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高一周练数学试卷(19)


龙泉中学高一周练数学试卷(19)
班级 姓名 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.已知向量 a, b 的夹角为 60 ? , a ? (2,0) , b ? 1,则 a ? 2b ? A. 2 3 B. 3
2

区间是

/>x

?

?

?

?

C.4
2

D.12 D. A ? B ? ?
a b

2.已知集合 A ? {x | y ? x , x ? Z}, B ? { y | y ? x , x ? Z} ,则 A 与 B 的关系为 A.A ? B B. A ? B ? A 3.若 a , b 是任意实数,且 a ? b ,则 A. a ? b
2 2

x 是偶函数,则常数 a 的值为 . 4 ?1 ? ? ? ? ? ? r r 13.已知向量 a, b 满足 (a ? 2b)? (a ? b) ? ?6 ,且 a ? 1 , b ? 2 , ? ? 则 a 与 b 的夹角为 . 14.如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 2 , BC ? 2 ,点 E 为 BC 的中点, ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 点 F 在边 CD 上,若 AB ? AF ? 2 ,则 AE ? BF 的值是_________.
12.已知函数 f ( x) ? ax ? 15.给出下列五个命题: ①若集合 A ? {x | ax2 ? 2x ? 1 ? 0} 中只有一个元素,则 a ? 1 ; ②图象不过点 (?1,1) 的幂函数,一定不是偶函数; ③函数 f ( x ) 在 [ a, b] 上连续,且 f (a) ? f (b) ? 0 ,则方程 f ( x) ? 0 在 ( a, b) 内只有唯一实根; ④设 ? 为第二象限角,则 tan

C. B ? A

b ?1? ?1? ?1 C. lg?a ? b ? ? 0 D. ? ? ? ? ? a ? 2? ? 2? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 4.若 a, b, c 均为单位向量,且 a? b ? 0 , (a ? c)? (b ? c) ? 0 ,则 a ? b ? c 的最大值为
B. A. 2 - 1 B.1

5.已知函数 f ( x) ? 2sin( x ?

?
6

C. 2

D.2

? cos ; 2 2 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ⑤设 O 是 ?ABC 的外心, OD ? BC 于 D ,且 | AB |? 3,| AC |? 1 ,则 AD? ( AB ? AC) ? 1.
,且 sin 其中正确命题的序号为 .(写出所有正确命题的序号) 三、解答题:(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 12 分)集合 A ? {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0}, B ? {x | x2 ? 2(a ? 1) x ? a 2 ? 5 ? 0}, (Ⅰ)若 A ? B ? {2} ,求实数 a 的值; (Ⅱ)若 A ? B ? A ,求实数 a 的取值范围.

?

? cos

?

?

?

), x ? R .若 f ( x) ? 1 ,则 x 的取值范围为

π ? ? B. ? x | 2kπ + ? x ? 2kπ+π,k ? Z ? 3 ? ? π 5π ? ? D. ? x | 2kπ+ ? x ? 2kπ+ ,k ? Z ? 6 6 ? ? 1 6.已知函数 f ( x) ? x 2 ? | x | ?2 ,则满足 f ( 2 x ? 1) ? f ( ) 的实数 x 的取值范围是 3 1 2 1 2 1 2 1 2 A. ( , ) B. [ , ] C. ( , ) D. [ , ) 3 3 2 3 2 3 3 3
7.某商场决定在元旦期间对顾客实行购物优惠活动,规定一次性购物付款总额:①如果不超过 200 元,则不予优惠;②如果超过 200 元但不超过 500 元,则按标价给予 9 折优惠;③如果超过 500 元, 其 500 元按②条给予优惠,超过 500 元的部分给予 7 折优优惠.某人两次去购物,分别付款 168 元 和 423 元.假设他一次性购买上述同样的商品,则应付款 A. 413.7 元 B. 513.7 元 C. 546.6 元 D. 548.7 元
? 8.在 Rt△ ABC 中, ?C ? 90 , AC ? 4 ,则 AB?AC 等于 A. ?16 B. ? 8 C.8 D.16
x 9.已知实数 a ? 0 且 a ? 1 ,函数 f ( x) ? 1og a | x | 在 (??, 0) 上是减函数,函数 g ( x) ? a ?

π ? ? A. ? x | kπ+ ? x ? kπ+π,k ? Z ? 3 ? ? π 5π ? ? C. ? x | kπ+ ? x ? kπ+ ,k ? Z ? 6 6 ? ?

??? ? ??? ?

1 ,则 ax

? 1 2 3 内角. (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 cos C ? ,求 cos A 的值. 5
?

17. (本小题满分 12 分)已知向量 a ? (cos B, ) 与向量 b ? (?1,1) 共线,其中 A, B, C 是 ?ABC 的

下列选项正确的是 A. g (?3) ? g (2) ? g (4) D. g (4) ? g (?3) ? g (2) 10.函数 f ( x) ? A. 2
1 2

B. g (?3) ? g (4) ? g (2) D. g (2) ? g (?3) ? g (4)

1 ? 2sin ? x( ?1 ? x ? 3) 的所有零点之和为 1? x B. 4 C. 6
3 4 5 6 7 8 9

D. 8
10

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.用二分法求方程 x ? 2 x ? 5 ? 0 在区间 [2,3] 内的实根,取区间中点 x0 ? 2.5 ,那么下一个有根
3

18 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 向 量 m ? (sin x,1), n ? ( 3 A cos x,

?

?

? 1 个单位,再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的 12 2 ? 5? ? 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图像,求 g ( x) 在 ?0, 上的值域. ? 24 ? ?
(2)将函数 y ? f ( x) 的图像向左平移

? ? f ( x) ? m ? n 的最大值为 6 . (1)求 A ;

A cos 2 x)( A ? 0) , 求 函 数 2

20.(本小题满分 13 分)函数 f ( x ) 的定义域为 R ,并满足以下条件: ①对任意的 x ? R ,有 f ( x) ? 0 ;②对任意的 x, y ? R ,有 f ( xy) ? [ f ( x)] y ;③ f ( ) ? 1 . (1)求 f (0) 的值; (2)求证: f (1) ? 1 且 f ( x) ? [ f (1)]x ; (3)若对于区间 [0,1] 上的每一个 x 值,不等式 f (2x ? m) ? 1 恒成立,求 m 的取值范围.

1 3

19.(本小题满分 12 分)某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得 10 万元~100 万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金 y (单位:万元)随投资收益 x (单位:万元)的增加而增加,且奖金不超过 5 万元,同时奖金不超过投资收益的 20%. (Ⅰ) 若建立函数模型 y ? f ( x) 制定奖励方案,请你根据题意,写出奖励模型函数应满足的条件; 1 (Ⅱ) )现有两个奖励函数模型: (1) y ? x ? 1 ; (2) y ? log2 x ? 2 .试分析这两个函数模型是否符合 20 1 公司要求. (已知 y ? log 2 x ? 2 ? x 在 ?10,100? 上是递减的) . 5

21. (本小题满分 14 分)已知定义域为 R 上的函数 f ( x) ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)用定义证明 f ( x ) 为 R 上的减函数;

?2 x ? b 是奇函数. 2 x ?1 ? a

(Ⅲ)若对任意的 t ? [?1,1] ,不等式 f (2k ? 4t ) ? f (3 ? 2t ? k ?1) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围.

龙泉中学 2014 级高一周练理科数学试卷(19)参考答案
命题:罗进平 选择题答案 1 A 2 C 3 D 4 B 5 B 6 A 7 C 8 D 9 D 10 B

1 设 h( x) ? log 2 x ? 2 ? x , h( x) 在 ?10,100? 上是递减的,因此 5 x h( x) ? h(10) ? log2 10 ? 4 ? 0 ,即 f ( x) ? 恒成立.满足条件③ 5 故该函数模型符合公司要求; 综上所述,函数模型 y ? log 2 x ? 2 符合公司要求. ………12 分
20.解:(1)令 x ? y ? 0 ,则 f (0) ? [ f (0)]0 . 由 f (0) ? 0 ,得 f (0) ? [ f (0)]0 ? 1 .

1 ? 11. (2, 2.5) ; 12. ? ; 13. ; 14. 2 ;15.②⑤. 2 3 16.解:( 1)由 A ? B ? {2} 得 2 ? B, 解得 a ? ?1 或 a ? ?3 ,经检验均符合题意 (6 分 ,如果不检验
扣 2 分}; (2)由 A ? B ? A ? B ? A ,所以 B ? ? 或 B ? {1} 或 B ? {2} 或 B ? {1, 2}(8 分) 当 B ? ? 时得 a ? ?3; 当 B= {2}时得 a ? ?3 ,当 B={1}或 B={1,2}时无解, 所以 a 的取值范围为 a ? ?3 (12 分).

1 1 1 1 , y ? 3 ,则 f (1) ? f ( ? 3) ? [ f ( )]3 .由③知 f ( ) ? 1 , 3 3 3 3 1 3 ∴ f (1) ? [ f ( )] ? 1 ,且 f ( x) ? f (1? x) ? [ f (1)]x . 3 (3)由(2)知 f ( x) ? [ f (1)]x ,且 f (1) ? 1 ,∴ f ( x ) 在 R 上是单调增函数.
(2)令 x ? ∵ f (0) ? 1 , f (2x ? m) ? 1 ,∴ f (2x ? m) ? f (0) . ∴ 2 ? m ? 0 , m ? ?2 .要使该不等式在区间 [0,1] 上恒成立,只需 m ? (?2x )min , x ?[0,1] ,
x x

1 ? , B ? (0?,180?) ,所以角 B ? 120 (6 分); 2 3 4 4 3 ?3 ? (2)由 cos C ? 得 sin C ? , 故 cos A ? cos(60 ? C ) ? (12 分) . 5 5 10 A 18.解: (1) f ?x ? ? m· n ? 3 A sin x cos x ? cos 2 x 2 ? 3 ? 1 ?? ? ? A sin ? ? A? sin 2 x ? cos 2 x 2 x ? ? ? .因为 A ? 0 ,所以由题意知 A ? 6 . ? 2 ? 2 6 ? ? ? ? ? ?? ? ( 2 ) 由 ( 1 ) 得 f ?x ? ? 6 sin? 2 x ? ? . 将 函 数 y ? f ?x ? 的 图 像 向 左 平 移 个单位后得到 12 6? ?
17.解:( 1)由两向量共线得 cos B ? ?

即 m ? ?2 .故 m 的取值范围是 (??, ?2) . 21.解:已知定义域为 R 上的函数 f ( x) ?

?2 x ? b 是奇函数, 2 x ?1 ? a

1 ? ? ? ? ?? ?? ? y ? 6 sin ?2? x ? ? ? ? ? 6 sin? 2 x ? ? 的图像;再将所得图像上各点横坐标缩短为原来的 , 2 12 ? 6 ? 3? ? ? ? ?? ? 纵坐标不变,得到 y ? 6 sin ? 4 x ? ? 的图像. 3? ? ?? ? ?? 7? ? ? ? 5? ? 因此 g ?x ? ? 6 sin ? 4 x ? ? .因为 x ? ?0, ,所以 4 x ? ? ? , , ? 3? 3 ?3 6 ? ? ? 24 ? ? ? 5? ? 故 g ?x ? 在 ?0, 上的值域为 ?? 3,6? . ? 24 ? ?
19.解: (Ⅰ)设奖励函数模型为 y ? f ( x) ,则该函数模型满足的条件是: ①当 x ? ?10,100? 时, f ( x) 是增函数; ③当 x ? ?10,100? 时, f ( x) ? ②当 x ? ?10,100? 时, f ( x) ? 5 恒成立;

?2 x ? 1 (1)由 f (0) ? 0 得 b ? 1 ,再由 f (?1) ? ? f (1) ? a ? 2 ,∴ f ( x) ? x ?1 (4 分) 2 ?2 ?2 x ? 1 1 1 ? x ? ,然后用定义证明 f ( x) 为 R 上的减函数; (2) f ( x) ? x ?1 (8 分) 2 ? 2 2 ?1 2 (3) 不等式 f (2k ? 4t ) ? f (3 ? 2t ? k ?1) ? 0 可化为不等式 f (2k ? 4t ) ? f (k ? 1 ? 3 ? 2t ) t t t t 由(2)得 2k ? 4 ? k ? 1 ? 3 ? 2 ,即 k ? 4 ? 3 ? 2 ? 1, t ?[?1,1] (12 分) 3 5 1 4t ? 3 ? 2t ? 1 ? (2t ? ) 2 ? ,由 t ? [?1,1] 得 2t ? [ , 2] , 2 4 2 3 5 1 1 t t t 2 ∴ 4 ? 3 ? 2 ? 1=(2 ? ) ? 的最大值为 ? ,故 k 的取值范围为 k ? ? . (14 分) 2 4 4 4

x 恒成立. …………………………5 分 5 1 (Ⅱ) (1)对于函数模型 (1) y ? x ? 1 ,它在 ?10,100? 上是增函数,满足条件①; 20 但当 x ? 80 时, y ? 5 ,因此,当 x ? 80 时, y ? 5 ,不满足条件②; 故该函数模型不符合公司要求. …………………………8 分 (2)对于函数模型 (2) y ? log2 x ? 2 ,它在 ?10,100 ? 上是增函数,满足条件①
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? x ? 100 时 ymax ? log2 100 ? 2 ? 2log 2 5 ? 5 ,即 f ( x) ? 5 恒成立,满足条件②


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