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江西省上饶中学2015-2016学年高二(上)第一次月考数学试卷(理科)(奥赛班、国际班)(解析版).doc


2015-2016 学年江西省上饶中学高二(上)第一次月考数学试卷(理科) (奥赛班、国际班) 参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.不等式 2 A. (1,2) +∞) 【考点】指、对数不等式的解法. 【分析】利用指数式的性质,化简不等式,求解即可. 【解答】解:不等式 2 故选:C.
2 <4 化为:x ﹣x<2,解得 x∈(﹣1,2) .

<4 的解集为(

) C. (﹣1,2) D. ∪ (﹣∞, ﹣1) (2,

B. (﹣2,﹣1)

2.若 tanα= ,tan(α+β)= ,则 tanβ=( A. B.

) C. D.

【考点】两角和与差的正切函数. 【分析】由条件利用查两角差的正切公式,求得 tanβ=tan[(α+β)﹣α]的值. 【解答】解:∵tanα= ,tan(α+β)= ,则 tanβ=tan[(α+β)﹣α]=

=

= ,

故选:A.

3.已知变量 x 和 y 满足关系 y=2x+1,变量 y 与 z 正相关,下列结论中正确的是( A.x 与 y 正相关,x 与 z 负相关 C.x 与 y 负相关,x 与 z 正相关 【考点】两个变量的线性相关. B.x 与 y 正相关,x 与 z 正相关 D.x 与 y 负相关,x 与 z 负相关



【分析】由题意,根据一次项系数的符号判断相关性,由 y 与 z 正相关,设 y=kz,k>0, 得到 x 与 z 的相关性. 【解答】解:变量 x 和 y 满足关系 y=2x+1,一次项系数为 2>0,所以 x 与 y 正相关; 又变量 y 与 z 正相关,设 y=kz, (k>0) ,所以 kz=2x+1, 得到 z= x+ ,一次项系数大于 0,所以 z 与 x 是正相关. 故选:B.

4.在一次马拉松比赛中,35 名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示.若将运动 员按成绩由好到差编为 1﹣35 号, 再用系统抽样方法从中抽取 7 人, 则其中成绩在区间[139, 151]上的运动员人数是( )

A.3 【考点】茎叶图.

B.4

C .5

D.6

【分析】对各数据分层为三个区间,然后根据系统抽样方法从中抽取 7 人,得到抽取比例为 ,然后各层按照此比例抽取. 【解答】解:由已知,将个数据分为三个层次是[130,138],[139,151],[152,153],根据 系统抽样方法从中抽取 7 人,得到抽取比例为 , 所以成绩在区间[139,151]中共有 20 名运动员,抽取人数为 20× =4; 故选 B.

5.数列{an}满足 a1=1 且 an+1﹣an=n+1(n∈N*) ,则数列{ A. 【考点】数列递推式. B. C .2

}的前 20 项和为( D.



【分析】 由已知数列递推式利用累加法求出数列通项公式, 然后再由裂项相消法求数列{ 的前 20 项和.

}

【解答】解:由 an+1﹣an=n+1,且 a1=1,得 an=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a2﹣a1)+a1 = ∴ 则数列{ = 故选:A. }的前 20 项和为 . , ,

6.某公司 10 位员工的月工资(单位:元)为 x1,x2,…,x10,其均值和方差分别为 和 s2, 若从下月起每位员工的月工资增加 100 元,则这 10 位员工下月工资的均值和方差分别为 ( ) B. D. +100,s2+1002 +100,s2

A. ,s2+1002 C. ,s2

【考点】极差、方差与标准差;众数、中位数、平均数. 【分析】根据变量之间均值和方差的关系和定义,直接代入即可得到结论. 【解答】解:由题意知 yi=xi+100, 则 =
2 方差 s =

(x1+x2+…+x10+100×10)=

(x1+x2+…+x10)= +100,

[(x1+100﹣( +100)2+(x2+100﹣( +100)2+…+(x10+100﹣( +100)2]=

[(x1﹣ )2+(x2﹣ )2+…+(x10﹣ )2]=s2. 故选:D.

7.已知 x,y 满足约束条件

,若 z=ax+y 的最大值为 4,则 a=(



A.3 【考点】简单线性规划.

B.2

C.﹣2

D.﹣3

【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定 z 的最大值.

【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分) . 则 A(2,0) ,B(1,1) , 若 z=ax+y 过 A 时取得最大值为 4,则 2a=4,解得 a=2, 此时,目标函数为 z=2x+y, 即 y=﹣2x+z, 平移直线 y=﹣2x+z,当直线经过 A(2,0)时,截距最大,此时 z 最大为 4,满足条件, 若 z=ax+y 过 B 时取得最大值为 4,则 a+1=4,解得 a=3, 此时,目标函数为 z=3x+y, 即 y=﹣3x+z, 平移直线 y=﹣3x+z,当直线经过 A(2,0)时,截距最大,此时 z 最大为 6,不满足条件, 故 a=2, 故选:B

8.已知 ω>0,在函数 y=2sinωx 与 y=2cosωx 的图象交点中,距离最短的两个交点的距离为 2 ,则 ω 的值为( ) B. C .2 D.

A.π

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】根据正弦线,余弦线得出交点( (k1π+ , ) , ( (k2π+ ,﹣ ) ,

k1,k2 都为整数,两个交点在同一个周期内,距离最近,即可得出方程求解即可. 【解答】解:∵函数 y=2sinωx 与 y=2cosωx 的图象的交点,

∴根据三角函数线可得出交点( 为整数, ∵距离最短的两个交点的距离为 2 ∴这两个交点在同一个周期内, ∴12= ( ﹣
2 ) +(﹣

(k1π+



) , (

(k2π+

,﹣

) ,k1,k2 都





) ,ω=

2



故选:B.

9. =ex﹣1, g =﹣x2+4x﹣3, =g 已知函数 f (x) (x) 若有 f (a) (b) , 则 b 的取值范围为 ( A. B. (2﹣ ,2+ )



C.[1,3]D. (1,3)

【考点】函数的零点与方程根的关系. 【分析】利用 f(a)=g(b) ,整理等式,利用指数函数的性质建立不等式求解即可. 【解答】解:∵f(a)=g(b) ,
a 2 ∴e ﹣1=﹣b +4b﹣3 2 a ∴﹣b +4b﹣2=e >0

即 b ﹣4b+2<0,求得 2﹣ 故选 B

2

<b<2+

10.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=﹣1,an+1=Sn?Sn+1,则 Sn=(



A.n 【考点】数列递推式.

B.

C.﹣n

D.﹣

【分析】 由已知数列递推式可得 Sn+1﹣Sn=Sn?Sn+1, 即

, 由此可知, 数列{

}

是以﹣1 为首项,以﹣1 为公差的等差数列,求出等差数列的通项公式得答案. 【解答】解:由 an+1=Sn?Sn+1,得 Sn+1﹣Sn=Sn?Sn+1, ∴ ∴数列{ 则 ∴ 故选:D. . ,又 ,

}是以﹣1 为首项,以﹣1 为公差的等差数列, ,

11.已知函数 f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞) ,若关于 x 的不等式 f(x)<c 的解集为(m,m+6) ,则实数 c 的值为( A.4 B.3 ) C .9 D.

【考点】二次函数的性质;一元二次不等式的解法. 【分析】根据函数的值域求出 a 与 b 的关系,然后根据不等式的解集可得 f(x)=c 的两个 根为 m,m+6,最后利用根与系数的关系建立等式,解之即可.
2 【解答】解:∵函数 f(x)=x +ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞) , 2 2 ∴f(x)=x +ax+b=0 只有一个根,即△=a ﹣4b=0 则 b=



不等式 f(x)<c 的解集为(m,m+6) ,
2 即为 x +ax+

<c 解集为(m,m+6) , ﹣c=0 的两个根为 m,m+6

2 则 x +ax+

∴|m+6﹣m|= 解得 c=9 故选:C

=

=6

12.若 a,b 是函数 f(x)=x2﹣px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且 a,b,﹣2 这三 个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 p+q 的值等于( A.6 B.7 C .8 D.9 )

【考点】等比数列的性质;等差数列的性质. 【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到 a+b=p,ab=q,再由 a,b,﹣2 这三个数可适 当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列列关于 a,b 的方程组,求得 a,b 后得答 案. 【解答】解:由题意可得:a+b=p,ab=q, ∵p>0,q>0, 可得 a>0,b>0, 又 a,b,﹣2 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列, 可得 解①得: ①或 ;解②得: ②. .

∴p=a+b=5,q=1×4=4, 则 p+q=9. 故选:D.

二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) 13.若实数 x,y 满足 x2+y2+xy=1,则 x+y 的最大值是 【考点】基本不等式. 【分析】利用基本不等式,根据 xy≤ 其范围,则 x+y 的最大值可得.
2 2 【解答】解:∵x +y +xy=1 2 ∴(x+y) =1+xy



把题设等式整理成关于 x+y 的不等式,求得

∵xy≤

2 ∴(x+y) ﹣1≤

,整理求得﹣

≤x+y≤

∴x+y 的最大值是 故答案为:

14. f x) =sin2x+sinxcosx+1 的最小正周期是 函数 ( (k∈Z) .

π , 单调递减区间是 [kπ+

kπ+ ,

]

【考点】两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的单调性. 【分析】由三角函数公式化简可得 f(x)= 等式 2kπ+ ≤2x﹣ ≤2kπ+ sin(2x﹣ )+ ,易得最小正周期,解不

可得函数的单调递减区间.

2 【解答】解:化简可得 f(x)=sin x+sinxcosx+1

= (1﹣cos2x)+ sin2x+1 = sin(2x﹣ )+ , =π, 可得 kπ+ ,kπ+ ](k∈Z) ≤x≤kπ+ ](k∈Z) ,

∴原函数的最小正周期为 T= 由 2kπ+ ≤2x﹣ ≤2kπ+

∴函数的单调递减区间为[kπ+ 故答案为:π;[kπ+ ,kπ+

15.某电子商务公司对 10000 名网络购物者 2014 年度的消费情况进行统计,发现消费金额 (单位:万元)都在区间[0.3,0.9]内,其频率分布直方图如图所示. (1)直方图中的 a= 3 .

(2)在这些购物者中,消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为 6000 .

【考点】频率分布直方图. 【分析】 (1)频率分布直方图中每一个矩形的面积表示频率,先算出频率,在根据频率和为 1,算出 a 的值; (2)先求出消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的频率,再求频数. 【解答】解: (1)由题意,根据直方图的性质得(1.5+2.5+a+2.0+0.8+0.2)×0.1=1,解得 a=3 (2)由直方图得(3+2.0+0.8+0.2)×0.1×10000=6000 故答案为: (1)3 (2)6000

16.已知函数 f(x)=sinωx+cosωx(ω>0) ,x∈R,若函数 f(x)在区间(﹣ω,ω)内单 调递增,且函数 y=f(x)的图象关于直线 x=ω 对称,则 ω 的值为 【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 【分析】由两角和的正弦函数公式化简解析式可得 f(x)= ωx+ ≤2kπ+ sin(ωx+ ) ,由 2kπ﹣ ≤ .

,k∈Z 可解得函数 f(x)的单调递增区间,结合已知可得:﹣ω≥

①,ω≤

②,k∈Z,从而解得 k=0,又由 ωx+

=kπ+

,可解得

函数 f(x)的对称轴为:x=

2 ,k∈Z,结合已知可得:ω =

,从而可求 ω 的值.

【解答】解:∵f(x)=sinωx+cosωx=

sin(ωx+

) ,

∵函数 f(x)在区间(﹣ω,ω)内单调递增,ω>0 ∴2kπ﹣ ≤ωx+ ≤2kπ+ k∈Z 可解得函数 f [ , (x) 的单调递增区间为: ,

],k∈Z,

∴可得:﹣ω≥
2 ∴解得:0<ω ≤

①,ω≤
2

②,k∈Z,

且 0<ω ≤2k ,k∈Z,

,k∈Z,

解得:﹣ ∴可解得:k=0, 又∵由 ωx+ =kπ+

,可解得函数 f(x)的对称轴为:x=

,k∈Z,

2 ∴由函数 y=f(x)的图象关于直线 x=ω 对称,可得:ω =

,可解得:ω=



故答案为:



三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17.已知 sinα﹣2cosα=0. (1)求 tan(α+ )的值;

(2)求 【考点】三角函数的化简求值.

的值.

【分析】 (1)利用同角三角函数的基本关系求得 tanα=2,∴再利用两角和的正切公式求得 tan(α+ )的值.

(2)利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系求得要求式子的值. 【解答】解: (1)∵sinα﹣2cosα=0,∴tanα=2,∴tan(α+ )= =﹣3.

(2)

=

=

=

=1.

18.已知正数 a,b,c 满足:5c﹣3a≤b≤4c﹣a,clnb≥a+clnc,求 的取值范围. 【考点】简单线性规划.

【分析】 利用换元法将不等式组进行转化, 然后利用线性规划的知识结合导数的几何意义求 出切线斜率,进行求解即可. 【解答】解:∵5c﹣3a≤b≤4c﹣a, ∴5﹣3? ≤ ≤4﹣ ,即 3? + ≥5, ∵clnb≥a+clnc, ∴cln ≥a,即 ≥e 设 =x, =y, , + ≤4,

则不等式等价为



= ,则 的几何意义是区域内的点到原点的斜率,

作出不等式组对应的平面区域如图:
x 由图象知当直线 y=kx 与 y=e 相切时,k 最小, x a 函数的导数 f′(x)=e ,设切点为(a,b) ,则过原点的切线方程为 y﹣b=e (x﹣a) ,

即 y=e x﹣ae +e , ∵切线过原点,
a ∴0=e (1﹣a) ,则 1﹣a=0,a=1,此时 k=e,

a

a

a

OA 的斜率最大,由



,即 A( , ) ,

则 OA 的斜率 k=

=7,

即 e≤k≤7, 即 的取值范围是[e,7].

19. 随着我国经济的发展, 居民的储蓄存款逐年增长, 设某地区城乡居民人民币储蓄存款 (年 底余额)如表. 年份 时间代号 t 储蓄存款 y(千元) 2010 1 5 = t﹣ 2011 2 6 ; = t﹣ 2012 3 7 2013 4 8 2014 5 10

(1)求 y 关于 t 的回归方程

(2)用所求回归方程预测该地区 2015 年(t=6)的人民币储蓄存款. (回归方程

中,

=



= ﹣

t)

【考点】线性回归方程. 【分析】 (1)利用公式求出 , ,即可求 y 关于 t 的回归方程 = t﹣ ;

(2)t=6,代入回归方程,即可预测该地区 2015 年的人民币储蓄存款. 【解答】解: (1)由图表求得: ﹣1.2×3=3.6, ∴y 关于 t 的回归方程 (2)t=6 时, =1.2t+3.6. =3, =7.2,∴ = =1.2, ,=7.2

═1.2×6+3.6=10.8(千亿元) .

20.已知函数 f(x)的图象是由函数 g(x)=cosx 的图象经如下变换得到:先将 g(x)图 象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍 (横坐标不变) , 再将所得的图象向右平移 长度. (1)求函数 f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程; (2)已知关于 x 的方程 f(x)+g(x)=m 在[0,2π)内有两个不同的解 α,β. ①求实数 m 的取值范围; ②请用 m 的式子表示 cos(α﹣β) . 【考点】两角和与差的余弦函数;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】 (1)由函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律可得:f(x)=2sinx,从而可求对称 轴方程. (2)①由三角函数中的恒等变换应用化简解析式可得 f(x)+g(x)= sinφ= ,cosφ= ) ,从而可求| |<1,即可得解. .当 1≤m< 时,可求 α﹣β=π﹣2(β+φ) ,
2

个单位

sin(x+φ) (其中

②由题意可得 sin(α+φ)= 当﹣

,sin(β+φ)=

<m<0 时,可求 α﹣β=3π﹣2(β+φ) ,由 cos(α﹣β)=2sin (β+φ)﹣1,从而得证.

【解答】解: (1)将 g(x)=cosx 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变) 得到 y=2cosx 的图象,再将 y=2cosx 的图象向右平移 的图象,故 f(x)=2sinx, 从而函数 f(x)=2sinx 图象的对称轴方程为 x=kπ+ (2)①f(x)+g(x)=2sinx+cosx= 依题意,sin(x+φ)= 的取值范围是(﹣ ②因为 α,β 是方程 所以 sin(α+φ)= 当 1≤m< 当﹣ , ( )= (k∈Z) . sin(x+φ) (其中 sinφ= ,cosφ= ) 个单位长度后得到 y=2cos(x﹣ )

在区间[0,2π)内有两个不同的解 α,β,当且仅当| ) .

|<1,故 m

sin(x+φ)=m 在区间[0,2π)内的两个不同的解, ,sin(β+φ)= .

时,α+β=2(

﹣φ) ,即 α﹣β=π﹣2(β+φ) ; ﹣φ ) ,即 α﹣β=3π﹣2(β+φ) ;
2

<m<1 时,α+β=2(

所以 cos(α﹣β)=﹣cos2(β+φ)=2sin (β+φ)﹣1=2(

) ﹣1=

2



21.已知数列{an}是首项为正数的等差数列,数列{ (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=(an+1)?2 【考点】数列的求和. 【分析】 (1)通过对 cn= 为 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

}的前 n 项和为



分离分母,并项相加并利用数列{

}的前 n 项和

即得首项和公差,进而可得结论;

n (2)通过 bn=n?4 ,写出 Tn、4Tn 的表达式,两式相减后利用等比数列的求和公式即得结论.

【解答】解: (1)设等差数列{an}的首项为 a1、公差为 d,则 a1>0, ∴an=a1+(n﹣1)d,an+1=a1+nd, 令 cn= ,

则 cn=

=

[



],

∴c1+c2+…+cn﹣1+cn=

[



+



+…+



]

= =

[



]

=



又∵数列{

}的前 n 项和为







∴a1=1 或﹣1(舍) ,d=2, ∴an=1+2(n﹣1)=2n﹣1; (2)由(1)知 bn=(an+1)?2 =(2n﹣1+1)?22n﹣1=n?4n,

1 2 n ∴Tn=b1+b2+…+bn=1?4 +2?4 +…+n?4 , 2 3 n n+1 ∴4Tn=1?4 +2?4 +…+(n﹣1)?4 +n?4 ,

1 2 n n+1 两式相减,得﹣3Tn=4 +4 +…+4 ﹣n?4 =

?4n+1﹣ ,

∴Tn=



22.已知首项为 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn(n∈N*) ,且﹣2S2,S3,4S4 成等差数列. (Ⅰ) 求数列{an}的通项公式; (Ⅱ) 证明 .

【考点】数列的求和;等差数列;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式. 【分析】 (Ⅰ)由题意得 2S3=﹣2S2+4S4,变形为 S4﹣S3=S2﹣S4,进而求出公比 q 的值,代 入通项公式进行化简; (Ⅱ)根据(Ⅰ)求出 ,代入 再对 n 分类进行化简,判断出 Sn 随 的最大值.

n 的变化情况,再分别求出最大值,再求出 【解答】 (Ⅰ)解:设等比数列{an}的公比为 q, ∵﹣2S2,S3,4S4 等差数列, ∴2S3=﹣2S2+4S4,即 S4﹣S3=S2﹣S4, 得 2a4=﹣a3,∴q= ∵ ,∴ , =



(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)得,Sn=

=1﹣







当 n 为奇数时,

=

=



当 n 为偶数时,

=



∴ 即 综上,有

随着 n 的增大而减小, ,且 成立. ,

2016 年 12 月 5 日


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