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江苏省靖江市刘国钧中学2010-2011学年度第二学期高一数学期末复习测试(六)


江苏省靖江市刘国钧中学 2010-2011 学年度第二学期 高一数学期末复习测试(六)2011/6/28 一、填空题
1.有两个质地均匀、大小相同的正四面体玩具,每个玩具的各面上分别写有数字 1,2,3,4,把两个玩 具各抛掷一次,斜向上的面写有的数字之和能被 5 整除的概率为________ 2.在各项均不为零的等差数列 { a n } 中, 7 9 开始 2 8 44467 若 a n ? 1 ? a n ? a n ? 1 ? 0, ( n ? 2 ) ,则 S 2 n ? 1 ? 4 n ? . 9 136
A 1, S 1

3. 按如图所示的程序框图运行后,输出的结果是 63, 第 4 题图 则判断框中的整数 H 的值是 4.右图是 2008 年“隆力奇”杯第 13 届 CCTV 青年歌手电视大奖赛上 某一位选手的部分得分的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分 后,所剩数据的方差为 5. 在 ? ABC 中,若 BC ? 5 , AC ? 7 , AB ? 8 , 则 ? ABC 的最大角与 最小角之和是 .

A≤H Y S 2S+1

N

输出 S

A S

A+ 1 1

结束

(第 3 题 图)

6. 已知 { a n } 为等差数列, { b n } 为正项等比数列,其公比 q ? 1 ,若 a 1 ? b1 , a 1 1 ? b1 1 ,则 a 6 , b 6 的大小关系 为 .

?2x ? y ? 2 ? 7.设变量 x , y 满足约束条 件 ? x ? y ? ? 1 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最大值是 ?x ? y ? 1 ?



8. 一个总体中有 100 个个体, 随机编号为 0,1,2, 99, …, 依编号顺序平均分成 10 个小组, 组号依次为 1,2, …, 10.现用系统抽样方法抽取一个容量为 10 的样本,规定如果在第 1 组随机抽取的号码为 m,那么在第 k 组 中抽取的号码个位数字与 m+k 的个位数字相同.若 m=6,则在第 7 组中抽取的号码是________. 9. 已知函数 f ( x ) ? x ? 值为 .
p x ?1

( p 为常数且 p ? 0 ) ,若 f ( x ) 在区间 (1 , ? ? ) 的最小值为 4 ,则实数 p 的

10. 在 ? ABC 中 , ? A , ? B , ? C 所 对 的 边 分 别 是 a , b , c , 若 ( 3 b ? c ) cos A ? a cos C , 则 . 11. 把一根匀均匀木棒随机地按任意点拆成两段,则“其中一段的长度大于另一段长度的 2 倍”的概率 为 12. 已知 0 ? b ? a ? c ? 4 , ab ? 2 ,则
a
2

c o sA ?

?b

2

a ?b

?

1 c

的最小值是



第1页

13. 如 果 关 于 x 的 不 等 式 a ?

5 9

x ?
2

10 x ? 6 ? b 的 解 集 是 [ x 1 , x 2 ] ? [ x 3 , x 4 ], x 1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 , 则 3

?
i ?1

4

xi ?



14. 一个正方形被分成九个相等的小正方形, 将中间的一个正方 形挖去(如图(1);再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小 ) 正方形,并将中间一个挖去,得图(2) ;如此继续下去…,试问第 n 个图共挖去 个正方形. 图1 第 14 题 图2

二、解答题

15. 从某学校高三年级共 800 名男生中随机抽取 50 人测量身高.据测量,被测学生身高全部介于 155 cm 到 195 cm 之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[155,160);第二组[160,165);?;第八组 [190,195].如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.已知第一组与第八组人数相同,第六 组、第七组、第八组人数依次构成等差数列. (1)估计这所学校高三年级全体男生身高在 180 cm 以上(含 180 cm)的人数 及平均身高; (2)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图; (3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两人, 记他们的身 高分别为 x、y,求满足“|x-y|≤5”的事件的概率.

第2页

16. 在 ? ABC 中,? A , ? B , ? C 所对的边分别是 a , b , c ,不等式 x cos C ? 4 x sin C ? 6 ? 0 对一切实数
2

x 恒成立.

(Ⅰ)求 cos C 的取值范围; (Ⅱ)当 ? C 取最大值,且 c ? 2 时,求 ? ABC 面积的最大值并指出取最大值时 ? ABC 的形状.

17. 已知直线 l : ax ? (1 ? 2 a ) y ? 1 ? a ? 0 . (1)当直线 l 在两坐标轴上的截距相等时,求 a 的值; (2)当直线 l 不通过第一象限时,求 a 的取值范围.

18.数列 ? a n ? 是首项 a 1 ? 4 的等比数列,且 S 3 , S 2 , S 4 成等差数列, (Ⅰ)求数列 ? a n ? 的通项公式; (Ⅱ) b n ? lo g 2 a n ,设 T n 为数列 ? 若 的最小值.
? 1 ? * 求实数 ? ? 的前 n 项和,若 T n ≤ ? b n ? 1 对一切 n ? N 恒成立, ?

? b n b n ?1

第3页

19. 已知函数 f ( x ) ? x ? 2 ( a ? 1) x ? a ? 1, x ? R .
2 2

(1) 若 a ? 2 , 解不等式 f ( x ) ? 0 ; (2) 若 a ? R , 解关于 x 的不等式 f ( x ) ? 0 ; (3) 若 x ? [ 0 , 2 ] 时, f ( x ) ? a (1 ? x ) 恒成立.求实数 a 的取值范围.
2

20.数列 { a n } 的前 n 项和为 S n .已知 a 1 ? 2 且 a n ? 1 ? 2 S n ? 2 ( n ? N )
*

⑴求证:数列 { a n } 是等比数列并求数列 { a n } 的通项公式; ⑵在 a n 与 a n ? 1 之间插入 n 个数,使这 n ? 2 个数组成一个公差为 d n 的等差数列. ①设 T n =
1 d1 ? 1 d2 ? 1 d3 ?? ? 1 dn

( n ? N ) ,求 T n ;
*

②在数列 { d n } 中是否存在三项 d m , d k , d p (其中 m , k , p 成等差数列)成等比数列,若存在,求出这样 的三项;若不存在,说明理由.

第4页

江苏省靖江市刘国钧中学 2010-2011 学年度第二学期 高一数学期末复习测试(六)答案 2011/6/28 一、填空题
1.有两个质地均匀、大小相同的正四面体玩具,每个玩具的各面上分别写有数字 1,2,3,4,把两个玩 具各抛掷一次,斜向上的面写有的数字之和能被 5 整除的概率为________【答案】 2.在各项均不为零的等差数列 { a n } 中, 若 a n ? 1 ? a n ? a n ? 1 ? 0, ( n ? 2 ) ,则 S 2 n ? 1
2

1 4

? 4n ?

.

【答案】 ? 2

7 9 8 44467 9 136
A

开始

1, S

1

第 4 题图 3. 按如图所示的程序框图运行后,输出的结果是 63, 则判断框中的整数 H 的值是 【答案】 5 4.右图是 2008 年“隆力奇”杯第 13 届 CCTV 青年歌手电视大奖赛上 某一位选手的部分得分的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分 后,所剩数据的方差为 【答案】
80 7

A≤H Y S 2S+1

N

输出 S

A S

A+ 1 1

结束

5. 在 ? ABC 中,若 BC ? 5 , AC ? 7 , AB ? 8 , 则 ? ABC 的最大角与 最小角之和是 . 【答案】 120
?

(第 3 题 图)

6. 已知 { a n } 为等差数列, { b n } 为正项等比数列,其公比 q ? 1 ,若 a 1 ? b1 , a 1 1 ? b1 1 ,则 a 6 , b 6 的大小关系 为 . 【答案】 a 6 ? b 6

?2x ? y ? 2 ? 7.设变量 x , y 满足约束条 件 ? x ? y ? ? 1 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最大值是 ?x ? y ? 1 ?

. 【答案】 18

8. 一个总体中有 100 个个体, 随机编号为 0,1,2, 99, …, 依编号顺序平均分成 10 个小组, 组号依次为 1,2, …, 10.现用系统抽样方法抽取一个容量为 10 的样本,规定如果在第 1 组随机抽取的号码为 m,那么在第 k 组 中抽取的号码个位数字与 m+k 的个位数字相同.若 m=6,则在第 7 组中抽取的号码是________. 【答案】 63 9. 已知函数 f ( x ) ? x ? 值为 . 【答案】
p x ?1 9 4

( p 为常数且 p ? 0 ) ,若 f ( x ) 在区间 (1 , ? ? ) 的最小值为 4 ,则实数 p 的

10. 在 ? ABC 中 , ? A , ? B , ? C 所 对 的 边 分 别 是 a , b , c , 若 ( 3 b ? c ) cos A ? a cos C , 则

第5页

cos A ?

.

【答案】

3 3

11. 把一根匀均匀木棒随机地按任意点拆成两段,则“其中一段的长度大于另一段长度的 2 倍”的概率 为 【答案】
2 3

12. 已知 0 ? b ? a ? c ? 4 , ab ? 2 ,则 13. 如 果 关 于 x 的 不 等 式 a ?
5 9
2

a

2

?b

2

a ?b

?

1 c

的最小值是

. 【答案】

17 4

x ?

10 x ? 6 ? b 的 解 集 是 [ x 1 , x 2 ] ? [ x 3 , x 4 ], x 1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 , 则 3

?
i ?1

4

xi ?

. 【答案】 12

14. 一个正方形被分成九个相等的小正方形, 将中间的一个正方 形挖去(如图(1);再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小 ) 正方形,并将中间一个挖去,得图(2) ;如此继续下去…,试问第 n 个图共挖去 个正方形. 【答案】
8
n

?1 7

图1 第 14 题

图2

二、解答题
15. 从某学校高三年级共 800 名男生中随机抽取 50 人测量身高.据测量,被测学生身高全部介于 155 cm 到 195 cm 之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[155,160);第二组[160,165);?;第八组 [190,195].如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.已知第一组与第八组人数相同,第六 组、第七组、第八组人数依次构成等差数列. (1)估计这所学校高三年级全体男生身高在 180 cm 以上(含 180 cm)的人数 及平均身高; (2)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图; (3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两人, 记他们的身 高分别为 x、y,求满足“|x-y|≤5”的事件的概率.

解:(1)由频率分布直方图得前五组频率为(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)×5=0.82,后三组频率为 1- 0.82=0.18,人数为 0.18×50=9, 这所学校高三年级全体男生身高在 180 cm 以上(含 180 cm)的人数为 800×0.18=144. (2)由频率分布直方图得第八组频率为 0.008×5=0.04,人数为 0.04×50=2,设第六组人数为 m,

第6页

则第七组人数为 9-2-m=7-m,又 m+2=2(7-m),解得 m=4,所以第六组人数为 4, 第七组人数为 3,频率分 别等于 0.08,0.06. 频率 分别等于 0.016,0.012.其完整的频率分布直方图如图. 组距 (3)由(2)知身高在[180,185)内的人数为 4,设为 a、b、c、d,身高在[190,195]内的人数为 2,设为 A、B, 若 x,y∈[180,185)时,有 ab、ac、ad、bc、bd、cd 共 6 种情况; 若 x,y∈[190,195]时,有 AB 共 1 种情况; 若 x,y 分别在[180,185)和[190,195]内时,有 aA、bA、cA、dA、aB、bB、cB、dB,共 8 种情况. 所以基本事件总数为 6+1+8=15, 7 事件“|x-y|≤5”所包含的基本事件个数有 6+1=7,∴P(|x-y|≤5)= . 15 16. 在 ? ABC 中,? A , ? B , ? C 所对的边分别是 a , b , c ,不等式 x cos C ? 4 x sin C ? 6 ? 0 对一切实数
2

x 恒成立.

(Ⅰ)求 cos C 的取值范围; (Ⅱ)当 ? C 取最大值,且 c ? 2 时,求 ? ABC 面积的最大值并指出取最大值时 ? ABC 的形状. 解: (Ⅰ)由已知得:
cos C ? 0 ? ? 2 cos ? 2 ? ? 4 sin C ? ? 24 cos C ? 0
? cos C ? ? 1 2 1 2 ? cos C ? 1 1 2 , 或 cos C ? ? 2 ?舍去
2

C ? 3 cos C ? 2 ? 0 ,

?



(Ⅱ)? 0 ? C ? ? , cos C ?

? 当 ? C 取最大值时, ? C ?
2 2 2

?
3


?
3 ? 4 ? a
2

由余弦定理得: 2 ? a ? b ? 2 ab ? cos
1 2

?b

2

? ab ? 2 ab ? ab ? ab ,

? S ? ABC ?

ab ? sin

?
3

?

3 4

ab ?

3 ,

当且仅当 a ? b 时取等号,此时 ? S ? ABC ? max ? 由 a ? b, ? C ?
?
3

3,

可得 ? ABC 为等边三角形.

第7页

17. 已知直线 l : ax ? (1 ? 2 a ) y ? 1 ? a ? 0 . (1)当直线 l 在两坐标轴上的截距相等时,求 a 的值; (2)当直线 l 不通过第一象限时,求 a 的取值范围. 解: (1)由条件知, a ? 0 且 a ? 令 y ? 0得x ?
?
a ?1 a a ?1 a

1 2

,在直线 l 的方程中,
a ?1 1 ? 2a



令x ? 0得y ?
1 3

=

a ?1 1 ? 2a

,解得 a ? 1或 a ?
1 2

.
1 2 x? 1 2
?a 1 ? 2a a ?1 1 ? 2a

⑵ (i)当 a ?

时,直线 l 的方程为:

? 0 .即 x ? ? 1 ,此时 l 不通过第一象限;

同理,当 a ? 0 时, l 也不通过第一象限. (ii)当 a ?
1 2 且 a ? 0 时,直线 l 的方程为: y ? x?

.

? ?a ? 0 ?1 ? 2 a 1 ? l 不通过第一象限,即 ? ,解得 0 ? a ? 2 ? a ?1 ? 0 ?1 ? 2 a ?

综上所述,当直线 l 不通过第一象限时, a 的取值范围为 0 ? a ?

1 2

.

18.数列 ? a n ? 是首项 a 1 ? 4 的等比数列,且 S 3 , S 2 , S 4 成等差数列, (Ⅰ)求数列 ? a n ? 的通项公式; (Ⅱ) b n ? lo g 2 a n ,设 T n 为数列 ? 若 的最小值. 解: (1)当 q ? 1 时, S 3 ? 1 2, S 2 ? 8, S 4 ? 1 6 ,不成等差数列 当 q ? 1 时, 2
a 1 (1 ? q )
2

?

1

? b n b n ?1

? * 求实数 ? ? 的前 n 项和,若 T n ≤ ? b n ? 1 对一切 n ? N 恒成立, ?

1? q

?

a 1 (1 ? q )
3

1? q

?

a 1 (1 ? q )
4

1? q



(若没用求和公式则无需上面分类讨论) ∴ 2q ? q ? q
2 3 4

, ∴ q ? q ? 2 ? 0 ,∴ q ? ? 2
2

∴ an ? 4(?2)

n ?1

? (?2)

n ?1

(2) b n ? lo g 2 a n ? lo g 2 ( ? 2 )

n ?1

? n ?1

第8页

1 bn bn ?1
Tn ? 1 2

?
?

1 ( n ? 1)( n ? 2 )
1 3 ? 1 3 ? 1 4 n

?

1 n ?1
1

?

1 n?2
? 1 n?2 ? 1 2 ? 1 n?2
2

? ?????? ?

n ?1

?

n 2(n ? 2)

T n ≤ ? b n ? 1 ,∴

2(n ? 2)
1 4 n

≤ ? (n ? 2) ∴ ? ≥ ≤
1 2(4 ? 4) ?

n 2(n ? 2) 1



n 2(n ? 2)
2

? 2(n ?

,∴ ? 的最小值为

1 16

? 4)
2

16
2

19. 已知函数 f ( x ) ? x ? 2 ( a ? 1) x ? a ? 1, x ? R . (1) 若 a ? 2 , 解不等式 f ( x ) ? 0 ; (2) 若 a ? R , 解关于 x 的不等式 f ( x ) ? 0 ; (3) 若 x ? [ 0 , 2 ] 时, f ( x ) ? a (1 ? x ) 恒成立.求实数 a 的取值范围.
2

解:( 1) 1 ? x ? 5 (最好用集合或区间形式表示) (2) f ( x ) ? 0 时 ? ? 8 a 当a ? 0 ,x ? ? ; 当 a ? 0, a ? 1 ?
2a ? x ? a ? 1 ?
2

2a
2

(3) 由题意:任意的 x ? [ 0 , 2 ], x ? 1 ? ( ? a ? 2 a ? 1) x , 成立 当 x ? 0 时,不等式显然成立 当 x ? (0,2 ] , ? a ? 2 a ? 2 ? x ?
2

1 x

.? x ?

1 x

? 2 , ( x ? 1 时取等 )

? ?a

2

? 2 a ? 2 ? 2, 即 a ? 0 或 a ? 2

综上: a ? 0 或 a ? 2 20.数列 { a n } 的前 n 项和为 S n .已知 a 1 ? 2 且 a n ? 1 ? 2 S n ? 2 ( n ? N )
*

⑴求证:数列 { a n } 是等比数列并求数列 { a n } 的通项公式; ⑵在 a n 与 a n ? 1 之间插入 n 个数,使这 n ? 2 个数组成一个公差为 d n 的等差数列. ①设 T n =
1 d1 ? 1 d2 ? 1 d3 ?? ? 1 dn

( n ? N ) ,求 T n ;
*

②在数列 { d n } 中是否存在三项 d m , d k , d p (其中 m , k , p 成等差数列)成等比数列,若存在,求出这样 的三项;若不存在,说明理由.

第9页

解: (1)由 a n ? 1 ? 2 S n ? 2 ( n ? N ? ) ,得 a n ? 2 S n ? 1 ? 2 ( n ? N ? , n ? 1) 两式相减,得 a n ? 1 ? 3 a n ( n ? 1, n ? N ) 又 a 1 ? 2 且 a 2 ? 2 a 1 ? 2 ? 6 ? a 2 ? 3a 1 所以 a n ? 1 ? 3 a n ( n ? N ) 所以 ?a n ? 是等比数列,所以 a n ? 2 ? 3
? n ?1

(2)由(1),知 a n ? 2 ? 3

n ?1

, a n ?1 ? 2 ? 3

n

因为 a n ? 1 ? a n ? ( n ? 1) d n ,所以 d n ?

4?3

n ?1

n ?1

①Tn ?
1

1 d1

?

1 d2

?

1 d3

?? ?

1 dn

?

2 4?3
0

?

3 4?3
1

?

4 4?3
2

?? ?

n ?1 4?3
n ?1

,

则 Tn ?
3 2 3

2 4?3
1

?

3 4?3 ?
2

?

4 4?3 ?
3

?? ? ?

n ?1 4?3 1
3 n

所以 T n ?

2 4?3
0

1 4?3
1

1 4?3
2

4?3

?? ?

1 4?3
n ?1

?

n ?1 4?3
n

1

=

1 2

?

1 4

? (1 ? 1? 3 1 3

1
n ?1

) ?

?

3

n ?1 4?3
n

?

5 8

?

2n ? 5 8?3
n

所以 T n ?

15 16

?

3( 2 n ? 5 ) 16 ? 3
n

②假设在数列 ?d n ? 中存在 d m , d k , d p (其中 m , k , p 成等差数列)成等比数列 则 d k ? d m d p ,即 (
2

4?3

k ?1

k ?1

)

2

?

4?3

m ?1

m ?1

?

4?3

p ?1

p ?1

因为 m , k , p 成等差数列,所以 m ? p ? 2 k ① 上式可以化简为 k
2

? mp ②由①②可得 m ? k ? p 这与题设矛盾

所以在数列 ?d n ? 中不存在三项 d m , d k , d p (其中 m , k , p 成等差数列)成等比数列

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