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专题 选择题的解题方法与技巧


2014 届高考数学二轮复习 专题十:选择题的解题方法与技巧
【典型例题】 (一)直接法 直接从题目条件出发,运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识,通过严密的推理 和准确的运算,从而得出正确的结论,然后对照题目所给出的选择支“对号入座”作出相应 的选择、涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法.

1 ,看下面四个结论: 2 1 3 ①

f ( x) 是奇函数;②当 x ? 2007 时, f ( x) ? 恒成立;③ f ( x) 的最大值是 ; 2 2 1 ④ f ( x) 的最小值是 ? .其中正确结论的个数为: 2
2 | x| 例 1、关于函数 f ( x) ? sin x ? ( ) ?

2 3

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

2 | x| 【解析】 f ( x) ? sin x ? ( ) ?

2 3

1 1 ? cos 2 x 2 1 1 2 ? ? ( ) | x| ? ? 1 ? cos 2 x ? ( ) | x| , 2 2 3 2 2 3

∴ f ( x) 为 偶 函 数 , 结 论 ① 错 ; 对 于 结 论 ② , 当 x ? 1000 ? 时 ,

x ? 2007 , sin 2 1000 ? ? 0,
1 2 1000? 1 ?( ) ? ,结论②错. 2 3 2 1 1 3 1 2 | x| 3 又∵ ? 1 ? cos 2 x ? 1 ,∴ ? 1 ? cos 2 x ? ,从而 1 ? cos 2 x ? ( ) ? ,结论 2 2 2 2 3 2
∴ f (1000 ? ) ? ③错.

2 1 2 1 f ( x) ? sin 2 x ? ( ) | x| ? 中, sin 2 x ? 0,?( ) | x| ? ?1 ,∴ f ( x) ? , 3 2 3 2
等号当且仅当 x=0 时成立,可知结论④正确. 【题后反思】 直接法是解答选择题最常用的基本方法,低档选择题可用此法迅速求解,直接法运用的 范围很广,只要运算正确必能得到正确的答案,提高直接法解选择题的能力,准确地把握中 档题的“个性” ,用简便方法巧解选择题,是建在扎实掌握“三基”的基础上的,否则一味求 快则会快中出错. (二)排除法 排除法也叫筛选法或淘汰法,使用排除法的前提条件是答案唯一,具体的做法是采用简 捷有效的手段对各个备选答案进行“筛选” ,将其中与题干相矛盾的干扰支逐一排除,从而获

用心

爱心

专心

-1-

得正确结论. 例 2、直线 ax ? y ? b ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 2ax ? 2by ? 0 的图象可能是: y y y y

O O x O x x O x

A. B. C. D. 【解析】由圆的方程知圆必过原点,∴排除 A、C 选项,圆心(a,-b), 由 B、D 两图知 a ? 0,?b ? 0 .直线方程可化为 y ? ax ? b ,可知应选 B. 【题后反思】 用排除法解选择题的一般规律是: (1)对于干扰支易于淘汰的选择题,可采用筛选法,能剔除几个就先剔除几个; (2)允许使用题干中的部分条件淘汰选择支; (3)如果选择支中存在等效命题,那么根据规定---答案唯一,等效命题应该同时排除; (4)如果选择支存在两个相反的,或互不相容的判断,那么其中至少有一个是假的; (5)如果选择支之间存在包含关系,必须根据题意才能判定. (三)特例法 特例法也称特值法、特形法. 就是运用满足题设条件的某些特殊值、特殊关系或特殊图形对选项进行检验或推理,从 而得到正确选项的方法,常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、 特殊位置等.
?x ? ?2 1? 1, x ? 0 例 3、设函数 f ( x) ? ? ,若 f ( x0 ) ? 1 ,则 x0 的取值范围为: 2 ? x , x ? 0 ?

A. (-1,1)

B. ( ? 1,?? ) C. (??,?2) ? (0,??)

D. (??,?1) ? (1,??)

【解析】∵ f ( ) ?

1 2

1 2 ? 1 ,∴ 不符合题意,∴排除选项 A、B、C,故应选 D. 2 2
3 2

例 4、已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d 的图像如图所示,则 b 的取值范围是: y A. (??,0) B. (0,1) C. (1,2)
3 2

D. (2,??)

【解析】设函数 f ( x) ? x( x ? 1)(x ? 2) ? x ? 3x ? 2x , 此时 a ? 1, b ? ?3, c ? 2, d ? 0 .
用心 爱心 专心

O

1 2 x

-2-

【题后反思】 这类题目若是脚踏实地地求解,不仅运算量大,而且极易出错,而通过选择特殊点进行 运算,既快又准,但要特别注意,所选的特殊值必须满足已知条件. (四)验证法 又叫代入法,就是将各个选择项逐一代入题设进行检验,从而获得正确的判断,即将各个 选择支分别作为条件,去验证命题,能使命题成立的选择支就是应选的答案. 例 5 、在下列四个函数中,满足性质: “对于区间( 1 , 2 )上的任意 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,

| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| x1 ? x2 | 恒成立”的只有:
A. f ( x) ?

1 x

B. f ( x) ?| x |

C. f ( x) ? 2 x

D. f ( x) ? x 2

【解析】 当 f ( x) ? 恒成立,故选 A.

| f ( x2 ) ? f ( x1 ) | 1 1 ? ? 1, 时, 所以 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| x1 ? x2 | x | x1 ? x2 | | x1 x2 |

例 6、 若圆 x 2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 上恰有相异两点到直线 4 x ? 3 y ? 25 ? 0 的距离等于 1, 则 r 的取值范围是: A.[4,6] B. [4,6) C. (4,6] D. ( 4,6)

【解析】圆心到直线 4 x ? 3 y ? 25 ? 0 的距离为 5,则当 r ? 4 时,圆上只有一个点到直线 的距离为 1,当 r ? 6 时,圆上有三个点到直线的距离等于 1,故应选 D. 【题后反思】 代入验证法适用于题设复杂、结论简单的选择题,这里选择把选项代入验证,若第一个恰 好满足题意就没有必要继续验证了,大大提高了解题速度. (五)数形结合法 “数缺形时少直观,形少数时难入微” ,对于一些具体几何背景的数学题,如能构造出与之 相应的图形进行分析,则能在数形结合,以形助数中获得形象直观的解法. 例 7、若函数 y ? f ( x)(x ? R) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且 x ? [?1,1] 时, f ( x) ?| x | ,则 函数 y ? f ( x)(x ? R) 的图像与函数 y ? log3 | x | 的图像的交点个数为: A.2 B.3 C.4 D.无数个 y Y=f(x) -3 -2 -1

y ? log3 | x |
1 2 3 x

【解析】由已知条件可做出函数 f ( x) 及 y ? log3 | x | 的图像,如下图,由图像可得其交点的个数为 4 个, 故应选 C.

用心

爱心

专心

-3-

?x ? ?2 x 1 ? 1, x ? 0 例 8、设函数 f ( x) ? ? ,若 f ( x0 ) ? 1 若 f ( x0 ) ? 1 ,则 x0 的取值范围为: 2 ? x , x ? 0 ?

A. (-1,1) C. ( ? 1,?? )

B. (??,?2) ? (0,??) y D. (??,?1) ? (1,??) 1 x -1 O 1

【解析】在同一直角坐标系中,做出函数 f ( x) 和直线 x=1 的图像,它们相交于(-1,1)和 (1,1)两点,则 f ( x0 ) ? 1 ,得 x0 ? ?1或x0 ? 1,故选 D. 【题后反思】 严格地说,图解法并非属于选择题解题思路范畴,而是一种数形结合的解题策略,但它在 解有关选择题时非常简便有效,不过运用图解法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几 何图形较熟悉,否则错误的图像反会导致错误的选择. (六)逻辑分析法 分析法就是根据结论的要求,通过对题干和选择支的关系进行观察分析、寻求充分条件, 发现规律,从而做出正确判断的一种方法,分析法可分为定性分析法和定量分析法. 例 9、若定义在区间(-1,0)内的函数 f ( x) ? log2a ( x ? 1) 满足 f ( x) ? 0 ,则 a 的取值 范围是:A. (0, )

1 2

B. (0, ]

1 2

C. ( ,?? )

1 2

D. (0,??)

【解析】 要使 f ( x) ? 0 成立, 只要 2a 和 x+1 同时大于 1 或同时小于 1 成立, 当 x ? (?1,0) 时, x ? 1 ? (0,1) ,则 2a ? (0,1) ,故选 A. 例 10、用 n 个不同的实数 a1 , a2 , a3 ?, an 可得 n! 个不同的排列,每个排列为一行写成一个

n! 行的矩阵,对第 i 行 ai1 , ai 2 , ai 3 ?, ain ,记 bi ? ?ai1 ? 2ai 2 ? 3ai 3 ? ? ? (?1) n ain ,
( i ? 1,2,3,?, n )例如用 1、2、3 排数阵如图所示,由于此数阵中每一列各 数之和都是 12,所以 b1 ? b2 ? ? ? b6 ? ?12 ? 2 ?12 ? 3 ?12 ? ?24 ,那么用 1, 2,3,4,5 形成的数阵中, b1 ? b2 ? ? ? b120 ? A.-3600 【 解 析 】 B.1800 n?3 时 , C.-1080 3! ? 6 , 每 一 D.-720 列 之 和 为 123 132 213 231 321 312

3!?2!? 12



b1 ? b2 ? ? ? b6 ? 12? (?1 ? 2 ? 3) ? ?24 ,

用心

爱心

专心

-4-

n?5





5! ? 6















5!?4!? 360



b1 ? b2 ? ? ? b120 ? 360? (?1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5) ? ?1080,故选 C.
【题后反思】 分析法实际是一种综合法,它要求在解题的过程中必须保持和平的心态、仔细、认真的去分 析、学习、掌握、验证学习的结果,再运用所学的知识解题,对考察学生的学习能力要求较 高. (七)极端值法 从有限到无限,从近似到精确,从量变到质变,应用极端值法解决某些问题,可以避开抽 象、复杂的运算,隆低难度,优化解题过程. 例 11、对任意 ? ? (0,

?
2

) 都有:
B. sin(sin? ) ? cos? ? cos(cos ?) D. sin(cos? ) ? cos? ? cos(sin? )

A. sin(sin? ) ? cos? ? cos(cos ?) C. sin(cos? ) ? cos(sin? ) ? cos?

【解析】当 ? ? 0 时, sin(sin? ) ? 0 , cos? ? 1, cos(cos ? ) ? cos1 ,故排除 A、B, 当? ?

?
2

时, cos(sin? ) ? cos1 , cos ? ? 0 ,故排除 C,因此选 D.

例 12、设 a ? sin ? ? cos? , b ? sin ? ? cos ? ,且 0 ? ? ? ? ? A. a ?

?
4

,则

a2 ? b2 a2 ? b2 ?b? 2 2 a2 ? b2 a2 ? b2 ? ?b 2 2

B. a ? b ?

a2 ? b2 a2 ? b2 ? 2 2

C. a ?

D.

a2 ? b2 a2 ? b2 ?a?b? 2 2
,则 a ? 1, b ?

【解析】∵ 0 ? ? ? ? ? 易知: 1 ? 1.5 ?

?
4

,∵令 ? ? 0, ? ?

?
4

2,

a2 ? b2 3 ? , 2 2

2 ? 1.5 ,故应选 A.

【题后反思】有一类比较大小的问题,使用常规方法难以奏效(或过于繁杂) ,又无特殊值 可取,在这种情况下,取极限往往会收到意想不到的效果. (八)估值法 由于选择题提供了唯一正确的选择支,解答又无需过程,因此可通过猜测、合情推理、估 算而获得答案,这样往往可以减少运算量,避免“小题大做” . 例 13、如图,在多面体 ABCDEF 中,已知面 ABCD 是边长为 3 的正方形,EF//AB, EF ? , 2 E EF 与面 AC 的距离为 2,则该多面体的体积为:
用心 爱心 专心

3

F C B

D A

-5-

A.

9 2

B.5

C.6

D.

15 2

【解析】由已知条件可知,EF//面 ABCD,则 F 到平面 ABCD 的距离为 2,∴ VF ? ABCD ?

1 2 ? 3 ? 2 ? 6 ,而该多面体的体积必大于 6,故选 D. 3

例 14、 已知过球面上 A、 B、 C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半, 且 AB=BC=CA=2, 则球面面积是: A.

16? 9

B.

8? 3

C. 4?

D.

64? 9

【 解 析 】 设 球 的 半 径 为

R , ?ABC 的 外 接 圆 半 径 r ?

2 3 , 则 3

S 球 ? 4?R 2 ? 4?r 2 ?
【题后反思】

16 ? ? 5? ,故选 D. 3

有些问题,由于受条件限制,无法(有时也没有必要)进行精确的运算和判断,而又能依 赖于估算,估算实质上是一种数字意义,它以正确的算理为基础,通过合理的观察、比较、 判断、推理,从而做出正确的判断、估算、省去了很多推导过程和比较复杂的计算,节省了 时间,从而显得快捷.其应用广泛,它是人们发现问题、研究问题、解决问题的一种重要的 运算方法. (九)割补法 “级割善补”是解决几何问题常用的方法,巧妙地利用割补法,可以将不规则的图形转化为 A 规则的图形,这样可以使问题得到简化,从而缩短解题时间. D 例 15、一个四面体的所有棱长都为 2 ,四个顶点在同一 球面上,则此球的表面积为: A. 3? B. 4? C. 3 3? D. 6? B C

【解析】如图,将正四面体 ABCD 补成正方体,则正四面体、正方体的中心与其外接球的球 心共一面,因为正四面体棱长为 2 ,所以正方体棱长为 1,从而外接球半径 R ?

3 ,故 2

S 球 ? 3? ,选 A.
【题后反思】 “割”即化整为零,各个击破,将不易求解的问题,转化为易于求解的问题; “补”即代分散 不集中,着眼整体,补成一个“规则图形”来解决问题,当我们遇到不规则的几何图形或几 何体时,自然要想到“割补法” .

用心

爱心

专心

-6-


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