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高二选修2-3 1.2.2组合(3)ppt课件


复习巩固:
1、组合定义: 一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一 组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 2、组合数: 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数 ,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号 m C n 表示. 3、组合数公式:
m n! An n(n ? 1)(n ? 2)? (n ? m ?

1) m m Cn ? Cn ? m ? Am m! m !(n ? m)!

我们规定:Cn ? 1.
0

定理 1:

C ?C
m n

n?m n

性质2
一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球. ⑴ 从口袋内取出3个球,共有多少种取法? ⑵ 从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有 多少种取法? ⑶ 从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少 种取法?

解:(1) ⑶

C ? 56
C ? 35
3 7

3 8



C ? 21
2 7

我们发现:

C

3 8

?C ? C
2 7

3 为什么呢 7

我们可以这样解释:从口袋内的 8个球中所取出的3个球,可以分为 两类:一类含有1个黑球,一类不含 有黑球.因此根据分类计数原理, 上述等式成立.

性质2
证明:

C ?C
m n

? cn ? cn c n ?1
m m
m?1 n

m ?1

n! n! ? ? m!(n ? m)! (m ? 1)![n ? (m ? 1)]! n!(n ? m ? 1) ? n!m (n ? m ? 1 ? m)n! ? ? m!(n ? m ? 1)! m!(n ? 1 ? m)! (n ? 1)! m ? ? Cn?1 . m![( n ? 1) ? m]!

? cn ? cn c n ?1
m m

m ?1

注:1? 公式特征:下标相同而上标差1的两个组合数 之和,等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标 较大的相同的一个组合数. 2? 此性质的作用:恒等变形,简化运算.在今后学 习“二项式定理”时,我们会看到它的主要应用.

例1
(1)

计算:

C

3 99

?C ?
3 100

? C 99; 100? 99 ? 98
2

3 ? 2 ?1
3 2

? 161700

( 2)

2C

3 8

?C9 ?C8 .
3 8 3 8 2 8 2 8 3 8

? 2 C ? (C ? C ) ? C ? C ? 56

例2 求证: m m?1 m m?1 ( 1 ) Cn?1 ? Cn ? Cn?1 ? Cn?1 ;

? C ? 2C ? C . m?1 m?1 m (2) C n ? C n ? 2C n m m?1 m?1 m m m?1 m?1 ( 1 ) ? (C n C n C?)C n?1C nC n?1 n ) ? n ?( ? ?C m?1 m m?1 m ? Cn ? ? C n?1 ? C n?1 C n m m?1 ? ? C n?2 .C n?1 .
(2) C
m?1 n m?1 n m n m?1 n? 2

一、等分组与不等分组问题
例3、6本不同的书,按下列条件,各有多少种不同的分法;
(1)分给甲、乙、丙三人,每人两本; (2)分成三份,每份两本; (3)分成三份,一份1本,一份2本,一份3本; (4)分给甲、乙、丙3人,一人1本,一人2本,一人3本;

(5)分给甲、乙、丙3人,每人至少一本;
(6)分给5个人,每人至少一本; (7)6本相同的书,分给甲乙丙三人,每人至少一本。

练习: (1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1 件,另一份4件, 有多少种分法? (2) 今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每 人二件有多少种分法?

解: (1) C ? C ? C ? C ? 3150 2 2 C ? C6 ? C4 ? C ? 18900 (2)
6 10 6 10 1 2 4 6 1 2 1 1 2 2

二、不相邻问题插空法
例4、某城新建的一条道路上有12只路灯,为了节 省用电而不影响正常的照明,可以熄灭其中三盏 灯,但两端的灯不能熄灭,也不能熄灭相邻的两 盏灯,可以熄灭的方法共有( ) 3 3 3 3 A C 8 种(B) 8 种 (C) 9 种 (D) 11 种 C C (A)

三、混合问题,先“组”后“排”
例5 对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品, 一一进行测试,至区分出所有次品为止,若所有次 品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法 有种可能? 解:由题意知前5次测试恰有4次测到次品,且第5 次测试是次品。故有: 3C 1 A4 ? 576 种可能。 C
4 6 4

练习:1、某学习小组有5个男生3个女生,从中选3名 男生和1名女生参加三项竞赛活动,每项活动至少有1 人参加,则有不同参赛方法______种.
解:采用先组后排方法:
3 1 2 3 C5 ? C3 ? C4 ? A3 ? 1080

2、3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生

体检,每校分配 1 名医生和 2 名护士,不同的分配方
法共有多少种?
解法一:先组队后分校(先分堆后分配)

C C ?A
2 2 6 4

3 3

? 540

解法二:依次确定到第一、第二、第三所学校去的医 生和护士.
1 3 2 6 1 2 2 4

(C C ) ? (C C ) ?1 ? 540

四、分类组合,隔板处理
例6、 从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每 校至少有1人,这样有几种选法?
分析:问题相当于把个30相同球放入6个不同盒子(盒 子不能空的)有几种放法?这类问可用“隔板法”处理. 解:采用“隔板法” 得: 5 ? 4095 C
29

练习: 1、将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级, 每班至少分到1个名额,共有多少种不同的分配方法?

2、从一楼到二楼的楼梯有17级,上楼时可以一步走 一级,也可以一步走两级,若要求11步走完,则有 多少种不同的走法?

课堂练习:
1、把6个学生分到一个工厂的三个车间实习,每个车间2人, 若甲必须分到一车间,乙和丙不能分到二车间,则不同的分 9 法有 种。 2、从6位同学中选出4位参加一个座谈会,要求张、王两人中 9 至多有一个人参加,则有不同的选法种数为 。 3、要从8名男医生和7名女医生中选5人组成一个医疗队,如果 其中至少有2名男医生和至少有2名女医生,则不同的选法种数 为( C ) 3 2 3 3 2 3 A.(C8 ? C7 )(C7 ? C82 ) B.(C8 ? C7 ) ? (C7 ? C82 ) 3 2 3 1 C.C8 C7 ? C7 C82 D.C83C72C11 4、从7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员, 则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有( D)

A.C A

2 5

3 3

B.2C A

3 5

3 3

C. A

3 5

3 3 D.2C52 A3 ? A5

课堂练习: 5、在如图7x4的方格纸上(每小方格均为正方形) (1)其中有多少个矩形? (2)其中有多少个正方形?

Thank you!


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