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冲刺60天2012年高考文科数学解题策略专题四 概率与统计 第三节概率与统计的综合应用


近几年高考中,概率与统计的应用题多出现在解答题中,难度以中档和中档偏易为多,难度值在 0.5~ 0.8.命题形式以学生生活实践为背景材料进行考查. 考试要求: (1)以大纲为准则,考查相关概率在实际问题中的应用; (2)理解各种统计方法; (3) 会分析样本数据,并会求数据的特征数字(如平均数、标准差) ; (4)会用正确的算法求解概率统计和 其他数学知识的交汇(如三角函数、框图

、算法、几何等)问题. 题型一 随机抽样方法及其应用 例 1 (1)用系统抽样方法从 160 名学生中抽取容量为 20 的样本,将 160 名学生从 1—160 编号, 按编号顺序平均分成 20 组(1—8 号,9—16 号,?,153—160 号) ,若第 16 组抽出的号码是 126,则 第 1 组用抽签方法确定的号码是 .

点拨:本题考查随机抽样的系统抽样.三种抽样方法均为等概率抽样,系统抽样是按简单随机抽样抽取 第一个样本,再按相同的间隔抽取其他样本,即抽取号码成等差数列.公式为 m ? (n ? 1)l ? p,(l 为间隔长, n 为组数, p 为第一个样本号 ) .

50 岁以上 解: n ? 16, l ? 8, m ? 126,? p ? 6. 20 40 岁以下 易错点:式中的第几组的组号应减“1”. % 变式与引申 1:⑴某单位 200 名职工的年龄分布情况 50 30 如图所示,现要从中抽取 40 名职工作样本,用系统抽样法,将全 % 40—50 % 体职工随机按 1-200 编号,并按编号顺序平均分 岁 为 40 组(1-5 号,6-10 号,?,196-200 号). 图 4 ? 3? 1 若第 5 组抽出的号码为 22,则第 8 组抽出的号码应是 .若用分层抽样方法,则 40 岁以下年龄段应 抽取 人. ⑵从 2004 名学生中选取 50 名组成参观团,若采用下面的方法选取:先用简单随机抽样从 2004 人中剔 除 4 人,剩下的 2000 人再按系统抽样的方法进行,则每人入选的概率( )

A. 不全相等

B. 均不相等

C. 都相等且为 25 1002

D. 都相等且为 1 40

频率

题型二 分析样本数据,并求数据的特征数字(如平均数,标准差) 组距 例 2 为了解某校高三学生的视力情况,随机地抽查了该校 100 名 高三学生的视力情况,得到频率直方图如图 4 ? 3 ? 2 所示,由于 不慎将部分数据丢失,但知道前 4 组的频数成等比数列,后 6 组 的频数成等差数列,设最大频率为 a ,视力在 4.6 到 5.0 之间的 学生数为 b ,求 a , b 的值. 0.3 视力 0.1 点拨: (1)此题数据是以图形给出,注意观察图中数据及变化 O 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 情况; (2)看清图中横、纵坐标的实际意义; (3)结合等差与等比 图 4?3?2 数列知识,本题有一定的综合性. 解:组距=0.1, 4.3 ~ 4.4 的频数 ? 100 ? 0.1? 0.1 ? 1 , 4.4 ~ 4.5 的频数 ? 3 . 前 4 组频数成等比数列,? 4.5 ~ 4.6 的频数 ? 9 , 4.6 ~ 4.7 的频数 ? 27 .

6 ? (6 ? 1) ? d ? 100 ? 13 ? 87 , 2 ? d ? 5 ,从而 4.6 ~ 5.0 的频数 ? 27 ? (27 ?5) ? (27 ?10) ? (27 ?15) ? 78 . ? a ? 0.27, b ? 78 . 频率 ? ? 易错点:要注意 1 频数= ? 组距 ? 样本容量;2 区别频数与频率,审清题意. 组距
又 后 6 组频数成等差数列,设公差为 d ,? 6 ? 27 ? 变式与引申 2 :如图 4 ? 3 ? 3(1)(2),样本 A 和 B 分别取自两个不同的总体,它们的样本平均数分

A. xA ? xB , sA ? sB C. x A ? x B , s A ? s B

B. x A ? x B , s A ? s B D. x A ? x B , s A ? s B

题型三 概率与统计和其他数学知识交汇(如三角函数、框图算法、几何等) 例 3 如下图 4 ? 3 ? 4(1) 是某公司金融危机时员工的月工资条形统计图,从左到右的各条形表示的员 工人数依次记为 A1, A2 ,

, A10 (如 A2 表示工资为 [2500,2550) 内的人数, (单位:元) ).

图 4 ? 3 ? 4(2) 是统计图 4 ? 3 ? 4(1) 中工资在一定范围内员工人数的一个算法流程图。现要 统计月工资在 2600 ~ 2800 元(含 2600 元,不含 2800 元)的员工人数, 那么在流程图中 人数/人 的判断框内应填 ? 600 写的条件是( ) 550 ? A. i ? 9 500 ? B. i ? 8 450 ? C. i ? 7 400 ? ? D. i ? 6 350 点拨: (1) 要认真读题,明 确每个变量表示 的实际意义; (2) 可以把选项逐一 放入判断框理解.
300 250 200 150 100
? ? ? ?
?

开始 输入 A1 , A2 ,
s ? 0, i ? 4

, A10

i ? i ?1

是 否 输出s 工资/元
2450 2500 2550 2600 2650 2700 2750 2800 2850 2900 2950

s ? s ? Ai

50 O

图 4 ? 3 ? 4(2) 图 4 ? 3 ? 4(1) 解:现要统计的是月工资在 2600 ~ 2800 元之间的员工人数,即是要计算 A4 , A5 , A6 , A7 的和,所以流程图 中空白框应是 i ? 8 ,当 i ? 8 时就会返回进行叠加运算,当 i ? 8 将数据直接输出,不再进行任何的返回叠 加运算,此时已把数据 A4 , A5 , A6 , A7 叠加起来送到 s 中输出,故选 B. 易错点:本题在统计中的条形图与算法流程图的交汇处命题,有一定的综合性,若不认真读图和审 题容易出错. 变式与引申 3:某班班主任为了解班上女生的月消费情况, 随机抽查了 5 名本班女生,她们近两周的消费金额如下表所示:





1

2

3

4

5

消费金 额

a1

a2

a3

a4

a5

图 4 ? 3 ? 5 是统计该 5 名女生近两周消费金额总数的程序框图,则 判断框中应填 , s? .

题型四 线性回归方程与相关系数实际应用 例 4 某地 10 户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表:

年收入 x (万元) 年饮食支出 y (万元)

2
0.9

4
1.4

4
1.6

6 2.0

6 2.1

6 1.9

7 1.8

7 2.1

8 2.2

10 2.3

(1)根据表中数据,确定家庭的年收入和年饮食支出的相关关系; (2)如果某家庭年收入为 9 万元,预测其年饮食支出. 点拨:通过所给数据,判断变量间的线性关系;若线性相关,用最小二乘思想求出线性回归方程. 解: (1)由题意知,年收入 x 为解释变量,年饮食支出 y 为预报变量,作散点图(如图所示) . 从图中可以看出,样本点呈条状分布,年收入和年饮食支出有比较好的 线性相关关系,因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系.
∵ x ? 6 , y ? 1.83 , ? xi2 ? 406 , ? yi2 ? 35.13 , ? xi yi ? 117.7 ,
i ?1 i ?1
i ?1

10

10

10

∴b ? 0.172 , a ? y ? bx ? 1.83 ? 0.172 ? 6 ? 0.798 .

从而得到回归直线方程为 y ? 0.172x ? 0.798 . (2) y ? 0.172 ? 9 ? 0.798 ? 2.346 万元. 答图 4 ? 2 ? 2

易错点:此题对计算能力的要求较高,若计算不慎,失分很严重. 变式与引申 4: (1) (2011 年高考山东卷。文)某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表 广告费用 x(万 元) 销售额 y (万元) 4 49 2 26 3 39 5 54

? 为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为 ? ?a ? ? bx ? 中的 b 根据上表可得回归方程 y

A.63.6 万元

B.65.5 万元

C.67.7 万元

D.72.0 万元

(2)某企业上半年产品的产量与单位成本资料如下: 月 份 1 2 73 2 3 72 3 4 71 4 3 73

产量(千 件) 单位成本 (元)

① 求线性回归方程; ② 指出产量每增加 1000 件时,单位成本平均变动多少? ③ 假定产量为 6000 件时,单位成本为多少元? 本节主要考查: (1)用简单随机抽样方法从总体中抽取样本,了解分层抽样和系统抽样方法及其应 用;考查在应用问题中构造抽样模型,识别模型,收集数据等能力和方法.(2)用样本估计总体是统计 学的基本思想,以考查频率分布直方图、茎叶图、平均数、方差、标准差为主,用随机抽样的基本方法 和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题,了解一些基本的统计思想.(3)作两个相关变量数据 的散点图,判断两个变量的线性相关性,了解最小二乘法的思想,会求给出公式下的相关系数及线性回 归方程;考查看图、作图和运算求解等基本数学能力.(4)利用古典概型解决统计中的某些问题. 点评: (1)概率与统计中的部分内容是实施新课标后新增内容,也是高考考点之一.主要考查随机抽 样方法的应用(如例 1) ,数据的数字特征(如例 2,习题 2、3) ,概率统计与其他知识(算法、不等式) 综合应用(如例 3,习题 5)相关系数与线性回归及独立性检验(如例 4).(2)在随机抽样中,简单随 机抽样、系统抽样和分层抽样都是等概率抽样,但这三种方法适用范围各不相同,简单随机抽样适用于 总体个数较少的,系统抽样适用于总体个数较多的,而分层抽样适用于总体由差异比较明显的几部分组 成的.(3)平均数反映了数据取值的平均水平;标准差、方差描述了一组数据围绕平均数的波动的大小, 标准差、方差越大,数据的分散程度越大,越不稳定;标准差、方差越小,数据的分散程度越小,越稳 定.(4)求回归方程时,先判定变量的相关性,若变量不线性相关,求出回归方程也毫无意义 .(5)概 率与统计实际应用中,很多数据都是图、表的形式给出的,背景有考生共有的生活气息.题目篇幅长,要 善于看图、作图、理解图所传递的信息,对数据的精确处理要求有较强的计算能力.

习题 4-3
1.某中学有高一学生 400 人,高二学生 302 人,高三学生 250 人,现在按年级分层抽样方法从所有学 生中抽取一个容量为 190 人得到样本,应该剔除 人,每个年级依次应抽取 人. 2.甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭 20 次,三人的测试成绩如下表:

甲的成绩 环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5

乙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 6 4 4 6

丙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 4 6 6 4
) D.

s1,s2,s3 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差,则有(
A.

s3 ? s1 ? s2

B.

s2 ? s1 ? s3

C.

s1 ? s2 ? s3

s2 ? s1 ? s3

3.若 a1 , a2 ,

, a20 这 20 个数据的平均数为 x, 方差为 0.20,则数据 a1 , a2 ,

, a20 , x, 这 21 个数据的方

差是 . 4.某中学高一(2)班甲、乙两名同学自高中以来每场数学考试成绩情况如下:

甲的得分:95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107; 乙的得分:83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,101. (Ⅰ)完成所附的茎叶图; (Ⅱ)用茎叶图处理现有的数据,有什么优点? (Ⅲ)通过观察茎叶图,对两人的成绩进行比较,写出统计结论. 5.有甲乙两个班级进行数学考试,按照大于等于 85 分为优秀,85 分以下为非优秀统计成绩后,得到如 下列联表,已知在全部 105 人中随机抽取,抽到 1 人为优秀的概率为

2 . 7
总计

优秀 甲班 乙班 合计 10

非优秀 30

105

① 请完成上面的 2×2 列联表; ② 根据 2×2 列联表的数据,若按 95%的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关系”? ③ 若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取 1 人:把甲班优秀的 10 名学生从 2 到 11 进行编号,先后两 次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数之和为被抽取的序号。试求抽到 6 或 10 号的概率.

【答案】

又因 A 中数 据均小于等于 10,B 中数据不小于 10,所以 x A ? x B . 法二:直接法.(略) 变式与引申 3: 解: i ? 5, a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 .

变 式 与 引 申

4 :

解 : ( 1 ) B.

7 x? , y?4 2 , y? 2

9 x. ?4 a ? , a, ? 把9 . 1

故选 x ? 6代入方程,可得y ? 6 5 . 5B. (2)① x ?
4

12 ? 3, y ? 72.25,? 4 x ? y ? 867, 4
2

? x y ? 2 ? 73 ? 3? 72 ? 4 ? 71 ? 3? 73 ? 865,
i ?1 i i

4

?x
i ?1

2
i

? 4 ? 9 ? 16 ? 9 ? 38, 4 x ? 36,? b ? 865 ? 867 ? -1, 又 y ? bx ? a,?a ? y ? bx ? 72.25+1? 3 ? 75.25, 38 ? 36

? y ? ? x+75.25.
② b ? ?1,?每增加 1000 件时,单位成本减少 1 元. ③ x ? 6,? y ? 69.25.?单位成本为 69.25 元.

习题 4-3
1. 2,80,60,50. 2. B. 解:观察法.丙的环数集中在 8 环和 9 环,较稳定,而乙的集中在 7 环和 10 环,不稳定,甲的 7、8、 9、10 环的次数各均等,故 s2 3.

? s1 ? s3 .
? (a20 ? x) 2 ] ? 0.20

4 1 2 2 ,解:依题意有 [(a1 ? x) ? (a2 ? x) ? 21 20

,?(a1 ? x)2 ? (a2 ? x)2 ?
? a1 ? a2 ? 21 ? a20 ? x ?

? (a20 ? x)2 ? 4.a1, a2 ,

, a20 ? 20x ,

20 x ? x ? x, 即 a1 , a2 , 21
1 4

, a20 , x 的平均数也是 x,
乙 0 7 145 1689 156 5 1 1 1 0 9 8 7 6

2 ? 这 21 个数据的方差 s ? 21 [4 ? ( x ? x)] ? 21 .



4. 解: (Ⅰ)茎叶图如右图所示: (Ⅱ) 用茎叶图处理现有的数据不仅可以看出数据 的分布状况,而且可以看出每组中的具体数据. (Ⅲ)通过观察茎叶图,甲的成绩主要集中在 80 ~ 89 分,乙的成绩主要集中在 90 ~ 99 分,乙的 成绩相对较好。

1 3889 368 9


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