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上教版高二数学教案——7.3等比数列2


等比数列(2)
教学目的:1.灵活应用等比数列的定义及通项公式; 2.深刻理解等比中项概念; 3.熟悉等比数列的有关性质,并系统了解判断数列是否成等比数列的方法; 教学重点:等比中项的理解与应用 教学难点:灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题 教学过程: 一、复习引入: 首先回忆一下上一节课所学主要内容: 1.等比数列:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么 这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母 q 表示(q≠0) , 即:

an =q(q≠0) a n ?1

2.等比数列的通项公式:

an ? a1 ? q n?1 (a1 ? q ? 0) , an ? am ? qn?m (am ? q ? 0)
3. ?an ? 成等比数列 ?

an ?1 ? q(q ? 0, n ? N ? ) an

“ an ? 0 ”是数列 ?an ? 成等比数列的必要非充分条件。 4.既是等差又是等比数列的数列:非零常数列。 5.等比中项: a, G, b 成等比数列 ? G ? ab ( a ? b ? 0 )
2

二、等比数列的性质 在等比数列中,若 m ? n ? p ? k , am , an , a p , ak 有什么关系呢? 由定义得: am ? a1q m?1

an ? a1q n?1
2

ap ? a1q p?1

ak ? a1 ? qk ?1

am ? an ? a1 q m?n?2
2

, a p ? ak ? a1 q p ? k ?2

则 am an ? a p ak
? 等比数列的性质:若 m ? n ? p ? k ,则 am an ? a p ak ( m, n, p, k ? N )

例 1: (1)在等比数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 5, a9 a10 ? 100 ,求 a18 ; (2)在等比数列 ?bn ? 中, b4 ? 3 求该数列的前七项之积。 解: (1)∵ a1a18 ? a9 a10 ,∴ a18 ?

a9 a10 100 ? ? 20 a1 5

(2) b1b2b3b4b5b6b7 ? (b1b7 )(b2b6 )(b3b5 )b4
2 3 7 ∴前七项之积为 (b4 ) b4 ? b4 ? 37 ? 2187

2 ∵ b4 ? b1b7 ? b2b6 ? b3b5

例 2:在等比数列 ?an ? 中, (1) a2 ? ?2, a5 ? 54 ,求 a8 (2) a1 ? 1, a5 ? 81 ,求 a3 解: (1) a8 ? a5 q ? a5 ?
3

a5 54 ? 54 ? ? ?1458 a2 ?2

另解:∵ a5 是 a2 与 a8 的等比中项,∴ 542 ? ?2 ? a8 ,∴ a8 ? ?1458 (2) a5 ? a1q4 ? q4 ? 81 ? q ? ?3 ? a3 ? a1q2 ? 9
2 错解: a3 ? a1a5 ? 81 ? a3 ? ?9

例 3:已知数列 ?bn ? 的通项公式为 bn ? 3 ? 2n ,且 cn ? b2 n?1 ? b2n ,求证:数列 ?cn ? 是等比 数列。 证明:

cn b ?b 3 ? 22n?1 ? 3 ? 22n 3 ? 22n?1 (1 ? 2) ? 2n?1 2n ? ? ?4 cn?1 b2n?3 ? b2n?2 3 ? 22n?3 ? 3 ? 22n?2 3 ? 22n?3 (1 ? 2)

所以 ?cn ? 是等比数列。 例 4:已知 ?an ?, ?bn ?是项数相同的等比数列,求证 ?an ? bn ? 是等比数列。 证明: 设数列 ?an ? 的首项是 a1 , 公比为 q1 ; ?bn ?的首项为 b1 ,公比为 q2 ,那么数列 ?an ? bn ? 的第 n 项与第 n ? 1 项分别为:

a1 ? q1

n?1

? b1 ? q2 与a1 ? q1 ? b1 ? q2 即为a1b1 (q1q2 ) n?1 与a1b1 (q1q2 ) n
n n

n?1

an?1 ? bn?1 a1b1 (q1q2 )n ? ? q1q2 。 an ? bn a1b1 (q1q2 )n?1
它是一个与 n 无关的常数,所以 ?an ? bn ? 是一个以 q1q2 为公比的等比数列。 证法二: ?an ? ,?bn ? 为等比数列,设

an?1 b ? q1 , n?1 ? q2 , an bn



an?1bn?1 an?1 bn?1 ? ? ? q1 ? q2 anbn an bn

例 5:书 P23 例 5

例 6:有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个 数的和是 16,第二个数与第三个数的和是 12,求这四个数
王新敞
奎屯 新疆

解 : 设 四 个 数 依 次 为 a, b,12 ? b,16 ? a , 则 ?

? 2b ? a ? (12 ? b) ?a ? 0 , 解得 ? 或 2 ?(12 ? b) ? b(16 ? a) ?b ? 4

?a ? 15 , ∴ 这四个数为 0, 4, 8, 16 或 15, 9, 3, 1 ? ?b ?9


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