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抛物线提高训练题(含详细答案)


A

抛物线

1.抛物线 y2=-8x 的焦点坐标是( ) A.(2,0) B.(-2,0) C.(4,0) D.(-4,0) 2.设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2=ax(a≠0)的焦点 F,且和 y 轴交于点 A.若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线的方程为( ) 2 2 A.y =± 4x B.y =± 8x C.y2=4x D.y2=8x 3.已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=-1,抛物线 y2=4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是( ) A.2 B.3 11 37 C. D. 5 16 4.点 A,B 在抛物线 x2=2py(p>0)上,若 A,B 的中点是(x0,y0),当直线 AB 的斜率存 在时,其斜率为( ) 2p p A. B. y0 y0 p x0 C. D. x0 p 5.[2010· 福建卷] 以抛物线 y2=4x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( ) 2 2 2 2 A.x +y +2x=0 B.x +y +x=0 C.x2+y2-x=0 D.x2+y2-2x=0 6. [2010· 山东卷] 已知抛物线 y2=2px(p>0), 过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A, B 两点,若线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为( ) A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2 7.[2010· 陕西卷] 已知抛物线 y2=2px(p>0)的准线与圆 x2+y2-6x-7=0 相切,则 p 的值为( ) 1 A. B.1 C.2 D.4 2 8.[2010· 辽宁卷] 设抛物线 y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l, A 为垂足.如果直线 AF 的斜率为- 3,那么|PF|=( ) A.4 3 B.8 C.8 3 D.16 9. [2011· 东北三校模拟] 已知抛物线 y=ax2 的准线方程为 y=1, a 的值为________. 则 10.[2010· 浙江卷] 设抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 A(0,2).若线段 FA 的中点 B 在抛物线上,则 B 到该抛物线准线的距离为________. 11.给定抛物线 C:y2=4x,过点 A(-1,0),斜率为 k 的直线与 C 相交于 M,N 两点, 若线段 MN 的中点在直线 x=3 上,则 k=________. 12.(13 分)[2011· 西城一模] 已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F,直线 l 过点 M(4,0). (1)若点 F 到直线 l 的距离为 3,求直线 l 的斜率; (2)设 A,B 为抛物线上两点,且直线 AB 不与 x 轴垂直,若线段 AB 的垂直平分线恰好 过点 M,求证:线段 AB 中点的横坐标为定值.

13.(12 分)[2011· 西城一模] 已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,过 F 的直线交 y 轴 正半轴于点 P,交抛物线于 A,B 两点,其中点 A 在第一象限. (1)求证:以线段 FA 为直径的圆与 y 轴相切; → → → → λ1 1 1 (2)若FA=λ1AP,BF=λ2FA, ∈?4,2?,求 λ2 的取值范围. ? λ2 ?

B

抛物线

1.若点 P(x,y)到点 F(0,2)的距离比它到直线 y+4=0 的距离小 2,则 P(x,y)的轨迹方程为 ( ) A.y2=8x B.y2=-8x C.x2=8y D.x2=-8y 2.抛物线 x2=(2a-1)y 的准线方程是 y=1,则实数 a=( ) 5 3 1 3 A. B. C.- D.- 2 2 2 2 2 3.已知抛物线 y =4x,若过焦点 F 且垂直于对称轴的直线与抛物线交于 A,B 两点,O 是坐标原点,则△OAB 的面积是( ) A.1 B.2 C.4 D.6 4. 对于抛物线 y2=4x 上任意一点 Q, P(a,0)都满足|PQ|≥|a|, a 的取值范围是( 点 则 ) A.(-∞,0) B.(-∞,2] C.[0,2] D.(0,2) 5.已知 A,B 是抛物线 y2=2px(p>0)上的两点,O 是原点,若|OA|=|OB|,且△AOB 的 垂心恰好是抛物线的焦点,则直线 AB 的方程是( ) A.x=p B.x=3p 3 5 C.x= p D.x= p 2 2 6.已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)均在抛物 线上,且 2x2=x1+x3,则有( ) A.|FP1|+|FP2|=|FP3| B.|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2 C.2|FP2|=|FP1|+|FP3| D.|FP2|2=|FP1|· 3| |FP 7. 已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点, 则点 P 到点(0,2)的距离与 P 到该抛物线准 线的距离之和的最小值为( ) 17 A. B.3 2 9 C. 5 D. 2 8.已知抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F,准线与 x 轴的交点为 K,点 A 在 C 上且|AK|= 2

|AF|,则△AFK 的面积为( ) A.4 B.8 C.16 D.32 9.已知抛物线 C 的顶点坐标为原点,焦点在 x 轴上,直线 y=x 与抛物线 C 交于 A,B 两点,若 P(2,2)为 AB 的中点,则抛物线 C 的方程为________. 10. [2010· 全国卷Ⅱ] 已知抛物线 C: 2=2px(p>0)的准线为 l, M(1,0)且斜率为 3的 y 过 → → 直线与 l 相交于点 A,与 C 的一个交点为 B.若AM=MB,则 p=________. → → 11.[2010· 重庆卷] 已知以 F 为焦点的抛物线 y2=4x 上的两点 A、B 满足AF=3FB,则 弦 AB 的中点 P 到准线的距离为________. 1 12.(13 分)[2012· 珠海模拟] 在平面直角坐标系 xOy 中,设点 F?2,0?,直线 l:x=- ? ? 1 ,点 P 在直线 l 上移动,R 是线段 PF 与 y 轴的交点,RQ⊥FP,PQ⊥l. 2 (1)求动点 Q 的轨迹方程 C; (2)设圆 M 过 A(1,0),且圆心 M 在曲线 C 上,TS 是圆 M 在 y 轴上截得的弦,当 M 运动 时,弦长|TS|是否为定值?请说明理由.

图 K50-1 13.(12 分)[2010· 湖北卷] 已知一条曲线 C 在 y 轴右边,C 上每一点到点 F(1,0)的距离 减去它到 y 轴距离的差都是 1. (1)求曲线 C 的方程; (2)是否存在正数 m,对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线,都有 →→ FA· <0?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. FB

A
1.B [解析] 由 y =-8x,易知焦点坐标是(-2,0). a ? a? 2. [解析] 抛物线 y2=ax(a≠0)的焦点 F 坐标为?4,0?, B ? ? 则直线 l 的方程为 y=2?x-4?, a 1 a ?a 它与 y 轴的交点为 A?0,-2?,所以△OAF 的面积为 ?4?· 2?=4,解得 a=± 8.所以抛物线 ? ? 2? ? ? ? 方程为 y2=± 8x. 3.A [解析] 设动点 p 到直线 l2 的距离之和为 d,直线 l2:x=-1 为抛物线 y2=4x 的 准线,由抛物线的定义知,P 到 l2 的距离等于 P 到抛物线的焦点 F(1,0)的距离,故本题转化 为在抛物线 y2=4x 上找一个点 P 使得 P 到点 F(1,0)和直线 l2 的距离之和最小, 最小值为 F(1,0) |4-0+6| 到直线 l1:4x-3y+6=0 的距离,即 dmin= =2. 5
2

[解析] 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x2=2py1,x2=2py2,两式相减得(x1+x2)(x1 1 2 y1-y2 x1+x2 x0 -x2)=2p(y1-y2),即 kAB= = = . 2p p x1-x2 5.D [解析] 因为已知抛物线的焦点坐标为(1,0),即所求圆的圆心.又知该圆过原点, 所以圆的半径为 r=1,故所求圆的方程为(x-1)2+y2=1,即 x2-2x+y2=0. p p 6.B [解析] 抛物线的焦点 F?2,0?,所以过焦点且斜率为 1 的直线方程为 y=x- , ? ? 2 p 即 x=y+ , 2 将其代入 y2=2px,得 y2-2py-p2=0, y1+y2 所以 =p=2,所以抛物线方程为 y2=4x, 2 准线方程为 x=-1. p 7. [解析] 方法 1: C ∵抛物线的准线方程为 x=- , 圆的标准方程为(x-3)2+y2=16. 2 p ∴3-?-2?=4,∴p=2. ? ? 方法 2:作图可知,抛物线 y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16 相切于点(-1,0), p 所以- =-1,解得 p=2. 2 8.B [解析] 设准线 l 与 x 轴交于点 B,连接 AF、PF,则|BF|=p=4,∵直线 AF 的斜 4 率为- 3,∴∠AFB=60° Rt△ABF 中,|AF|= .在 =8.又根据抛物线的定义,得|PA|= cos60° |PF|,PA∥BF,∴∠PAF=60° ,∴△PAF 为等边三角形,故|PF|=|AF|=8. 1 1 1 1 9.- [解析] 抛物线方程为 x2= y,故其准线方程是 y=- =1,解得 a=- . 4 a 4a 4 p p 3 2 10. [解析] 设抛物线的焦点 F?2,0?,由 B 为线段 FA 的中点,所以 B?4,1?,代 ? ? ? ? 4 p p 3p 3 2 入抛物线方程得 p= 2,则 B 到该抛物线准线的距离为 + = = . 4 2 4 4 2 11.± [解析] 过点 A(-1,0),斜率为 k 的直线为 y=k(x+1),与抛物线方程联立后 2 4-2k2 消掉 y 得 k2x2+(2k2-4)x+k2=0,设 M(x1,y1),N(x2,y2),有 x1+x1= 2 ,x1x2=1. k 2 4-2k 2 因为线段 MN 的中点在直线 x=3 上,所以 x1+x2=6,即 2 =6,解得 k=± . k 2 2 而此时 k2x2+(2k2-4)x+k2=0 的判别式大于零,所以 k=± . 2 12.[解答] (1)由已知,x=4 不合题意.设直线 l 的方程为 y=k(x-4).由已知,抛物线 |3k| C 的焦点坐标为(1,0),因为点 F 到直线 l 的距离为 3,所以 = 3, 1+k2 2 2 解得 k=± ,所以直线 l 的斜率为± . 2 2 (2)证明:设线段 AB 中点的坐标为 N(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),则直线 MN 的斜率 4-x0 y0 为 ,因为 AB 不垂直于 x 轴,所以直线 AB 的斜率为 , y0 x0-4 4.D

4-x0 直线 AB 的方程为 y-y0= (x-x0), y0

?y-y =4-x0?x-x ?, ? 0 0 y0 联立方程? ?y2=4x, ? x0 2 消去 x,得?1- 4 ?y2-y0y+y0+x0(x0-4)=0, ? ?
4y0 所以 y1+y2= , 4-x0 y1+y2 2y0 因为 N 为 AB 中点,所以 =y0,即 =y , 2 4-x0 0 所以 x0=2,即线段 AB 中点的横坐标为定值 2. p 13.[解答] (1)证明:由已知 F?2,0?,设 A(x1,y1), ? ? 2 则 y1=2px1, 2x1+p 2x1+p y1? 圆心坐标为? , ,圆心到 y 轴的距离为 4 , 2? ? 4 p 2x1+p |FA| 1 ? 圆的半径为 = ×?x1-?-2??= , ? ?? 2 2 4 所以,以线段 FA 为直径的圆与 y 轴相切. (2)解法一:设 P(0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2), → → → → 由FA=λ1AP,BF=λ2FA,得 ?x1-p,y1?=λ1(-x1,y0-y1), 2 ? ? p ? -x2,-y2?=λ2?x1-p,y1?, 2 ?2 ? ? ? p 所以 x1- =-λ1x1,y1=λ1(y0-y1), 2 p p -x =λ ?x - ?,y =-λ2y1, 2 2 2? 1 2? 2 由 y2=-λ2y1,得 y2=λ2y2. 2 2 1 又 y2=2px1,y2=2px2, 1 2 所以 x2=λ2x1. 2 p p p p p 代入 -x2=λ2?x1-2?,得 -λ2x1=λ2?x1-2?, (1+λ2)=x1λ2(1+λ2), ? ? ? ? 2 2 2 2 p 整理得 x1= , 2λ2 p p p λ1p 代入 x1- =-λ1x1,得 - =- , 2 2λ2 2 2λ2 1 λ1 所以 =1- , λ2 λ2 4 λ1 ?1 1? 因为 ∈?4,2?,所以 λ2 的取值范围是?3,2?. ? ? λ2 p 解法二:设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB:x=my+ , 2 p 将 x=my+ 代入 y2=2px,得 y2-2pmy-p2=0, 2 所以 y1y2=-p2(*). → → → → 由FA=λ1AP,BF=λ2FA,得 ?x1-p,y1?=λ1(-x1,y0-y1), 2 ? ?

?p-x2,-y2?=λ2?x1-p,y1?, 2 ?2 ? ? ?
p 所以 x1- =-λ1x1,y1=λ1(y0-y1), 2 p p -x2=λ2?x1-2?,y2=-λ2y1, ? ? 2 p2 将 y2=-λ2y1 代入(*)式,得 y2= , 1 λ2 p2 p 所以 2px1= ,x1= . λ2 2λ2 p 1 λ1 代入 x1- =-λ1x1,得 =1- , 2 λ2 λ2 4 λ1 1 1 因为 ∈?4,2?,所以 λ2 的取值范围是?3,2?. ? ? ? λ2 ?

B
1. [解析] 点 P(x, C y)到点 F(0,2)的距离比它到直线 y+4=0 的距离小 2, 说明点 P(x, y)到点 F(0,2)的距离与到直线 y+2=0 即 y=-2 的距离相等,轨迹为抛物线,其中 p=4, 故所求的抛物线方程为 x2=8y. 1 1 2.D [解析] 根据分析把抛物线方程化为 x2=-2?2-a?y,则焦参数 p= -a,故抛物 ? ? 2 1 1 -a -a 2 p 2 3 线的准线方程是 y= = ,则 =1,解得 a=- . 2 2 2 2 1 3. [解析] 焦点坐标是(1,0), B A(1,2), B(1, -2), |AB|=4, 故△OAB 的面积 S= |AB||OF| 2 1 = ×4×1=2. 2 y2 y2 0 0 4.B [解析] 设点 Q 的坐标为? 4 ,y0?,由|PQ|≥|a|,得 y2+? 4 -a?2≥a2,整理,得 0 ? ? ? ? y2 y2 0 0 2 2 2 2 y0(y0+16-8a)≥0,∵y0≥0,∴y0+16-8a≥0,即 a≤2+ 恒成立.而 2+ 的最小值为 2, 8 8 所以 a≤2. p 5.D [解析] A(x0,y0),则 B(x0,-y0),由于焦点 F ,0 是抛物线的垂心,所以 OA⊥ 2 y0 -y0 5p 5 2 BF.由此得 × =-1,把 y0=2px0 代入得 x0= ,故直线 AB 的方程是 x= p. x0 p 2 2 x0- 2 p p p 6.C [解析] 由抛物线定义,2?x2+2?=?x1+2?+?x3+2?,即 2|FP2|=|FP1|+|FP3|. ? ? ? ? ? ? 1 7.A [解析] 依题设 P 在抛物线准线的投影为 P′,抛物线的焦点为 F,则 F?2,0?. ? ? 依抛物线的定义知 P 到该抛物线准线的距离为|PP′|=|PF|,则点 P 到点 A(0,2)的距离与 P 1 17 到该抛物线准线的距离之和 d=|PF|+|PA|≥|AF|= ?2?2+22= . ? ? 2 8.B [解析] ∵抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F(2,0),准线方程为 x=-2,∴K(-2,0), 设 A(x0,y0),过 A 点向准线作垂线 AB,则 B(-2,y0),∵|AK|= 2|AF|,又 AF=AB= x0-(-2)=x0+2, ∴由 BK2=AK2-AB2 得 y2=(x0+2)2,即 8x0=(x0+2)2,解得 x0=2,∴A(2,± 4),∴△ 0 1 1 AFK 的面积为 |KF|· 0|= ×4×4=8. |y 2 2 9.y2=4x [解析] 设抛物线方程为 y2=kx,与 y=x 联立方程组,消去 y,得:x2-kx =0,x1+x2=k=2×2=4,故 y2=4x.

→ → 10.2 [解析] 过 B 作 BE 垂直于准线 l 于 E,∵AM=MB,∴M 为 AB 中点,∴|BM| 1 1 = |AB|.又斜率为 3,∠BAE=30° ,∴|BE|= |AB|,∴|BM|=|BE|, 2 2 ∴M 为抛物线的焦点,∴p=2. 8 11. [解析] 设 A(xA,yA),B(xB,yB),则|AF|=xA+1,|BF|=xB+1,∴xA+1=3(xB+ 3 1).① 由几何关系,xA-1=3(1-xB).② xA+xB 1 8 联立①②,得 xA=3,xB= ,∴所求距离 d= +1= . 3 2 3

12.[解答] (1)依题意知, 点 R 是线段 FP 的中点,且 RQ⊥FP, ∴RQ 是线段 FP 的垂直平分线. ∵|PQ|是点 Q 到直线 l 的距离. 点 Q 在线段 FP 的垂直平分线上,∴|PQ|=|QF|. 故动点 Q 的轨迹是以 F 为焦点,l 为准线的抛物线, 其方程为:y2=2x(x>0). (2)弦长|TS|为定值. 理由如下:取曲线 C 上点 M(x0,y0),M 到 y 轴的距离为 d=|x0|=x0, 圆的半径 r=|MA|= ?x0-1?2+y2, 0 则|TS|=2 r2-d2=2 y2-2x0+1, 0 y2 0 因为点 M 在曲线 C 上,所以 x0= , 2 所以|TS|=2 y2-y2+1=2,是定值. 0 0 13.[解答] (1)设 P(x,y)是曲线 C 上任意一点,那么点 P(x,y)满足 ?x-1?2+y2-x= 1(x>0). 化简得 y2=4x(x>0). (2)设过点 M(m,0)(m>0)的直线 l 与曲线 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2). ?x=ty+m, ? 设 l 的方程为 x=ty+m,由? 2 得 y2-4ty-4m=0,Δ=16(t2+m)>0, ?y =4x, ?
? ?y1+y2=4t, 于是? ① ? ?y1y2=-4m. → → 又FA=(x1-1,y1),FB=(x2-1,y2), →→ FA· <0?(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2<0.② FB 2 2 y1 y2 y2 y2 y2 2 1 又 x= ,于是不等式②等价于 · +y1y2-? 4 + 4 ?+1<0, ? ? 4 4 4 ?y1y2?2 1 ? +y1y2- [(y1+y2)2-2y1y2]+1<0.③ 16 4 由①式,不等式③等价于 m2-6m+1<4t2.④ 对任意实数 t,4t2 的最小值为 0,所以不等式④对于一切 t 成立等价于 m2-6m+1<0,即 3-2 2<m<3+2 2. 由此可知,存在正数 m,对于过点 M(m,0),且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线, →→ 都有FA· <0,且 m 的取值范围是(3-2 2,3+2 2). FB


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