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2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件:第8章 第3节 圆的方程


第三节

圆的方程

[主干知识梳理] 一、圆的定义及方程

定义
标准 方程

平面内与 定点 合(轨迹)

的距离等于 定长 的点的集

(x-a)2+(y-b)2=r2 圆心:(a,b) (r>0) r 半径:

,<

br />
一 般 x2+y2+Dx+Ey+F=0 方 (D2+E2-4F>0) 程

? D E? ? 圆心:?- 2 ,- 2 ? ? ? ?



1 2 半径: D +E2-4F 2

二、点与圆的位置关系 点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系:

1.若M(x0,y0)在圆外,则 (x0-a)2+(y0-b)2>r2
2.若M(x0,y0)在圆上,则 (x0-a)2+(y0-b)2=r2 3.若M(x0,y0)在圆内,则 (x0-a)2+(y0-b)2<r2


. .

[基础自测自评] 1. (教材习题改编)方程 x2+y2+4mx-2y+5m=0 表示圆的充要条 件是( ) 1 B.m< 或 m>1 4 D.m>1
2

1 A. <m<1 4 1 C.m< 4

1 B [由(4m) +4-4×5m>0 得 m< 或 m>1.] 4

2.(教材习题改编)点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4 内,则实数 a 的取值范围是 ( A.(-1,1) B.(0,1) )

C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(1,+∞) A [∵点(1,1)在圆的内部,∴(1-a)2+(1+a)2<4, ∴-1<a<1.]

3.(2014· 广州检测)圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆 的方程为 ( A.x2+(y-2)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 A [设圆心坐标为(0,b), 则由题意知 (0-1)2+(b-2)2=1,解得 b=2, 故圆的方程为 x2+(y-2)2=1.] B.x2+(y+2)2=1 D.x2+(y-3)2=1 )

4.(2014· 潍坊调研)圆 x2-2x+y2-3=0 的圆心到直线 x+ 3y-3 =0 的距离为________. |1-3| 解析 圆心(1,0),d= =1. 1+3 答案 1

5. (教材习题改编)圆心在原点且与直线 x+y-2=0 相切的圆的方 程为____________________. 解析 设圆的方程为 x2+y2=a2(a>0) |2| ∴ =a,∴a= 2,∴x2+y2=2. 1+1 答案 x2+y2=2

[关键要点点拨]

1.方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是:
(1)B=0;(2)A=C≠0;(3)D2+E2-4AF>0. 2.求圆的方程时,要注意应用圆的几何性质简化运算. (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上. (2)圆心在任一弦的中垂线上.

(3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线.

圆的方程的求法 [典题导入]
(1)已知圆 C 关于 y 轴对称,经过点(1,0)且被 x 轴分成两 段弧长之比为 1∶2,则圆 C 的方程为 (
? 4 3? ? ?2 2 A.?x± ? +y = 3 3? ? ? B.? ?x± ?

)

1 3? ?2 2 +y = ? 3 3?
2

C.x

2

? +? ?y± ?

3? ?2 4 = ? 3? 3

D.x

? +? ?y± ?

3? ?2 1 = ? 3? 3

[听课记录] 由已知知圆心在 y 轴上, 且被 x 轴所分劣弧所对圆心 2π π π 角为 ,设圆心(0,b),半径为 r,则 rsin =1,rcos =|b|,解得 3 3 3
? 2 3 3 3? ? ?2 4 2 r= ,|b|= ,即 b=± .故圆的方程为 x +?y± ? = . 3 3 3? 3 3 ?

答案 C

(2)已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线 x+y=0上,则圆C的方程为 ( )

A.(x+1)2+(y-1)2=2
B.(x-1)2+(y-1)2=2 C.(x-1)2+(y+1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=2

[听课记录] 由题知,两切线间的距离即为圆 C 的直径,所以半 1 |4| 径 r= × = 2,又两切线分别与直线 x+y=0 的交点为切点, 2 2 可得两切点分别为(0,0),(2,-2),故圆心为 C(1,-1),所以 圆 C 的方程为(x-1)2+(y+1)2=2. 答案 C

[规律方法] 1.利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于 a, b,r 或D, E,F的方程组. 2 .利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径,

进而写出方程,体现了数形结合思想的运用.

[跟踪训练] 1.过圆x2+y2=4外一点P(4,2)作圆的两条切线,切点分别

为A,B,则△ABP的外接圆的方程是(
A.(x-4)2+(y-2)2=1 B.x2+(y-2)2=4 C.(x+2)2+(y+1)2=5 D.(x-2)2+(y-1)2=5

)

D [易知圆心为坐标原点O,根据圆的切线的性质可知 OA⊥PA,OB⊥PB,因此P,A,O,B四点共圆,△PAB的

外接圆就是以线段OP为直径的圆,这个圆的方程是(x-2)2+
(y-1)2=5.]

与圆有关的最值问题
[典题导入] 已知实数 x,y 满足方程 x2+y2-4x+1=0. y (1)求 的最大值和最小值; x (2)求 y-x 的最大值和最小值; (3)求 x2+y2 的最大值和最小值.

[听课记录] 原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心, 3为半径的圆. y (1) 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率, x y 所以设 =k,即 y=kx. x 当直线 y=kx 与圆相切时,斜率 k 取最大值或最小值, |2k-0| 此时 2 = 3,解得 k=± 3.(如图①) k +1

y 所以 的最大值为 3,最小值为- 3. x

(2)y-x 可看作是直线 y=x+b 在 y 轴上的截距,当直线 y=x+b |2-0+b| 与圆相切时,纵截距 b 取得最大值或最小值,此时 = 3, 2 解得 b=-2± 6.(如图②) 所以 y-x 的最大值为-2+ 6,最小值为-2- 6. (3)x2+y2 表示圆上的一点与原点距离的平方, 由平面几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最 大值和最小值.(如图③)

又圆心到原点的距离为 (2-0)2+(0-0)2=2, 所以 x2+y2 的最大值是(2+ 3)2=7+4 3,x2+y2 的最小值是(2- 3)2=7-4 3.

[规律方法] 解决与圆有关的最值问题的常用方法 y-b (1)形如 u= 型的最值问题,可转化为定点(a,b)与圆上的动点 x-a (x,y)的斜率的最值问题(如 A 级 T9); (2)形如 t=ax+by 的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问 题(如以题试法 2(2)); (3)形如(x-a)2+(y-b)2 的最值问题,可转化为动点到定点的距离 的最值问题(如例(2)).

[跟踪训练] 2.(1) 与曲线 C:x2 +y2 + 2x +2y=0 相内切,同时又与直线 l :

y=2-x相切的半径最小的圆的半径是________.
(2)已知实数x,y满足(x-2)2+(y+1)2=1则2x-y的最大值 为________,最小值为________.

解析

(1)依题意, 曲线 C 表示的是以点 C(-1, -1)为圆心, 2为

半径的圆,圆心 C(-1,-1)到直线 y=2-x |-1-1-2| 即 x+y-2=0 的距离等于 =2 2, 2 2 2+ 2 3 2 易知所求圆的半径等于 = . 2 2

(2)令 b=2x-y,则 b 为直线 2x-y=b 在 y 轴上的截距的相反数, 当直线 2x-y=b 与圆相切时,b 取得最值. |2× 2+1-b| 由 =1.解得 b=5± 5, 5 所以 2x-y 的最大值为 5+ 5,最小值为 5- 5. 3 2 答案 (1) (2)5+ 5 5- 5 2

与圆有关的轨迹问题
[典题导入] (2014· 广东广州一模)动点 A 在圆 x2+y2=1 上移动时, 它与定点 B(3,0)连线的中点的轨迹方程是( A.(x+3)2+y2=4 B.(x-3)2+y2=1 C.(2x-3)2+4y2=1
? 3? 1 ? ?2 2 D.?x+2? +y = 2 ? ?

)

[听课记录]

设连线中点M(x,y),

则动点A(2x-3,2y), ∴点A在圆x2+y2=1上,

∴(2x-3)2+(2y)2=1,
即(2x-3)2+4y2=1,故选C. 答案 C

[规律方法]

求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下
方法: (1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程. (2)定义法:根据直线、圆、圆锥曲线等定义列方程. (3)几何法:利用圆与圆的几何性质列方程.

(4)代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的
关系式等.

[跟踪训练] 3.动点 P 到点 A(8,0)的距离是到点 B(2,0)的距离的 2 倍,则动 点 P 的轨迹方程为 ( A.x2+y2=32 C.(x-1)2+y2=16 B.x2+y2=16 D.x2+(y-1)2=16 )

B 设 P(x,y),则由题意可得 2 (x-2)2+y2 = (x-8)2+y2,化简整理得 x2+y2=16.

【创新探究】 有关直线斜率的易误点 (2014·东城模拟)直线l过点(-4,0)且与圆

(x +1)2 +(y-2)2 =25交于A,B两点,如果|AB|=8,那么
直线l的方程为 ( A.5x+12y+20=0 B.5x-12y+20=0或x+4=0 C.5x-12y+20=0 D.5x+12y+20=0或x+4=0 )

【解析】 过点(-4,0)的直线若垂直于 x 轴,经验证符合条 件,即方程为 x+4=0 满足题意;若存在斜率,设其直线方程为 y=k(x+4),由被圆截得的弦长为 8,可得圆心(-1,2)到直线 |3k-2| 5 y=k(x+4)的距离为 3,即 2=3,解得 k=-12,此时直线 1+k 方程为 5x+12y+20=0,综上直线方程为 5x+12y+20=0 或 x +4=0. 【答案】 D

【防范指南】 选A.

1. 解答本题易误认为斜率 k一定存在从而错

2 .对于过定点的动直线设方程时,可结合题意或作出符合
题意的图形分析斜率k是否存在,以避免漏解.

[体验高考] 1.(2013·广东高考)过点 (3, 1)作圆 (x - 1)2+y2 = 1 的两条切

线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为
( A.2x+y-3=0 C.4x-y-3=0 B.2x-y-3=0 D.4x+y-3=0 )

A 该切线方程为 y=k(x-3)+1, 即 kx-y-3k+1=0, |k×1-0-3k+1| 由圆心到直线距离为 2 2 =1, k +(-1) 4 得 k=0 或 ,切线方程分别与圆方程联立, 3 9 3 求得切点坐标分别为(1,1),( ,- ), 5 5 故所求直线的方程为 2x+y-3=0.故选 A.

2.(2013· 广东高考)垂直于直线 y=x+1 且与圆 x2+y2=1 相切于 第一象限的直线方程是 ( A.x+y- 2=0 C.x+y-1=0 B.x+y+1=0 D.x+y+ 2=0 )

A 因为所求直线 l(设斜率为 k)垂直于直线 y=x+1, 所以 k· 1=-1,所以 k=-1, 设直线 l 的方程为 y=-x+b(b>0),即 x+y-b=0. |-b| 所以圆心到直线的距离为 =1,所以 b= 2. 2

3.(2013· 江西高考)过点( 2,0)引直线 l 与曲线 y= 1-x2相交于 A,B 两点,O 为坐标原点,当△AOB 的面积取最大值时,直 线 l 的斜率等于 ( 3 A. 3 3 C.± 3 3 B.- 3 D.- 3 )

B 由 y= 1-x2得 x2+y2=1(y≥0), 即该曲线表示圆心在原点,半径为 1 的半圆,如图所示.

1 1 故 S△AOB= |OA|·|OB|·sin∠AOB= sin∠AOB.所以当 sin∠AOB 2 2 =1,即 OA⊥OB 时,S△AOB 取得最大值,此时点 O 到直线 l 的距 2 离 d=|OA|· sin 45°= . 2 设此时直线 l 的斜率为 k,则方程为 y=k(x- 2), 2 |0-0- 2k| 即 kx-y- 2k=0,则有 = , 2 2 k +1 3 解得 k=± , 3 3 由图可知直线 l 的倾斜角为钝角,故取 k=- . 3

4.(2013· 湖北高考)已知圆 O:x2+y2=5,直线 l:xcos θ +ysin θ
? π ? =1?0<θ< 2 ? ? ? ?.设圆 ?

O 上到直线 l 的距离等于

1 的点的个数为 k,则 k=________.

π 解析 直线 l: xcos θ+ysin θ=1(0<θ< )是单位圆 x2+y2=1 2 在第一象限部分的切线,圆 O:x2+y2=5 的圆心到直线 l 的距 离为 1,故过原点 O 与 l 平行的直线 l1 与圆 O 的 2 个交点到直 线 l 的距离为 1,l1 关于 l 对称的直线 l2 与圆 O 也有 2 个交点, 共 4 个. 答案 4

课时作业


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