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2.2.2好椭圆的几何性质课件(1)有动态画面


一个框,四个点, 注意光滑和圆扁, 莫忘对称要体现.

这是什么?

温故知新
1.椭圆的定义:
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数

2.椭圆的标准方程是:

(大于|F1F2 |)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆。
(焦点在x轴上的椭圆标准方程) (焦点在y

轴上的椭圆标准方程)

3.椭圆中a,b,c的关系是:

2 2 2 a =b +c

一、椭圆的范围
由 即

x y x ? 2 ?1 ? 2 ?1 2 a b a

2

2

2



y ? 1 2 b
y
y=b x =a

2

x ? a和 y ? b
-a≤x≤a , -b≤y≤b
x =-a

o
由 y = -b

x

二、椭圆的对称性

y

· F
1

o

· F
2

x

x2 a2



y2 2 b

= 1

y

· F
1

o

· F
2

x

x2 a2



y2 2 b

= 1

y

· F
1

o

· F
2

x

x2 a2



y2 2 b

= 1

y

· F
1

o

· F
2

x

x2 a2



y2 2 b

= 1

y

· F
1

o

· F
2

x

x2 a2



y2 2 b

= 1

y

· F
1

o

· F
2

x

x2 a2



y2 2 b

= 1

y

· F
1

o

· F
2

x

x2 a2



y2 2 b

= 1

y

· F
1

o

· F
2

x

x2 a2



y2 2 b

= 1

y

· F
1

o

· F
2

x

x2 a2



y2 2 b

= 1

y

· F
1

o

· F
2

x

x2 a2



y2 2 b

= 1

y

· F
1

o

· F
2

x

x2 a2



y2 2 b

= 1

y

· F
1

o

· F
2

x

x2 a2
09:46:21



y2 2 b

= 1
16

y

· F
1

o

· F
2

x

x2 a2
09:46:21



y2 2 b

= 1
17

y

· F
1

o

· F
2

x

x2 a2



y2 2 b

= 1

y

· F
1

o

· F
2

x

x2 a2



y2 2 b

= 1

y

· F
1

o

· F
2

x

x2 a2



y2 2 b

= 1

y

· F
1

o

· F
2

x

x2 a2



y2 2 b

= 1

y

· F
1

o

· F
2

x

x2 a2



y2 2 b

= 1

y

· F
1

o

· F
2

x

x2 a2



y2 2 b

= 1

y

· F
1

o

· F
2

x

x2 a2



y2 2 b

= 1

y

· F
1

o

· F
2

x

x2 a2



y2 2 b

= 1

y

· F
1

o

· F
2

x

x2 a2



y2 2 b

= 1

y

· F
1

o

· F
2

x

x2 a2



y2 2 b

= 1

y

· F
1

o

· F
2

x

x2 a2



y2 2 b

= 1

y

· F
1

o

· F
2

x

x2 a2



y2 2 b

= 1

y

· F
1

o

· F
2

x

x2 a2



y2 2 b

= 1

y

· F
1

o

· F
2

x

x2 a2



y2 2 b

= 1

y

· F
1

o

· F
2

x

x2 a2



y2 2 b

= 1

y

· F
1

o

· F
2

x

x2 a2



y2 2 b

= 1

y

· F
1

o

· F
2

x

x2 a2



y2 2 b

= 1

y

· F
1

o

· F
2

x

x2 a2



y2 2 b

= 1

y

· F
1

o

· F
2

x

x2 a2



y2 2 b

= 1

y

· F
1

o

· F
2

x

x2 a2



y2 2 b

= 1

y

· F
1

o

· F
2

x

x2 a2



y2 2 b

= 1

y

· F
1

o

· F
2

x

x2 a2



y2 2 b

= 1

y

· F
1

o

· F
2

x

x2 a2



y2 2 b

= 1

y

· F
1

o

· F
2

x

x2 a2



y2 2 b

= 1

y

· F
1

o

· F
2

x

x2 a2



y2 2 b

= 1

y

· F
1

o

· F
2

x

x2 a2



y2 2 b

= 1

y

· F
1

o

· F
2

x

x2 a2



y2 2 b

= 1

y

· F
1

o

· F
2

x

x2 a2



y2 2 b

= 1

y

· F
1

o

· F
2

x

x2 a2



y2 2 b

= 1

y

· F
1

o

· F
2

x

x2 a2



y2 2 b

= 1

y

· F
1

o

· F
2

x

x2 a2



y2 2 b

= 1

y

· F
1

o

· F
2

x

x2 a2



y2 2 b

= 1

y

· F
1

o

· F
2

x

x2 a2



y2 2 b

= 1

y

· F
1

o

· F
2

x

x2 a2



y2 2 b

= 1

y

· F
1

o

· F
2

x

x2 a2



y2 2 b

= 1

y

· F
1

o

· F
2

x

x2 a2



y2 2 b

= 1

y

· F
1

o

· F
2

x

x2 a2



y2 2 b

= 1

y

· F
1

o

· F
2

x

x2 a2



y2 2 b

= 1

y

· F
1

o

· F
2

x

x2 a2
09:46:21



y2 2 b

= 1
56

从图形上看:
椭圆既是以x轴,y轴为对称轴的 轴对称图形
又是以坐标原点为对称中心的中 心对称图形 椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

2

2

关于y轴对称
P2(-x,y) P(x,y)

Y

O

X

关于原点对称
P3(-x,-y) P1(x,-y)

关于x轴对称

从方程上看:
(1)把x换成-x,方程不变,图象关于y轴对称; (2)把y换成-y,方程不变,图象关于x轴对称;

(3)把x换成-x,同时把y换成-y方程不变,图象 关于原点成中心对称。

59

三、椭圆的顶点
x y ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 2 a b
令 y=0,得 x=?说明椭圆与 x轴的交点? 令 x=0,得 y=?说明椭圆与 y轴的交点? y B2 (0,b) *顶点:椭圆与它的对称轴 共有四个交点,即A1,A2, a b B1,B2,这四个点叫做椭 A2(a,0) A1 圆的顶点。 o c F2 (-a,0) F1 *长轴、短轴:线段A1A2叫 做椭圆的长轴,它的长等 于2a;线段B1B2叫做椭圆 的短轴,它的长等于2b;a、 b分别叫做椭圆的长半轴长 09:46:21 和短半轴长。
B1 (0,-b)
2 2

2 2 2 a =b +c
60

讲授新课
小 结:
由椭圆的范围、对称性和顶点, 再进行描点画图,只须描出较少的 点,就可以得到较正确的图形.

讲授新课
4.离心率 c 椭圆的焦距与长轴长的比 e ? ,叫做 a 椭圆的离心率.∵a>c>0, ∴0<e<1.
y

O

x

讲授新课
4.离心率 c 椭圆的焦距与长轴长的比 e ? ,叫做 a 椭圆的离心率.∵a>c>0, ∴0<e<1.
y

O

x

讲授新课
4.离心率 c 椭圆的焦距与长轴长的比 e ? ,叫做 a 椭圆的离心率.∵a>c>0, ∴0<e<1.
y

O

x

讲授新课
4.离心率 c 椭圆的焦距与长轴长的比 e ? ,叫做 a 椭圆的离心率.∵a>c>0, ∴0<e<1.
y

O

x

讲授新课
4.离心率 c 椭圆的焦距与长轴长的比 e ? ,叫做 a 椭圆的离心率.∵a>c>0, ∴0<e<1.
y

O

x

讲授新课
4.离心率 c 椭圆的焦距与长轴长的比 e ? ,叫做 a 椭圆的离心率.∵a>c>0, ∴0<e<1.
y

O

x

讲授新课
4.离心率 c 椭圆的焦距与长轴长的比 e ? ,叫做 a 椭圆的离心率.∵a>c>0, ∴0<e<1.
y

O

x

讲授新课
4.离心率 c 椭圆的焦距与长轴长的比 e ? ,叫做 a 椭圆的离心率.∵a>c>0, ∴0<e<1.
(1)当e越接近1时,c越接近a,从而b ? a ? c y 越小,因此椭圆越扁;
2 2

O

x

讲授新课
4.离心率 c 椭圆的焦距与长轴长的比 e ? ,叫做 a 椭圆的离心率.∵a>c>0, ∴0<e<1.
(1)当e越接近1时,c越接近a,从而b ? a ? c 越小,因此椭圆越扁;
2 2

( 2)当e越接近0时,c越接近0,从而b越接近a, 因此椭圆越接近于圆;

四、椭圆的离心率
[1]离心率的取值范围:
因为 a > c > 0,所以0 <e <1

c 离心率: 椭圆的焦距与长轴长的比:e ? a 叫做椭圆的离心率。
y o

离心率 反映椭 圆的圆 扁程度

[2]离心率对椭圆形状的影响:
b就越小,此时椭圆就越扁。

x

1)e 越接近 1,c 就越接近 a,请问:此时椭圆的变化情况?

2)e 越接近 0,c 就越接近 0,请问:此时椭圆又是如何变化的?

b就越大,此时椭圆就越趋近于圆。
3) 如果a=b,则c=0,两个焦点重合,椭圆的标准方程就变为圆的 方程: 2 2 2

x ?y ?a

根据前面所学有关知识画出下列图形
x y ? ?1 (1 ) 25 16
y
4 B2 3 2 1
2 2

x2 y2 ? ?1 (2) 25 4
y
4 3 B 2 2 1

A1

A2 x

A1

A2 x

-5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4

123 4 5

B1

-5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 -2 -3 B1 -4

椭圆的简单画法:椭圆四个顶点

连线成图

标准方程

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b









|x|≤ a,|y|≤ b

|x|≤ b,|y|≤ a

对 称 性 顶点坐标 焦点坐标 半 轴 长 焦 距 (

关于x轴、y轴成轴对称;关于原点成中心对称。

? a ,0

),(0,

? b)



? b ,0

),(0,

? a)

(±c,0)

(0, ±c)

长半轴长为a,短半轴长为b.

焦距为2c;

a,b,c关系 离 心 率

a2=b2+c2
c e ? a

考点突破 椭圆的简单几何性质
例1
6 椭圆4x2+9y2=36的长轴长________ 、短轴长

4 、焦距_________ 2 5 、焦点坐标__________ (? 5,0) 、 ________
5 ( ?3,0), (0,?2)、离心率_________ 顶点坐标_____________ . 3

【思路点拨】

化为标准形式 → 确定焦点位置

→ 求a,b,c → 求椭圆几何性质

练习1
求下列椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐 标、顶点坐标和离心率。
(1)x2+9y2=81
(3) 16x2+y2=25

(2) 25x2+9y2=225
(4) 4x2+5y2=1

利用椭圆的几何性质求标准方程

求适合下列条件的椭圆的标准方程 ⑴经过点P(-3,0)、Q(0,-2); ⑵长轴长等于20,离心率3/5。 ⑶一焦点将长轴分成2:1的两部分,且经过点
例2

p(?3 2 ,4)
2 2 x y 解:(1) ? ?1 9 4

⑵ ⑶

x2 y 2 ? ?1 或 100 64

y2 x2 ? ?1 100 64
y2 x2 ? ?1 145 290 4 9

x y ? ?1 或 36 32

2

2

练习2
已知:椭圆的长轴是短轴的3倍,且过点 A(3,0),并且以坐标轴为对称轴,求椭圆 的标准方程。
x2 y2 解法一:①若椭圆的焦点在x轴上,设方程为 a 2 ? b 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 x ?2a ? 3 ? 2b 2 ?a ? 3 ? ? y ?1 ∴ 椭圆的方程为 由题意得:? 9 ? 0 ? 1解得 ? 9 ?b ? 1
? ? a2 b2

y 2 x2 0) ②若椭圆的焦点在y轴上,设方程为 a 2 ? b2 ? 1(a2 ? b ? 2 y x ?2a ? 3 ? 2b ?a ? 9 ? ? ?1 解得 ? 由题意得: ∴ 椭圆的方程为 ?0 9 81 9 ?b ? 3 ? 2 ? 2 ?1
?a b

综上所述,椭圆的方程为

x2 y 2 x2 2 ? y ? 1或 ? ?1 9 81 9

解法二:设椭圆方程为
则由题意得

x2 y 2 ? ? 1(m ? 0, n ? 0, m ? n) m n

?9 ?9 ? 1 ? ? ?1 或?m ?m ?2 m ? 3 ? 2 n ?2 n ? 3 ? 2 m ? ?

m ? 9 ?m ? 9 解得 ? 或? ? ?n=1

?n ? 81

2 2 2 x y x 椭圆的方程为 ? y 2 ? 1或 ? ?1 9 81 9

课堂小结
一、椭圆的几何性质:
①范围 ②对称性 ③顶点 ④离心率 二、椭圆性质的应用 三、作业 A 3 4 P49 5

一个范围,三对称 四个顶点,离心率


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