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数学通讯 —— 2 0 1 4年 第 7 、 8期 ( 上 半 月)
? 课 外园地 ?
对 一 道 竞 赛 预 赛 试 题 的探 究
林国夫
( 浙 江 省 春 晖 中学 ,3 1 2 3 5 3 )
本 文拟对 2 0 1 3 年 全 国高 中数学 联赛 湖 北省 预 赛高 二 年级 第 6题进 行探 究.
试题
~
在 AMF F中 , 由于 l F F I 一2 , 则 由正弦定
理 得
如图 1 , 设 F
2 . . 2
I l
l MF I 一 2?
’
,l
I = 2
为 椭 圆 c: +
‘ 士 。
= 1的
\
右焦点 , 过 椭 圆 C 外 一 点 P作 椭 圆 C 的切线, 切 点
So
图 l
s i n ( 2 0+ a一 ) s i n 2 0 ’
j
从而 『
,I +1 MF I = 2。
一 2?
为M, 若 P F 』 = 9 0 。 , 求
点 P的轨 迹 方程 .
I .探 究 试 题 本 身 的
解 法
-
曼 ±
s i n 2 0
2 c os ( 0  ̄a )
—
— —
一
,
二 堂: ! ! 殳 ±
s i n2 0
一
—
又结 合 椭 圆的 定义得 l MF l + =4 御 c 。 s ( + a )
解法 1 由于点 P 由点 M 的运 动 引 起 , 因此
若 设 点 M 的 坐标为 M ( 2 c o s O , v  ̄s i n 0 ) , 则 点 P可以 用 0 表示 , 从 而 可求 得点 P的轨 迹方 程. 事实 上 , 直
I MF l 一4 , 故
一 一
2 c o s 0 , 故2 +C O S O  ̄ 一t a n 0 ? s i n a . 又 由椭 圆 的极
坐标方 程 l D —
一一 得 p
线
的斜率 为 忌 一
, : 7 3 ̄ P F M =
( 一1 ) .
—
’
上 十 eC OS 口
三 .( 一 c )
9 O 。 , 从 而直 线 P F的方 程 为 一
『 M F I 一 }一 3 , 1+ — c o s 口 - 。 … u
从而 f Q F I —I P F【 s i n a= l MF I t a n 0? s i v a
: : = _
Z十
c o s 0 由于 椭 圆 C在 点 M 处 的 切 线 为 2 . x +
一
 ̄ - s i n 0 y 4
丁
一
1即 y 一J  ̄ c o s 0
,
S 1 nU
+ Si n
,
联 立 方 程
?t a n 0?s i n a = 3,
C OS a
{ f 一 q / - 3 ( 一 1 ) s m臼
一 一
故 『 Q F l 一3 , 从 而点 P在 直线 . 2 7 =4 上, 从 而
4 , ? V 一
得 1 导 Z z 一
点 P的轨迹 方 程为 一 4 . 显 然对 比上 述 两 种 解 法 , 我 们 觉 得 第 一 种 解
i I 一 一面 √ 3 c o s 0 工 十一 . √ 3
 ̄( 4 1
— — -
s i n 0
法 更 贴近 我们 的 实 际 , 而第 二 种 解 法 巧 妙 地 借 助
椭 圆的定 义 , 具 有 一定 的 创新 性 , 更 有 助 于 培 养学
生 的综 合 能力 . 2 . 探 究试 题背 后 隐藏 的秘 密
从上 述结果 我 们 发现 直线 . 2 7 — 4是 椭 圆 C的 准线 , 很特殊 ! 因 此 我 们 比较 感 兴 趣 的 是 , 对 一 般
~
2 c o s 0 )
.
.
—
故点 P 的轨迹 为直 线 z 一 4 .
解法 2 考 虑 到 试 题
涉及椭 圆的焦点 , 因 此 我 们 考虑 利 用 椭 圆 的定 义 求
解 问题 .如 图 2 , 设 点 P在 轴上 的射影 为 Q. 考 虑对
称性 , 设 点 M 在 轴 的 上 方, MF a := d , P MF
2 , MF1 F= 2 0+ a一 7 c .
/ F 1 Q
的椭 圆是 否具 有 更 一 般 的性 质 呢? 为 了考 虑更 一
般 的情形 , 我 们思 考 下述 问题 :
一
2
. . 2
图 2
如图 3 , 已知 点 F ( c , o )是 椭 圆 c: +
口
0
一
—0 . 根 据 椭 圆 中的 光 学 性 质 得 , F MF 一 兀一
1 ( 口> b> O )的右焦 点 , 点 P是 椭 圆 C上 一点 , 椭
2
圆在 点 P处 的切 线 交 椭 圆 的 右 准线 一
于 点
?
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数 学通 讯 一一 2 O 1 4年 第 7 、 8期 ( 上半月)
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Q. 若直线 Q F, P F 的斜 率
J l
k o v, 是 均存 在 时 , 则是 。 F , k p v具 有 什么 关 系? 对 此 我 们 进行 如 下探 究.
过 Q作 椭 圆 C 的另 一 切线 , 切 点为 P . 设 Q的坐
2
.
程 为 一 一
Q
: 一
.
( 3  ̄ ' - m ) , 令 z 一 笔 , 解 得
由此 点 Q 的坐 标 为 ( ,
P
一
) , 考 虑 到 点 P( z 。 , 。 )在 椭 圆 c 上 ,
标为( a, 一 t ) , 由文 [ 1 ]得 ,
‘
图 3
即 :一 6 。 ( 1 ~ - - - - 4 - - 、 , 则直线 P Q 的斜率 为
b 0 ( 一 )
一 弘
a 2
切 点 弦P P 的 方 程 为 z + =1 , 即 詈+ t 3 ,
一
是 P Q = = :
1 . 此直线 恰 过点 F. 从 而直线 P F 的斜 率 为 k 尸 F
一
b 。 ( 0一 )一 my
— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — 一
1
= 一
一 一
—
a。Yo一 眦
oYo
÷ = 一 等 , 而 直 线 Q F 的 斜 率 志 一 L一
一
一
6 。 ( 。 一 )一 .6 ( 1 ~ )
。
c t
=7 ’
一
5 %0 ( -1
—
—
+  ̄ X o )
:
b 2 Xo
一
—
故 走 Q F ? k v v 一 一 ≥一 一 1 , 即 F Q 上 F P ,
证 毕. 显 然 文首试 题 是这 一 性 质 的 具体 体 现 . 借助 上 述类 似 的方法 我们 不 难 可得 到 下列 关 于 椭 圆 的
更 一般 性 的性质 . 定理 如图 4 , 已知
2
,
由 0 ( 1 一
故直 线 P Q 为 椭 圆 C 的切 线 , 证毕 . 3 . 探 究 试题 与 高考试 题 的关联 性 纵 观 近 几 年 高 考试 题 , 我 们 发现 高 考 试 题 与 竞 赛试题 具 有 相 互 融 合 的趋 势 . 因此 我 们 想 上 述
l
点 M( m, O ) ( 其中 I 肌l <
一
Q
试 题能 否帮 助我 们从 更 高 的角 度 来 审视 高 考 试题
呢? 笔 者翻 阅 近年来 的 高考 试题 , 发 现下 述 两 道 高 考 试题 的确 与 上 述 性 质 有 关 . 下 面 我 们 不 妨从 更 高 的角 度来 欣 赏. 例 1 ( 2 0 1 2 年 安 徽 省 高考 数学 第 2 0 题 )如 图
5 , 点 F l ( 一 c , O ) , F z ( f , 0 )
. .
a , 且 m≠ 0 ) 是 椭 圆 C:
n
M C m,
j
+ 一 1 ( 口> b >o ) 内 一
0
—
\
a 2
: : 一
定点 , 点 P 是椭 圆 C 上 一 点, 点 Q 是直线 一 上
一
1
J I
图 4
Q
点. 若直 线 Q M, P M 的斜 率
b
, 跗 均存 在 时 ,
2
2
分 别 是椭 圆 c: +y , ,=
a 口
则直线 P Q为椭 圆 C的切 线 的充 分 必要 条件 为 忌 Q M
.
P
d
1 ( 口> b> O )的 左 、 右焦
v 一
‘ kV M
一 — ——
a。一
.
。
点, 过点 F 。 作 轴 的垂线
交 椭 圆 C 的上 半 部分 于 点 P, 过点 F 2作 直线 P F 。的
一
C
证 明的必 要性 可 以 直接 借 助 上 述 类 似 的方 法 求证 , 不再 赘 述 , 下 面 仅证 充分 性 .
证 明 充 分 性 设 点 P( x 。 , Y 。 ) . 由于椭 圆 C
图 5
2
垂线 交 直线 一 “ _ 于点 Q. (I)如果 点 Q的坐 标为 ( 4 , 4 ) , 求此 时椭 圆 C
的 方程 .
在 点 P( x 。 , y o ) 处 的切 线方 程 为
+
一1 , 则
要 证 明直 线 P Q 为椭 圆 C 的 切 线 , 只需 证 明直 线 P Q 的斜 率为 k 尸 口一~ . b  ̄ ' X o 由于 直线 P M 的斜 率
.
( Ⅱ)证 明 : 直线 P Q 与椭 圆 C只有 一个 交 点.
简 解 直 线 P Q 是 椭 圆 C 的切 线 . 由 于 点 P( -c , 竺) , 则 椭 圆 C在点 P 的切线 方程 为 z +
b
一
a Yo
kv M 一
n — 且k o u 。 忌 尸 M 一 一 南 口 ~m — , 故 直 线
,
Y O
QM 的斜 率 志 洲 一一
, 从 而直 线 Q M 方
1 , 即 ∞ 一n +口 一 o , 此 即为直线 P Q 的方
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程. 由 于点 Q( 4 , 4 )在直 线 P Q 和椭 圆 C的 右准 线
r 4 c一 4 口+ 口 2— 0。
简解 ( I ) 由于椭圆 c的离心率为P= = = ÷,
上 , 则 { : 4 ,
L C
故 口一 2 , c 一 1 , 从而 椭 圆 C的方程 为 + 解 得 { 1 故 椭 圆 C 4a= 8,
的 方 程 为 +等=1 .
( Ⅱ)的解答 即为定 理 中充分性 的证 明. 例2 ( 2 0 1 2年 福 建 省 高考 数学 第 1 9题 )如 图 6 ,
等
二 , _ 一 、 、 ~ 、 厂 // 、 、 Q
●
.
( I I ) 易知直 线 Z 是 椭 圆 C在点 Q 处 的切线 , 点
Q 在椭 圆 C 的 右 准 线 上 , 故 由定 理 的 必 要 性 知 , P F2 Q一 - 4 - . 从而以 P Q 为直 径 的圆必 过椭 圆 C 的右 焦点 F: ( 1 , O ) , 故 存在 满 足 条件 的定 点 M , 其 坐标 为 ( 1 , O ) , 如图 6 所示. 上述 通 过 对 一 道 竞 赛 试 题 的 探 究 , 我 们 不 仅 对试 题本 身 的 解 法有 一 定 的 认 识 , 而 且 对 试 题 的
本 质有 了更 深 的 理 解 , 有 助 于 提 升 我 们 日后 对 相
椭圆 E: +告 ^ 广 =1 ( 口> b
口一 口
>0 )的左 焦 点 为 F , 右 焦
1
/ ~
点为 F 2 , 离 心 率 一 . 过
厶
点 F 的直线 交 椭 圆于 A, B 两 点 ,且 △A BF 。的 周 长 为 8 . (I) 求 椭 圆 E 的方 程.
图 6
: : 4
关试 题 ( 包 括 高 考 和 竞 赛 )的 反 应 速 度 和 理 解 能
力, 而 这正是 我 们进行 试题 研究 的初 衷.
参考 文献 :
( U) 设 动直线 z : : = = k _ r+ 与椭 圆 E有 且 只 有一 个公 共点 P, 且 与直 线 z= 4 相 交 于点 Q . 试 探
[ 1 7 林 国夫 . 圆锥 曲线 中的切 点 弦及 其 方程 [ J ] .
数 学通 讯 ( 上半 月) , 2 0 1 1 ( 1 ) .
( 收稿 日期 : 2 0 1 4— 0 2 —2 5 )
究: 在坐 标平 面 内是否 存在 定 点 M , 使得以 P Q 为 直 径 的圆恒 过点 M ? 若存 在 , 求 出点 M 的坐 标 ; 若
不 存在 , 说 明理 由.
赏析 2 0 1 4年 “ 华约 ’ ’ 自主招 生 数 学试 题
吕 海柱 张 彬
( 江 苏 省 宝 应 中学 , 2 2 5 8 0 0 ) ( 山东 省 滕 州 市 第 一 中 学 新 校 , 2 7 7 5 0 0 )
以清 华大 学 为首 的“ 华 约”自主招生 选 拔考试
个数) 是 个 不变量 , 而 部分 和 ( 四个 数 )已知 , 可结
于3 月 1日进行 , 和 去年 一样 , 今年 共考 查 了 7 道解
合 整 数 的离散性 求 出总 和来确 定这 五个 数.
解 法一 记 五个数 为 a 。≤ a : ≤ a 。 ≤a ≤ a 5 , 令 S= a l +a 2 +口 3 +口 4 +口 5 , 显 然任 取 四个数
得 到的 和可 用 S 一 S— a i ( f = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ) 表 示.
答题 , 其 中 内容 涉 及 到 三 角 、 数列、 函数 、 不等式 、 解析几 何 、 概率 等高 中知 识 , 与往年 “ 华 约”强 调 的 考点一 脉相 承. 虽 然 全 卷 并 未 出现 明显 竞 赛 知 识 点, 但 由于 整 体计 算 量 较 大 且 突 出 了对 数 学 思维
能力 的考 察 , 因此具 有 较好 的区 分度 . 下 面我 们 一 起来 看看这 七个 问题 . 1 . ( 1 0分 )在 五 个 正整 数 中任 取 四个 求 和 , 所 有 的和构 成集合 { 4 4 , 4 5 , 4 6 , 4 7 ) , 求这 五个 数. 分析 由于 只有 五个 正 整 数 , 显然 采 用枚 举
而 和 的集合 只有 四个 元 素 , 据 抽 屉 原理 S 中必 有 两 个数 相 等且记 为 a, 由于 口∈ ( 4 4 , 4 5 , 4 6 , 4 7 ) , 故
4 4≤ a ≤ 4 7 , 2 2 6 ≤ 4 S一 4 4 +4 5 +4 6 +4 7 +a ≤
1 1
2 2 9 , 即5 6 ÷≤ s ≤5 7 ÷, 所以正整数 S=5 7 , 口 =
厶 ‘ 士
4 6 , 结合 口 i — S— S i 可求得 ( 口 1 , a 2 , 口 3 , a 4 , 仅 5 )一
法建 立方 程组 不 失 为 有 效 的 尝 试 , 但 这 将 陷 入 解
五元 一次 方程 组 的计算 漩 涡 中. 若 注 意 到总 和 ( 五
( 1 0 , l 1 , 1 1 , 1 2 , 1 3 ) .综 上 , 这 五个 数 为 1 O , l 1 , l 1 , 1 2 , 1 3或其 任意 排列.
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