对一道竞赛预赛试题的探究
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数学通讯 —— ２ ０ １ ４年 第 ７ 、 ８期 （ 上 半 月）
? 课 外园地 ?
对 一 道 竞 赛 预 赛 试 题 的探 究
林国夫
（ 浙 江 省 春 晖 中学 ，３ １ ２ ３ ５ ３ ）
本 文拟对 ２ ０ １ ３ 年 全
国高 中数学 联赛 湖 北省 预 赛高 二 年级 第 ６题进 行探 究．
试题
～
在 ＡＭＦ Ｆ中 ， 由于 ｌ Ｆ Ｆ Ｉ 一２ ， 则 由正弦定
理 得
如图 １ ， 设 Ｆ
２ ． ． ２
Ｉ ｌ
ｌ ＭＦ Ｉ 一 ２?
’
，ｌ
Ｉ ＝ ２
为 椭 圆 ｃ： ＋
‘ 士 。
＝ １的
＼
右焦点 ， 过 椭 圆 Ｃ 外 一 点 Ｐ作 椭 圆 Ｃ 的切线， 切 点
Ｓｏ
图 ｌ
ｓ ｉ ｎ （ ２ ０＋ ａ一 ） ｓ ｉ ｎ ２ ０ ’
ｊ
从而 『
，Ｉ ＋１ ＭＦ Ｉ ＝ ２。
一 ２?
为Ｍ， 若 Ｐ Ｆ 』 ＝ ９ ０ 。 ， 求
点 Ｐ的轨 迹 方程 ．
Ｉ ．探 究 试 题 本 身 的
解 法
－
曼 ±
ｓ ｉ ｎ ２ ０
２ ｃ ｏｓ （ ０ ￣ａ ）
—
— —
一
，
二 堂： ！ ！ 殳 ±
ｓ ｉ ｎ２ ０
一
—
又结 合 椭 圆的 定义得 ｌ ＭＦ ｌ ＋ ＝４ 御 ｃ 。 ｓ （ ＋ ａ ）
解法 １ 由于点 Ｐ 由点 Ｍ 的运 动 引 起 ， 因此
若 设 点 Ｍ 的 坐标为 Ｍ （ ２ ｃ ｏ ｓ Ｏ ， ｖ ￣ｓ ｉ ｎ ０ ） ， 则 点 Ｐ可以 用 ０ 表示 ， 从 而 可求 得点 Ｐ的轨 迹方 程． 事实 上 ， 直
Ｉ ＭＦ ｌ 一４ ， 故
一 一
２ ｃ ｏ ｓ ０ ， 故２ ＋Ｃ Ｏ Ｓ Ｏ ￣ 一ｔ ａ ｎ ０ ? ｓ ｉ ｎ ａ ． 又 由椭 圆 的极
坐标方 程 ｌ Ｄ —
一一 得 ｐ
线
的斜率 为 忌 一
， ： ７ ３￣ Ｐ Ｆ Ｍ ＝
（ 一１ ） ．
—
’
上 十 ｅＣ ＯＳ 口
三 ．（ 一 ｃ ）
９ Ｏ 。 ， 从 而直 线 Ｐ Ｆ的方 程 为 一
『 Ｍ Ｆ Ｉ 一 ｝一 ３ ， １＋ — ｃ ｏ ｓ 口 － 。 … ｕ
从而 ｆ Ｑ Ｆ Ｉ —Ｉ Ｐ Ｆ【 ｓ ｉ ｎ ａ＝ ｌ ＭＦ Ｉ ｔ ａ ｎ ０? ｓ ｉ ｖ ａ
： ： ＝ ＿
Ｚ十
ｃ ｏ ｓ ０ 由于 椭 圆 Ｃ在 点 Ｍ 处 的 切 线 为 ２ ． ｘ ＋
一
￣ － ｓ ｉ ｎ ０ ｙ ４
丁
一
１即 ｙ 一Ｊ ￣ ｃ ｏ ｓ ０
，
Ｓ １ ｎＵ
＋ Ｓｉ ｎ
，
联 立 方 程
?ｔ ａ ｎ ０?ｓ ｉ ｎ ａ ＝ ３，
Ｃ ＯＳ ａ
｛ ｆ 一 ｑ ／ － ３ （ 一 １ ） ｓ ｍ臼
一 一
故 『 Ｑ Ｆ ｌ 一３ ， 从 而点 Ｐ在 直线 ． ２ ７ ＝４ 上， 从 而
４ ， ? Ｖ 一
得 １ 导 Ｚ ｚ 一
点 Ｐ的轨迹 方 程为 一 ４ ． 显 然对 比上 述 两 种 解 法 ， 我 们 觉 得 第 一 种 解
ｉ Ｉ 一 一面 √ ３ ｃ ｏ ｓ ０ 工 十一 ． √ ３
￣（ ４ １
— — －
ｓ ｉ ｎ ０
法 更 贴近 我们 的 实 际 ， 而第 二 种 解 法 巧 妙 地 借 助
椭 圆的定 义 ， 具 有 一定 的 创新 性 ， 更 有 助 于 培 养学
生 的综 合 能力 ． ２ ． 探 究试 题背 后 隐藏 的秘 密
从上 述结果 我 们 发现 直线 ． ２ ７ — ４是 椭 圆 Ｃ的 准线 ， 很特殊 ！ 因 此 我 们 比较 感 兴 趣 的 是 ， 对 一 般
～
２ ｃ ｏ ｓ ０ ）
．
．
—
故点 Ｐ 的轨迹 为直 线 ｚ 一 ４ ．
解法 ２ 考 虑 到 试 题
涉及椭 圆的焦点 ， 因 此 我 们 考虑 利 用 椭 圆 的定 义 求
解 问题 ．如 图 ２ ， 设 点 Ｐ在 轴上 的射影 为 Ｑ． 考 虑对
称性 ， 设 点 Ｍ 在 轴 的 上 方， ＭＦ ａ ：＝ ｄ ， Ｐ ＭＦ
２ ， ＭＦ１ Ｆ＝ ２ ０＋ ａ一 ７ ｃ ．
／ Ｆ １ Ｑ
的椭 圆是 否具 有 更 一 般 的性 质 呢？ 为 了考 虑更 一
般 的情形 ， 我 们思 考 下述 问题 ：
一
２
． ． ２
图 ２
如图 ３ ， 已知 点 Ｆ （ ｃ ， ｏ ）是 椭 圆 ｃ： ＋
口
０
一
—０ ． 根 据 椭 圆 中的 光 学 性 质 得 ， Ｆ ＭＦ 一 兀一
１ （ 口＞ ｂ＞ Ｏ ）的右焦 点 ， 点 Ｐ是 椭 圆 Ｃ上 一点 ， 椭
２
圆在 点 Ｐ处 的切 线 交 椭 圆 的 右 准线 一
于 点
?
课 外 园地 ?
数 学通 讯 一一 ２ Ｏ １ ４年 第 ７ 、 ８期 （ 上半月）
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Ｑ． 若直线 Ｑ Ｆ， Ｐ Ｆ 的斜 率
Ｊ ｌ
ｋ ｏ ｖ， 是 均存 在 时 ， 则是 。 Ｆ ， ｋ ｐ ｖ具 有 什么 关 系？ 对 此 我 们 进行 如 下探 究．
过 Ｑ作 椭 圆 Ｃ 的另 一 切线 ， 切 点为 Ｐ ． 设 Ｑ的坐
２
．
程 为 一 一
Ｑ
： 一
．
（ ３ ￣ ＇ － ｍ ） ， 令 ｚ 一 笔 ， 解 得
由此 点 Ｑ 的坐 标 为 （ ，
Ｐ
一
） ， 考 虑 到 点 Ｐ（ ｚ 。 ， 。 ）在 椭 圆 ｃ 上 ，
标为（ ａ， 一 ｔ ） ， 由文 ［ １ ］得 ，
‘
图 ３
即 ：一 ６ 。 （ １ ～ － － － － ４ － － 、 ， 则直线 Ｐ Ｑ 的斜率 为
ｂ ０ （ 一 ）
一 弘
ａ ２
切 点 弦Ｐ Ｐ 的 方 程 为 ｚ ＋ ＝１ ， 即 詈＋ ｔ ３ ，
一
是 Ｐ Ｑ ＝ ＝ ：
１ ． 此直线 恰 过点 Ｆ． 从 而直线 Ｐ Ｆ 的斜 率 为 ｋ 尸 Ｆ
一
ｂ 。 （ ０一 ）一 ｍｙ
— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — 一
１
＝ 一
一 一
—
ａ。Ｙｏ一 眦
ｏＹｏ
÷ ＝ 一 等 ， 而 直 线 Ｑ Ｆ 的 斜 率 志 一 Ｌ一
一
一
６ 。 （ 。 一 ）一 ．６ （ １ ～ ）
。
ｃ ｔ
＝７ ’
一
５ ％０ （ －１
—
—
＋ ￣ Ｘ ｏ ）
：
ｂ ２ Ｘｏ
一
—
故 走 Ｑ Ｆ ? ｋ ｖ ｖ 一 一 ≥一 一 １ ， 即 Ｆ Ｑ 上 Ｆ Ｐ ，
证 毕． 显 然 文首试 题 是这 一 性 质 的 具体 体 现 ． 借助 上 述类 似 的方法 我们 不 难 可得 到 下列 关 于 椭 圆 的
更 一般 性 的性质 ． 定理 如图 ４ ， 已知
２
，
由 ０ （ １ 一
故直 线 Ｐ Ｑ 为 椭 圆 Ｃ 的切 线 ， 证毕 ． ３ ． 探 究 试题 与 高考试 题 的关联 性 纵 观 近 几 年 高 考试 题 ， 我 们 发现 高 考 试 题 与 竞 赛试题 具 有 相 互 融 合 的趋 势 ． 因此 我 们 想 上 述
ｌ
点 Ｍ（ ｍ， Ｏ ） （ 其中 Ｉ 肌ｌ ＜
一
Ｑ
试 题能 否帮 助我 们从 更 高 的角 度 来 审视 高 考 试题
呢？ 笔 者翻 阅 近年来 的 高考 试题 ， 发 现下 述 两 道 高 考 试题 的确 与 上 述 性 质 有 关 ． 下 面 我 们 不 妨从 更 高 的角 度来 欣 赏． 例 １ （ ２ ０ １ ２ 年 安 徽 省 高考 数学 第 ２ ０ 题 ）如 图
５ ， 点 Ｆ ｌ （ 一 ｃ ， Ｏ ） ， Ｆ ｚ （ ｆ ， ０ ）
． ．
ａ ， 且 ｍ≠ ０ ） 是 椭 圆 Ｃ：
ｎ
Ｍ Ｃ ｍ，
ｊ
＋ 一 １ （ 口＞ ｂ ＞ｏ ） 内 一
０
—
＼
ａ ２
： ： 一
定点 ， 点 Ｐ 是椭 圆 Ｃ 上 一 点， 点 Ｑ 是直线 一 上
一
１
Ｊ Ｉ
图 ４
Ｑ
点． 若直 线 Ｑ Ｍ， Ｐ Ｍ 的斜 率
ｂ
， 跗 均存 在 时 ，
２
２
分 别 是椭 圆 ｃ： ＋ｙ ， ，＝
ａ 口
则直线 Ｐ Ｑ为椭 圆 Ｃ的切 线 的充 分 必要 条件 为 忌 Ｑ Ｍ
．
Ｐ
ｄ
１ （ 口＞ ｂ＞ Ｏ ）的 左 、 右焦
ｖ 一
‘ ｋＶ Ｍ
一 — ——
ａ。一
．
。
点， 过点 Ｆ 。 作 轴 的垂线
交 椭 圆 Ｃ 的上 半 部分 于 点 Ｐ， 过点 Ｆ ２作 直线 Ｐ Ｆ 。的
一
Ｃ
证 明的必 要性 可 以 直接 借 助 上 述 类 似 的方 法 求证 ， 不再 赘 述 ， 下 面 仅证 充分 性 ．
证 明 充 分 性 设 点 Ｐ（ ｘ 。 ， Ｙ 。 ） ． 由于椭 圆 Ｃ
图 ５
２
垂线 交 直线 一 “ ＿ 于点 Ｑ． （Ｉ）如果 点 Ｑ的坐 标为 （ ４ ， ４ ） ， 求此 时椭 圆 Ｃ
的 方程 ．
在 点 Ｐ（ ｘ 。 ， ｙ ｏ ） 处 的切 线方 程 为
＋
一１ ， 则
要 证 明直 线 Ｐ Ｑ 为椭 圆 Ｃ 的 切 线 ， 只需 证 明直 线 Ｐ Ｑ 的斜 率为 ｋ 尸 口一～ ． ｂ ￣ ＇ Ｘ ｏ 由于 直线 Ｐ Ｍ 的斜 率
．
（ Ⅱ）证 明 ： 直线 Ｐ Ｑ 与椭 圆 Ｃ只有 一个 交 点．
简 解 直 线 Ｐ Ｑ 是 椭 圆 Ｃ 的切 线 ． 由 于 点 Ｐ（ －ｃ ， 竺） ， 则 椭 圆 Ｃ在点 Ｐ 的切线 方程 为 ｚ ＋
ｂ
一
ａ Ｙｏ
ｋｖ Ｍ 一
ｎ — 且ｋ ｏ ｕ 。 忌 尸 Ｍ 一 一 南 口 ～ｍ — ， 故 直 线
，
Ｙ Ｏ
ＱＭ 的斜 率 志 洲 一一
， 从 而直 线 Ｑ Ｍ 方
１ ， 即 ∞ 一ｎ ＋口 一 ｏ ， 此 即为直线 Ｐ Ｑ 的方
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数 学通 讯 — — ２ Ｏ １ ４年 第 ７ 、 ８期 （ 上 半 月）
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程． 由 于点 Ｑ（ ４ ， ４ ）在直 线 Ｐ Ｑ 和椭 圆 Ｃ的 右准 线
ｒ ４ ｃ一 ４ 口＋ 口 ２— ０。
简解 （ Ｉ ） 由于椭圆 ｃ的离心率为Ｐ＝ ＝ ＝ ÷，
上 ， 则 ｛ ： ４ ，
Ｌ Ｃ
故 口一 ２ ， ｃ 一 １ ， 从而 椭 圆 Ｃ的方程 为 ＋ 解 得 ｛ １ 故 椭 圆 Ｃ ４ａ＝ ８，
的 方 程 为 ＋等＝１ ．
（ Ⅱ）的解答 即为定 理 中充分性 的证 明． 例２ （ ２ ０ １ ２年 福 建 省 高考 数学 第 １ ９题 ）如 图 ６ ，
等
二 ， ＿ 一 、 、 ～ 、 厂 ／／ 、 、 Ｑ
●
．
（ Ｉ Ｉ ） 易知直 线 Ｚ 是 椭 圆 Ｃ在点 Ｑ 处 的切线 ， 点
Ｑ 在椭 圆 Ｃ 的 右 准 线 上 ， 故 由定 理 的 必 要 性 知 ， Ｐ Ｆ２ Ｑ一 － ４ － ． 从而以 Ｐ Ｑ 为直 径 的圆必 过椭 圆 Ｃ 的右 焦点 Ｆ： （ １ ， Ｏ ） ， 故 存在 满 足 条件 的定 点 Ｍ ， 其 坐标 为 （ １ ， Ｏ ） ， 如图 ６ 所示． 上述 通 过 对 一 道 竞 赛 试 题 的 探 究 ， 我 们 不 仅 对试 题本 身 的 解 法有 一 定 的 认 识 ， 而 且 对 试 题 的
本 质有 了更 深 的 理 解 ， 有 助 于 提 升 我 们 日后 对 相
椭圆 Ｅ： ＋告 ＾ 广 ＝１ （ 口＞ ｂ
口一 口
＞０ ）的左 焦 点 为 Ｆ ， 右 焦
１
／ ～
点为 Ｆ ２ ， 离 心 率 一 ． 过
厶
点 Ｆ 的直线 交 椭 圆于 Ａ， Ｂ 两 点 ，且 △Ａ ＢＦ 。的 周 长 为 ８ ． （Ｉ） 求 椭 圆 Ｅ 的方 程．
图 ６
： ： ４
关试 题 （ 包 括 高 考 和 竞 赛 ）的 反 应 速 度 和 理 解 能
力， 而 这正是 我 们进行 试题 研究 的初 衷．
参考 文献 ：
（ Ｕ） 设 动直线 ｚ ： ： ＝ ＝ ｋ ＿ ｒ＋ 与椭 圆 Ｅ有 且 只 有一 个公 共点 Ｐ， 且 与直 线 ｚ＝ ４ 相 交 于点 Ｑ ． 试 探
［ １ ７ 林 国夫 ． 圆锥 曲线 中的切 点 弦及 其 方程 ［ Ｊ ］ ．
数 学通 讯 （ 上半 月） ， ２ ０ １ １ （ １ ） ．
（ 收稿 日期 ： ２ ０ １ ４— ０ ２ —２ ５ ）
究： 在坐 标平 面 内是否 存在 定 点 Ｍ ， 使得以 Ｐ Ｑ 为 直 径 的圆恒 过点 Ｍ ？ 若存 在 ， 求 出点 Ｍ 的坐 标 ； 若
不 存在 ， 说 明理 由．
赏析 ２ ０ １ ４年 “ 华约 ’ ’ 自主招 生 数 学试 题
吕 海柱 张 彬
（ 江 苏 省 宝 应 中学 ， ２ ２ ５ ８ ０ ０ ） （ 山东 省 滕 州 市 第 一 中 学 新 校 ， ２ ７ ７ ５ ０ ０ ）
以清 华大 学 为首 的“ 华 约”自主招生 选 拔考试
个数） 是 个 不变量 ， 而 部分 和 （ 四个 数 ）已知 ， 可结
于３ 月 １日进行 ， 和 去年 一样 ， 今年 共考 查 了 ７ 道解
合 整 数 的离散性 求 出总 和来确 定这 五个 数．
解 法一 记 五个数 为 ａ 。≤ ａ ： ≤ ａ 。 ≤ａ ≤ ａ ５ ， 令 Ｓ＝ ａ ｌ ＋ａ ２ ＋口 ３ ＋口 ４ ＋口 ５ ， 显 然任 取 四个数
得 到的 和可 用 Ｓ 一 Ｓ— ａ ｉ （ ｆ ＝ １ ， ２ ， ３ ， ４ ， ５ ） 表 示．
答题 ， 其 中 内容 涉 及 到 三 角 、 数列、 函数 、 不等式 、 解析几 何 、 概率 等高 中知 识 ， 与往年 “ 华 约”强 调 的 考点一 脉相 承． 虽 然 全 卷 并 未 出现 明显 竞 赛 知 识 点， 但 由于 整 体计 算 量 较 大 且 突 出 了对 数 学 思维
能力 的考 察 ， 因此具 有 较好 的区 分度 ． 下 面我 们 一 起来 看看这 七个 问题 ． １ ． （ １ ０分 ）在 五 个 正整 数 中任 取 四个 求 和 ， 所 有 的和构 成集合 ｛ ４ ４ ， ４ ５ ， ４ ６ ， ４ ７ ） ， 求这 五个 数． 分析 由于 只有 五个 正 整 数 ， 显然 采 用枚 举
而 和 的集合 只有 四个 元 素 ， 据 抽 屉 原理 Ｓ 中必 有 两 个数 相 等且记 为 ａ， 由于 口∈ （ ４ ４ ， ４ ５ ， ４ ６ ， ４ ７ ） ， 故
４ ４≤ ａ ≤ ４ ７ ， ２ ２ ６ ≤ ４ Ｓ一 ４ ４ ＋４ ５ ＋４ ６ ＋４ ７ ＋ａ ≤
１ １
２ ２ ９ ， 即５ ６ ÷≤ ｓ ≤５ ７ ÷， 所以正整数 Ｓ＝５ ７ ， 口 ＝
厶 ‘ 士
４ ６ ， 结合 口 ｉ — Ｓ— Ｓ ｉ 可求得 （ 口 １ ， ａ ２ ， 口 ３ ， ａ ４ ， 仅 ５ ）一
法建 立方 程组 不 失 为 有 效 的 尝 试 ， 但 这 将 陷 入 解
五元 一次 方程 组 的计算 漩 涡 中． 若 注 意 到总 和 （ 五
（ １ ０ ， ｌ １ ， １ １ ， １ ２ ， １ ３ ） ．综 上 ， 这 五个 数 为 １ Ｏ ， ｌ １ ， ｌ １ ， １ ２ ， １ ３或其 任意 排列．
