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2.1 平面向量的概念与线性运算


2.1 平面向量的概念与线性运算(艺文)
一、高考目标: (1)了解向量的实际背景,理解平面向量和向量共线、向量相等的含 义,理解向量的几何表示(2)掌握向量的加、减、数乘的运算,并理解其几何意义 二、知识要点:1、向量的有关概念: (1)向量:既有______又有_______的量叫做向量,向量的大小叫向量的_____(或模) (2)零向量:____________的向量叫零向量;零向量的方向是______的。 (3)单位向量:__________的向量叫单位向量 (4)相等(同一)向量:_________且_________的有向线段表示同一向量,又叫相等向 量 (5)平行向量:方向_____或______的_______向量叫平行向量,又叫_______向量。 任一组平行向量都可以移动到同一直线上。规定:零向量与任一向量_________。 2、向量的加法和减法: (1)加法①法则:服从 法则和 法则 (2)减法:减法与加法互为逆运算,服从 法则 练习: AB ? CA? BD ? 3、实数与向量的积(1) | ? a |?
? ? ? ? ?

,
?

CM ? CN ?
; ; ? <0 时, ? a 的方向与 a 的方
? ?

?

?

(2)当 ? >0 时, ? a 的方向与 a 的方向 向 ; ? =0 时, ? a =
?
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(3)运算律: ? ( ? a ) ?
?
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; (? ? ? ) a ?
?

;? ( a ? b ) ?

?

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(其中 ? , ? 为实数) 。

4、 共线基本定理: 向量 a ( a ? 0 )与 b 共线, 当且仅当有 三、例题精讲: 考点一、向量的有关概念 【例 1】 .下列命题正确的是

实数 ? , 使

(1)若 | a |?| b | ,则 a ? b (2) 若 a ? b ,则 | a |?| b | (3) 若 a ? b , b ? c ,则 a ? c ; (4) 若 a// b , b// c ,则 a // c (5) 若 | a |? 0 ,则 a ? 0 (6) 若 ? ? 0 ,则 ? a ? 0 ; (7)若 AB ? DC ,则四边形 ABCD 是平行四边形;(8)若将所有的单位向量都平移到同 一个起点,则它们的终点 构成 的图形是一个单位圆 ; 考点二、向量的线性运算
1
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【例 2】 已知梯形 ABCD 中, AB//CD, 且 AB=2CD, E、 F 是 DC、 AB 的中点, 设 AD ? a ,

AB ? b ,试用 a, b 表示 CD, EF, FC 。
D E C

A F

B

考点三、向量的共线问题 【例 3】. 设两个非零向量 e1 和 e2 不共线, 如果 AB ? e1 ? e2 , BC ? 3 e1 ? 2 e2 , CD ? ?8 e1 ? 2e2 ,求证 A,C,D 三点共线;
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

2.1 平面向量的概念与线性运算当堂检测案
1.下列 5 个命题中,是真命题的序号是( ) ① 单位向量的模都相等;②长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量; ③若 a, b 满足 a ? b ,且 a, b 同向,则 a ? b ;④两个有公共起点而且相等的向量, 其终点必相同;⑤对任意非零向量 a, b ,必有 a ? b ? a ? b 。 A.①③⑤ B.④⑤
2

C.①④⑤

D.②④

2.已知正方形 ABCD 的边长为 1, AB ? a, BC ? b, AC ? c ,则 a ? b ? c 的模是 ( ) A.0 B.2+ 2 C. 2 D.2 2 )

3.已知△ABC 中,D 是 BC 边上的中点,则 3 AB ? 2BC ? CA 等于( A. AD B.3 AD C.2 AD D. 0

4.已知 a, b 不共线,则向量 m ? ?a ? k b(k ? R) 与 n ? b ? 2a 共线的充要条件是 ( ) A. k =0 B. k =1 C . k =2 D. k =1/2

5.已知命题 p : a, b, c 满足 a ? b ? c ? 0 ;命题 q :表示 a, b, c 的有向线段可构成 三角形,则 p 是 q 的( A.充分不必要 )条件。 C.充要 D. 既不充分也不必要 B.必要不充分

6.如图, ABCD 的两条对角线相交于点 M,且 AB ? a, AD ? b ,BC 靠近 B 点 的三等分点为 P,用 a, b 表示 MA, MB, MC, MP ; D M P A B C

3

→ → 7.在△ABC 中,CA=a,CB=b,M 是 CB 的中点, → AM 交于点 P,用 a、b 表示AP。

N 是 AB 的中点,且 CN、

二、 反思小结(没有总结,就没有提高! ) (1)请回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及的主要数学思想方法有哪些? (2)在本节课的学习过程中,还有哪些不太明白的地方,请向老师提出。 (3)你在这节课中的表现怎样?有何体会?

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