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福建省龙岩市非一级达标校2015届高三上学期期末质量检查数学文试题(扫描版)


龙岩市非一级达标校 2014~2015 学年第一学期期末高三教学质量检查

数学(文科)参考答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1-5 DDABB 6-10 CDABC 11-12 BB 16.10 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.1 14.1 15 . 2 3 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分) 项和,考查运算求解能力和函数与方程思想. 解:(Ⅰ)已知等比数列 ?an ? 的公比 q ? 0 , a2 ? 2 , a4 ? 8

17. 命题意图: 本题主要考查等差数列的通项公式、 等比数列的通项公式、 裂项相消法求数列的前 n

? ?a2 ? a1q ? 2 ?? 3 ? ?a4 ? a1q ? 4 ?a1 ? 1 ? ? ? ?q ? 2
等差数列 ?bn ? 中 b1 ? a2 , b2 ? a3 设公差为 d

? an ? 2n?1

n ? N?

………………3 分

? b1 ? a2 ? 2, b2 ? a3 ? 4 ?b1 ? 2 ?? ?b2 ? b1 ? d ? 4 ?b1 ? 2 ?? ?d ? 2
(Ⅱ)由(Ⅰ)知数列 ?an ? 是以 1 为首项,2 为公比的等比数列,数列?bn ? 是以 2 为首项,2 为公 差的等差数列.

? bn ? 2 ? 2(n ?1) ? 2n

n ? N?

………………………6 分

? cn ? an ? bn ? 2n?1 ? 2n

Tn ? c1 ? c2 ? c3 ? ??? ? cn ? (a1 ? b1 ) ? (a2 ? b2 ) ? (a3 ? b3 ) ? ??? ? (an ? bn ) ? (a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? an ) ? (b1 ? b2 ? b3 ? ??? ? bn ) ? 1 ? 2 n 2 ? 2n ? n 1? 2 2 ? 2n ? n 2 ? n ? 1
………………………8 分

………………………12 分

18.命题意图:本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式、同角三角函数的基本关

系式等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想. 解:(1)在 ?ABC 中,由正弦定理得: 因为 0 ? A ? ? ,所以 sin A ? 0 从而 3 cos C ? sin C ,又 cos C ? 0 所以 tan C ? 3 ,所以 C ? (2)在 ?ABC 中, S ?ABC ? ……4 分 ……6 分 ……9 分

3 sin A cos C ? sin C sin A ? 0

……2 分

?
3

.

1 ? ? 4a ? sin ? 6 3 ,得 a ? 6 2 3

由余弦定理得: c 2 ? 62 ? 42 ? 2 ? 6 ? 4 cos 所以 c ? 2 7 .

?

3

? 28
……12 分

19.命题意图:本题主要考查古 典 概 型 、 分 层 抽 样 、 列 举 法 等数学知识,考查学生分析问题解 决问题的能力. 考查运算求解能力,数据处理能力,应用意识函数与方程思想,分类与整合思 想. 解 : 教师 女学生 男学生 (Ⅱ) 同意 1 2 3 不同意 1 4 2 合计 2 6 5 ( Ⅰ) ……………4 分

1 2 3 ? 36 ? ?108 ? ? 90 ? 108 人 …………7 分 2 6 5 (Ⅲ)设“同意”的两名学生编号为 A , B ,“不同意”的编号为 1,2,3,4
选出两人共有( A , B ),( A ,1),( A ,2),( A ,3),( A ,4),( B , 1),( B ,2),( B ,3),( B ,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4), ( 果, 3 , 4 ) 共 15 种 结 ……………9 分 其中( A ,1),( A ,2),( A ,3),( A ,4),( B ,1),( B ,2),( B , 3), ( B ,4)共 8 种结果满足题意. 每个结果出现的可能性相等,所以恰好有 1 人“同意”,一人“不 同意”的概率为

8 . 15

…………12 分

20.命题意图:本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、三视图的概念及体积等基础知 识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、化归与转化能力. 证明:( Ⅰ)

E , F 分别是 AB, AC 的中点 ? EF // BC BC ? 平面 DEF , EF ? 平面 DEF

B

E

……………………4 分 ? BC // 平面 DEF (Ⅱ)∵如图 1 得 CD ⊥ AB , BD ⊥ AD , BD ⊥ CD 又∵ CD ∩ AD = D ∴ BD ⊥平面 ACD ……………………8 分
C

D F

G

A

取 AD 的中点 G ,连接 EG ∵ E 是 AB 的中点 ∴ EG //

1 BD 2

∴ EG ⊥平面 ACD ∴ V A? EDF ? VE ? ADF ?

EG =

3 2
………12 分

1 1 1 1 3 1 S ?ADF ? EG ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? 3 3 2 2 2 2

21.命题意图:本题考查椭圆的方程及简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识, 考查运算求解和分析探究问题能力,考查数形结合思想、化归与转化思想. 解:( Ⅰ)依题意得 e ?

c 2 2 1 ? ,? c ? a,? c 2 ? a 2 a 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 又 c ? a ? b ? a ,? a ? 2b ① 2 4 2 因为 M (2, 2) 在椭圆上, ? 2 ? 2 ? 1 ② a b 2 2 联立①②解得 a ? 8, b ? 4

………………2 分

x2 y 2 ? ? 1. 8 4 (Ⅱ) N 与 M (2, 2) 关于 x 轴对称,? N (2, ? 2) , P 为椭圆上顶点? P(0, 2)

?椭圆方程为

…………………5 分

………………7 分 ……9 分

?直线 MP 方程为 y ? ?直线 NP 方程为 y ?
即 mn ?

2 ?2 ?4 x ? 2 ,令 y ? 0 , m ? x ? 2 2 ?2 ? 2 ?2 x?2 2
令 y ? 0, n ? x ?

?4 ……11 分 ? 2 ?2

?4 ?4 ? ?8 2 ?2 ? 2 ?2

…………………………………………12 分

22.命题意图:本题为导数、不等式的综合,主要考查导数的应用,考查考生的计算能力及分析问题、 解决问题的能力、化归与转化思想. 解:(Ⅰ)当 a ? 2 时 , f ( x) ? ln x ?

1 2 5 x ? x ?1 2 2 2 1 5 2 x ? 5x ? 2 f ?( x) ? ? x ? ? x 2 2x 1 令 f ?( x) ? 0 ,解得 ? x ? 2 , 2 1 ?函数 f ( x) 的递减区间是 ( , 2) 2 1 x 2 ? (a ? ) x ? 1 1 1 a (Ⅱ) f ?( x) ? ? x ? (a ? ) ? x a x 1 2 令 f ?( x) ? 0 ,即 x ? (a ? ) x ? 1 ? 0 a

………………………4 分

1 1 ? ? (a ? )2 ? 4 ? (2 a )2 ? 4 ? 0 a a ? x1 x2 ? 1
1 ? ? x1 ? x2 ? a ? a ? (Ⅲ)由(Ⅱ)知 ? x1 x2 ? 1 ?x ? x ? 0 1 ? 2 ?

………………………9 分

………………………10 分

1 1 2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ln x1 x2 ? ( x12 ? x2 ) ? (a ? )( x1 ? x2 ) ? 2 2 a 1 1 ? ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 ? ? (a ? )( x1 ? x2 ) ? 2 ? ? 2 a 1 1 ? ? (a ? ) 2 ? 1 ? ?1 2 a ………………………14 分 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的取值范围是 (??, ?1)


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