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江西省南昌市2014—2015学年度第一学期高二年级期末考试(理科甲卷)


南昌市 2014—2015 学年度上学期 高二期末理科数学试卷(甲)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。共 21 小题.共 150 分。共 4 页, 考试时间 120 分钟,考生作答时将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。 注意事项: 1、答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上。 2、请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 3、请保持卡面清洁,不折叠、不破损。

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请将正确答案的代号填涂在答卷的相应表格内) 1.复数 z ?

?1 ? 2i (i 是虚数单位)在复平面上对应的点位于 i
C.第三象限 D.第四象限

A.第一象限 B.第二象限 2.下列说法正确的是

2 A.命题“若 x 2 ? 1, 则 x ? 1 ”的否命题为: “若 x ? 1 ,则 x ? 1 ” ;

B.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题. C.命题“ a 、 b 都是有理数”的否定是“ a 、 b 都不是有理数” ;
2 D. “ x ? ?1 ”是“ x ? 5x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件;

3.由直线 x ? 1, x ? 2 ,曲线 y ? x2 及 x 轴所围图形的面积为 A.3 B.7 C.

7 3

D.

1 3

4.已知直线 y ? x ? 1 与曲线 y ? ln( x ? a) 相切,则 a 的值为 A.1 B.2
x

C. ? 1
[来源:Z#xx#k.Com]

D. ? 2

5.命题 p :对任意 x ? [0, ??) , (log3 2) ? 1 ,则 ? p 为. A.存在 x0 ?[0, ??) , (log3 2)
x0
x

? 1,是假命题
? 1,是假命题

B.对任意 x ? [0, ??) , (log3 2) ? 1 ,是真命题 C.存在 x0 ?[0, ??) , (log3 2)
x0

D.对任意 x ? [0, ??) , (log3 2) x ? 1 ,是真命题 6.已知直线 3x+4y-3=0 与直线 6x+my+14=0 平行,则它们之间的距离是 A.1 B.2 C.

1 2

D.4

7.函数 f ( x ) 在 x ? x0 处导数存在,若 p : f ?( x0 ) ? 0 , q : x ? x0 是 f ( x ) 的极值点,则 A. B. C. D.

p 是 q 的充分必要条件 p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件

8. 如图,椭圆的中心在坐标原点,F 为左焦点,A,B 分别 为长轴和短轴上的一个顶点,当 FB⊥AB 时,此类椭圆 称为“黄金椭圆”. 类比“黄金椭圆”, 可推出“黄金双曲线” 的离心率为 A.

5 ?1 2

B.

5 ?1 2

C.

3 ?1 2

D.

3 ?1 2

9.已知 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? (a ? 6) x ? 1既有极大值又有极小值,则 a 的取值范围为 A. a ? ?1 或 a ? 2 C. a ? ?3 或 a ? 6 10.若函数 f ( x) ? x ?
2

B. a ? ? 1 或 a ? 2 D. a ? ? 3 或 a ? 6

1 ln x ? 1 在其定义域内的一个子区间 (k ? 1, k ? 1) 内不是单调函 2 3 2 1 3 , ) 2 2
n

数,则实数 k 的取值范围是

1,??? A. ?

B. [1, )

C. ( ?

?3 ? D. ? , 2 ? ?2 ?
?

11.用数学归纳法证明“ (n ? 1)(n ? 2) ??? (n ? n) ? 2 ?1? 2 ??? (2n ?1)(n ? N ) 时,从 “ n ? k 到 n ? k ? 1 ”时,左边应增添的式子是 A. 2 k ? 1 B. 2k ? 3 C. 2(2k ? 1) D. 2(2k ? 3)

12.若曲线 C1: ρ ? 2 cos θ 与曲线 C2:y(y-mx-m)=0 有 4 个不同的交点,则实数 m 的 取值范围是 A. (?

3 3 3 3 3 3 3 3 , ) B (? , 0) (0, ) C. [? , ] D. (??, ? ) ( , ??) 3 3 3 3 3 3 3 3

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.若 复数 z ? ( x2 ?1) ? ( x ?1)i 为纯虚数,则实数 x 的值为 14.若 f ( x) ? ;

1 __. f ( x)?dx ? x ,则 f ( ) =__ ?0 4 2 ? sin x , 其 导 函 数 记 为 1 5 . 已 知 函 数 f ( x) ? x 2 ?1

?

?1

f ?( x ) ,

则 f (2015) ? f ?(2015) ? f (?2015) ? f ?(2015) =______________. 16.已知函数 f ( x) ? a ln( x ? 1) ? x2 在区间(0,1)内任取两个实数 p,q,且 p≠q,不等式

f ( p ? 1) ? f (q ? 1) ? 1 恒成立,则实数 a 的取值范围为______________. p?q
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题满分 10 分) 已知命题 p:曲线

x2 y2 ? ? 1为双曲线;命题 q:函数 f ( x) ? (4 ? a) x 在 R 上是增函 a?2 6?a

数;若命题“p 或 q”为真,命题“p 且 q”为假,求实数 a 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分) (I)已知 x ? R, a ? x ?
2

1 , b ? 2 ? x, c ? x 2 ? x ? 1 ,试证明 a, b, c 中至少有一个不小于 2

1.
2 (II)用分析法证明:若 a ? 0 ,则 a ?

1 1 ?2?a? ? 2 . 2 a a

19. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? (I)当 a ?

ex , a 为正实数 1 ? ax 2
4 ,求 f ( x ) 极值点; 3

(II)若 f ( x ) 为 R 上的单调函数,求 a 的范围.

20. (本小题满分 12 分) 数列 {an } 满足 an ? 0, Sn ?

m 1 (an ? ), 其中 m ? ?06 2 cos xdx . 2 an

?

(I)求 S1 , S2 , S3 ,猜想 Sn ; (II)请用数学归纳法证明你的猜想.

21. (本小题满分 12 分)

x2 y2 已知椭圆: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上任意一点到两焦点 F1 , F2 距离之和为 2 3 ,离心 a b
率为

3 ,动点 P 在 直线 x ? 3 上,过 F2 作直线 PF2 的垂线 l ,设 l 交椭圆于 Q 点. 3

(I)求椭圆 E 的标准方程; (II)证明:直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值;

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? (2 ? 5a) x ? 5ln x????(a ? R) . (1)若曲线 y ? f ( x) 在 x ? 3 和 x ? 5 处的切线互相平行,求 a 的值; (2)求 f ( x ) 的单调区间; (3) 设 g ( x) ? x ?
2

5 5 5 x, 若对任意 x1 ? (0, ] , 均存在 x2 ? (0, ] , 使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) , 2 2 2

求 a 的取值范围.

南昌市 2014—2015 学年度上学期 高二期末理科数学试卷(甲)参考答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。每小题只有一个选项是正确的) 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 B 5 C 6 B 7 C 8 B 9 D 10 B 11 C 12 B

?1 ? 2i ? 2 ? i ,复数 z 对应的点位于第一象限,故选 A。 i 2 2. 【解析】试题分析:对于选项 A,命题“若 x 2 ? 1, 则 x ? 1 ”的否命题为: “若 x ? 1 , 则 x ? 1” ,A 错误; 对于选项 B,命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题,B 正确; 对于选项 C,命题“ a 、 b 都是有理数”的否定是“ a 、 b 不都是有理数” ,C 错误; 2 2 对于选项 D, “ x ? ?1 ” 能推出 “ x ? 5x ? 6 ? 0 ” , 但 “ x ? 5x ? 6 ? 0 ” 不能推出 “ x ? ?1 ” , 2 所以“ x ? ?1 ”是“ x ? 5x ? 6 ? 0 ”的充分不必要条件,D 错误.故应选 B.
1. 【解析】因为 z ? 考点:命题的真假判断与应用. 3 .【 解 析 】 由 直 线 x ? 1, x ? 2 , 曲 线 y ? x2 及 x 轴 所 围 图 形 的 面 积 为

?

2

1

x 2 dx ?

1 3 2 8 1 7 x |1 ? ? ? ,故选 C. 3 3 3 3

1 ? ?1 ? x0 ? ?1 ? x0 ? a 4. 【解析】设切点为 ( x0 , x0 ? 1) ,依题意有 ? ,解得 ? ,故选 B。 a ? 2 ? ?ln( x ? a) ? x ? 1 0 0 ? 5. 【解析】全称命题的否定是特称命题,并且结论要改为相反,因为 0 ? (log3 2) ? 1 ,所
以对 ?x ?[0, ??) ,有 (log3 2) x ? (log3 2)0 ? 1 ,即命题 p 为真命题,则 ? p 为假命题, 故选 C。 6. 【解析】∵

行线之间的距离 d=

6 m 14 = ≠ ,∴m=8,直线 6x+my+14=0 可化为 3x+4y+7=0,两平 3 4 ?3 ?3 ? 7
=2.

32 ? 42 7. 【解析】若 x ? x0 是函数 f ( x ) 的极值点,则 f ' ( x0 ) ? 0 ;若 f ' ( x0) ? 0 ,则 x ? x0 不一
3 ' 定是极值点,例如 f ( x) ? x ,当 x ? 0 时, f (0) ? 0 ,但 x ? 0 不是极值点,故 p 是 q 的 必要条件,但不是 q 的充分条件,选 C . 考点:1、函数的极值点;2、充分必要条件.

8. 如图,椭圆的中心在坐标原点,F 为左焦点,A,B 分 别为长轴和短轴上的一个顶点,当 FB⊥AB 时,此类椭圆 称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推出“黄金双曲线” 的离心率为( )

A.

5 ?1 2

B.

5 ?1 2

C.

3 ?1 2

D.

3 ?1 2

【答案】 【解析】由图知,(a+c)2=(b2+c2)+c2,整理得 c2-ac-a2=0,即 e2-e-1=0,解得 e 1+ 5 1± 5 = ,故 e= . 2 2 9. 【解析】由已知得: f ' ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? a ? 6 ? 0 在 R 上有两个不相等的实根,所以

? ? (2a) 2 ? 12(a ? 6) ? 0 解得: a ? ?3或a ? 6 ,故选 D. 10 .【 解 析 】 函 数 的 定 义 域 为 (0,??) , 所 以 k ? 1 ? 0 即 k ? 1 ,
1 4x2 ?1 1 1 ? ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 或 x ? ? (不在定义域内舍) , 2 2 2x 2x 1 1 由于函数在区间 (k-1, k+1) 内不是单调函数, 所以 ? ( k ? 1, k ? 1) 即 k ? 1 ? ? k ? 1 , 2 2 3 1 3 解得 ? ? k ? ,综上得 1 ? k ? ,答案选 B. 2 2 2 11.【解析】试题分析:当 n ? k 时,左边= (k ? 1)(k ? 2) ? ? ? (2k ) ; 当 n ? k ? 1 时,左边= (k ? 2)(k ? 3) ? ? ? (2k )(2k ? 1)(2k ? 2) (k ? 1)( k ? 2) ? ? ? (2k ) ? ? (2k ? 1)( 2k ? 2) ? [( k ? 1)( k ? 2) ? ? ? (2k )] ? 2(2k ? 1) . k ?1 f ?( x) ? 2 x ?
12. 【解析】曲线 C1:(x-1)2+y2=1,图象为圆心为(1,0),半径为 1 的圆;曲线 C2:y =0,或者 y-mx-m=0,直线 y-mx-m=0 恒过定点(-1,0),即曲线 C2 图象为 x 轴 与恒过定点(-1,0)的两条直线.作图分析: 3 3 k1=tan 30°= ,k2=-tan 30°=- , 3 3 3 又直线 l1(或直线 l2)、x 轴与圆共有四个不同的交点,结合图形可知 m=k∈?- ,0?∪ ? 3 ? ?0, 3?. 3? ? 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. ?1 【解析】因为复数 z ? ( x ?1) ? ( x ?1)i 为纯虚数,则 ?
2

? x2 ?1 ? 0 ? x ?1 ? 0

,解得 x ? 1 。

14. 0【解析】因为?1f(x)dx 是个常数,不妨设为 m,所以 f(x)=x-m,

?0

1 1 1 其原函数 F(x)= x2-mx+C(C 为常数),所以可得方程 m= -m,解得 m= . 2 2 4 故 f ( x) ? x ?

1 1 .所以 f ( ) ? 0 。 4 4

15. 2.【解析】 f ( x) ? 1 ?

2 ? 1 ? sin x 为奇函数,则 f ?( x ) 为偶函数, 2 ?1
x

则 f (?2015) ? 1 ? ?[ f (2015) ? 1] ,即 f (2015) ? f (?2015) ? 2 , 且 f ?(2015) ? f ?(2015) ? 0 ,从而 f (2015) ? f ?(2015) ? f ( ?2015) ? f ? (2015) ?2 。 16. ?15, ??) 【解析】由已知得, f ( p ? 1) ? f (q ? 1) ? 1 ,且 p ? 1, q ?1 ?(1,2) ,等价于函 ( p ? 1) ? (q ? 1) 数 f ( x) ? a ln( x ? 1) ? x2 在区间 (1, 2) 上任意两点连线的割线斜率大于 1,等价于函数在区 间 (1, 2) 的切线斜率大于或等于 1 恒成立.

f ' ( x) ?

a a ? 2 x ? 1 恒 成 立 , 变 形 为 a ? 2 x 2 ? 3x ? 1 , 因 为 ? 2x , 即 x ?1 x ?1
1 5 a ? 15 . ,故

2 x2 ? 3 x? 1 ?

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题满分 10 分) 解:p 为真时,(a-2)(6-a)>0,解得 2<a<6.---------------2 分 q 为真时,4-a>1,解得 a<3.---------------4 分 由命题 “p∨q”为真,“p∧q”为假,可知命题 p,q 中一真一假.---------------5 分 当 p 真,q 假时,得 3≤a<6.---------------7 分 当 p 假,q 真时,得 a≤2.---------------9 分 因此实数 a 的取值范围是(-∞,2]∪[3,6).---------------10 分 18. (本小题满分 12 分) 解析: (I)假设 a, b, c 均小于 1,即 a ? 1, b ? 1, c ? 1 ,则有 a ? b ? c ? 3
2 而 a ? b ? c ? 2x ? 2x ?

1 1 ? 3 ? 2( x ? ) 2 ? 3 ? 3 ,矛盾.所以原命题成立------------6 分 2 2

(II)证明:要证: a ?
2

1 1 ?2?a? ? 2. 2 a a
2

2 ? 2 1 ? ? 1 ? ∵ a ? 0 ,∴两边均大于零,因此只需证: ? a ? 2 ? 2 ? ? ? a ? ? 2 ? ? ? ? a a ? ? ?

只需证: a 2 ?

1 1 1 1? ? ? 4 ? 4 a2 ? 2 ? a2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? a ? ? 2 a a a a? ? 1 2? 1? ? ?a ? ? 2 a 2 ? a?

只需证: a 2 ?

只需证: a 2 ?
2 即证: a ?

1 1? 2 1 ? ? ? a ? 2 ? 2? 2 a 2? a ?

1 ? 2 ,它显然成立,∴原不等式成立. ---------------12 分 a2

19. (本小题满分 12 分) 解析: (I)∵ f ( x) ? 当a ?

e x (ax 2 ? 2ax ? 1) ex ,∴ ,---------------2 分 f '( x ) ? 1 ? ax 2 (1 ? ax 2 )2

4 3 1 ,若 f '( x) ? 0 ,则 4 x 2 ? 8 x ? 3 ? 0 ,解得 x1 ? , x2 ? ,---------------3 分 3 2 2 1 (??, ) 2 1 2 0
极大值

列表可知

x
f '( x) f ( x)

1 3 ( , ) 2 2

?


?

3 2 0
极小值

3 ( , ??) 2

?




---------------5 分 ∴ x1 ?

3 1 是极小值点, x2 ? 是极大值点;---------------6 分 2 2

(II)若 f ( x ) 为 R 上的单调函数,则 f '( x) 在 R 上不变号,---------------8 分
2 又∵ a ? 0 ,∴ ax ? 2ax ? 1 ? 0 在 R 上恒成立,---------------10 分

∴ ? ? 4a ? 4a ? 4a(a ?1) ? 0 ,---------------11 分
2

∴ 0 ? a ? 1 .---------------12 分 20. (本小题满分 12 分) 解(I) 易得: m ? 1. ∵an>0,∴Sn>0, 由 S1=

? ? (a1+ ),变形整理得 S?? =1, ? a? ? ? (a2+ )及 a2=S2-S1=S2-1 得 ? a?

取正根得 S1=1. 由 S2=

S2=

? ? ? (S2-1+ ),变形整理得 S? =2,取正根得 S2= ? . ? S? ??

同理可求得 S3= ? .由此猜想 Sn= n . (II)用数学归纳法证明如下: (1)当 n=1 时,上面已求出 S1=1,结论成立. (2)假设当 n=k 时,结论成立,即 Sk= k . 那么,当 n=k+1 时, Sk+1=

? ? ? ? (ak+1+ )= (Sk+1-Sk+ ) ? ? ak ?? S k ?? ? S k



? ? (Sk+1- k + ). ? Sk ?? ? k

? 整理得 Sk ?? =k+1,取正根得 Sk+1= k ?? .

故当 n=k+1 时,结论成立.(11 分) 由(1)、(2)可知,对一切 n∈N*,Sn= n 都成立. 21. (本小题满分 12 分)

? 2a ? 2 3 ? c 3 ? 解: (I)由条件得: ? e ? ? ,解得: a ? 3, c ? 1, b ? 2 , ? 2 a 2 32 ? ?a ? b ? c
所以椭圆 E :

x2 y2 ? ? 1 ---------------5 分 3 2

(II)设 P(3, y0 ),Q( x1 , y1 )

? PF2 ? F2 Q ,所以: PF2 ? F2Q ? 0 ,即: 2( x1 ? 1) ? y0 y1 ? 0 ------------7 分
又因为: K PQ K OQ ?

x2 y1 y1 ? y0 y12 ? y1 y0 2 ,且 y1 ? 2(1 ? 1 ) ,----- ---10 分 ? ? 2 3 x1 x1 ? 3 x1 ? 3x1
2 - --------12 分 3

代入化简得: K PQ K OQ ? ?

22. (本小题满分 12 分) 解: (I)∵f(x)=ax2﹣(2+5a)x+5lnx,∴ ∵曲线 y=f(x)在 x=3 和 x=5 处的切线互相平行, ∴f′(3)=f′(5) ,即 6a﹣(2+5a)+ =10a﹣(2+5a)+1,解得 a= .---------------3 分 (II)∵ = ,x>0, ,x>0.

① 当 a≤0 时,x>0,ax﹣1<0,在区间(0, )上,f′(x)>0;在区间( ,+∞)上, f′(x)<0.故 f(x)的增区间是(0, ) ,减区间是( ,+∞) .---------------4 分 ②当 0<a< 时, .在区间(0, )和( ,+∞)上,f′(x)>0;在区间( , )

上,f′(x)<0.故 f(x)的增区间是(0, ) , ( ,+∞) ,减区间是( , ) .------5 分

③当 a= 时, ④当 a> 时,0<

,故 f(x)的单调递增区间是(0,+∞) .----6 分 ,在区间(0, )和( )上,f′(x)>0;在( , ) ) ,减区间是( , 均存在 ) .---7 分 , 使得 f (x1)

上,f′(x)<0,故 f(x)的增区间是(0, ) , ( (III) ∵ , 对任意

<g(x2) ,∴在(0, ]上,有 f(x)max<g(x)max.---------------8 分 在(0, ]的最大值 g(x)max=g( )=0.---------------9 分 由(II)知:①当 a≤ 时,f(x)在(0, ]上单调递增, 故 f(x)max=f( )= ∴﹣ ﹣5+5ln <0,解得 a> =﹣ .故 ﹣5+5ln , .-------10 分

②当 a> 时,f(x)在(0, ]上单调递增,在( , ]上单调递减, 故 f(x)max=f( )=﹣5﹣ +5ln =﹣ 由a ,知 ,∴ ,∴ , ,

∴a> .f(x)max<0.---------------11 分 综上所述 a 的取值范围是 .---------------12 分


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