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第1章 第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件


第 1 章 第 2 节 命题及其关系、充分条件与必要条件 一、选择题 1.(2011· 福建高考)若 a∈R,则“a=1”是“|a|=1”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件 )

解析:若 a=1,则有|a|=1 是真命题,即 a=1?|a|=1,由|a|=1 可得 a=± 1,所以若|a| =1, 则有 a=1 是假命题, 即|a|=1?a=1 不成立, 所以 a=1 是|a|=1 的充分而不必要条件. 答案:A 2.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数” B.“若一个数的平方是正数,则它是负数” C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数” 解析:原命题的逆命题是:若一个数的平方是正数,则它是负数. 答案:B 3.(2012· 深圳第一次调研)已知 p:“a= 2”,q:“直线 x+y=0 与圆 x2+(y-a)2=1 相切”,则 p 是 q 的( A.充分不必要条件 C.充要条件 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

解析:由直线 x+y=0 与圆 x2+(y-a)2=1 相切得,圆心(0,a)到直线 x+y=0 的距离 等于圆的半径,即有 答案:A 4.下列命题中是真命题的是( ) |a| =1,a=± 2.因此,p 是 q 的充分不必要条件. 2

A.若向量 a,b 满足 a· b=0,则 a=0 或 b=0 1 1 B.若 a<b,则 > a b C.若 b2=ac,则 a,b,c 成等比数列 4 D.?x∈R,使得 sin x+cos x= 成立 3 解析: 对于选项 A, 若向量 a、 满足 a· b b=0, 不能得出 a=0 或 b=0, 因此 A 不正确. 对 1 1 于选项 B,如取 a=-2,b=1,此时有 a<b,且a<b,因此 B 不正确.对于选项 C,如取 b =0,a=0,c=1,此时有 b2=ac,但 a,b,c 不成等比数列,因此 C 不正确.对于选项 D, π 4 sin x+cos x= 2sin(x+ )∈[- 2, 2],且 ∈[- 2, 2],因此 D 正确. 4 3

答案:D 5.下列命题中为真命题的是( )

A.命题“若 x>y,则 x>|y|”的逆命题 B.命题“x>1,则 x2>1”的否命题 C.命题“若 x=1,则 x2+x-2=0”的否命题 D.命题“若 x2>0,则 x>1”的逆否命题 解析: 对于 A, 其逆命题是: x>|y|, x>y, 若 则 是真命题, 这是因为 x>|y|≥y, 必有 x>y; 对于 B,否命题是:若 x≤1,则 x2≤1,是假命题.如 x=-5,x2=25>1;对于 C,其否命 题是:若 x≠1,则 x2+x-2≠0,由于 x=-2 时,x2+x-2=0,所以是假命题;对于 D, 若 x2>0,则 x>0 或 x<0,不一定有 x>1,因此原命题的逆否命题是假命题. 答案:A 二、填空题 6.命题“若 x>0,则 x2>0”的否命题是________命题.(填“真”或“假”) 解析:其否命题为“若 x≤0,则 x2≤0”,它是假命题. 答案:假 7.若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件,则 a 的最大值为________. 解析:由 x2>1,得 x<-1,或 x>1, 又“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件, 知由“x<a”可以推出“x2>1”, 反之不成立, 所以 a≤ -1,即 a 的最大值为-1. 答案:-1 三、解答题 8. 写出命题“已知 a, b∈R, 若关于 x 的不等式 x2+ax+b≤0 有非空解集, a2≥4b” 则 的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假. 解:(1)逆命题:已知 a,b∈R,若 a2≥4b,则关于 x 的不等式 x2+ax+b≤0 有非空解 集,为真命题. (2)否命题:已知 a,b∈R,若关于 x 的不等式 x2+ax+b≤0 没有非空解集,则 a2<4b, 为真命题. (3)逆否命题:已知 a,b∈R,若 a2<4b,则关于 x 的不等式 x2+ax+b≤0 没有非空解 集,为真命题. 9.指出下列各组命题中,p 是 q 的什么条件? (1)p:四边形的对角线相等;q:四边形是平行四边形. (2)p:x,y 是实数,xy>0;q:|x+y|=|x|+|y|. 解:(1)∵四边形的对角线相等 ? 四边形是平行四边形,四边形是平行四边形 ? 形的对角线相等, 四边

∴p 是 q 的既不充分也不必要条件. (2)充分不必要条件. ∵xy>0?x,y 同正或同负
?x>0 ∴当? ?|x+y|=|x|+|y| ?y>0 ?x<0 当? ?|x+y|=|x|+|y| ?y<0

∴xy>0?|x+y|=|x|+|y| 但反之不能推出,如当 x=0,y=2 时, 有|x+y|=|x|+|y|成立,xy>0 却不成立. 10.求方程 ax2+2x+1=0 有且只有一个负实数根的充要条件. 解:方程 ax2+2x+1=0 有且仅有一负根. 1 当 a=0 时,x=- 适合条件. 2 当 a≠0 时,方程 ax2+2x+1=0 有实根, 则 Δ=4-4a≥0,∴a≤1, 当 a=1 时,方程有一负根 x=-1. 1 当 a<1 时,若方程有且仅有一负根,则 x1x2=a<0,∴a<0. 综上,方程 ax2+2x+1=0 有且仅有一负实数根的充要条件为 a≤0 或 a=1.


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