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2011年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛(高二)试题参考答案


2011 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案
(高二年级)
说明:评阅试卷时,请依据本评分标准。填空题只设 8 分和 0 分两档;解答题的评阅,只要思路合理、 步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。 一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分。直接将答案写在横线上。 ) 1.已知 P 是△ABC 所在平面上一点,满足 PA ? PB

? 2PC ? 3 AB ,则△ABP 与△ABC 的面积之比 为

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

1: 2



2.已知数列 {an } 满足: a1 ? 2, a2 ? 1, an an?1an?2 ? an ? an?1 ? an?2 (n ? N* ) ,则 a1 ? a2 ? ?? a2011 ? 4022 .

? },则所有符合要求的角 ? 构成的集合为 3.已知 ? ? R ,如果集合 {sin ? , cos 2? } ? {cos? ,sin 2
{? | ? ? 2k? , k ? Z} .
4.满足方程 x2 ? 8x sin( xy) ? 16 ? 0 ( x ? R, y ?[0, 2? ) )的实数对 ( x, y ) 的个数为 5.设 z 是模为 2 的复数,则 | z ? 8 .

1 | 的最大值与最小值的和为 4 . z 3 6.对一切满足 | x | ? | y |? 1 的实数 x, y ,不等式 | 2 x ? 3 y ? | ? | y ? 1| ? | 2 y ? x ? 3 |? a 恒成立,则 2
实数 a 的最小值为

23 2



7.设集合 A ? {0,1, 2,3, 4,5,6,7,8,9} .如果方程 x ? mx ? n ? 0 ( m, n ? A )至少有一个根 x0 ? A ,
2

就称该方程为合格方程,则合格方程的个数为 8.已知关于 x 的方程 | x ? k |? 范围是

23



2 k x 在区间 [k ? 1, k ? 1] 上有两个不相等的实根,则实数 k 的取值 2

0 ? k ?1



二、解答题(本大题满分 56 分,第 9 题 16 分,第 10 题 20 分,第 11 题 20 分)
2 9.已知二次函数 y ? f ( x) ? x ? bx ? c 的图象过点(1,13) ,且函数 y ? f ( x ? ) 是偶函数.

1 2

(1)求 f ( x ) 的解析式; (2)函数 y ? f ( x) 的图象上是否存在这样的点,其横坐标是正整数,纵坐标是一个完全平方数?如 果存在,求出这样的点的坐标;如果不存在,请说明理由.
2 解 (1) 因为函数 y ? f ( x ? ) 是偶函数, 所以二次函数 f ( x) ? x ? bx ? c 的对称轴方程为 x ? ?

1 2

1 , 2

1

故 b ? 1.

------------------------------------------4 分

又因为二次函数 f ( x) ? x2 ? bx ? c 的图象过点(1,13) ,所以 1 ? b ? c ? 13 ,故 c ? 11 . 因此, f ( x ) 的解析式为 f ( x) ? x 2 ? x ? 11. ------------------------------------------8 分

(2) 如果函数 y ? f ( x) 的图象上存在符合要求的点, 设为 P (m, n2 ) , 其中 m 为正整数,n 为自然数, 则 m ? m ? 11 ? n ,从而 4n2 ? (2m ? 1)2 ? 43 ,即 [2n ? (2m ? 1)][2n ? (2m ? 1)] ? 43 .
2 2

------------------------------------------12 分 注意到 43 是质数, 且 2n ? (2m ? 1) ? 2n ? (2m ? 1) ,2n ? (2m ? 1) ? 0 , 所以有 ?

?2n ? (2m ? 1) ? 43, ?2n ? (2m ? 1) ? 1,

解得 ?

?m ? 10, ?n ? 11.

因此,函数 y ? f ( x) 的图象上存在符合要求的点,它的坐标为(10,121).---------------------16 分 10.已知数列 {an } 满足 a1 ? (1) an ? an?1 ? 1 ;

a2 1 , an?1 ? an ? n (n ? N* ) .证明:对一切 n ? N* ,有 2 3 n
1 1 ? . 2 4n
2 an ? an ( n ? N * ). 2 n

(2) an ?

解 (1)显然, an ? 0 ,所以 an ?1 ? an ?

2 ak 1 1 1 1 所以,对一切 k ? N , ak ?1 ? ak ? 2 ? ak ? 2 ak ak ?1 ,所以 ? ? 2 . --------------------5 分 k k ak ak ?1 k
*

所以,当 n ? 2 时,
n ?1 n ?1 1 1 n?1 1 1 1 n?1 1 1 1 1 ? ? ?( ? ) ? ? ? 2 ? 3 ? [1 ? ? ] ? 3 ? [1 ? ? ( ? )] an a1 k ?1 ak ak ?1 a1 k ?1 k k k ? 2 k (k ? 1) k ?2 k ? 1

? 3 ? [1 ? 1 ?
所以 an ? 1 . 又 a1 ?

1 n ]? ? 1, n ?1 n ?1

1 ? 1 ,故对一切 n ? N * ,有 an ? 1 .因此,对一切 n ? N * ,有 an ? an?1 ? 1 . -------------10 分 3

2 ak ak 1 1 1 1 k2 ak ?1 ,所以 (2)显然 a1 ? ? ? ? .由 an ? 1 ,知 ak ?1 ? ak ? 2 ? ak ? 2 ,所以 ak ? 2 3 4 2 4 k k k ?1 2 ak 1 k2 1 1 1 1 ? a ? a ? ak ?1 ? ak ? 2 ak ak ?1 ,所以 ? , ? 2 k 2 2 k 2 k k k ?1 k ?1 ak ak ?1 k ? 1

ak ?1 ? ak ?

------------------------------------------15 分
2

所以,当 n ? N 且 n ? 2 时,
*

n ?1 n ?1 1 1 n?1 1 1 1 n?1 1 1 1 1 ? ? ?( ? ) ? ?? 2 ? 3? ? ? 3 ? ?( ? ) an a1 k ?1 ak ak ?1 a1 k ?1 k ? 1 k ?1 k ?1 k (k ? 1) k ?1 k

1 2n ? 1 ? 3 ? (1 ? ) ? , n n
所以 an ?

n 1 1 1 1 ? ? ? ? . 2n ? 1 2 2(2n ? 1) 2 4n

------------------------------------------20 分

11.已知椭圆 C: 点.

x2 y 2 2 1 ? ? 1 ,过点 P ( , ? ) 而不过点 Q ( 2,1) 的动直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两 4 2 3 3

(1)求∠AQB; (2)记△QAB 的面积为 S ,证明: S ? 3 . 解 (1) 如果直线 l 的斜率存在, 设它的方程为 y ? kx ? b , 因为点 P 在直线 l 上, 所以 ? 故 b ? ? ( 2k ? 1) . 联立直线 l 和椭圆 C 的方程,消去 y ,得 (2k 2 ? 1) x2 ? 4kbx ? 2b2 ? 4 ? 0 . 设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?

1 2 ? k ? b, 3 3

1 3

4kb 2b 2 ? 4 x x ? , , 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2b ? ?

4k 2 b 2b ? 2b ? 2 , 2 2k ? 1 2k ? 1
2 2 2

2b2 ? 4 4kb y1 ? y2 ? (kx1 ? b)(kx2 ? b) ? k x1 x2 ? kb( x1 ? x2 ) ? b ? k ? 2 ? kb ? (? 2 ) ? b 2 2k ? 1 2k ? 1 ? b 2 ? 4k 2 2k 2 ? 1
------------------------------------------6 分

因为 QA ? ( x1 ? 2, y1 ?1) , QB ? ( x2 ? 2, y2 ?1) ,所以

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? QA? QB ? ( x1 ? 2, y1 ?1)? ( x2 ? 2, y2 ?1) ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? ( y1 ?1)( y2 ?1) ? x1x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 2 ? y1 y2 ? ( y1 ? y2 ) ?1
2b 2 ? 4 4kb b 2 ? 4k 2 2b ? 2 ? 2 ? (? 2 ) ? 2 ? ? 2 ?1 2 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1
? 1 2k 2 ? 1 [3b 2 ? 2k 2 ? 2b(2 2k ? 1) ? 1]
3

?

1 2 [ ( 2k ? 1) 2 ? 2k 2 ? ( 2k ? 1)(2 2k ? 1) ? 1] 2k ? 1 3 3
2

1

=0, 所以 QA ? QB ,显然 A、Q、B 三点互不相同,所以∠AQB=90°. 如果直线 l 的斜率不存在,则 A、B 两点的坐标为 (

??? ?

??? ?

2 17 ,? ) ,容易验证∠AQB=90°也成立. 3 3

因此,∠AQB=90°. ------------------------------------------12 分 (2)由(1)知∠AQB=90°,所以△QAB 是直角三角形. 如果直线 QA 或 QB 的斜率不存在,易求得△QAB 的面积为 S ? 2 2 ? 3 . 如果直线 QA 和 QB 的斜率都存在, 不妨设直线 QA 的方程为 y ? m( x ? 2) ? 1, 代入椭圆 C 的方程, 消去 y ,得 (2m2 ? 1) x2 ? 4m( 2m ?1) x ? 2( 2m ?1)2 ? 4 ? 0 ,则

| QA |? m2 ? 1 ? [

4m( 2m ?1) 2 2( 2m ?1)2 ? 4 8? | 2m ? 1| . ] ? 4 ? ? m2 ? 1 ? 2 2 2m ? 1 2m ? 1 2m2 ? 1
8? | 2 ? (? 1 ) ? 1| 8? | 2 ? m | m . --------------------------16 分 ? m2 ? 1 ? 2 1 2 m ? 2 2(? ) ? 1 m

又 QB⊥QA,所以,同理可求得

1 | QB |? (? ) 2 ? 1 ? m

于是,△QAB 的面积为

S?

1 1 8? | 2m ? 1| 8? | 2 ? m | | QA |? | QB |? ? m2 ? 1 ? ? m2 ? 1 ? 2 2 2 2m ? 1 m2 ? 2

? 4 ? (m2 ? 1) ?

| 2m ? 1| ? | 2 ? m | | 2(1 ? m ) ? m | ? 4? ? 4 ? (m2 ? 1) ? 2 2 (2m ? 1)(m ? 2) 2(m2 ? 1)2 ? m2
2

| 2?

1 ? m2 m ? 2 | 2 m ?1 m ?1 . m 2 ? ( 2 )2 m ?1

1 ? m2 2m ? cos ? , 2 ? sin ? ,则 S ? 4 ? 令 2 m ?1 m ?1

1 | 2 cos ? ? sin ? | 2 . 1 2 2 ? sin ? 4

注意到 | 2 cos ? ?

1 1 1 1 3 sin ? |? 2 ? ? | sin(? ? ? ) |? 2 ? ? , 2 ? sin 2 ? ? 2 ,且等号不能同时 4 2 4 4 2

3 取得,所以 S ? 4 ? 2 ? 3 . 2

------------------------------------------20 分

4


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