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2012年福建省高考(文理)科数学试题Word版含答案


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2012 年高考数学试题(文史类) 第 I 卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给 出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.复数(2+i)2 等于 A.3+4i D.5+2i B.5+4i C.

3+2i

2.已知集合 M={1,2,3,4},N={-2,2},下列结论成立的是 A.N ? M D.M∩N={2} B.M ∪ N=M C.M ∩ N=N

3.已知向量 a=(x-1,2) ,b=(2,1) ,则 a⊥b 的充要条件是 A.x=D.x=0 【解析】有向量垂直的充要条件得 2(x-1)+2=0 所以 x=0 。D 正确 【答案】D 【考点定位】考察数量积的运算和性质,要明确性质。 4. 一个几何体的三视图形状都相同,大小均等,那么这个几何体不 可以是 A 球 B 三棱锥 C 正方体
1 2

B.x=-1

C.x=5

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D 圆柱 、 【解析】分别比较 A、B、C 的三视图不符合条件,D 符合 【答案】D 【考点定位】 考查空间几何体的三视图与直观图, 考查空间想象能力、 逻辑推理能力。 5 已知双曲线 A D
4 3
3 14 14

x a

2 2

-

y

2

5

=1 的右焦点为(3,0) ,则该双曲线的离心率等于 B
3 2 4

C

3 2

6 阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出 s 值等于

A -3 D -2 【解析】1.S=2×1-1=1,K=2 2.S=2×1-2=0,K=3

B

-10

C

0

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3.S=2×0-3=-3 K=4,输出-3 【答案】A 【考点定位】该题主要考察算法的基本思想、结构和功能,把握算法 的基本思想是解决好此类问题的根本。 7.直线 x+ 于 A. D.1
2 5
2y

-2=0 与圆 x2+y2=4 相交于 A,B 两点,则弦 AB 的长度等

B

2 3

.

C.

3

8.函数 f(x)=sin(x- )的图像的一条对称轴是
4

?

A.x=

?
4

B.x=

?
2

C.x=-

?
4

D.x=-

?
2

9.设 A 1 D .π B 0

,则 f(g(π ))的值为 C -1

【解析】因为 g(π )=0 所以 f(g(π ))=f(0)=0 。 B 正确 【答案】B 【考点定位】该题主要考查函数的概念,定义域和值域,考查求值计
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算能力。

10.若直线 y=2x 上存在点(x,y)满足约束条件 的最大值为 A.-1 D.2 【解析】 B.1

则实数 m

C.

3 2

因为 x+y-3=0 和 y=2x 交点为 (1, 所以只有 m≤1 才能符合条件, 2) B 正确 【答案】B 【考点定位】本题主要考查一元二次不等式表示平面区域,考查分析 判断能力。逻辑推理能力和求解能力。 11.数列{an}的通项公式 A.1006 D.0 ,其前 n 项和为 Sn,则 S2012 等于 B.2012 C.503

12.已知 f(x)=x?-6x?+9x-abc,a<b<c,且 f(a)=f(b)=f(c) =0.现给出如下结论:①f(0)f(1)>0;②f(0)f(1)<0;③f (0)f(3)>0;④f(0)f(3)<0. 其中正确结论的序号是
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A.①③ D.②④

B.①④

C.②③

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案填在答题卡的相 应位置。 13.在△ABC 中,已知∠BAC=60°,∠ABC=45°, ,则 AC=_______。

14.一支田径队有男女运动员 98 人,其中男运动员有 56 人。按男女比例用分层 抽样的方法,从全体运动员中抽出一个容量为 28 的样本,那么应抽取女运动员 人数是_______。 【解析】
98 ? 56 98 ×2 8 =1 2

【答案】12 【考点定位】 此题考查分层抽样的概念和具体做法,明确分层抽样的本质是关键 15.已知关于 x 的不等式 x -ax+2a>0 在 R 上恒成立,则实数 a 的取值范围是 _________。 【解析】因为 不等式恒成立,所以 ? <0,即 a 2 ? 4 ? 2 a <0 所以 【答案】 (0,8) 【考点定位】 该题主要考查一元二次不等式的解法,解法的三种情况的理解和把
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0<a<8

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握是根本。

16.某地图规划道路建设,考虑道路铺设方案,方案设计图中,点表 示城市,两点之间连线表示两城市间可铺设道路,连线上数据表示两 城市间铺设道路的费用,要求从任一城市都能到达其余各城市,并且 铺设道路的总费用最小。例如:在三个城市道路设计中,若城市间可 铺设道路的路线图如图 1,则最优设计方案如图 2,此时铺设道路的 最小总费用为 10.

现给出该地区可铺设道路的线路图如图 3,则铺设道路的最小总费用 为____________。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证 明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分) 在等差数列{an}和等比数列{bn}中,a1=b1=1,b4=8,{an}的前 10 项和 S10=55.
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(Ⅰ)求 an 和 bn; (Ⅱ)现分别从{an}和{bn}的前 3 项中各随机抽取一项,写出相应的 基本事件,并求这两项的值相等的概率。

【答案】 (1) a

n

? n

,b

n

? 2

n

(2)

2 9

【考点定位】本题主要考查等差、等比数列、古典概型的基本知识, 考查运算求解能力,考查转化与划归思想、必然与或然思想,注意留 心学习 18.(本题满分 12 分) 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价, 将该产品按事先拟定 的价格进行试销,得到如下数据:

y y (I)求回归直线方程 ? =bx+a,其中 b=-20,a= ? -b x ;

(II)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(I)中的关系,且 该产品的成本是 4 元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应 定为多少元?(利润=销售收入-成本)

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19.(本小题满分 12 分) 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=1,AA1=2,M 为棱 DD1 上的一点。

(1) 求三棱锥 A-MCC1 的体积; (2) 当 A1M+MC 取得最小值时,求证:B1M⊥平面 MAC。 【解析】 (1)又长方体 AD ? 平面 C D D C .点 A 到平面 C D D C 的距离
1 1 1 1

AD=1, ∴S
? M C C1

=

1 2

C C1 ? C D

= ×2×1=1 ,∴ V
2
1

1

A ? M C C1

?

1 3

A D ? S ? MCC ?
1

1 3
1

(2)将侧面 C D D C 绕 D D 逆时针转动 90°展开,与侧面 A D D
1 1

A1 共面。当

A1 ,M,C A1 M

共线时,
1 1 1

+MC 取得最小值 AD=CD=1 , A A =2 得 M 为 D D 的中点连接 M C
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在 ? M C C 中, M C =MC=
1 1

2

, C C =2,
1 1 1

∴CC = M C + M C
2 2 1 1

2

, ∴∠ C M C =90°,CM⊥ M C ,
1 1 1

∵ B C ⊥平面 C D D C ,∴ B C ⊥CM
1 1 1

∵AM∩MC=C
1

∴CM⊥平面 B C
1

1

M

,同理可证 B M ⊥AM ∴ B M ⊥平面 MAC
1

【答案】

1 3

【考点定位】本题主要考察直线与直线、直线与平面的位置关系以及 体积等基本知识, 考查空间想象能力、 推理论证能力、 运算求解能力、 数形结合思想、化归与转化思想。 20. (本小题满分 13 分) 某同学在一次研究性学习中发现, 以下五个式子的值都等于同一个常 数。 (1)sin213°+cos217°-sin13°cos17° (2)sin215°+cos215°-sin15°cos15° (3)sin218°+cos212°-sin18°cos12° (4)sin2(-18°)+cos248°- sin(-18°)cos48° (5)sin2(-25°)+cos255°- sin(-25°)cos55° Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数 Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并 证明你的结论。、

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21.(本小题满分 12 分) 如图,等边三角形 OAB 的边长为 8 x2=2py(p>0)上。
3

,且其三个顶点均在抛物线 E:

(1) 求抛物线 E 的方程; (2) 设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P,与直线 y=-1 相较于点 Q。 证明以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上某定点。 【解析】 (1) 依题意 O B Y= 8
3
?

? 8 3 , ? BO Y ? 30
3

?

设点 B (x, , x= 8 y) 则

3

sin · 30 = 4
?

3

·co s 3 0 =12 ,∴B( 4

,12)在抛物线上,∴ ( 4

3)

2

=2p×12,

∴p=2, 抛物线 E 的方程为 X =4y
2

(2)设点 P( X , Y ), X
0 0

0

≠0. ∵Y= y=
x
2 0

1 4

X

2

,Y
x0

'

?

1 2

x

,

切线方程:y- y =
0

1 2
x
2

x 0 ( x ? x 0 ) ,即
-4

1 2

x0 x ?

1 4

2

由?
?

?

y?

1 2

x0 x ?

1 4

x0

2

Y ? ?1

? x= 0 ? ? 2x0 ? 得 ? ? ? Y = ?1 ?

? ? ? ? ?

∴Q(

?4

2x0

,-1)

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设 M(0,y )∴ M P
1

????

2 ???? ? ???? x ?4 ? ( x 0, y0 ? y ) , Q = ( 0 M , 1 ? 1y ) ? ,∵ M P 1 2x0

·M Q =0

???? ?

x

2 0

?4

2x0

-y -y
0

0

y1 + y1 + y1

2

=0,又 y

0

=

1 4

x 0( x 0 ? 0),∴联立解得 y 1 =1
2

故以 PQ 为直径的圆过 y 轴上的定点 M(0,1) 【答案】 x
2

=4y

【考点定位】 本题主要考察抛物线的定义性质、圆的性质、直线与 圆锥曲线的位置关系等基本指导, 考查运用求解能力、 推理论证能力、 数形结合思想、转化与化归思想、特殊与一般思想。 22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? a x sin x ?
3 2 ( a ? R ), 且在 [ 0 ,

?
2

] 上的最大值为

? ?3
2



(1)求函数 f(x)的解析式; (2)判断函数 f(x)在(0,π )内的零点个数,并加以证明。

由(1)知 f(x)= x sin x - ,f(0)=- <0,f( )=
2
2

3

3

?

? -3
2

2

>0,
?
2

∴f(x)在[0, 上单调递增, 故 在 [0,
?
2

?
2

]上至少有一个零点,又由(1)知 f(x)在[0,

]

]上只有一个零点,当

x?

?? ? ,? ?2 ? ? ?

时,令 g(x)

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=f

'

(x )

= sin x+ x cos x , ,g(x)在 ? ?
?
,? ? ? ?

g(

?
2

) 1 > 0 , g ( ? )= - ? < 0 =

?2

上连续,∴ m ? ? ?

?

?2

,?

? ? ?

,g

(m)=0
g x )= 2 cos x-x sin x (
'

<0,∴g(x)在 ? ?

?

?2

,?

? ? ?

上递减,当 x ? ? ?

?

?2

,m

? ? ?

时,

g(x)>g(m)=0,
f x ) >0,f(x)递增,∴当 (
'

m? ( ,m)时,f(x)≥f( )=
2 2

?

?

? ?3
2

>0

∴f(x)在(m,π )上递增,∵f(m)>0 ,f(π )<0, ∴f(x)在(m,π )上只有一个零点,综上 f(x)在(0,π )上 有两个零点, 【答案】 (1)f(x)= x sin x - ; (2)2 个零点
2 3

【考点定位】本题主要考查函数的最值、零点、单调性等基础知识, 考查推理论证能力、运算求解能力、考查函数与方程思想、数形结合 思想、分类讨论思想、转化化归思想。

2012 年福建省高考理科数学 第 I 卷(选择题 共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给 出分四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.若复数 z 满足 zi=1-i,则 z 等于 A.-1-I D.1=i
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B.1-i

C.-1+I

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2.等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为 A.1 D.4 B.2 C.3

3.下列命题中,真命题是 A. C.a+b=0 的充要条件是 =-1
b a

B. D.a>1,b>1 是 ab>1

的充分条件 【解析】A,B,C 均错,D 正确 【答案】D 【考点定位】此题主要考查逻辑用语中的充分必要条件,考查逻辑推 理能力、分析判断能力、必然与或然的能力. 4.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不 可以是 A.球 D.圆柱 【解析】分别比较 ABC 的三视图不符合条件,D 符合. 【答案】D
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B.三棱柱

C.正方形

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【考点定位】 考查空间几何体的三视图与直观图, 考查空间想象能力、 逻辑推理能力. 5.下列不等式一定成立的是 A. B.

C.

D.

6.如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P,则点 P 恰好 取自阴影部分的概率为

A. D.

1 4 1 7

B.

1 5

C.

1 6

7.设函数 A.D(x)的值域为{0,1}

则下列结论错误的是 B. D(x)是偶函数

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C. D(x)不是周期函数 数

[

D. D(x)不是单调函

【解析】A,B.D 均正确,C 错误。 【答案】C 【考点定位】该题主要考查函数的概念、定义域、值域、单调性、周 期性、奇偶性,全面掌握很关键. 8.已知双曲线
x
2

?

y b

2 2

? 1 的右焦点与抛物线

4

y2=12x 的焦点重合,则该

双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 A. D.5 【解析】∵抛物线的焦点是 F(3,0) ,∴双曲线的半焦距 c=3,
5

B.

4 2

C.3

9.若函数 y=2x 图像上存在点(x,y)满足约束条件 最大值为 A.
1 2

,则实数 m 的

B.1

C.

3 2

D.2

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10. 函 数 f ( x ) 在 [a,b] 上 有 定 义 , 若 对 任 意 x1 , x2 ∈ [a,b] , 有 则称 f(x)在[a,b]上具有性质 P。设 f(x) 在[1,3]上具有性质 P,现给出如下命题: ①f(x)在[1,3]上的图像时连续不断的; ②f(x2)在[1,
3

]上具有性质 P;

③若 f(x)在 x=2 处取得最大值 1,则 f(x)=1,x∈[1,3]; ④ 对 任 意 x1 , x2 , x3 , x4 ∈ [1,3] , 有

其中真命题的序号是 A. ① ② D.③④ B. ① ③ C. ② ④

第Ⅱ卷(非选择题共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在 答题卡的相应位置。 11.(a+x)4 的展开式中 x3 的系数等于 8,则实数 a=_________。 【解析】∵ T 【答案】2
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r ?1

? C4a
r

4?r

x ,∴ r ? 3时 , C 4 a
3

4?3

? 8,∴ a = 2 .

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【考点定位】该题主要考查二项式定理、二项式定理的项与系数的关 系,考查计算求解能力. 12.阅读右图所示的程序框图,运行相应地程序,输出的 s 值等于

_____________________。

13.已知△ABC 得三边长成公比为 值为_________. 【解析】

2

的等比数列, 则其最大角的余弦

14. 数 列 {an} 的 通 项 公 式

, 前 n 项 和 为 Sn , 则

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S2012=___________。

=2×503+2012=3018. 【答案】3018 【考点定位】 本题主要考察数列的项、 n 项和, 前 考查数列求和能力, 此类问题关键是并项求和. 15.对于实数 a 和 b,定义运算“﹡” : 设 f(x)=(2x-1)﹡(x-1) ,且关于 x 的方程为 f(x)=m(m∈R) 恰有三个互不相等的实数根 x1 ,x2 ,x3 ,则 x1x2x3 的取值范围是 _________________。
? ( 2 x ? 1) 2 ? ( 2 x ? 1)( x ? 1), 2 x ? 1 ? x ? 1 ? f ( x)= ? 2 ? ( x ? 1) ? ( 2 x ? 1)( x ? 1), 2 x ? 1> x ? 1 ?

【解析】由定义运算“*”可知

? 2( x ? ? ? ? ? ??(x ? ? ?

1 4 1 2

) ?
2

1 8 1 4

,x ? 0 x> 0
1? 16



) ?
2

( 画出该函数图象可知满足条件的取值范围是

3

,0) 。

( 【答案】

1? 16

3

,0)

【考点定位】本题主要考查函数的零点,考查新定义新运算,考查创 新能力.
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三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答题写出文字说明,证 明过程或演算步骤。 16.(本小题满分 13 分) 受轿车在保修期内维修费等因素的影响, 企业生产每辆轿车的利润与 该轿车首次出现故障的时间有关,某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌 轿车,保修期均为 2 年,现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取 50 辆,统计书数据如下:

将频率视为概率,解答下列问题: (I)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发 生在保修期内的概率; (II)若该厂生产的轿车均能售出,记住生产一辆甲品牌轿车的利润为 X1,生产一辆乙品牌轿车的利润为 X2,分别求 X1,X2 的分布列; (III)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能 生产其中一种品牌轿车,若从经济效益的角度考虑,你认为应该产生 哪种品牌的轿车?说明理由。

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17(本小题满分 13 分) 某同学在一次研究性学习中发现, 以下五个式子的值都等于同一个常 数。 (1)sin213°+cos217°-sin13°cos17° (2)sin215°+cos215°-sin15°cos15° (3)sin218°+cos212°-sin18°cos12° (4)sin2(-18°)+cos248°- sin2(-18°)cos48° (5)sin2(-25°)+cos255°- sin2(-25°)cos55° Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数 Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广位三角恒等式,并 证明你的结论。 【解析】

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18.(本小题满分 13 分) 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中 AA1=AD=1,E 为 CD 中点。

(Ⅰ)求证:B1E⊥A D1 (Ⅱ)在棱 AA1 上是否存在一点 P,使得 DP∥平面 B1AE?若存在, 求 AP 的行;若存在,求 AP 的长;若不存在,说明理由。 (Ⅲ)若二面角 A-B1E-A1 的大小为 30°,求 AB 的长。
[

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19.(本小题满分 13 分) 如图,椭圆 E: 的左焦点为 F1,右焦点为 F2,离心率

。过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点,且△ABF2 的周长为 8。

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(Ⅰ)求椭圆 E 的方程。 (Ⅱ)设动直线 l:y=kx+m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P,且与直 线 x=4 相较于点 Q。试探究:在坐标平面内是否存在定点 M,使得 以 PQ 为直径的圆恒过点 M?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在, 说明理由。 【解析】

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=ex+ax2-ex,a∈R。 (Ⅰ)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线平行于 x 轴,求 函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)试确定 a 的取值范围,使得曲线 y=f(x)上存在唯一的点 P,
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曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点 P。

21.本题设有(1)(2)(3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 、 、 题作答,满分 14 分。如果多做,则按所做的前两题计分。作答时, 先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框图黑,并将 所选题号填入括号中。 (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 设曲线 2x2+2xy+y2=1 在矩阵 线为 x2+y2=1。 (Ⅰ)求实数 a,b 的值。 (Ⅱ)求 A2 的逆矩阵。 对应的变换作用下得到的曲

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【考点定位】本题主要考查矩阵与变换等基础知识,考查运算求解能 力,考查转化化归思想. (2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为几点,x 轴的正半轴为极轴建 立极坐标系。 已知直线 l 上两点 M, 的极坐标分别为 N (2,0) , 圆 C 的参数方程 。 ,

(Ⅰ)设 P 为线段 MN 的中点,求直线 OP 的平面直角坐标方程; (Ⅱ)判断直线 l 与圆 C 的位置关系。 【解析】 (Ⅰ)由题意知 M(2,0) ,N(0, 则 P(1,
3 3 2 3 3

) ,因为 P 是线段 MN 中点,

) ,

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因此 PO 直角坐标方程为: y ?

3 3

x.

(Ⅱ)因为直线 l 上两点 M(2,0) ,N(0, ∴l 垂直平分线方程为: ∴d=
2 3?3 3?2 3 3?9 ? 3 2
3x ? 3 y ? 2 3 ? 0

2 3 3


3

,圆心(2, ?

) ,半径 r=2.

?r ,故直线

l 和圆 C 相交.

【考点定位】本题主要考查极坐标与参数方程的互化、圆的参数方程 等基础知识,考查运算求解能力,考查转化化归思想。 (3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=m-|x-2|,m∈R,且 f(x+2)≥0 的解集为[-1,1]. (Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)若 a,b,c∈R,且 【解析】(1)∵ f ( x ? 2 ) ? m ?
x ? ? ?∴ x ? m



∴ m ?0 , - m ? x ? m , ∴ f(x+2) ?0的解集是[-1,1] 故 m=1. (2)由(1)知
1 a ? 1 2b ? 1 3c
1 a ? 1 2b ? 1 3c

? 1, a , b , c ? R

,由柯西不等式得
1 a ? 2b . 1 2b ? 3c . 1 3c ) ?9
2

a ? 2 b ? 3 c ? ( a ? 2 b ? 3 c )(

) ? ( a.

【考点定位】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基本知识, 考查运算求解能力,考查化归转化思想

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