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第七节 抛物线


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第七节 备考基础· 查清 1.(2)相等 p x =- 2 (3)不在 p x= 2 p 2.( ,0) 2 p y=- 2

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p (- ,0) 2 p x0 + 2

p (0, ) 2

p (0,-

) 2 p y0 + 2

1

p y= 2

p - x0 + 2

p -y0+ 2

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[试一试] 1.解析:抛物线 y2=8x 的焦点为(2,0),准线方程为 x=-2, 所以焦点到准线的距离为 4. 答案:C 2.解析:设动圆的圆心坐标为(x,y),则圆心到点(1,0)的距离 与到直线 x=-1 的距离相等, 根据抛物线的定义易知动圆 的圆心的轨迹方程为 y2=4x. 答案:y2=4x
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[练一练] 1.解析:由题意可知,点 A 在抛物线 x2=ay 上,所以 1 1 = a,解得 a=4,得 x2=4y.由抛物线的定义可知点 A 4 到焦点的距离等于点 A 到准线的距离,所以点 A 到抛 4 1 5 物线的焦点的距离为 yA+ = +1= . 4 4 4 5 答案: 4
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2.解析:设 A(x0,y0),由抛物线定义知 x0+1=2,∴x0=1, 则直线 AB⊥x 轴, 1 ∴|BF|=|AF|=2.|AB|=4,故△OAB 的面积 S= |AB||OF| 2 1 = ×4×1=2. 2 答案:2 2

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热点命题· 悟通 考点一 c 1.解析:因为双曲线的离心率 e=a=2,所以 b= 3a,所以 b 双曲线的渐近线方程为 y=± ax=± 3x,与抛物线的准线 x
? p p p 3 3 ? ? ? =- 相交于 A?- , p?,B- ,- p, 2 2 2 2 ? ? 2

1 p 所以△AOB 的面积为 × × 3p= 3, 2 2 又 p>0,所以 p=2. 答案:C
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2.解析:由已知得抛物线的焦点

?p ? F?2,0?,设点 ? ?

A(0,2),点

2 ?p ? ? y0 ? M(x0 , y0), 则 AF =?2,-2?,AM =?2p,y0-2?.由已知得, ? ? ? ?

AF · AM =0,即

y2 0-8y0+16=0,因而
?8 p? ? - ?2+16=5, ?p 2?

?8 ? y0=4,M?p,4?. ? ?

由|MF|=5 得,

又 p>0,解得 p=2 或 p=8,故选 C. 答案:C
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3. 解析: 由题意知, 抛物线的准线方程为 y=-1, |PM|=|PF 1 =5,∴P 点的纵坐标为 4,∴S△MPF= ×5×4=10. 2 答案:10

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考点二 1.解析:由题意知,抛物线的准线 l:y=-1,过点 A 作 AA1 ⊥l 交 l 于点 A1,过点 B 作 BB1⊥l 交 l 于点 B1,设弦 AB 的中点为 M,过点 M 作 MM1⊥l 交 l 于点 M1,则|MM1|= |AA1|+|BB1| .因为|AB|≤|AF|+|BF|(F 为抛物线的焦点),即 2 |AF|+|BF|≥6, 所以|AA1|+|BB1|≥6,2|MM1|≥6, |MM1|≥3, 故点 M 到 x 轴的距离 d≥2,选 D. 答案:D
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2.解析:由题意知,抛物线的焦点为 F(1,0).点 P 到 y 轴的 距离 d1=|PF|-1, 所以 d1+d2=d2+|PF|-1.易知 d2+|PF| 的最小值为点 F 到直线 l 的距离,故 d2+|PF|的最小值为 |1+5| 2 2=3 2,所以 d1+d2 的最小值为 3 2-1. 1 +?-1? 答案:3 2-1

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3.解析:由题意知 F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2= |AB|-2,即|AC|+|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得 最小值. 依抛物线定义知当|AB|为通径, 即|AB|=2p=4 时,为最小值,所以|AC|+|BD|的最小值为 2. 答案:2

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考点三

[典例]

解: (1)据题意知, p>0, x>0.设 A(x1, 2px1),

B(x2, 2px2). 把 y2=2px 代入 x2+y2-4x+1=0 得, x2+2(p-2)x+1=0, ?Δ=4?p-2?2-4>0, ? x1, x2 是该方程的两不相等的正根, ∴?x1+x2=-2?p-2?>0 ?x x =1>0, ? 1 2
? ?p<1或p>3, 即? ? ?p<2,
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∴p 的取值范围是(0,1).
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(2)法一:设 M 的坐标为(m,0), 则 MA=(x1-m, 2px1), MB =(x2-m, 2px2),∴ MA · MB = x1x2-m(x1+x2)+m2+2p x1x2. 把 x1x2=1,x1+x2=4-2p 代入,得 MA · MB =m2-(4-2p)m+2p +1, ∵MA⊥MB,∴m2-(4-2p)m+2p+1=0, 据题意该方程只有一个根, ∴Δ′=(4-2p)2-4(2p+1)=0,即 p2-6p+3=0,∴p=3- 6 (∵p<1,舍去 p=3+ 6), -?4-2p? 此时 m=- = 6-1,即 M 的坐标为( 6-1,0). 2
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法二:设 AB 的中点坐标为(x0,y0). |AB| 据题意,以线段 AB 为直径的圆恰好与 x 轴相切,即 y0= 2 (此时 M 的横坐标为 x0). y0 = 2px1+ 2px2 = 2 2p x1+x2+2 x1x2 = 2 2p 6-2p = 2

2 p?3-p?,|AB|2=(x1-x2)2+( 2px1- 2px2)2=x2 + x 1 2-2x1x2+

2p(x1+x2-2 x1x2)=(x1+x2)2-4x1x2+2p(x1+x2-2 x1x2)= (4-2p)2-4+2p(2-2p)=12(1-p),
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|AB| 2 ∴由 y0= 得 4y0 =|AB|2, 2 即 4p(3-p)=12(1-p),即 p2-6p+3=0, ∴p=3- 6(∵p<1,舍去 p=3+ 6), x1+x2 此时 M 的横坐标为 x0= =2-p= 6-1,即 M 的坐 2 标为( 6-1,0).

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[针对训练] p 解:(1)直线 AB 的方程是 y=2 2(x- ), 2 与 y2=2px 联立,从而有 4x2-5px+p2=0, 5p 所以:x1+x2= , 4 由抛物线定义得:|AB|=x1+x2+p=9, 所以 p=4,从而抛物线方程是 y2=8x.
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(2)由 p=4,4x2-5px+p2=0 可简化为 x2-5x+4=0,从而 x1 =1,x2=4,y1=-2 2, y2=4 2,从而 A(1,-2 2),B(4,4 2); 设 OC =(x3,y3)=(1,-2 2)+λ(4,4 2)=(4λ+1,4 2λ-2 2).
2 又 y2 = 8 x ,即 [2 2(2 λ - 1)] =8(4λ+1), 3 3

即(2λ-1)2=4λ+1,解得 λ=0,或 λ=2.
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迁移应用· 练透 1.解析:由题意知,2n=m+m+n 且 n2=m· mn,解得 m=2, n=4,故抛物线为 x 答案:A 3 2.解析:设点 P 的坐标为(xp,yp),则|PF|=xp+ .过点 P 作 x 2 轴的垂线交 x 轴于点 M,则∠PFM=∠APF=60° ,所以|PF|
? 3? 3 =2|MF|,即 xp+ =2?xp-2?, 2 ? ? 9 解得 xp= ,所以|PF|=6. 2
2

? 1? =2y,其焦点坐标为?0,2?. ? ?

答案:C
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3.解析:抛物线 y2=8x 的焦点 F 的坐标为(2,0),直线 AB 的倾 斜角为 135° ,故直线 AB 的方程为 y=-x+2,代入抛物线 方程 y2=8x,得 x2-12x+4=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 弦 AB 的长|AB|=x1+x2+4=12+4=16. 答案:D 4.解析:分别过点 A,B,P 作准线的垂线,垂足分别为 M,N, Q, 根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离, 得|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=2|PQ|=8. 答案:8
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5.解:(1)由已知条件,可设抛物线的方程为 y2=2px(p>0). ∵点 P(1,2)在抛物线上,∴22=2p×1,解得 p=2.故所 求抛物线的方程是 y2=4x,准线方程是 x=-1. (2)设直线 PA 的斜率为 kPA,直线 PB 的斜率为 kPB,则 kPA
y1-2 y2-2 = (x1≠1),kPB= (x2≠1), x1-1 x2-1 ∵PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补, ∴kPA=-kPB.
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由 A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上, 得 y2 1=4x1,①
2 y2 =4x2,②

y1-2 y2-2 ∴ =- , 1 2 1 2 y1-1 y2-1 4 4 ∴y1+2=-(y2+2).∴y1+y2=-4.
2 由①-②得,y2 - y 1 2=4(x1-x2),

y1-y2 4 ∴kAB= = =-1(x1≠x2). x1-x2 y1+y2
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