满足 S n < 167 的最大正整数 n。 【答案】 (I)∵ S n = 2a n ? 2 ∴ 当 n ≥ 2 时, a n = S n ? S n ?1 = 2a n ? 2 ? ( 2a n ?1 ? 2) 即 a n = 2a n ? 2a n ?1 即数列 {a n } 是等比数列. ∵ a1 = S1 ∴ an = 2 n ∵ 点 P (bn , bn +1 ) 在直线 x ? y + 2 = 0 上 ∴ bn ? bn +1 + 2 = 0 ∴ bn +1 ? bn = 2 ∴ bn = 2n ? 1 …………………6 分 ∴ a1 = 2a1 ? 2 即 a1 = 2 …………………3 分 ∵ an ≠ 0



an = 2 (n ≥ 2, n ∈ N * ) a n ?1

即数列 {bn } 是等差数列,又 b1 = 1 (II) S n = a1b1 + a 2 b2 + L + a n bn

= 1 × 2 + 3 × 2 2 + 5 × 2 3 + L + ( 2n ? 1) ? 2 n ①(7 分)
∴ 2 S n = 1 × 2 2 + 3 × 2 3 + L + ( 2n ? 3) ? 2 n + ( 2n ? 1) ? 2 n +1 ②

-9-

①-②得 ? S n = 1 × 2 + ( 2 × 2 + 2 × 2 + L + 2 × 2 ) ? ( 2n ? 1) ? 2
2 3 n

n +1

即 ? S n = 1 × 2 + (2 + 2 + L + 2
3 4

n +1

) ? ( 2n ? 1) ? 2 n +1

…………………9 分

∴ S n = ( 2n ? 3) ? 2 ∵ S n < 167

n +1

+ 6 (10 分)
n +1

即 ( 2n ? 3) ? 2

+ 6 < 167

于是 ( 2n ? 3) ? 2 n +1 < 161 (11 分) 又由于当 n = 4 时, (2n ? 3) ? 2 n +1 = 160 (12 分) 当 n = 5 时, (2n ? 3) ? 2
n +1

= 448 (13 分)
…………………12 分

故满足条件 S n < 167 最大的正整数 n 为 4(14 分) 【 山 东 聊 城 市 五 校 2012

上 学 期 期 末 联 考 】 在 数 列

{an }

中 , 已 知

a1 =

1 an +1 1 , = , bn + 2 = 3 log 1 an ( n ∈ N * ) . 4 an 4 4
(1)求数列 {an }、 {bn } 的通项公式; (2)设数列 {cn }满足 cn = an ? bn ,求 {cn }的前 n 项和 S n

【答案】 (1)∵
an +1 1 = an 4 1 1 ,公比为 的等比数列, 4 4

∴数列{ an }是首项为 ∴ an = ( ) n (n ∈ N * ) . ∵ bn = 3 log 1 a n ? 2 ,
4

1 4

1 ∴ bn = 3 log 1 ( ) n ? 2 = 3n ? 2 . 4 2
1 4

(2)由(Ⅰ)知, an = ( ) n , bn = 3n ? 2 (n ∈ N * ) ∴ cn = (3n ? 2) × ( ) n , (n ∈ N * ) . ∴ S n = 1× + 4 × ( ) 2 + 7 × ( ) 3 + … + (3n ? 5) × ( ) n ?1 + (3n ? 2) × ( ) n , 于是 S n = 1× ( ) 2 + 4 × ( ) 3 + 7 × ( ) 4 + … + (3n ? 5) × ( ) n + (3n ? 2) × ( ) n +1
1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4





- 10 -

两式①-②相减得 S n = = ? (3n + 2) × ( ) n +1 . ∴ Sn =
1 2 1 4

3 4

1 1 1 1 1 + 3[( ) 2 + ( ) 3 + … + ( ) n ] ? (3n ? 2) × ( ) n +1 4 4 4 4 4

2 12n + 8 1 n +1 ? × ( ) (n ∈ N * ) . 3 3 4

【 湖 北 省 武 昌 区

2012

届 高 三 年 级 元 月 调 研 】 已 知 数 列

{an }满足 : a1 = 2, an +1 = 3an + 3n +1 ? 2n ( n ∈ N * ).

an ? 2 n , 证明:数列 {bn } 为等差数列,并求数列 {an } 的通项公式; (I)设 bn = 3n
(II)求数列 {an }的前n项和S n ; (III)设 Cn =

an +1 (n ∈ N * ), 是否存在k ∈ N * , 使得Cn ≤ Ck 对一切正整数 n 均成立,并 an

说明理由。 【答案】

a n +1 ? 2 n +1 a n ? 2 n 3a n + 3 n +1 ? 2 n ? 2 n +1 a n ? 2 n ? = ? = 1, (Ⅰ)Q bn +1 ? bn = 3 n +1 3n 3 n +1 3n ∴ {bn } 为等差数列.又 b1 = 0 ,∴ bn = n ? 1 .
∴ a n = (n ? 1) ? 3 n + 2 n .
…………………(4 分)

(Ⅱ)设 Tn = 0 ? 31 + 1 ? 3 2 + L + ( n ? 1) ? 3 n ,则 3 Tn = 0 ? 3 2 + 1 ? 3 3 + L + ( n ? 1) ? 3 n +1 .

∴ ? 2Tn = 3 2 + L + 3 n ? (n ? 1) ? 3 n +1 =

9(1 ? 3 n ?1 ) ? (n ? 1) ? 3 n +1 . 1? 3

∴ Tn =

9 ? 3 n+1 (n ? 1) ? 3 n+1 (2n ? 3) ? 3 n +1 + 9 + = . 4 2 4

∴ S n = Tn + 2 + 2 2 + L + 2 n =
(Ⅲ)由已知得 C n = C1 最大,下证:

(

) (2n ? 3)3 4 + 2
n +1

n +3

+1
.…………………(8 分)

n ? 3n+1 + 2 n+1 13 62 259 ,从而求得 C1 = , C2 = , C3 = , L 猜测 n n (n ? 1)3 + 2 2 13 62

- 11 -

Q C n ? C1 =

a n+1 a 2 (n ? 3 n+1 + 2 n +1 ) ? 2 ? 13[(n ? 1) ? 3 n + 2 n ] ? = an a1 a n ? a1

=

(13 ? 7n) ? 3 n ? 9.2 n ≤0, a n ? a1

∴存在 k = 1 ,使得 C n ≤ C k 对一切正整数 n 均成立. …………………(12 分)

【 2012 大 庆 铁 人 中 学 第 一 学 期 高 三 期 末 】 设 数 列

{an } 的 前 n 项 和 为 S n

,且

S n = n 2 ? 4n + 4 .
(1)求数列

{an } 的通项公式;
an 1 n {bn } 的前 n 项和为 Tn ,求证: 4 ≤ Tn < 1 . 2 ,数列

bn =
(2)设 【答案】 当 n = 1 时,

a1 = S1 = 1 . a n = S n ? S n ?1 = n 2 ? 4n + 4 ? (n ? 1)2 ? 4(n ? 1) + 4

当 n ≥ 2 时,

[

]

= 2n ? 5 .
∵ a1 = 1 不适合上式,

n = 1, ? 1, an = ? ?2n ? 5, n ≥ 2. ∴

4分

? 1 ,n =1 an ? 2 ? bn = n = ? 2 ? 2n ? 5 , n ≥ 2 ? 2n ? (2)证明: ∵ .
1 T1 = , 2 当 n = 1 时, Tn = 1 ?1 1 2n ? 5 + 2 + 3 +L + 2 2 2 2n ,

当 n ≥ 2 时,



1 1 ?1 1 2n ? 7 2n ? 5 Tn = 2 + 3 + 4 + L + + n +1 2 2 2 2 2n 2 .
①-②得:



- 12 -

1 1 2 1 1 2n ? 5 Tn = ? 2 + 2( 3 + L + n ) ? n +1 2 2 2 2 2 2 = 1 1 2n ? 5 (1 ? n ? 2 ) ? n +1 2 2 2 Tn = 1 ?


2n ? 1 ( n ≥ 2) 2n ,

…8 分

此式当 n = 1 时也适合.

Tn = 1 ?


2n ? 1 (n ∈ * 2n N ).

2n ? 1 > 0(n ∈ Ν* ) n ∵ 2 ,


Tn < 1 . Tn +1 ? Tn = (1 ?

10 分

当 n ≥ 2 时,

2n + 1 2n ? 1 2 n ? 3 ) ? (1 ? n ) = n +1 > 0 n +1 2 2 2 ,

1 3 1 Tn < Tn +1 (n ≥ 2) . ∵ T1 = 2 , T2 = 1 ? 4 = 4 , ∴


T2 < T1 .

1 1 * * Tn ≥ T2 ,即 Tn ≥ 4 (n ∈ N ) .综上, 4 ≤ Tn < 1( n ∈ N ) . 12 分 故

- 13 -


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