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对一道竞赛预赛试题的探究


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数学通讯 —— 2 0 1 4年 第 7 、 8期 ( 上 半 月)  

? 课 外园地 ?  

对 一 道 竞 赛 预 赛 试 题 的探 究 
林国夫  
( 浙 江 省 春 晖 中学 ,3 1 2 3 5 3 )  

本 文拟对 2 0 1 3 年 全

国高 中数学 联赛 湖 北省 预  赛高 二 年级 第 6题进 行探 究.  
试题 


在 AMF   F中 , 由于 l   F   F   I 一2 , 则 由正弦定 
理 得 

如图 1 , 设 F  
2   . . 2  

I   l  

l  MF  I 一 2?  
’  

,l  

I = 2  

为 椭 圆 c:   +  
‘ 士  。 

= 1的 



 

右焦点 , 过 椭 圆 C 外 一 点  P作 椭 圆 C 的切线, 切 点 

So  
图 l  

s i n ( 2 0+ a一  )   s i n 2 0   ’  

j  

从而 『  

,I +1   MF   I = 2。  

一 2?  

为M, 若  P F 』  = 9 0 。 , 求 
点 P的轨 迹 方程 .  
I .探 究 试 题 本 身 的 
解 法 


曼 ±  
s i n 2 0  
2 c os ( 0    ̄a )

— —

一  


二   堂: !  ! 殳 ±  
s i n2 0  

一  



又结 合 椭 圆的 定义得 l   MF  l +  =4 御 c 。 s (  + a )  

解法 1   由于点 P 由点 M 的运 动 引 起 , 因此 
若 设 点 M 的 坐标为 M ( 2 c o s O , v  ̄s i n 0 ) , 则 点 P可以  用 0 表示 , 从 而 可求 得点 P的轨 迹方 程. 事实 上 , 直 

I   MF   l 一4 , 故 
一 一

2 c o s 0 , 故2 +C O S O  ̄ 一t a n 0 ? s i n a . 又 由椭 圆 的极  

坐标方 程 l D — 

一一 得  p

线 

的斜率 为 忌   一  

,  : 7 3 ̄ P F M = 
(  一1 ) .  


  ’

上 十 eC OS 口  

三 .(   一 c )  

9 O 。 , 从 而直 线 P F的方 程 为  一 

『 M F   I 一   }一  3  ,   1+ —  c o s 口   -  。  … u
从而 f   Q F   I —I   P F【 s i n a= l   MF   I   t a n 0? s i v a  
: : =   _ 
Z十

c o   s 0 由于 椭 圆 C在 点 M 处 的 切 线 为 2 . x + 


 ̄ - s i n 0 y 4





1即 y   一J  ̄   c   o s 0
, 

S 1 nU  

+  Si n



联 立 方 程 

?t a n 0?s i n a = 3,  

C OS a  

{ f   一   q / - 3 (   一 1 )   s m臼  
一 一

故 『 Q F   l 一3 , 从 而点 P在 直线 . 2 7 =4 上, 从 而 
4 , ?   V   一 

得 1 导   Z z   一

点 P的轨迹 方 程为  一 4 .   显 然对 比上 述 两 种 解 法 , 我 们 觉 得 第 一 种 解 

i I  一 一面 √ 3 c o s 0   工 十一 . √ 3  
 ̄( 4 1
— — -

s i n 0  

法 更 贴近 我们 的 实 际 , 而第 二 种 解 法 巧 妙 地 借 助 
椭 圆的定 义 , 具 有 一定 的 创新 性 , 更 有 助 于 培 养学 
生 的综 合 能力 .   2 . 探 究试 题背 后 隐藏 的秘 密 
从上 述结果 我 们 发现 直线 . 2 7 — 4是 椭 圆 C的  准线 , 很特殊 ! 因 此 我 们 比较 感 兴 趣 的 是 , 对 一 般 
~  

2   c o s 0 )





故点 P 的轨迹 为直 线 z 一 4 .  

解法 2   考 虑 到 试 题 

涉及椭 圆的焦点 , 因 此 我  们 考虑 利 用 椭 圆 的定 义 求 

解 问题 .如 图 2 , 设 点 P在  轴上 的射影 为 Q. 考 虑对 
称性 , 设 点 M 在  轴 的 上  方,   MF a := d ,   P MF  
2  ,   MF1 F= 2 0+ a一 7 c .  

/ F   1  Q  

的椭 圆是 否具 有 更 一 般 的性 质 呢? 为 了考 虑更 一 
般 的情形 , 我 们思 考 下述 问题 :  


2  

. . 2  

图 2  

如图 3 , 已知 点 F ( c , o )是 椭 圆 c:   + 


0 

一 

—0 . 根 据 椭 圆 中的 光 学 性 质 得 ,   F   MF 一 兀一  

1 ( 口> b> O )的右焦 点 , 点 P是 椭 圆 C上 一点 , 椭 
2  

圆在 点 P处 的切 线 交 椭 圆 的 右 准线  一 

于 点 

?

课 外 园地 ?  

数 学通 讯 一一 2 O 1 4年 第 7 、 8期 ( 上半月)  

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Q. 若直线 Q F, P F 的斜 率 

  J l  

k o v, 是   均存 在 时 , 则是 。 F ,   k p v具 有 什么 关 系? 对 此 我  们 进行 如 下探 究.  
过 Q作 椭 圆 C 的另 一  切线 , 切 点为 P   . 设 Q的坐 
2  
. 

程 为   一 一  
Q  
: 一  


( 3  ̄ ' - m ) , 令 z 一 笔 , 解 得  
由此 点 Q 的坐 标 为 (   ,  

P 



 

) , 考 虑 到 点 P( z 。 ,   。 )在 椭 圆 c 上 ,  

标为( a, 一 t ) , 由文 [ 1 ]得 ,  
‘ 

图 3  

即 :一 6 。 ( 1 ~  - - - - 4 - - 、 , 则直线 P Q 的斜率 为 
b 0 (   一  )  
一 弘 

a  2  

切 点 弦P P   的 方 程 为   z +   =1 , 即 詈+   t   3 ,  


是 P Q = = :  

1 . 此直线 恰 过点 F. 从 而直线 P F 的斜 率 为 k 尸 F  


b 。 (  0一  )一 my  
— — — — —   — — — — — — — — — — — — — — — — — 一  

1  
= 一

一 一



a。Yo一 眦

oYo  

÷ = 一 等 , 而 直 线 Q F 的 斜 率 志   一   L一  
一  



6 。 (  。 一  )一  .6   ( 1 ~  )  
。  

c t  

=7 ’  


5 %0 ( -1



+  ̄ X o )


b 2 Xo
一  


故 走 Q F ? k v v 一 一  ≥一 一 1 , 即 F Q 上 F P ,  
证 毕. 显 然 文首试 题 是这 一 性 质 的 具体 体 现 . 借助  上 述类 似 的方法 我们 不 难 可得 到 下列 关 于 椭 圆 的 
更 一般 性 的性质 .   定理  如图 4 , 已知 
2  

,  

由 0 ( 1 一  
故直 线 P Q 为 椭 圆 C 的切 线 , 证毕 .   3 . 探 究 试题 与 高考试 题 的关联 性  纵 观 近 几 年 高 考试 题 , 我 们 发现 高 考 试 题 与  竞 赛试题 具 有 相 互 融 合 的趋 势 . 因此 我 们 想 上 述 

  l

点 M( m, O ) ( 其中 I 肌l < 


Q 

试 题能 否帮 助我 们从 更 高 的角 度 来 审视 高 考 试题 
呢? 笔 者翻 阅 近年来 的 高考 试题 , 发 现下 述 两 道 高  考 试题 的确 与 上 述 性 质 有 关 . 下 面 我 们 不 妨从 更  高 的角 度来 欣 赏.   例 1 ( 2 0 1 2 年 安 徽  省 高考 数学 第 2 0 题 )如 图 
5 , 点 F l ( 一 c , O ) , F z ( f , 0 )  
. .

a , 且 m≠ 0 ) 是 椭 圆 C:  
n 

M  C m,  

j  

+  一 1 ( 口> b >o ) 内 一 
0 
—  

\ 
a 2 
:   : 一  

定点 , 点 P 是椭 圆 C 上 一  点, 点 Q 是直线  一  上 


1  

  J I  

图 4  

Q  

点. 若直 线 Q M, P M 的斜 率 
b  

,   跗 均存 在 时 ,  

2  

2  

分 别 是椭 圆 c:   +y , ,= 
a  口 

则直线 P Q为椭 圆 C的切 线 的充 分 必要 条件 为 忌 Q M  
.  

P  
d 

1 ( 口> b> O )的 左 、 右焦 
v 一 

‘ kV M 

一 — —— 
a。一  

.  
。  

点, 过点 F 。 作  轴 的垂线 
交 椭 圆 C 的上 半 部分 于 点  P, 过点 F 2作 直线 P F 。的 


C 

证 明的必 要性 可 以 直接 借 助 上 述 类 似 的方 法  求证 , 不再 赘 述 , 下 面 仅证 充分 性 .  
证 明  充 分 性   设 点 P( x 。 , Y 。 ) . 由于椭 圆 C  

图 5  

2  

垂线 交 直线  一 “ _ 于点 Q.   (I)如果 点 Q的坐 标为 ( 4 , 4 ) , 求此 时椭 圆 C  
的 方程 .  

在 点 P( x 。 , y o ) 处 的切 线方 程 为 

+ 

一1 , 则 

要 证 明直 线 P Q 为椭 圆 C 的 切 线 , 只需 证 明直 线  P Q 的斜 率为 k 尸 口一~ . b  ̄ '   X o 由于 直线 P M 的斜 率 


( Ⅱ)证 明 : 直线 P Q 与椭 圆 C只有 一个 交 点.  
简 解  直 线 P Q 是 椭 圆 C 的切 线 . 由 于 点  P( -c , 竺) , 则 椭 圆 C在点 P 的切线 方程 为  z + 
b  


a Yo  

kv M 一 

n —  且k o u 。 忌 尸 M 一 一 南 口 ~m —   , 故 直 线  


Y O  

QM 的斜 率 志 洲 一一 

, 从 而直 线 Q M 方 

1 , 即 ∞ 一n  +口  一 o , 此 即为直线 P Q 的方 

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数 学通 讯 — — 2 O 1 4年 第 7 、 8期 ( 上 半 月)  

? 课 外园地 ?  

程. 由 于点 Q( 4 , 4 )在直 线 P Q 和椭 圆 C的 右准 线 
r 4 c一 4 口+ 口 2— 0。  

简解  ( I ) 由于椭圆 c的离心率为P= = = ÷,  

上 , 则 {   : 4 ,  
L   C  

故 口一 2 , c 一 1 , 从而 椭 圆 C的方程 为  +  解 得 {  1 故 椭 圆 C  4a= 8,

的 方 程 为  +等=1 .  
( Ⅱ)的解答 即为定 理 中充分性 的证 明.   例2 ( 2 0 1 2年 福 建 省  高考 数学 第 1 9题 )如 图 6 ,  

等  
二   , _ 一   、 、 ~ 、   厂   // 、 、   Q  
●  

.  

( I I ) 易知直 线 Z 是 椭 圆 C在点 Q 处 的切线 , 点 
Q 在椭 圆 C 的 右 准 线 上 , 故 由定 理 的 必 要 性 知 ,   P F2 Q一 - 4   - . 从而以 P Q 为直 径 的圆必 过椭 圆 C   的右 焦点 F: ( 1 , O ) , 故 存在 满 足 条件 的定 点 M , 其  坐标 为 ( 1 , O ) , 如图 6 所示.   上述 通 过 对 一 道 竞 赛 试 题 的 探 究 , 我 们 不 仅  对试 题本 身 的 解 法有 一 定 的 认 识 , 而 且 对 试 题 的 
本 质有 了更 深 的 理 解 , 有 助 于 提 升 我 们 日后 对 相 

椭圆 E:   +告 ^ 广   =1 ( 口> b  
口一   口 

>0 )的左 焦 点 为 F   , 右 焦 
1 

/   ~  

点为 F 2 , 离 心 率  一  . 过 
厶 

点 F  的直线 交 椭 圆于 A, B   两 点 ,且 △A BF 。的 周 长  为 8 .   (I) 求 椭 圆 E 的方 程.  
图 6  

:   : 4  

关试 题 ( 包 括 高 考 和 竞 赛 )的 反 应 速 度 和 理 解 能 
力, 而 这正是 我 们进行 试题 研究 的初 衷.  
参考 文献 :  

( U) 设 动直线 z :  : = = k _ r+  与椭 圆 E有 且 只  有一 个公 共点 P, 且 与直 线 z= 4 相 交 于点 Q . 试 探 

[ 1 7   林 国夫 . 圆锥 曲线 中的切 点 弦及 其 方程 [ J ] .  
数 学通 讯 ( 上半 月) , 2 0 1 1 ( 1 ) .  
( 收稿 日期 : 2 0 1 4— 0 2 —2 5 )  

究: 在坐 标平 面 内是否 存在 定 点 M , 使得以 P Q 为  直 径 的圆恒 过点 M ? 若存 在 , 求 出点 M 的坐 标 ; 若 
不 存在 , 说 明理 由.  

赏析 2 0 1 4年 “ 华约 ’ ’ 自主招 生 数 学试 题 
吕 海柱   张   彬  

( 江 苏 省 宝 应 中学 , 2 2 5 8 0 0 )  ( 山东 省 滕 州 市 第 一 中 学 新 校 , 2 7 7 5 0 0 )  

以清 华大 学 为首 的“ 华 约”自主招生 选 拔考试 

个数) 是 个 不变量 , 而 部分 和 ( 四个 数 )已知 , 可结 

于3 月 1日进行 , 和 去年 一样 , 今年 共考 查 了 7 道解 

合 整 数 的离散性 求 出总 和来确 定这 五个 数.  
解 法一  记 五个数 为 a 。≤ a : ≤ a 。 ≤a  ≤  a 5 , 令 S= a l +a 2 +口 3 +口 4 +口 5 , 显 然任 取 四个数 
得 到的 和可 用 S   一 S— a i ( f = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ) 表 示.  

答题 , 其 中 内容 涉 及 到 三 角 、 数列、 函数 、 不等式 、   解析几 何 、 概率 等高 中知 识 , 与往年 “ 华 约”强 调 的  考点一 脉相 承. 虽 然 全 卷 并 未 出现 明显 竞 赛 知 识  点, 但 由于 整 体计 算 量 较 大 且 突 出 了对 数 学 思维 
能力 的考 察 , 因此具 有 较好 的区 分度 . 下 面我 们 一  起来 看看这 七个 问题 .   1 . ( 1 0分 )在 五 个 正整 数 中任 取 四个 求 和 , 所  有 的和构 成集合 { 4 4 , 4 5 , 4 6 , 4 7 ) , 求这 五个 数.   分析  由于 只有 五个 正 整 数 , 显然 采 用枚 举 

而 和 的集合 只有 四个 元 素 , 据 抽 屉 原理 S   中必 有  两 个数 相 等且记 为 a, 由于 口∈ ( 4 4 , 4 5 , 4 6 , 4 7 ) , 故 
4 4≤ a ≤ 4 7 , 2 2 6 ≤ 4 S一 4 4 +4 5 +4 6 +4 7 +a ≤ 
1   1 

2 2 9 , 即5 6 ÷≤ s ≤5 7 ÷, 所以正整数 S=5 7 , 口 =  
厶  ‘ 士 

4 6 , 结合 口 i — S— S i 可求得 ( 口 1 , a 2 , 口 3 , a 4 , 仅 5 )一 

法建 立方 程组 不 失 为 有 效 的 尝 试 , 但 这 将 陷 入 解 
五元 一次 方程 组 的计算 漩 涡 中. 若 注 意 到总 和 ( 五 

( 1 0 , l 1 , 1 1 , 1 2 , 1 3 ) .综 上 , 这 五个 数 为 1 O , l 1 , l 1 ,   1 2 , 1 3或其 任意 排列.  


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