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浅谈高中数学科展 - 中坜高中


淺談高中數學科展
曹文峰 前言 『我不夠聰明,不要找我啦!』 『課業這麼重,考試這麼多,哪有時間作科展?』 『作了也不會得獎,還是算了吧!』 『老師!給我一題世界大難題,我要挑戰看看!』 以上這些想法都是不正確的。如果為了這些偏頗的原因而放棄了 作高中科展,你失去了樂趣肯定更多。到了高二上,你們的數理工具 大致已足夠多了,如果走對了方向,抓對了訣竅

,作高中科展是非常 有趣的。千萬別只是隨便抄抄寫寫交差了事,這樣實在很可惜。 教師的角色 請不要叫老師給你們題目好嗎?又不是老師在作科展。老師當然 會與你們討論,適當的給予你們意見,幫你們撰寫報告,適度的引導 方向,但一切還是要回歸到你們身上。 怎麼尋找題目 不好的題目包括『別人做過的、超級大難題、很難有新東西、抄 襲』 。好的題目有『課堂材料的推廣、一個簡單問題的推廣、原創問 題』 。

幾個例子 (I)不用考慮的 1. 超級大難題(哥德巴赫猜想) 哥德巴赫於 1742 年 6 月 7 日寫信大數學家歐拉 , 提出一個猜想: 每一個大於 2 的偶數都可以表示為兩個質數的和 (或每一個大於或等 於 6 的偶數都可表示為兩個奇質數的和) 。歐拉回信表示他雖不能證 明此猜想,但他相信這是完全正確的。這就是著名的哥德巴赫猜想 (Goldbach's Conjecture)。這個難題吸引了很多數學家,19 世紀末 到 20 世紀初,有人做了驗證,如:6=3+3;8=3+5;10=3 +7;12=5+7,直到 33x106 以內的偶數都是對的,那麼對於再 大的偶數是否對呢? 2. 別人做過的

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(II)可以試試看 3. 空間中兩條線的距離的求法有哪些?(教材延伸+讀書報告) 除了課本教的方法外,尚有一些特別的方法,可以想一下。

4. 平面上若干條線可能的交點有幾個?(大有可為)
A2 ? ? 0 , 1 ?, A3 ? ? 0 , 1 , 2 , 3 ?, A4 ? ? 0 , 1 , 3 , 4 , 5 , 6 ?,…

5. ㄧ間教室有多少學生是最舒適的?(原創+好題目) 6. 立體 3× 3× 3 一筆畫走完有多少方法?(有點難) 7. 『不是數獨』的填法有幾種。 學長的例子

作品名稱: 《母子歷險紀》
在兩個最簡分數之間,找出分母、分子最小的分數。 在做科展之前,老師出過一道題目: ?
1 4 n 1 ? ,m,n ? N 求 m、n m 3

的最小值。…我們想要找出可以廣泛應用在任何分數之間,其分數的 分母、分子最小值,例:
5 n 4 ? ? 8 m 7

,

7 n 113 ? ? 22 m 355

,

47 n 34 ? ? 245 m 177

……

結論: 當 ?
b a n d ? , a,b,c,d,m,n ? N , (a,b)=(c,d)=1,時 m c

一、若 ad-bc=1,則 ?

?m ? a ? c ?n ? b ? d

a?c ? m? ? 2 二、若 ad-bc=2,則 ? ? ?n ? b ? d ? 2 ?

………


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