对一道竞赛预赛试题的探究

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数学通讯 —— ２ ０ １ ４年 第 ７ 、 ８期 （ 上 半 月） 　

? 课 外园地 ? 　

对 一 道 竞 赛 预 赛 试 题 的探 究　
林国夫 　
（ 浙 江 省 春 晖 中学 ，３ １ ２ ３ ５ ３ ） 　

本 文拟对 ２ ０ １ ３ 年 全 国高 中数学 联赛 湖 北省 预　 赛高 二 年级 第 ６题进 行探 究． 　
试题　
～

在 ＡＭＦ 　 Ｆ中 ， 由于 ｌ 　 Ｆ 　 Ｆ 　 Ｉ 一２ ， 则 由正弦定　
理 得　

如图 １ ， 设 Ｆ 　
２ 　 ． ． ２ 　

Ｉ 　 ｌ 　

ｌ 　ＭＦ 　Ｉ 一 ２? 　
’ 　

，ｌ 　

Ｉ ＝ ２ 　

为 椭 圆 ｃ： 　 ＋ 　
‘ 士　 。　

＝ １的　

＼

　

右焦点 ， 过 椭 圆 Ｃ 外 一 点　 Ｐ作 椭 圆 Ｃ 的切线， 切 点　

Ｓｏ 　
图 ｌ 　

ｓ ｉ ｎ （ ２ ０＋ ａ一　 ） 　 ｓ ｉ ｎ ２ ０ 　 ’ 　

ｊ 　

从而 『 　

，Ｉ ＋１ 　 ＭＦ 　 Ｉ ＝ ２。 　

一 ２? 　

为Ｍ， 若　 Ｐ Ｆ 』 　＝ ９ ０ 。 ， 求　
点 Ｐ的轨 迹 方程 ． 　
Ｉ ．探 究 试 题 本 身 的　
解 法　
－

曼 ± 　
ｓ ｉ ｎ ２ ０ 　
２ ｃ ｏｓ （ ０ 　 ￣ａ ）
—
— —

一 　
，

二 　 堂： ！ 　！ 殳 ± 　
ｓ ｉ ｎ２ ０ 　

一 　

—

又结 合 椭 圆的 定义得 ｌ 　 ＭＦ 　ｌ ＋　 ＝４ 御 ｃ 。 ｓ （ 　＋ ａ ） 　

解法 １ 　 由于点 Ｐ 由点 Ｍ 的运 动 引 起 ， 因此　
若 设 点 Ｍ 的 坐标为 Ｍ （ ２ ｃ ｏ ｓ Ｏ ， ｖ ￣ｓ ｉ ｎ ０ ） ， 则 点 Ｐ可以　 用 ０ 表示 ， 从 而 可求 得点 Ｐ的轨 迹方 程． 事实 上 ， 直　

Ｉ 　 ＭＦ 　 ｌ 一４ ， 故　
一 一

２ ｃ ｏ ｓ ０ ， 故２ ＋Ｃ Ｏ Ｓ Ｏ ￣ 一ｔ ａ ｎ ０ ? ｓ ｉ ｎ ａ ． 又 由椭 圆 的极 　

坐标方 程 ｌ Ｄ —　

一一 得　 ｐ

线　

的斜率 为 忌 　 一 　

， 　： ７ ３￣ Ｐ Ｆ Ｍ ＝　
（ 　一１ ） ． 　
—

　 ’

上 十 ｅＣ ＯＳ 口 　

三 ．（ 　 一 ｃ ） 　

９ Ｏ 。 ， 从 而直 线 Ｐ Ｆ的方 程 为　 一　

『 Ｍ Ｆ 　 Ｉ 一 　 ｝一　 ３　 ， 　 １＋ — 　ｃ ｏ ｓ 口 　 － 　。 　… ｕ
从而 ｆ 　 Ｑ Ｆ 　 Ｉ —Ｉ 　 Ｐ Ｆ【 ｓ ｉ ｎ ａ＝ ｌ 　 ＭＦ 　 Ｉ 　 ｔ ａ ｎ ０? ｓ ｉ ｖ ａ 　
： ： ＝ 　 ＿　
Ｚ十

ｃ ｏ 　 ｓ ０ 由于 椭 圆 Ｃ在 点 Ｍ 处 的 切 线 为 ２ ． ｘ ＋　
一

￣ － ｓ ｉ ｎ ０ ｙ ４

丁

一

１即 ｙ 　 一Ｊ ￣ 　 ｃ 　 ｏ ｓ ０
，　

Ｓ １ ｎＵ 　

＋　 Ｓｉ ｎ

，

联 立 方 程　

?ｔ ａ ｎ ０?ｓ ｉ ｎ ａ ＝ ３， 　

Ｃ ＯＳ ａ 　

｛ ｆ 　 一 　 ｑ ／ － ３ （ 　 一 １ ） 　 ｓ ｍ臼 　
一 一

故 『 Ｑ Ｆ 　 ｌ 一３ ， 从 而点 Ｐ在 直线 ． ２ ７ ＝４ 上， 从 而　
４ ， ? 　 Ｖ 　 一　

得 １ 导 　 Ｚ ｚ 　 一

点 Ｐ的轨迹 方 程为　 一 ４ ． 　 显 然对 比上 述 两 种 解 法 ， 我 们 觉 得 第 一 种 解　

ｉ Ｉ 　一 一面 √ ３ ｃ ｏ ｓ ０ 　 工 十一 ． √ ３ 　
￣（ ４ １
— — －

ｓ ｉ ｎ ０ 　

法 更 贴近 我们 的 实 际 ， 而第 二 种 解 法 巧 妙 地 借 助　
椭 圆的定 义 ， 具 有 一定 的 创新 性 ， 更 有 助 于 培 养学　
生 的综 合 能力 ． 　 ２ ． 探 究试 题背 后 隐藏 的秘 密　
从上 述结果 我 们 发现 直线 ． ２ ７ — ４是 椭 圆 Ｃ的　 准线 ， 很特殊 ！ 因 此 我 们 比较 感 兴 趣 的 是 ， 对 一 般　
～ 　

２ 　 ｃ ｏ ｓ ０ ）
．
．

—

故点 Ｐ 的轨迹 为直 线 ｚ 一 ４ ． 　

解法 ２ 　 考 虑 到 试 题　

涉及椭 圆的焦点 ， 因 此 我　 们 考虑 利 用 椭 圆 的定 义 求　

解 问题 ．如 图 ２ ， 设 点 Ｐ在　 轴上 的射影 为 Ｑ． 考 虑对　
称性 ， 设 点 Ｍ 在　 轴 的 上　 方， 　 ＭＦ ａ ：＝ ｄ ， 　 Ｐ ＭＦ 　
２ 　， 　 ＭＦ１ Ｆ＝ ２ ０＋ ａ一 ７ ｃ ． 　

／ Ｆ 　 １ 　Ｑ 　

的椭 圆是 否具 有 更 一 般 的性 质 呢？ 为 了考 虑更 一　
般 的情形 ， 我 们思 考 下述 问题 ： 　
一

２ 　

． ． ２ 　

图 ２ 　

如图 ３ ， 已知 点 Ｆ （ ｃ ， ｏ ）是 椭 圆 ｃ： 　 ＋　
口

０　

一　

—０ ． 根 据 椭 圆 中的 光 学 性 质 得 ， 　 Ｆ 　 ＭＦ 一 兀一 　

１ （ 口＞ ｂ＞ Ｏ ）的右焦 点 ， 点 Ｐ是 椭 圆 Ｃ上 一点 ， 椭　
２ 　

圆在 点 Ｐ处 的切 线 交 椭 圆 的 右 准线　 一　

于 点　

?

课 外 园地 ? 　

数 学通 讯 一一 ２ Ｏ １ ４年 第 ７ 、 ８期 （ 上半月） 　

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Ｑ． 若直线 Ｑ Ｆ， Ｐ Ｆ 的斜 率　

　 Ｊ ｌ 　

ｋ ｏ ｖ， 是 　 均存 在 时 ， 则是 。 Ｆ ， 　 ｋ ｐ ｖ具 有 什么 关 系？ 对 此 我　 们 进行 如 下探 究． 　
过 Ｑ作 椭 圆 Ｃ 的另 一　 切线 ， 切 点为 Ｐ 　 ． 设 Ｑ的坐　
２ 　
．　

程 为 　 一 一 　
Ｑ 　
： 一 　
．

（ ３ ￣ ＇ － ｍ ） ， 令 ｚ 一 笔 ， 解 得 　
由此 点 Ｑ 的坐 标 为 （ 　 ， 　

Ｐ　

一

　

） ， 考 虑 到 点 Ｐ（ ｚ 。 ， 　 。 ）在 椭 圆 ｃ 上 ， 　

标为（ ａ， 一 ｔ ） ， 由文 ［ １ ］得 ， 　
‘　

图 ３ 　

即　：一 ６ 。 （ １ ～　 － － － － ４ － － 、 ， 则直线 Ｐ Ｑ 的斜率 为　
ｂ ０ （ 　 一　 ） 　
一 弘　

ａ　 ２ 　

切 点 弦Ｐ Ｐ 　 的 方 程 为 　 ｚ ＋ 　 ＝１ ， 即 詈＋ 　 ｔ 　 ３ ， 　
一

是 Ｐ Ｑ ＝ ＝ ： 　

１ ． 此直线 恰 过点 Ｆ． 从 而直线 Ｐ Ｆ 的斜 率 为 ｋ 尸 Ｆ 　
一

ｂ 。 （ 　０一　 ）一 ｍｙ 　
— — — — — 　 — — — — — — — — — — — — — — — — — 一 　

１ 　
＝ 一

一 一

—

ａ。Ｙｏ一 眦

ｏＹｏ 　

÷ ＝ 一 等 ， 而 直 线 Ｑ Ｆ 的 斜 率 志 　 一 　 Ｌ一 　
一 　

一

６ 。 （ 　。 一　 ）一　 ．６ 　 （ １ ～　 ） 　
。 　

ｃ ｔ 　

＝７ ’ 　
一

５ ％０ （ －１
—
—

＋ ￣ Ｘ ｏ ）
：

ｂ ２ Ｘｏ
一 　
—

故 走 Ｑ Ｆ ? ｋ ｖ ｖ 一 一 　≥一 一 １ ， 即 Ｆ Ｑ 上 Ｆ Ｐ ， 　
证 毕． 显 然 文首试 题 是这 一 性 质 的 具体 体 现 ． 借助　 上 述类 似 的方法 我们 不 难 可得 到 下列 关 于 椭 圆 的　
更 一般 性 的性质 ． 　 定理　 如图 ４ ， 已知　
２ 　

， 　

由 ０ （ １ 一 　
故直 线 Ｐ Ｑ 为 椭 圆 Ｃ 的切 线 ， 证毕 ． 　 ３ ． 探 究 试题 与 高考试 题 的关联 性　 纵 观 近 几 年 高 考试 题 ， 我 们 发现 高 考 试 题 与　 竞 赛试题 具 有 相 互 融 合 的趋 势 ． 因此 我 们 想 上 述　

　 ｌ

点 Ｍ（ ｍ， Ｏ ） （ 其中 Ｉ 肌ｌ ＜　
一

Ｑ　

试 题能 否帮 助我 们从 更 高 的角 度 来 审视 高 考 试题　
呢？ 笔 者翻 阅 近年来 的 高考 试题 ， 发 现下 述 两 道 高　 考 试题 的确 与 上 述 性 质 有 关 ． 下 面 我 们 不 妨从 更　 高 的角 度来 欣 赏． 　 例 １ （ ２ ０ １ ２ 年 安 徽　 省 高考 数学 第 ２ ０ 题 ）如 图　
５ ， 点 Ｆ ｌ （ 一 ｃ ， Ｏ ） ， Ｆ ｚ （ ｆ ， ０ ） 　
． ．

ａ ， 且 ｍ≠ ０ ） 是 椭 圆 Ｃ： 　
ｎ　

Ｍ　 Ｃ ｍ， 　

ｊ 　

＋　 一 １ （ 口＞ ｂ ＞ｏ ） 内 一　
０　
— 　

＼　
ａ ２　
： 　 ： 一 　

定点 ， 点 Ｐ 是椭 圆 Ｃ 上 一　 点， 点 Ｑ 是直线　 一　 上　
一

１ 　

　 Ｊ Ｉ 　

图 ４ 　

Ｑ 　

点． 若直 线 Ｑ Ｍ， Ｐ Ｍ 的斜 率　
ｂ 　

， 　 跗 均存 在 时 ， 　

２ 　

２ 　

分 别 是椭 圆 ｃ： 　 ＋ｙ ， ，＝　
ａ　 口　

则直线 Ｐ Ｑ为椭 圆 Ｃ的切 线 的充 分 必要 条件 为 忌 Ｑ Ｍ 　
． 　

Ｐ 　
ｄ　

１ （ 口＞ ｂ＞ Ｏ ）的 左 、 右焦　
ｖ 一　

‘ ｋＶ Ｍ　

一 —　——　
ａ。一 　

． 　
。 　

点， 过点 Ｆ 。 作　 轴 的垂线　
交 椭 圆 Ｃ 的上 半 部分 于 点　 Ｐ， 过点 Ｆ ２作 直线 Ｐ Ｆ 。的　
一

Ｃ　

证 明的必 要性 可 以 直接 借 助 上 述 类 似 的方 法　 求证 ， 不再 赘 述 ， 下 面 仅证 充分 性 ． 　
证 明　 充 分 性 　 设 点 Ｐ（ ｘ 。 ， Ｙ 。 ） ． 由于椭 圆 Ｃ 　

图 ５ 　

２ 　

垂线 交 直线　 一 “ ＿ 于点 Ｑ． 　 （Ｉ）如果 点 Ｑ的坐 标为 （ ４ ， ４ ） ， 求此 时椭 圆 Ｃ 　
的 方程 ． 　

在 点 Ｐ（ ｘ 。 ， ｙ ｏ ） 处 的切 线方 程 为　

＋　

一１ ， 则　

要 证 明直 线 Ｐ Ｑ 为椭 圆 Ｃ 的 切 线 ， 只需 证 明直 线　 Ｐ Ｑ 的斜 率为 ｋ 尸 口一～ ． ｂ ￣ ＇ 　 Ｘ ｏ 由于 直线 Ｐ Ｍ 的斜 率　
．

（ Ⅱ）证 明 ： 直线 Ｐ Ｑ 与椭 圆 Ｃ只有 一个 交 点． 　
简 解　 直 线 Ｐ Ｑ 是 椭 圆 Ｃ 的切 线 ． 由 于 点　 Ｐ（ －ｃ ， 竺） ， 则 椭 圆 Ｃ在点 Ｐ 的切线 方程 为　 ｚ ＋　
ｂ 　
一

ａ　Ｙｏ 　

ｋｖ Ｍ 一　

ｎ — 　且ｋ ｏ ｕ 。 忌 尸 Ｍ 一 一 南 口 ～ｍ — 　 ， 故 直 线 　
，

Ｙ Ｏ 　

ＱＭ 的斜 率 志 洲 一一　

， 从 而直 线 Ｑ Ｍ 方　

１ ， 即 ∞ 一ｎ 　＋口 　一 ｏ ， 此 即为直线 Ｐ Ｑ 的方　

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数 学通 讯 — — ２ Ｏ １ ４年 第 ７ 、 ８期 （ 上 半 月） 　

? 课 外园地 ? 　

程． 由 于点 Ｑ（ ４ ， ４ ）在直 线 Ｐ Ｑ 和椭 圆 Ｃ的 右准 线　
ｒ ４ ｃ一 ４ 口＋ 口 ２— ０。 　

简解　 （ Ｉ ） 由于椭圆 ｃ的离心率为Ｐ＝ ＝ ＝ ÷， 　

上 ， 则 ｛ 　 ： ４ ， 　
Ｌ 　 Ｃ 　

故 口一 ２ ， ｃ 一 １ ， 从而 椭 圆 Ｃ的方程 为　 ＋　 解 得 ｛ 　１ 故 椭 圆 Ｃ 　４ａ＝ ８，

的 方 程 为 　＋等＝１ ． 　
（ Ⅱ）的解答 即为定 理 中充分性 的证 明． 　 例２ （ ２ ０ １ ２年 福 建 省　 高考 数学 第 １ ９题 ）如 图 ６ ， 　

等 　
二 　 ， ＿ 一 　 、 、 ～ 、 　 厂 　 ／／ 、 、 　 Ｑ 　
● 　

． 　

（ Ｉ Ｉ ） 易知直 线 Ｚ 是 椭 圆 Ｃ在点 Ｑ 处 的切线 ， 点　
Ｑ 在椭 圆 Ｃ 的 右 准 线 上 ， 故 由定 理 的 必 要 性 知 ， 　 Ｐ Ｆ２ Ｑ一 － ４ 　 － ． 从而以 Ｐ Ｑ 为直 径 的圆必 过椭 圆 Ｃ 　 的右 焦点 Ｆ： （ １ ， Ｏ ） ， 故 存在 满 足 条件 的定 点 Ｍ ， 其　 坐标 为 （ １ ， Ｏ ） ， 如图 ６ 所示． 　 上述 通 过 对 一 道 竞 赛 试 题 的 探 究 ， 我 们 不 仅　 对试 题本 身 的 解 法有 一 定 的 认 识 ， 而 且 对 试 题 的　
本 质有 了更 深 的 理 解 ， 有 助 于 提 升 我 们 日后 对 相　

椭圆 Ｅ： 　 ＋告 ＾ 广 　 ＝１ （ 口＞ ｂ 　
口一 　 口　

＞０ ）的左 焦 点 为 Ｆ 　 ， 右 焦　
１　

／ 　 ～ 　

点为 Ｆ ２ ， 离 心 率　 一　 ． 过　
厶　

点 Ｆ 　的直线 交 椭 圆于 Ａ， Ｂ 　 两 点 ，且 △Ａ ＢＦ 。的 周 长　 为 ８ ． 　 （Ｉ） 求 椭 圆 Ｅ 的方 程． 　
图 ６ 　

： 　 ： ４ 　

关试 题 （ 包 括 高 考 和 竞 赛 ）的 反 应 速 度 和 理 解 能　
力， 而 这正是 我 们进行 试题 研究 的初 衷． 　
参考 文献 ： 　

（ Ｕ） 设 动直线 ｚ ： 　： ＝ ＝ ｋ ＿ ｒ＋　 与椭 圆 Ｅ有 且 只　 有一 个公 共点 Ｐ， 且 与直 线 ｚ＝ ４ 相 交 于点 Ｑ ． 试 探　

［ １ ７ 　 林 国夫 ． 圆锥 曲线 中的切 点 弦及 其 方程 ［ Ｊ ］ ． 　
数 学通 讯 （ 上半 月） ， ２ ０ １ １ （ １ ） ． 　
（ 收稿 日期 ： ２ ０ １ ４— ０ ２ —２ ５ ） 　

究： 在坐 标平 面 内是否 存在 定 点 Ｍ ， 使得以 Ｐ Ｑ 为　 直 径 的圆恒 过点 Ｍ ？ 若存 在 ， 求 出点 Ｍ 的坐 标 ； 若　
不 存在 ， 说 明理 由． 　

赏析 ２ ０ １ ４年 “ 华约 ’ ’ 自主招 生 数 学试 题　
吕 海柱 　 张 　 彬 　

（ 江 苏 省 宝 应 中学 ， ２ ２ ５ ８ ０ ０ ） 　（ 山东 省 滕 州 市 第 一 中 学 新 校 ， ２ ７ ７ ５ ０ ０ ） 　

以清 华大 学 为首 的“ 华 约”自主招生 选 拔考试　

个数） 是 个 不变量 ， 而 部分 和 （ 四个 数 ）已知 ， 可结　

于３ 月 １日进行 ， 和 去年 一样 ， 今年 共考 查 了 ７ 道解　

合 整 数 的离散性 求 出总 和来确 定这 五个 数． 　
解 法一　 记 五个数 为 ａ 。≤ ａ ： ≤ ａ 。 ≤ａ 　≤　 ａ ５ ， 令 Ｓ＝ ａ ｌ ＋ａ ２ ＋口 ３ ＋口 ４ ＋口 ５ ， 显 然任 取 四个数　
得 到的 和可 用 Ｓ 　 一 Ｓ— ａ ｉ （ ｆ ＝ １ ， ２ ， ３ ， ４ ， ５ ） 表 示． 　

答题 ， 其 中 内容 涉 及 到 三 角 、 数列、 函数 、 不等式 、 　 解析几 何 、 概率 等高 中知 识 ， 与往年 “ 华 约”强 调 的　 考点一 脉相 承． 虽 然 全 卷 并 未 出现 明显 竞 赛 知 识　 点， 但 由于 整 体计 算 量 较 大 且 突 出 了对 数 学 思维　
能力 的考 察 ， 因此具 有 较好 的区 分度 ． 下 面我 们 一　 起来 看看这 七个 问题 ． 　 １ ． （ １ ０分 ）在 五 个 正整 数 中任 取 四个 求 和 ， 所　 有 的和构 成集合 ｛ ４ ４ ， ４ ５ ， ４ ６ ， ４ ７ ） ， 求这 五个 数． 　 分析　 由于 只有 五个 正 整 数 ， 显然 采 用枚 举　

而 和 的集合 只有 四个 元 素 ， 据 抽 屉 原理 Ｓ 　 中必 有　 两 个数 相 等且记 为 ａ， 由于 口∈ （ ４ ４ ， ４ ５ ， ４ ６ ， ４ ７ ） ， 故　
４ ４≤ ａ ≤ ４ ７ ， ２ ２ ６ ≤ ４ Ｓ一 ４ ４ ＋４ ５ ＋４ ６ ＋４ ７ ＋ａ ≤　
１ 　 １　

２ ２ ９ ， 即５ ６ ÷≤ ｓ ≤５ ７ ÷， 所以正整数 Ｓ＝５ ７ ， 口 ＝ 　
厶　 ‘ 士　

４ ６ ， 结合 口 ｉ — Ｓ— Ｓ ｉ 可求得 （ 口 １ ， ａ ２ ， 口 ３ ， ａ ４ ， 仅 ５ ）一　

法建 立方 程组 不 失 为 有 效 的 尝 试 ， 但 这 将 陷 入 解　
五元 一次 方程 组 的计算 漩 涡 中． 若 注 意 到总 和 （ 五　

（ １ ０ ， ｌ １ ， １ １ ， １ ２ ， １ ３ ） ．综 上 ， 这 五个 数 为 １ Ｏ ， ｌ １ ， ｌ １ ， 　 １ ２ ， １ ３或其 任意 排列．