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高一数学期末复习(3)


2017 届高一数学期末复习(3) ——数列的最值与性质
【例题精讲】 【例 1】 (1) 设数列 {an } 是公差 d ? 0 的等差数列,Sn 为其前 n 项和, 若 S6 ? 5a1 ? 10d , 则 Sn 取 最大值时, n ? ( A. 5 B. 6 (2)已知 an ? ) C. 5 或 6 D. 6 或 7

n?7 (n ? N

* ) ,设 am 为数列 {an } 的最大项,则 m ? ____________。 n?5 2
9 n ) ( n ? N * ) ,{an } 的最大值是__________。 10

(3)已知数列 {an } 的通项公式 an ? ( n ? 1)(

s ?t t ?r (4) 在等比数列 {an } 中, 若 r、s、t 是互不相等的正整数 , 则有等式 atr ?s ? ar ? as ? 1成

立。类似的,相应地,在等差数列 {bn } 中,若 r、s、t 是互不相等的正整数,则有等式 _________________________________成立。 (5)若等比数列 {an } 的各项均为正数,且 a10 a11 ? a9 a12 ? 2e 5 , 则 ln a1 ? ln a2 ? ln a3 ? ??? ln a20 ? ___________。

【例 2】 (1)等差数列 {an } 共有 2 m 项,其中奇数项 之和为 90 ,偶数项之和为 72 , 且 a2m ? a1 ? ?33 ,则该数列的公差为__________。 (2)若 Sn 为等比数列 {an } 前 n 项和,公比 q ? 2 , S99 ? 7 , 则 a3 ? a6 ? a9 ? ?? a100 ? _______。

(3)等差数列 {an } 中,公差 d ?

1 ,且 a1 ? a3 ? a5 ? ?? a99 ? 60 , 2

则 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a100 ? _____________。 (4)已知 f ( x) ? log a x(0 ? a ? 1) ,若数列 {an } 使得 2 、 f (a1 ) 、 f (a2 ) 、 f (a3 ) 、? 、

f (an ) 、 2n ? 4(n ? N * ) 成等差数列,则 {an } 的通项 an ? __________________。[
1

Sn 1 11 ) 在直线 y ? x ? 上。数列 {bn } 满 2 2 n 足 bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0 且 b3 ? 11 ,它的前 9 项和为 153 。
【例 3】已知 数列 {an } 的前 n 项为和 Sn ,点 ( n, (1)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (2)设 cn ?

k 3 ,数列 {cn } 的前 n 和为 Tn ,求使不等式 Tn ? 对一切 57 (2an ? 11)(2bn ? 1)

n ? N * 都成立的 最大正整数 k 的值。

【例 4】设 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和,对 任意的 n ? N ,都有 Sn ? (m ? 1) ? man ( m 为
*

常数,且 m ? 0) 。 (1)求证数列 {an } 是等比数列; (2) 设数列 {an } 的公比 q ? f (m) , 数列 {bn } 满足 b1 ? 2a1 , bn ? f (bn?1 )(n ? 2, n ? N * ) , 求数列 {bn } 的通项公式; (3)在满足( 2)的条件下,求证数列 {bn 2 } 的前 n 项和 Tn ?

89 。 18

2

【例 5】某企业 2014 年的纯利润为 500 万元,因设备老化等原因,企业的生产能力将逐 年下降。若不能进行技术改造,预测从今年起每年比上一年纯利润减少 20 万元,今年初 该企业一次性投入资金 600 万元进行技术改造,预测在未扣除技术改造资金的情况下,第

n 年(今年为第一年)的利润为 500(1 ?

1 ) 万元( n 为正整数) 。 2n

(1)设从今年起的前 n 年,若该企业不进行技术改造的累计纯利润为 An 万元,进行技术 改造后的累计纯利润为 Bn 万元(须扣除技术改造资金) ,求 An 、 Bn 的表达式; (2)依上述预测,从今年起该企业至少经过多少年,进行技术改造后的累计纯利润超过 不进行技术改造的累计纯利润?

【例 6】已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且对于任意 n ? N ,总有 Sn ? 2(an ?1) 。
*

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2) 在 an 与 an ?1 之间插入 n 个数, 使这 n ? 2 个数组成等差数列, 当公差 d 满足 3 ? d ? 4 时,求 n 的值并求这个等差数列所有项的和 T ; (3)记 an ? f (n) ,如果 cn ? n ? f (n ? log
2

m)(n ? N * ) ,问是否存在正实数 m ,使得 数

列 {cn } 是单调递减数列?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由。

3

【例 7】已知二次函数 f ( x) ? x2 ? ax ? a( x ? R) 同时满足:①不等式 f ( x) ? 0 的解集有 且只有一个元素;②在定 义域内存在 0 ? x1 ? x2 ,使得不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立。设数 列 {an } 的前 n 项和 Sn ? f (n) 。 (1)求函数 f ( x ) 的表达式; (2)设各项均不为 0 的数列 {bn } 中,所有满足 bi ? bi ?1 ? 0 的整数 i 的个数称为这个数列

{bn } 的变号数,令 bn ? 1 ?
(3)设数列 {cn } 满足 cn ?

a ? (n ?N ) ,求数列 {bn } 的变号数; an
n 1 (其中 ,试探究数 ai ? a1 ? a2 ? ? ? ai ? ? an ) ? ? i ?1 i ?1 ai ? ai ?1

n

列 {cn } 是否存在最小项?若存 在,求出该项,若不存在,说明理由。

4

【课外作业】 1、在等差数列 {an } 中,已知 a4 ? a8 ? 16 ,则该数列前 11 项和 S11 ? _______________。 2、已知 {an } 为等比数列, a4 ? a7 ? 2 , a5a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ? _____________。 3、下面是关于公差 d ? 0 的等差数列 {an } 的四个命题,其中的真命题为_____________。

p1 : 数列 {an } 是递增数列; p2 : 数列 {nan } 是递增数列;
a p3 : 数列 { n } 是递增数列; p4 : 数列 {an ? 3nd} 是递增数列。 n
4、已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 6n ,令数列 {| an |} 的前 n 项和为 Tn ,则 值是_____________。 5、已知函数 f ( x) ? 2x ,等差数列 {an } 的公差为 2 ,若 f (a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? a10 ) ? 4 ,则

Tn 的最小 n

log2[ f (a1 ) ? f (a2 ) ? f (a3 ) ??? f (a10 )] ? _____________。[来源:Zxxk。Co
6、“公差为 d 的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,则数列 {

Sn d } 是公差为 的等差数列”。 n 2

类比上述性质有:“公比为 q 的正项等比数列 {bn } 的前 n 项积为 Tn , 则数列___________________________________________________”。 7、已知函数 y ? f ( x) 满足 f ( x) ? f (1 ? x) ?

1 ,若数列 {an } 满足 2

1 2 n ?1 an ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( ) ? f (1) ,则数列 {an } 的通项公式是__________。 n n n
8、已知正数组成的等差数列 {an } ,前 20 项和为 100 ,则 a7 ? a14 的最大值是( A. 25 B. 50 C. 100 D.不存在 9、已知 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和,且 S6 ? S7 ? S5 ,有下列中假命题 的是( ... A.公差 d ? 0 C.满足 Sn ? 0 的 n 的个数有 11 个 B.在所有 Sn ? 0 中, S13 最大 D. a 6 ? a 7 ) )

[ 10、已知等比数列 {an } 的公比为 q ,记 bn ? am ( n ?1) ?1 ? am ( n ?1) ? 2 ? ? ? am ( n ?1) ? m ,

cn ? am ( n ?1) ?1 ? am ( n ?1) ? 2 ? ? ? am ( n ?1) ? m (m, n ? N * ) ,则以下结论一定正确的是
A.数列 {bn } 为等差数列,公差为 q C.数列 {cn } 为等比数列,公比为 q
m


2m



B.数列 {bn } 为等比数列,公比为 q D.数列 {cn } 为等比数列,公比为 q

m2

mm

5

11 、对于任意的 n ? N ,若数列 {an } 同时满足下列两个条件,则称数列 {an } 具有“性质
*

an ? an ? 2 ? an ?1 ;②存在实数 M ,使得 an ? M 成 立。 2 n? bn ? 2sin (n ? 1, 2,3, 4,5) , (1) 对于 an ? n , 判断数列 {an } 、 {bn } 是否具有“性质 m ”; 6 1 7 (2)若各项为正数的等比数列 {cn } 的前 n 项和为 Sn ,且 c3 ? ,S 3 ? ,求证数列 {Sn } 4 4

m ”:①

具有“性质 m ”。

12、已知定义域为 R 的二次函数 f ( x ) ? ? x ? 1? ,一次函数 g ( x) ? 4( x ? 1) ,数列 {an } 满
2

足 a1 ? 2 , (an?1 ? an ) g (an ) ? f (an ) ? 0(n ? N * ) 。 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ? 3 f (an ) ? g (an ?1) ,求数 列 {bn } 的最值及相应的 n 。

6

13、已知函数 f ( x ) ?

2x ? 3 1 ,数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an ?1 ? f ( ), n ? N * 。 3x an

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)令 bn ?
*

m ? 2004 1 对一 (n ? 2) , b1 ? 3 , Sn ? b1 ? b2 ? b3 ? ?? bn ,若 S n ? 2 an?1an

切 n ? N 成立,求最小的正整数 m 。

14、在等比数列 {an } 中, a1 ? 1 ,公比 q ? 0 ,设 bn ? log2 an ,且 b1 ? b3 ? b5 ? 6 ,

b1b3b5 ? 0 。
(1)求 证数列 {bn } 是等差数列; (2)求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn 及数列 {an } 的通项公式; (3)试比较 an 与 Sn 的大小。

7

15、流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病。某市去年 11 月份曾 发生流感,据资料记载, 11 月 1 日,该市新的流感病毒感染者有 20 人,以后,每天的新 感染者平均比前一天的新感染者增加 50 人。由于该市医疗部门采取措施,使该种病毒的 传播得到控制, 从某天起, 每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少 30 人, 到 11 月 30 日止,该市在这 30 天内感染该病毒的患者共有 8670 人,问 11 月几日,该市感染此病毒的 新患者人数最多?并求这一天的新患者人数。

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