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《2.3.3,2.3.4平面向量的坐标运算,平面向量共线的坐标表示c


2013 学年第二学期数学科必修四导学稿

必修四----2.3.3 平面向量的坐标运算, 2.3.4 平面向量的共线的坐标表示 高一( )班 姓名 ____________ 学号 _____________ 一、学习目标: 1、理解平面向量的坐标和点的坐标的关系; 2、掌握平面向量的坐标运算的公式; 3、会推导并熟记两向量共线时坐标表示的充要条件; 4、能利

用两向量共线的坐标表示解决有关综合问题。 目标说明:目标 2,3 是本课的重点,目标 1,4 是本课的难点。 二、学习过程 (一)回忆原有知识 1、如图写出下列向量的坐标,

OA ? ___________, AC ? ___________, AD ? __________; AB ?? ___________
▲ a ? ( x, y) 所有与 a 相等的向量的坐标都是 ( x, y ) 。 (二)学习新知识: 问题 1:已知a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则 a=__________,b ? __________ (用 i 和 j 表示)

a ?b ?
由向量线性运算的结合律和分配律,可得 即a ?b ? 1、 平面向量的坐标运算法则: (坐标表示)

a ?b ?

a ?b ?

?a =

练习:已知 a =(2 ,1), b =(-3 ,4),则 a + b =_________, a - b =_______,3 a +4 b =___________.

2、向量的坐标与点的坐标的关系:已知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , AB ?

练习: (1)已知 A(1,2)、B(2,3)两点的坐标,则 AB ? __________ ,

BA ? ___________

(2)已知 OA ? (3, 2), AC ? (4,5), ,则点 C 的坐标为_____________。

小结:(1)若向量 a 的起点在原点 O,终点为 A,则 a ? OA ,向量 a 的坐标即点 A 的坐标; (2)若向量 a 的起点为 A( x1 , y1 ) ,终点为 B( x2 , y2 ) ,则 a ? AB ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) 。 (3)坐标平面内所有起点在原点的向量与平面内的点构成一一对应关系。

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ABCD 的三个顶点 A、B、C 的坐标分别是(-2,1) 例题..如图,已知 、 (-1,3) 、 (3,4) , 试求顶点 D 的坐标。 解法一:

解法二:

变式:若已知平面上三个点 A、B、C 的坐标分别为(-2,1),(-1,3),(3,4),求第四个 点的坐标,使这四个点构成一个平行四边形的四个顶点.

问题 2:如何用坐标表示两个共线向量? 3、平面向量平行(共线)两种形式: 设 a ? ( x1 , y1 ) , 其中 b ? 0 , b ? ( x2 , y2 ) , (1) (2)

?口答?1、判断下列向量是否共线?
(1)a ? ? ?2,3? , b ? ? 4, 6 ? ;(2) a ? ? 2,3 ? , b ? ? 3, 2 ? ;(3) a ? ? ?3, 2 ? , b ? ? 6, ?4 ?
(是,不是,是)

(口答)2、已知a / /b, 且a ? (4, 2), b ? (6, y), 则y ? _____
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4.样例学习及变式训练 例 1: 已知向量a = (2,1), b = ( x, - 1), m = a + 2b,

u = 2a - b, 且m / /u, 求x的值.

例 2:已知A(- 1 , - 1),B (1,, 3) C(2,,试判断 5) A, B, C三点之间的位置关系.

评注:证明三点共线,可通过证由这三点构成的有公共点的向量共线来证明! 变式: 《学评》75 页第(8)题,第(10)题

例 3.设点 P 是线段 P1P2 上的一点,P1、P2 的坐标分别是 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) (1)当点 P 是线段 P1P2 的中点时,求点 P 的坐标; (2) 当点 P 是线段 P1P2 的一个三等分点时, 求点 P 的坐标。

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变式 1:当 P ,点 P 的坐标为______________ 1 P ? 2 PP 2

变式 2:当 P ,点 P 的坐标为______________ 1 P ? ? PP 2

(**)【拓展】 : 《学评》65 第(8)题 线段的定比分点的向量公式:

如图, 在平面内任取一点O, 设 OP OP 1 ? a, 2 ? b,
且P OP =______________________. 1 P ? ? PP 2,

OP ? 特殊地, 当 ? ? 1 时,即点 P为线段 PP 1 2 的中点时,

1 ( a ? b) 2

(三)课堂小结 请同学们总结本节学习的内容 一个向量的坐标表示: (特殊 a ? OA ,向量 a 的坐标即点 A 的坐标) a ? AB ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) 三种运算的坐标表示: a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) , a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) , ? a ? (? x, ? y) 两种形式:平行(共线)向量: 设 a ? ( x1 , y1 ) , 其中 b ? 0 , b ? ( x2 , y2 ) ,

bb?0 ) ? a ? ? b (几何形式) (1) a / /(
(2) a / /( bb?0 ) ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 ?

y1 y2 ? ( x1 ? x2 ) (坐标形式) x1 x2

(四)课外作业: 1. 作业本(1)教材 P101 习题 2.3 A 组 3,4 (2)课外作业 1 题 2. 《学习与评价》p73-75 达标训练 3.2-3.3(1)-(12)
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2013 学年第二学期数学科必修四导学稿

必修四----2.3.3 平面向量的坐标运算 2.3.4 平面向量的共线的坐标表示 高一( )班 姓名 ____________ 学号 _____________ 二、学习目标: 1、理解平面向量的坐标和点的坐标的关系; 2、掌握平面向量的坐标运算的公式; 3、会推导并熟记两向量共线时坐标表示的充要条件; 4、能利用两向量共线的坐标表示解决有关综合问题。 目标说明:目标 2,3 是本课的重点,目标 1,4 是本课的难点。 二、学习过程 (一)回忆原有知识 1、如图写出下列向量的坐标,

OA ? ___________, AC ? ___________, AD ? __________; AB ?? ___________

若 a ? ( x, y) 所有与 a 相等的向量的坐标都是 ( x, y ) , a ? OA ? AB =(2,2) (二)学习新知识: 问题 1:已知a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则 a=__________,b ? __________ (用 i 和 j 表示)

a ?b ?
由向量线性运算的结合律和分配律,可得 即a ?b ? 2、 平面向量的坐标运算法则: a ? b ? (坐标表示)

a ?b ? ?a =
即(ⅰ)两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差) (ⅱ)实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来向量的相应坐标 练习:已知 a =(2 ,1), b =(-3 ,4),则 a + b =_________, a - b =_______,3 a +4 b =___________. 问题 2:若已知 点 A、B 的坐标分别为 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) 如何求 AB 的坐标呢? 由向量的减法运算: AB ?
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2013 学年第二学期数学科必修四导学稿

2、向量的坐标与点的坐标的关系:已知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , AB ? 即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标 。 练习: (1)已知 A(1,2)、B(2,3)两点的坐标,则 AB ? __________ , (2)已知 OA ? (3, 2), AC ? (4,5), ,求点 C 的坐标。

BA ? ___________

点评:1.设出所求点的坐标,利用向 量相等或向量共线列方程组求解,利用方 程的思想求解向量中未知的点的坐标,是 一种最基本的方法. 2.求一个点的坐标,可以转化为求一个始 点在原点,终点在该点的向量坐标
小结:(1)若向量 a 的起点在原点 O,终点为 A,则 a ? OA ,向量 a 的坐标即点 A 的坐标; (2)若向量 a 的起点为 A( x1 , y1 ) ,终点为 B( x2 , y2 ) ,则 a ? AB ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) 。 (3)坐标平面内所有起点在原点的向量与平面内的点构成一一对应关系。

ABCD 的三个顶点 A、B、C 的坐标分别是(-2,1) 例题 2.如图,已知 、 (-1,3) 、 (3,4) , 试求顶点 D 的坐标。

y B
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C

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点评:设出所求点的坐标,利用向量相等或向量共线列方程组求解,利用方程的思想求解向量 中未知的点的坐标,是一种最基本的方法.

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求一个点的坐标,可以转化为求一个始点在原点,终点在该点的向量坐标 解法 3:中点坐标公式 变式:若已知平面上三个点 A、B、C 的坐标分别为(-2,1),(-1,3),(3,4),求第四个 点的坐标,使这四个点构成一个平行四边形的四个顶点.

问题 3:如何用坐标表示两个共线向量?

其中 b ? 0 . 则 a / /b ? a ? ?b ( ? ? R ) 设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,

3. 平面向量平行(共线)两种形式:

其中 b ? 0 , 设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,
bb?0 ) ? a ? ? b (几何形式) (1) a / /(
(2) a / /( bb?0 ) ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 ?

?口答? 判断下列向量是否共线?
(是,不是,是)

y1 y2 ? ( x1 ? x2 ) (坐标形式) x1 x2

(1)a ? ? ?2,3? , b ? ? 4, 6 ? ;(2) a ? ? 2,3 ? , b ? ? 3, 2 ? ;(3) a ? ? ?3, 2 ? , b ? ? 6, ?4 ?
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(4)已知a / /b, 且a ? (4,2), b ? (6, y), 则y ? _____ 3
5.样例学习及变式训练 例 1: 已知向量a = (2,1), b = ( x, - 1), m = a + 2b,

u = 2a - b, 且m / /u, 求x的值.

例:已知A(- 1 , - 1),B (1,, 3) C(2,,试判断 5) A, B, C三点之间的位置关系.

评注:证明三点共线,可通过证由这三点构成的有公共点的向量共线来证明! 变式: 《学评》75 页第(8)题,第(10)题

例 2.设点 P 是线段 P1P2 上的一点,P1、P2 的坐标分别是 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) (1)当点 P 是线段 P1P2 的中点时,求点 P 的坐标; (2)当点 P 是线段 P1P2 的一个三等分点时,求点 P 的坐标。

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x1 ? 2 x2 y1 ? 2 y2 , ). 3 3 x ? ? x2 y1 ? ? y2 , ). 变式 2:当 P ,点 P 的坐标为______________ P ( 1 1 P ? ? PP 2 1? ? 1? ?
变式 1:当 P ,点 P 的坐标为______________ P ( 1 P ? 2 PP 2

【拓展】 : 《学评》65 第(8)题

在平面内任取一点O, 线段的定比分点的向量公式: 如图, 设 OP OP 1 ? a, 2 ? b,

OP =______________________. OP ? 且P 1 P ? ? PP 2,

a ? ?b 1? ?

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OP ? 特殊地, 当 ? ? 1 时,即点 P为线段 PP 1 2 的中点时,
(三)课堂小结 请同学们总结本节学习的内容

1 ( a ? b) 2

一个向量的坐标表示: (特殊 a ? OA ,向量 a 的坐标即点 A 的坐标) a ? AB ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) 三种运算的坐标表示: a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) , a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) , ? a ? (? x, ? y) 两种形式:平行(共线)向量: 设 a ? ( x1 , y1 ) , 其中 b ? 0 , b ? ( x2 , y2 ) , (1) a / /( bb?0 ) ? a ? ? b (几何形式) (2) a / /( bb?0 ) ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 ? (四)课外作业: 1. 作业本(1)教材 P101 习题 2.3 A 组 3,4 (2)课外作业 1 题 2. 《学习与评价》p70-72 达标训练(1)-(12)

y1 y2 ? ( x1 ? x2 ) (坐标形式) x1 x2

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