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1.3.2函数的奇偶性教案(人教A版必修1)


函 数 的 奇 偶 性 一、教学背景分析 1、教材分析:本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学 1》 (人教 A 版)第一章第三 节第二课《1.3.2 奇偶性》 。奇偶性是函数的重要性质之一:一方面,奇偶性是初中学习的图象 对称性内容的延伸, 另一方面,学习性质也为进一步研究基本初等函数等内容做好准备。 而奇 偶性是在学生学习了函数的有关概念和单调性的基础上,对函数知识进一步

深入和拓广。 2、学情分析:我所教学的学生是我校高一的学生,学生还处在适应期,大部分学生的抽象 思维能力和演绎推理能力较弱, 所以在授课时注重从具体的例子出发, 即先给出几个特殊函 数的图象,让学生通过图象直观获得函数奇偶性的感性认识 ,然后在这个基础上形成概念 .教 学过程中注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点,从而促进思维能力 的进一步发展。 二、教学目标 1、知识与技能: (1)建立奇偶性的概念 通过观察一些函数图象的对称性, 形成奇偶性的直观认识。 然后利用表格探究数量变化特征, 通过代数运算,验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立,最后在这个基础上建 立奇偶函数的概念。 (2)掌握函数奇偶性的判别方法。 通过对典型例子的探讨,加深对奇偶性实质的理解,进一步形成判断的方法步骤,从而能应 用到例题中去。 (3)函数奇偶性的研究经历了从直观到抽象,从图形语言到数学语言,理解奇函数、偶函 数概念的本质特征。在这个过程中,让学生通过自主探究活动,体验数学概念的形成过程, 使学生学习数学思考的基本方法,培养学生的数学思维能力。 2、过程与方法: 通过“观察” 、 “思考” 、 “探究”与“合作交流”等一系列教学活动,利用几何画板、实物投 影仪等辅助教学,激发学生积极主动地参与教学活动。使学生学会数学思考,学会反思与感 悟,形成良好的数学观。本节课,通过动手实践,观察图象创设问题情境引导学生概括出图象 特点并抽象出奇偶性的概念; 通过典型例子, 学生探索质疑, 加深对奇偶性概念实质的理解; 接着就奇偶性概念的特点,概括出判断的方法步骤,最后通过例子练习加深巩固。在引导分 析时,留出“空白” ,让学生去联想、探索,同时鼓励学生大胆质疑,围绕中心各抒己见, 把思路方法和需要解决的问题弄清。 3、情感态度与价值观: 培养学生合作、交流的能力和团队精神;培养学生善于观察、勇于探索、严密细致的科学态 度;同时通过欣赏生活中一些对称的图形,使学生感受到数学美,陶冶了情操。 三、教学重点与难点 重点:①形成奇偶性的形式化定义。 ②掌握函数奇偶性的判别方法。 难点: 形成奇偶性定义的过程中, 如何从图象的直观认识过渡到函数奇偶性的数学符号语言 表述。 四、教学过程 教学基本流程:

教学环节 问 题 师 生 活 动 设计意图[来源: ] 创设情景引入新课 请同学们填写下表并画出下列函数图象: 正比例函数 f(x)=2x; x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x)

反比例函数; x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x)

一次函数 f(x)=-2x+1; x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x)

二次函数 f(x)=x2+1; x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x)

分段函数 f(x)=|x| x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x)

学生动手填表并画图 (1)

(2)

(3)

(4) [来源: ]

(5)

师:这些图形不仅显示了增减性,还显示了其他特征,尤其是有一种我们初中就学过的优美 的对称性——中心对称和轴对称。今天我们就来研究这种性质。 (板书课题) 通过填表和作图,让学生获取函数性质的直观认识,从而引入新课. 所列出的五个函数,恰好包括了函数奇偶性的三种类型:奇函数、偶函数、既不是奇函数也不 是偶函数。 (既奇又偶函数在后面另外讨论) 探索研究 1、观察(1) (2)两个表格,注意它们函数值的变化,能发现它们有什么共同特征吗? 2、再观察函数(1)(2)的图象,你能发现它们有什么共同特征吗? (可用几何画板演示图象的对称性)

3、图象的这一特征能从表格里的函数值的变化中体现出来吗? 师:引导学生观察表格 生:看表,并说出自已的看法。 师:引导学生观察图象的对称性,导入新课 生:观察图象左右两半的特征,并回答问题。 (图象是关于原点对称的) 师:引导学生把图象特征跟函数值的变化联系起来。 生:尝试把几何特征跟代数特征联系起来。 启发学生由图象的对称性,联系到函数值的变化 ,为进一步学习定义奠定基础.几何画板的使 用,会使数与形的结合表现得更加自然。

发现规律 学生经过思考后,回答: 学生 1: (1)f(x)=2x 时,f(-x)=2(-x)=-2x,有 f(-x)=-f(x) 学生 2: (2)时, ,有 f(-x)=-f(x) 图象是关于原点对称的 进一步研究(3) 学生 3:(3)f(x)=-2x+1 时,f(-x)=-2(-x)+1=2x+1.看不出 f(-x)与 f(x)有什么关系。图象也没有关于 原点对称。 师:象(1) (2)这样的函数,我们称它为奇函数; (3)不是奇函数 指导学生从定性分析到定量分析几个函数的共性特点。从直观认识过渡到数学符号表述. 继续探索研究

4、观察(4) (5)两个表格,注意它们函数值的变化,能发现它们有什么共同特征吗? 5、再观察函数(4)(5)的图象,你能发现它们有什么共同特征吗? (可借助几何画板演示图象的对称性)

6、图象的这一特征能从表格里的函数值的变化中体现出来吗? 师:引导学生观察表格 生:看表,并说出自已的看法。 师:引导学生观察图象的对称性,导入新课 生:观察图象左右两半的特特征,并回答问题。 (图象是关于 y 轴对称的) 师:引导学生把图象特征跟函数值的变化联系起来。 生:尝试把几何特征跟代数特征联系起来。

在前面的基础上进一步探讨偶函数的特征. 发现规律 学生 4: (4)f(x)= x2+1 时,f(-x)=(-x)2+1=x2+1,有 f(-x)=f(x) 学生 5: (5)f(x)=|x|时,f(-x)=|-x|=|x|,有 f(-x)=f(x) 图象关于 y 轴对称。 师:象(4) (5)这样的函数,我们称为偶函数。

用数学符号表述图象特征. 定义

引导学生归纳总结,教师补充,并根据学生回答进行板书。 (1)如果对于函数 f(x)定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x),那么函数 f(x)叫做奇函数;奇函 数图象关于原点对称。 (2) 如果对于函数 f(x)定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)= f(x),那么函数 f(x)叫做偶函数;偶 函数图象关于 y 轴对称。

从具体到一般引出奇偶函数的定义. 让学生参与到知识的形成过程中, 获得数学学习的成就

感。 定义的理解 师:函数奇偶性的定义,由两名话组成,一句描述自变量,一句描述函数值。各用了一个关 键的字眼: “任意” (一个 x) 、 “都有” (一个恒等式) 。对这两个关键词一定都要真正理解, 知道吗? 学生(齐) :知道! 师:这两句话中,哪一句对函数性质的刻划更实质?对我们掌握这个概念更重要? 学生 6:我想是第二句“都有 f(-x)=-f(x)”与“都有 f(-x)=f(x)” 。 师:对。为了判断一个函数是否有奇偶性,我们要去验证恒等式: f(-x)=±f(x)是否成立。反过来,若已知函数有奇偶性,便必有上述恒等式成立。现在,我们 就根据这个标准来判别上述五个函数的奇偶性。 学生 7: (1) (2)是奇函数, (4) (5)为偶函数, (3)不知道奇偶性 师: (3)这种函数 f(-x)既不恒等于-f(x),又不恒等于 f(x),我们今后就称它为“既不是奇函数 也不是偶函数”的函数。 师:下面,我们来讨论一个更深入的问题。 函数(6) :的奇偶性如何? (让学生分小组讨论后提问)[来源: ] 学生 8:既不是奇函数也不是偶函数。 师:为什么? 学生 8:因为与及的表达式都不一样。 师:其它同学的意见呢? 生 9:是奇函数,因为。它就是我们上面说的第(1)个函数,所以是奇函数。 师:好,我理解你的意思:因为函数(6)与函数(1)是同一个函数,而函数(1)是奇函 数,所以函数(6)也是奇函数,是这样吗? 学生 9:是的。 师:现在我们有两个意见,一个说既不是奇函数也不是偶函数,一个说奇函数,你们大家独 立思考,畅所欲言。 学生 10:函数(6)与(1)不是同一函数,因为它们的定义域不尽相同。 (1)的定义域为 全体实数; (6)的定义域是{x|x≠-1}.但是,我不知道定义域的这一点微小变化是否影响函数 的奇偶性。 师:好,我们重新研究一下奇偶性的定义,想想,定义里奇偶函数对定义域有哪些要求呢? 学生思考,讨论,交流,学生代表(举手)发言 11: 象函数 f(x)=2x(x≠-1)中,当 x=1 时,f(-x)≠-f(x),与定义中的“任意”一个 x 不相符,所以 它不是奇函数,更不会是偶函数。 师:由上面的讨论我们可以看到,虽然函数奇偶性定义中最本质的是恒等式,但这有一个前 提,即 f(x)与 f(-x)同时有定义,也就是 x 与-x 同时属于函数的定义域,由此,可以得出一个 简单推论。 (出示推论全文) 推论:奇、偶函数的定义域在 x 轴上对应的点集关于原点对称。 师:现在,我们继续讨论下一个问题。按照定义,有的函数为“奇函 数” ,有的函数为“偶函数” ,还有的为“既不是奇函数也不是偶函 数” ,那么,有没有“既是奇函数又是偶函数”的函数呢? 师:这是一个探索性的问题,我们可以先假设某一个函数具有这样的性质,然后推导,看看

得出的是一个合理的结论还是一个矛盾的结论。我们一起来做。 若 f(x)为奇函数,应有 f(-x)=-f(x) ① 若 f(x)又是偶函数,又应有 f(-x)=f(x) ② 两式同时成立,可解出 f(x)≡0 ③ 反之,若函数 f(x)≡0,且定义域关于原点对称,当然有 f(-x)=0=-f(x),f(-x)=0=f(x)同时成立,按 定义,f(x)既是奇函数又是偶函数。 推论:若 f(x)既是奇函数又是偶函数,则 f(x)=0,x∈I (I 是关于原点对称区间。 随着 I 的不一样,这样的函数有无数个。 (利用几何画板画出一些图象来说明)

引导学生把握定义里的关键词,提高学生概括能力,学会抓重点。

这个例子不仅强调了定义中的“定义域” ,而且是对奇偶性概念进行反面理解。 教法上以学生为主,通过学生的争论,教师的宏观指导,及时点拔,很自然地加深了对定义 的理解。

数学思维中最积极的成分是问题,不断地提出问题,解决问题。

使思维不断地升华。 小结提高 师:从上面分析,可以概括出两点: (1)奇偶函数的定义域必须关于原点对称; (2) 判断函数的奇偶性, 将有 4 种结论: 是奇函数而不是偶函数; 是偶函数而不是奇函数; 既是奇函数又是偶函数;既不是奇函数也不是偶函数。 下面,我们就来学习函数奇偶性的判别方法。

在这一教学过程中,教师通过设问、启发、引导、讨论,让学生参与了知识的发生过程,把 握了概念的实质。

应用巩固 如何判断函数的奇偶性呢? 教师概括出三个步骤: (1)求函数的定义域。目的在于确定定义域是否关于原点对称,若是,则进行后面步骤; 若不对称,则可判定为“既不是奇函数也不是偶函数” (2)计算 f(-x) (3)判断 f(-x)=±f(x)是否成立,可按上述 4 种结论选择其一。

在对实质认识的基础上,进一步提炼出程序性、操作性的方法。学生认识水平获得了提高。

例 1 判断下列函数的奇偶性: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) 第(1)题教师板书讲解。 解:函数定义域为{x|x≠0,x∈R} ∵f(-x)=(-x)+ =-(x+) =-f(x) ∴f(x)是奇函数 第(2)题请一名学生口述解答过程。 (偶函数) 第(3) (4) (5)题请三名同学上黑板析演。 (既不是奇函数也不偶函数、既奇又偶、既不奇也不偶) 解答略 教师首先作出书写格式的示范,让学生有本可依。然后看看学生的板演,有针对性地作出修 订与讲评。 五道题的选择都是有针对性的。

奇偶函数图象对称性的应用: 例 2 已知 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,试将下图补充完整。

学生画图,请两位同学板演; 教师巡视,指点学生作图。 (教师可用几何画板演示另一半图象的形成过程) 例 2 的设计主要是理解奇偶函数的图象特征,与课题引入中例子遥相呼应。

例3 (1)若 f(x)为奇函数,且 x=0 时有定义,则 f(0)的值为多少? (2)若函数为奇函数,求 a 的值.

学生练习,讨论,学生口述,教师板演. (1)解:∵f(x)是奇函数 ∴ f(-x)=-f(x) ∴ f(-0)=-f(0) ∴ 2f(0)=0 ∴ f(0)=0 (2)解:∵f(x)是奇函数 ∴f(-x)=-f(x) ∴(-x)3+(-x)+a=-(x3+x+a) ∴2a=0 ∴a=0 进一步加深对概念的理解,并能利用概念解决一些简单的问题。

课堂练习: 下列函数是偶函数的是: A.y=x2,x∈[-1,2] B.y=x2+x,x∈R C.y=2|x|-1,x∈R D.y=x3 2、判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=|x+1|-|x-1|; (2) 巩固课堂所学知识。





课堂小结 教师提出下列问题让学生思考: ①通过奇偶函数概念的形成过程,你学习到了什么? ②奇偶函数的图象有什么特点?如何根据图象画出另一半的图象? ③怎样判别函数的奇偶性? 师生共同就上述问题进行讨论、交流、总结,让学生充分发表自已的意见。 学生自己小结,使学生对自己所学知识有更深刻的认识。 作业布置 思考题: 1、在公共定义域上,奇偶函数的和、差、积、商的奇偶性如何? 2、已知是 f(x)是奇函数,而且在(0,+∞)上是增函数,f(x)在(-∞,0)上是增函数还是减函 数? 对于问题(2)可用几何画板展示函数 f(x)=x3 的图象,让学生去思考。 作业是课堂的延续, 除了检验学生对本节课知识的理解程度, 还在于引导学生对本课知识的 进一步探究,让学生在更大的深度与广度之间进行思考。

课后作业: 1、课本 P36 练习 1、2 2、课本 P39 习题 1.3 A 组 第六题 B 组第三题 3、 《高中数学教学与测试》必修 1 P13 函数的简单性质——奇偶性

五、教学评价: 本节课以“教师为主导,学生为主体”为指导思想,充分考虑到学生的个性发展,通过引导 学生以自主探究,讨论交流方式去获取新知。在形成奇偶性的形式化定义过程中,让学生参 与到分组讨论,在讨论中解决问题,逐步突破本节难点。让所有学生都在数学学习中获得成 功体验。 同时从 《课标》 评价理念出发, 鼓励学生发表自已的观点。 充分质疑, 树立自信心, 充分培养学生观察、类比、分析、概括以及合作、交流能力。


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