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湖北省八校2013届高三第一次联考数学(理)试题(word版


湖北省

鄂南高中、华师一附中、黄冈中学、黄石二中、 荆州中学、襄 阳 四中、襄阳五中、孝感高中

八校

2013 届高三第一次联考数学试题(理科)
命题学校:黄市二中 命题人:张晓华 考试时间:2012 年 12 月 21 日下午 15:00——17:00 审题人:黄金龙 王付繁 试卷满分:150 分

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一、选择题:本大题共 10 小题,每题 5 分, 共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.集合 A= x y ? - x 2 ?10x ? 16 ,集合 B= y y ? log2 x, x ? A ,则 A ? CR B ? A. ?2, 3? B. ?1 , 2? C. ?3, 8? D. ?3, 8?

?

?

?

?

2 2.若命题 p: ?x0 ??- 3,3?, x0 ? 2x0 ?1 ? 0 ,则对命题 p 的否定是

A ?x ? ?-3,3? , x ? 2x ? 1 ? 0
2 2

B ?x ? ? -?,-3?U ? 3, ??? , x ? 2x ? 1 ? 0
2
2 D. ?x0 ??- 3,3?, x0 ? 2x0 ?1 ? 0

C. ?x ? ? -?,-3?U ?3, ??? , x ? 2x ? 1 ? 0

3.某实心几何体件的三视图如图所示,该几何体的体积为 A. 36 ? 2? B. 36 ? 4? C. 36 ? 8? D. 36 ? 10?

4..等比数列 ?an ?各项为正, a3 , a5 ,-a4 成等差数列. Sn 为 ?an ?的前 n 项和,则

S6 = S3

A.2

B.

7 8

C.

9 8

D.

5 4

5.如图 MN 是半圆 O 的直径,MN=2,等边三角形 OAB 的顶点 A、B 在半圆弧上,且 AB//MN,点 P 半圆弧 上的动点,则 PA? PB 的取值范围是 A. ? , ? 3 ? 2 2 6.若双曲线 x ?
2

?3 3 ?

? ?

B. ? - 3, ?

?3 ?2

3? 2?

C. ? - 3, ? 3 ? 2 2

?3 ?

3

? ?

D. ?

?3 - 3 3 ? ,? 2? ? 2

y2 ? ?? ? 1 的一条渐近线的倾斜角 ? ? ? 0, ? ,则 m 的取值范围是 2 m ? 3?
B. - 3,0

A. ?- 3,0?

?

?

C. ?0,3?

(D.

3 ,0) 3

7.在 ?ABC 中, sin ( A ? B) ? sin C ? A.

? 3

B.

? 6

3 , BC ? 3 AC , 则 ?B ? 2 ? ? ? C. 或 D. 2 6 3
第 1 页 共 12 页

8.已知 a, b, c ? R ,则 2a ? 3b ? 6c ? 1 是 a ? b ? c ? ?-1,1? 的
2 2 2

A.充分不必要条件 9.若实数 x , y 满足: ? B. 2 5

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

? 2y ? x ? 0
2 ?y ? 5 ? x

,则 x ? 2 y 的最大值是

A.3

C.5

D5 5

? 3x ( x ? 0) 10.已知函数 f ( x) ? ? ,函数 g ( x) ? f 2 ( x) ? f ( x) ? t (t ? R) .关于 g ( x) 的零点,下列判断 ?log3 (- x) ( x ? 0)
不正确 的是 ... A.若 t ?

1 , g ( x) 有一个零点 4

B.若 - 2 ? t ?

1 , g ( x) 有两个零点 4

C.若 t ? -2, g ( x) 有三个零点

D.若 t ? -2, g ( x) 有四个零点

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. (一)必做题(11-14 题) 11.已知复数 z ? (1 ? 2i) ? (3 ? 4i), i 为虚数单位,则 z 的共轭复数是 . .

12.函数 f ( x) ? x ln x , a ? f (2), b ? f ( ), c ? f ( ) ,则 a, b, c 从小到大的排列是 13.阅读如图所示程序框图,运行相应程序,输出结果 n = .

1 3

1 4

14.如图把函数 f1 ( x) ? x , f 2 ( x) ? x ?

x3 x3 x5 x3 x5 x7 ? ? ? , f 3 ( x) ? x ? , f 4 ( x) ? x ? , 6 6 120 5040 6 120

f 5 ( x) ? x ?

x3 x5 x7 x9 ,依次称为 f ( x) ? sin x 在 ?0,x? 上的第 1 项、2 项、3 项、4 项、 ? ? ? 6 120 5040 362880

5 项多项式逼近函数.以此类推,请将 f ( x) ? sin x 的 n 项多项式逼近函数 f n ( x) 在横线上补充完整:

f n ( x) ?

2 n ?1

?
k ?1



)(n, k ? N?) .

第 2 页 共 12 页

(二)选做题(请考生在 15、16 两题中任选一题作答.如果全选,则按第 15 题作答结果计分) 15.(选修 4-1:几何证明选讲) 如图过点 A 作圆 O 的一条切线 AB ,切点为 B , OA 交圆 O 于点 C . 若 OC ? CA, BC ? 1 ,则 AB ? 16.(选修 4-4:坐标系与参数方程) 曲线 C 的极坐标方程为: ? ? cos? ? sin ? ,化成普通方程为 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(12 分)函数 f ( x) ? A sin(wx ? ? ) ? 1 (A ? 0,w ? 0, 之间的距离为 .

? ?

? ? 1 (- , ) . ,且经过点 2 12 12

? ) 的最大值为 2,其图像相邻两个对称中心 2

(1)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (2)若 f (? ) ?

? ? ? ? 7 ,且 ? ? [ , ] ,求 f ( ? ) 的值. 5 2 6 12 4

18.(12 分)已知数列 {an } 满足: a1 ? - , an ?1 ?

2 3

- 2an ? 3 (n ? Nn) . 3an ? 4

(1)证明数列 {

1 } 是等差数列,并求 ?an ? 的通项公式; an ? 1

(2)数列 {bn } 满足: bn ?

3n (n ? Nn) ,求 {bn } 的前 n 项和 Sn . an ? 1

第 3 页 共 12 页

19.(12 分)如图 I,平面四边形 ABCD 中,?A ? 60 ,?ABC ? 150 ,AB ? AD ? 2BC ? 4, 把 ?ABD 沿直
0 0

线 BD 折起,使得平面 ABD ? 平面 BCD ,连接 AC 得到如图 II 所示四面体 A ? BCD .设点 O, E , F 分 别是 BD, AB, AC 的中点.连接 CE, BF 交于点 G ,连接 OG . (1)证明: OG ? AC ; (2)求二面角 B ? AD ? C 的大小.

20. ( 12 分)在淘宝网上,某店铺专卖当地某种特产,由以往的经验表明,不考虑其他因素,该特产每日的销
2 1? x ? 5) 售量 y(单位: 千克) 与销售价格 x(单位: 元/千克, 满足: 当 1 ? x ? 3 时,y ? a ( x ? 3) ?

b , x ?1

;当 3 ? x ? 5 时, y ? -70x ? 490,已知当销售价格为 2 元/千克时,每日可售出该特产 700 (a, b为常数) 千克;当销售价格为 3 元/千克时,每日可售出该特产 150 千克. (1)求 a , b 的值,并确定 y 关于 x 的函数解析式; (2)若该特产的销售成本为 1 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使店铺每日销售该特产所获利润 f ( x) 最 大( x 精确到 0.01 元/千克) .

第 4 页 共 12 页

21.(13 分)如图所示,过点 M (m,1) 作直线 AB 交抛物线 x 2 ? y 于 A, B 两点,且 AM ? MB ,过 M 作 x 轴的 垂线交抛物线于点 C .连接 AC, BC, 记三角形 ABC 的面积为 S? ,记直线 AB 与抛物线所围成的阴影区域 的面积为 S弓 . (1)求 m 的取值范围; (2)当 S? 最大时,求 m 的值; (2)是否存在常数 ? ,使得

S? 若存在,求出 ? 的值;若不存在,请说明理由. ??? S弓

第 5 页 共 12 页

22.(14 分)已知函数 f ( x) ? (1 ? x)t ? 1的定义域为 ?- 1,??? ,其中实数 t 满足 t ? 0且t ? 1 .直线 l : y ? g ( x) 是 f ( x) 的图像在 x ? 0 处的切线. (1)求 l 的方程: y ? g ( x) ;
a

(2)若 f ( x) ? g ( x) 恒成立,试确定 t 的取值范围;
a a a

(3)若 a1, a2 ? ?0,1? ,求证: a1 1 ? a2 2 ? a1 2 ? a21 .

? ? ?x (x ) 注:当 ? 为实数时,有求导公式

?

? ?1



第 6 页 共 12 页

参考答案
一 选择题: 1.D 2.A 3.A 4.C 5.B 二 填空题 11. ? 6.A 7.B 8.A 9.C 10.D

1 2 ? i 5 5

12. b ? c ? a

13.3

14. sin( 15. 3

k? x k (k ? 1)? x k (i k ?1 ? (?i) k ?1 ) x k ) , ) [供参考: cos( (i 为虚数单位)] 2 k! 2 k! 2 k!
16. x2 ? x ? y 2 ? y ? 0

三 解答题:

, f ( x) ? 3sin(2 x ? ) ? 1 ……….3’ 3 3 ? ? ? 5 ? (k ? Z ) 令 2 k? ? ? 2 x ? ? 2 k ? ? 得 k? ? ? ? x ? k? ? 2 3 2 12 12 5 ? 所以 f ( x ) 单调递增区间是 [k? ? ? , k? ? ](k ? Z ) ; ……….6’ 12 12 7 ? 4 (2)由 f (? ) ? ,得 sin(2? ? ) ? , 5 3 5 ? ? ? 3 ? ? ? [ , ] 所以 cos(2? ? ) ? ? 12 4 3 5

17.解: (1)由已知: A ? 3, ? ? 2, ? ?

?

?

2? ? f ( ? ) ? 3sin(? ? ) ? 1 ? 3cos(? ? ) ? 1 = 3 2 6 3 6
=

?

?

1 ? cos(2? ? ) 3 ?1 2
………12’

?

3 5 ?1 . 5
1 an ?1 ? 1 ? 3a ? 4 1 1 ? n ? 3? ?2an ? 3 an ? 1 ? 1 an ? 1 3an ? 4

18.解: (1)因为

所以

1 ?3 an?1 ? 1 an ? 1 ? 1 }是首项为 3,公差为 3 的等差数列。 an ? 1
. . . . . . . . . . . . . .4'

1

所以{

所以

1 ? 3n , an ? 1
1 ?1 ; 3n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .5'

所以 an ?

第 7 页 共 12 页

(2)由已知 bn ?
3

3n ? 3n?1 n an ? 1

. . . . . . . . . . . . . . . .6’

Sn ? 32 ?1 ? 3 ? 2 ? ... ? 3n ? (n ? 1) ? 3n?1 ? n



3Sn ? 33 ?1 ? 34 ? 2 ? ... ? 3n?1 ? (n ?1) ? 3n?2 ? n ②
① - ②得
3

?2Sn ? 32 ? 3 ? ... ? 3n?1 ? 3n?2 ? n
? 32 (3n ? 1) n ? 2 ?3 ?n 3 ?1 3n ? 2 ? 9 n n ? 2 ? 3 ?4 2
. . . . . . . . . . . . . . . .12’ . . . . . . . . . . . . . . . .9’

所以 Sn ?

?

(2n ? 1) n ? 2 9 3 ? . 4 4

19.解: (以下仅提供一种解法,其它解法酌情给分) (1) 由已知, ?ABD 是等边三角形,取 OD 的中点 M ,连接 AM 、CM、FM 在三角形 ABM 中,BM=3,AB=4,B= 60 , 由余弦定理得 AM= 13 在三角形 CBM 中,BC=2,BM=3, CB ? BD ,得 CM= 13 所以 AM=CM, 因为 F 为 AC 中点,所以 MF ? AC 由已知,G 为三角形 ABC 的重心, 所以 BG:GF=BO:OM=2:1 所以 OG//MF, 所以 OG ? AC ; . . . . . . . . . . . . . . . . .6' (2)? 平面 ABD ? 平面 BCD , 平面 ABD ? 平面 BCD =BD
?

CB ? BD ? CB ? 面 ABD ? CB ? AB ? ?ABC ? ?BCD ? AC ? CD
取 AD 中点 N,连接 CN,BN, 则 CN ? AD,BN ? AD 所以 ?BNC 是二面角 B ? AD ? C 的平面角.
? 在三角形 BNC 中,CB ? BN,BC=2,BN= 2 3 ,所以 ?BNC = 30

所以二面角 B ? AD ? C 的大小为 30

?

. . . . . . . . . . . . . . .12'
第 8 页 共 12 页

20.解: (I)因为 x=2 时,y=700;x=3 时,y=150,所以

?b ? ? 150 解得 a ? 400, b ? 300 ?2 ? ? a ? b ? 700

300 ? 2 (1 ? x ? 3) ?400( x ? 3) ? 每日的销售量 y ? ? x ?1 ? ??70 x ? 490(3 ? x ? 5)
(II)由(I)知, 当 1 ? x ? 3 时: 每日销售利润 f ( x) ? [400( x ? 3) 2 ?



. . . . . . .4'

300 ]( x ? 1) ? 400( x ? 3)2 ( x ?1) ? 300 x ?1

? 400( x3 ? 7 x2 ? 15x ? 9) ? 300 ( 1 ? x ? 3 )
f '( x) ? 400(3x2 ?14 x ? 15)
5 , 或 x ? 3 时 f '( x) ? 0 3 5 5 当 x ? (1, ) 时 f '( x) ? 0 , f ( x ) 单增;当 x ? ( ,3) 时 f '( x) ? 0 , f ( x ) 单减. 3 3 5 5 32 . . .8' ? x ? 是函数 f ( x) 在 (1,3] 上的唯一极大值点, f ( ) ? 400 ? ? 300 ? 700 ; . 3 3 27 当 3 ? x ? 5 时:
当x?
2 每日销售利润 f ( x) ? (?70 x ? 490)( x ? 1) = ?70( x ? 8x ? 7)

5 f ( x) 在 x ? 4 有最大值,且 f (4) ? 630 ? f ( ) . 3 5 综上,销售价格 x ? ? 1.67 元/千克时,每日利润最大. 3

. . . . . . . . .11' . . . . . . . . . .12'

21.解: (1)易知直线 AB 的斜率存在,设 AB 直线方程为 y ? k ( x ? m) ? 1
2 代入抛物线方程 x ? y 得, x ? kx ? mk ? 1 ? 0 (*)
2

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 因为 M 是 AB 的中点,所以 m ?
2

x1 ? x2 k ? ,即 k ? 2 m 2 2
2

方程(*)即为: x ? 2mx ? 2m ? 1 ? 0 (**) 由 ? ? 4m ? 8m ? 4 ? 0 得 ?1 ? m ? 1
2 2

所以 m 的取值范围是 (?1,1) ; (2)因为 M (m,1), C(m, m ), MC ? x 轴,
2

. . . . . .4'

第 9 页 共 12 页

所以|MC|= 1 ? m ,
2

由方程(**)得 x1 ? x2 ? 2m, x1 x2 ? 2m2 ?1 所以 S? = S ACM ? SBCM = =

1 1 | x1 ? x2 | .| MC | = ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 .| MC | 2 2

3 1 4 ? 4m 2 . (1 ? m 2 ) = (1 ? m2 ) 2 ≤1 2

所以当 S? 最大时, m ? 0 ; (3)常数 ? 存在且 ? ? 不妨设 x1 ? x2

. . . . . .8'

3 4

S弓 =? [k ( x ? m) ? 1 ? x2 ]dx =? [2mx ? 1 ? 2m2 ? x2 ]dx
x1 x1

x2

x2

1 2 ? [mx 2 ? (1 ? 2m2 ) x ? x3 ] |x x1 3 1 3 2 ? m( x2 ? x12 ) ? (1 ? 2m 2 )( x2 ? x1 ) ? ( x2 ? x13 ) 3 1 2 ? ( x2 ? x1 )[m( x2 ? x1 ) ? (1 ? 2m 2 ) ? ( x2 ? x2 x1 ? x12 )] 3 1 ? ( x2 ? x1 )[m( x2 ? x1 ) ? (1 ? 2m 2 ) ? (( x2 ? x1 ) 2 ? x2 x1 )] 3
由方程(**)得 x1 ? x2 ? 2m, x1 x2 ? 2m2 ?1, 代入上式化简得 S弓 ? 由(2)知 S? = (1 ? m )
3 2 2

3 2 4 4 ? 4m2 . (1 ? m2 ) ? (1 ? m2 ) 2 3 3

3 2 2

S? (1 ? m ) 3 = ? 3 S弓 4 4 (1 ? m 2 ) 2 3 3 所以常数 ? 存在且 ? ? . 4
所以 22.解: (1)因为 f '( x) ? t (1 ? x) 又 f (0) ? 0 ,所以 l : y ? tx ; (2)令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? (1 ? x) ? tx ?1
t x ?1

. . . . . . . . . . . . . . . . .13' ,所以 f '(0) ? t , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2'

h '( x) ? t (1 ? x)t ?1 ? t ? t[(1 ? x)t ?1 ?1]
当 t ? 0 时,
第 10 页 共 12 页

(1 ? x)t ?1 ?1 单调递减,当 x ? 0 时, h '( x) ? 0
当 x ? (?1, 0) , h '( x) ? 0 , h( x) 单调递减;当 x ? (0, ??) , h '( x) ? 0 , h( x) 单调递增. 所以, x ? 0 是 h( x) 的唯一极小值点,所以 h( x) ? h(0) ? 0 , f ( x ) ≥ g ( x) 恒成立; . . . .4' 当 0 ? t ? 1 时,

(1 ? x)t ?1 ?1 单调递减,当 x ? 0 时, h '( x) ? 0
当 x ? (?1, 0) , h '( x) ? 0 , h( x) 单调递增;当 x ? (0, ??) , h '( x) ? 0 , h( x) 单调递减. 所以, x ? 0 是 h( x) 的唯一极大值点,所以 h( x) ? h(0) ? 0 ,不满足 f ( x ) ≥ g ( x) 恒成立; . . . . . . . .6' 当 t ? 1 时,

(1 ? x)t ?1 ?1 单调递增,当 x ? 0 时, h '( x) ? 0
当 x ? (?1, 0) , h '( x) ? 0 , h( x) 单调递减;当 x ? (0, ??) , h '( x) ? 0 , h( x) 单调递增. 所以, x ? 0 是 h( x) 的唯一极小值点,所以 h( x) ? h(0) ? 0 , f ( x ) ≥ g ( x) 恒成立; 综上, t ? (??,0) ? (1, ??) ; (3) 当 a1 ? a2 ,不等式显然成立; 当 a1 ? a2 时,不妨设 a1 ? a2 . . . . . . . . . . . . . .8' . . . . . . . . . . . .9'

a1a1 ? a2a2 > a1a2 ? a2a1 ? a1a1 ? a1a2 ? a2a1 ? a2a2
令 ? ( x) ? x 1 ? x 2 , x ?[a1 , a2 ]
a a

下证 ? ( x) 是单调减函数:

? '( x) ? a1 x a ?1 ? a2 x a ?1 ? a1 x a ?1 ( x a ?a ?
1 2 2 1 2

a2 ) a1 1 ?1 1 ? a1 ? a2

易知 a1 ? a2 ? (?1,0) , 1 ? a1 ? a2 ? (0,1) ,

t 由(2)知当 t ? 1 , (1 ? x) ? 1 ? tx , x ?[a1 , a2 ]

所以 a

1 1? a1 ? a2 2

? [1 ? (a2 ? 1)]

1 1? a1 ? a2

? 1?

a2 ? 1 a1 ? ? a1 1 ? a1 ? a2 1 ? a1 ? a2

所以 a2 ? a1

1?a1 ?a2

第 11 页 共 12 页

所以

a2 ? a1a1 ? a2 ? x a1 ? a2 a1

所以 ? '( x) ? 0 , 所以 ? ( x) 在 [a1 , a2 ] 上单调递减. 所以 ? (a1 ) ? ? (a2 ) ,即 a1a1 ? a1a2 ? a2a1 ? a2a2 所以 a1a1 ? a2a2 > a1a2 ? a2a1 . 综上, a1a1 ? a2a2 ≥ a1a2 ? a2a1 成立. . . . . . . . . . . . . . . .14'

(如果您对试题和答案有不同见解,欢迎来电交流!TEL:13972760801 张晓华)

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