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必修4-1.1


人教A版必修四第一章 三角函数1.1任意角和弧度制

知识回顾:
同学们,我们回顾一下学过的这些角:

知识回顾:
角的定义1: 平面内从一个点 出发引出的两条射线构成的 几何图形.

这种静态定义是从图形
形状来定义角,因此角的范 围是[0?, 360?]

同学们现实生活中确定有存在不在学过范围的角
现状生活中:体操、跳水、滑冰、 转体720度的高难度动作,直体后空 翻转体900度及以上的旋转 时钟的时针、分针转动和调准时间 时顺时针、逆时针拨转角度 主从动轮转动角 车的轮子的转动角

风车,风扇叶片等转动

思考:这些旋转形成的角该如何表示和区分?
引入新的角定义:
定义2:平面内一条射线绕着端点从一个位

置旋转到另一个位置所成的图形.射线OA、
OB分别是角的始边和终边,端点O为角的 顶点。

1.任意角:含任意大小的正角,负角,零角。 类比初中数的扩展学习,我们可以把这种运动形 成的角推广到任意角。为了方便规定: 按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角 按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角 没有作任何旋转形成的角叫做零角
A(B) O

在初中我们研究了锐角三角函数,为了研究任意 角的三角函数,用角和长度定位点,实现几何问 题代数化。我们常在直角坐标系内讨论角。把角 的顶点重合于坐标原点,角的始边重合于x轴的 正半轴。 ?角的终边落在第几象限,就说这个角是第几 象限的角(包含第一、 二、三、 四象限角) ?角的终边落在哪坐标轴上,就说这个角是 哪坐标轴上角(包含x,y正负半轴上的角)

2.象限角和坐标轴上角 终边 终边 y x

o
终边

始边 终边

?是第一象限角
?是第二象限角

?是 第 三 象 限 角
?是第四象限角

用旋转定义的任意角,需要注意三个要素:旋 转中心、旋转方向和旋转量 (当旋转超过一周



时,旋转量即超过360? ,角度的绝对值可大于
360? 。于是就有720? , - 540? ,第一象限的 角也已经超越原来锐角的范畴.)

3.终边相同的角

⑴ 观察:?330? ,750?角,它们的终边与30?角的终边有

何关系? ⑵探究:与30 ?终边相同的角(含30 ?角本身)集合用描述法如
何表示? ?330?=30?+(?1)×360? (k=-1) , 30?=30?+0×360? (k=0), 750?=30?+2×360?(k=2) (3)结论: ? ? ? ? 30? ? k ? 360 ?, k ? Z ? ? 与 ? 终边相同的角(含 本身)集合用描述法又 将如何表示?

?? ? ? ? ? k ? 360?, k ? Z?

思考:从终边相同的角集合表示中可以悟出什么?

例1:写出终边落在y轴上的角的集合。
?

解:终边落在y轴正半轴上的角的集合为

S1={β| β=900+K?3600,K∈Z} ={β| β=900+2K?1800,K∈Z} ={β| β=900+1800 的偶数倍} 终边落在y轴负半轴上的角的集合为 S2={β| β=2700+K?3600,K∈Z} ={β| β=900+1800+2K?1800,K∈Z}
={β| β=900+(2K+1)1800 ,K∈Z} ={β| β=900+1800 的奇数倍}

所以 终边落在y轴上的角的集合为 S=S1∪S2 ={β| β=900+1800 的偶数倍} ∪{β| β=900+1800 的奇数倍} ={β| β=900+1800 的整数倍} ={β| β=900+K?1800 ,K∈Z}

1 ?的角是周角的 用1?角作单位来度量角的制度叫做角度制 但角的度量单位如同长度,面积,体积等有不同单位一样,也由于数 据大,书写不便等有引入不同单位的需要。

1 360

根据角的动态定义:角是由射线绕 它的端点旋转而成的,在旋转的过程中 射线上的点必然形成一条圆弧。

思考:不同的点所形成的圆弧的
长度是不同的,但都对应同一个 圆心角,探索弧长与其半径之比 有什么关系?

设α=n?,AB弧长为l,半径OA 2? r l 2? 为r, l ? n ? , ? n? 360 r 360 则可以看出,等式右端不含 半径,表示弧长与半径的 比值跟半径无关,只与α的 大小有关。 ? AB ? A?B? 对于同一圆心角, ? r r?

3.弧度

3.弧度
弧长等于半径长(l=r)的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的 角,弧度记作rad.角 ? 的弧度数的绝对值规定等于 l . r ? 的正负由 ? 的终边的旋转方向决定。 这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制。 l 2?r ∵ 360?= ? ? 2? (rad,∴ )

l ? ? r

180?=? rad, ∴ 1?=
1 rad

r

r

?

180

rad ? 0.01745rad
?

? 180 ? ? ? ?? ? ? 57.30 ? 57 18 ' ? ? ?

注:rad今后可以省略不写

用弧度来度量角,实际上角的集合与实数集R 之间建立一一对应的关系:
正角

正实数

零角
负角


负实数

角的集合

弧度的集合(实数集R)

请运用转换公式,填写下表:





-30°

45 °

60°

-135°

90° 120°

-150° 30′

150°

270°

弧度

0

?

?
6

?
4

?
3

3? ? 4

?
2

2? 3

5? ? 6

301? 360

3? 2

3.弧度

l ? ? r

? 弧长 ? r ? ? 1 1 S扇形 ? ? ? r ? ? r 2 2 2

思考:扇形的弧长和面积共含几个变量,已知几 个量,才能求出另外的量呢?

合作探究练习1: 用角度和弧度分别表示:
1.
2. 3.

4.

终边在x轴上的角的集合 终边在坐标轴上的角的集合 终边在第一象限角的集合 终边在y=x直线上的角的集合
{β | β =kπ ,k∈Z}
?

1.{β| β=k?1800 ,k∈Z} β=k?900

2.{β| ,k∈Z} {β | β =k? 2 ,k∈Z} 3.{β| k ? 3600 <β<k? 3600+900 ,k∈Z} {β | 2k π ? <β <2kπ + ,k∈Z} 2 ? 0 0 4.{β| β=k? 180 +45 ,k∈Z} {β | β =kπ + 4 ,k∈Z}

思考:终边在过直角坐标系原点的直线上角 的集合共同特征是怎样的?

小结:1.在0到360度(0~2π)内找与已知角终边相同的角, 方法是:用所给角除以3600(2π) 所给角是正的:按通常的除法进行; 所给角是负的:度数除以3600(2π),商是负数,它的绝对值 应比被除数为其相反数时相应的商大1,以便使余数为正值。 2.判断一个角是第几象限角,

把所给角 ?改写成 : ? 0在第几象限, 的形式,

?

0 ( K∈Z,00≤ < 0) ? ? +k · 360 360 0 0

就是第几象限角。

?

0

+k〃2π ( K∈Z, 0≤ ? 0<2π )

课堂小结: 1.任意角: 角的不同分类:正角、负角和零角 象限角和坐标轴上的角 终边相同的角集合表示: ?? ? ? ? ? k ? 360?, k ? Z? 2.角度制和弧度制的转化:
1? =
?
180 rad ? 0.01745rad
?

? 180 ? ? ? ? 57.30 ? 57 18' 1 rad ? ? ? ? ? ?

3.扇形的弧长和面积公式.(角度和弧度制)

在0到360度(0~2π )范围内,找出与下列各角终边相 同的角,并判断它是哪个象限的角? 23 11 ? ? ? (1)-120°(2) (3) -950 °12′(4) 6
3

解(1)因这-120°=-1×360 °+240 ° 所以与-120 °角终边相同的角是240 °角,它是第三象 限角。 11? 5? ? 2? ? (2)因为 3 3 5? 11? 所以与 角终边相同的角是 ,它是第四象限角。 3 3 (3)因为-950°12′ = -3×360°+129°48' 所以与-950°12′ 角终边相同的角是129°48 ’ 角, 它是第二象限角。
(4)因为 ? ? ? ?4? ? 6 23 6 ? ? 所以与 ? 6 角终边相同的角是 , 它是第一象限角。 6
23

?

例2. 已知一半径为R的扇形,它的周长等于所在圆

的周长,那么扇形的中心角是多少弧度?合多少度?
扇形的面积是多少?
解:周长=2πR=2R+l,所以l=2(π-1)R.

所以扇形的中心角是2(π-1) rad. 合 360(? ? 1)度
?

扇形面积是

(? ? 1) R

2


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