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第 07 讲 类比推理


思维力

第7讲

类比推理

应知:类比包括概念类比,命题类比和方法类比。使用类比推理推出来的结论不一定正 确。 应会:利用类比推理协助解题。 类比就是一种相似,它可以是概念的类比,命题的类比,也可以是方法的类比。 1.概念的类比 从一个正确的概念可能推出另一类似的概念。 例 1. (高一)长方体可以和长方形类比。 长方体各面的关系与长方形各边的关系相似: 长方形的每一边与另一边平行,而与其余的边垂直——长方体的每一面与另一面平行, 而与其余的面垂直。 如果把边称为长方形的边界元素,把面称为长方体的边界元素,则可以把长方形和长方 体的上述性质统一为“每一边界元素与另一边界元素平行,而与其余的边界元素垂直” 。 2.命题的类比 从一个正确的命题可能推出另一类似的命题。 例 2.(高一)平面中有“平行于同一直线的两直线平行”这条定理,因为空间的“面” 类似于平面中的“线” ,那么在空间很可能有定理“平行与同一平面的两平面平行” 。 例 3.(高一)平面中有“过已知直线外一点可以作而且只可以作一条直线与已知直线平 行”这条定理,因为空间的“面”类似于平面中的“线” ,那么在空间很可能有定理“过已 知平面外一点可以作而且只可以作一个平面与已知平面平行” 。 例 4. (初三)有定理“以直角三角形的斜边为边的正方形的面积等于分别以两直角边为 边的正方形面积的和” ,那么也可能有定理“以直角三角形的斜变为边的多边形的面积等于 分别以两直角变为边的多边形面积的和” 。 备用例. 德国地质学家魏格纳在第一次世界大战时应征入伍, 有一次因为受伤住进了后 方医院。病房的墙壁上正好挂着一幅世界地图,他卧床凝视地图,发现大西洋两岸的海岸线 怎么如此相似,就像一张随意撕成两半的纸一样。据此他做出了类比推理: “大西洋两岸本 来是一个整块,后来受到某种影响而发生了漂移。 ”这就是有名的“大陆漂移”学说。 3.方法的类比 用一个已掌握的方法来解决相同类型的问题。 例 5. (高一)解方程 x x ? 5 。 该方程既非幂方程,又非指数方程(称为超越方程) 。如果我们能将其化为幂方程或指 数方程就能解了。 因为底数是变量, 要化为指数方程显然是不可能的, 我们试试看能不能将其化为幂方程。 令 x 5 ? y ,则原方程变为 x y ? 5 。 由 x 5 ? y 得: x ? 5 y 。把它代入 x y ? 5 得: (5 y ) y ? 5 。 两边同时 5 次方得: y y ? 5 5 。该方程有唯一解:y=5。 所以 x ? 5 5 。
5

例 6 (高一)P-ABC 是三棱锥,侧棱 PA、PB、PC 两两垂直。求证:
S ?ABC 2 ? S ?PAB 2 ? S ?PBC 2 ? S ?PCA 2

分析:本题类似于平面几何中的勾股定理 AB2 ? AC 2 ? BC 2 ,那么能不能用与证勾股定 理类似的方法来证明呢? C 证勾股定理的步骤是: ①作 CD⊥AB 于 D,证明 D 是 AB 的内分点; ②证明 AC 2 =AD?AB,BC 2 =BD?AB; A B D ③由①②得:AC 2 +BC 2 =AB? AD+BD)=AB 2 。 ( P 相应地,本题证明步骤如下: ①作 PD⊥平面 ABC 于 D;证明 D 是Δ ABC 的内点; ②证明
S ?PAB 2 = S ?ABD ? S ?ABC
S ?PBC 2 = S ?BCD ? S ?ABC

A D B

C

S ?PCA 2 = S ?CAD ? S ?ABC 。

③由①②得:
S ?ABC 2 ? S ?PAB 2 ? S ?PBC 2 ? S ?PCA 2

例 7 (高二)A、B、C 分别是Δ ABC 的三个内角,x、y、z 三个都不为零的任意实数。 求证:x 2 +y 2 +z 2 ≥2yzcosA+2xzcosB+2xycosC。 分析:试一试,把它看成关于 x 的不等式来证明行不行? 证明: 设ω =x 2 +y 2 +z 2 -2yzcosA-2xzcosB-2xyxosC= x 2 -2(zcosB+ycosC)x+y 2 +z 2 -2yzcosA ∵ x 2 项的系数为 1>0,∴ ω 的图像开口向上。 又 △x=4(zcosB+ycosC) 2 -4(y 2 +z 2 -2yzcosA)=-4(zsinB-ysinC) 2 ≤0。 ∴ ω 的图像于 x 轴至多只有一个交点。 ∴ ω ≥0 , 即 x 2 +y 2 +z 2 ≥2yzcosA+2xzcosB+2xyxosC。 例 8(高三)求(1+2x-3x 2 ) 6 展开式中的 x 5 的系数。 分析:我们学过二项式定理,现在遇到三项式的问题,怎么办?能不能把三项式的问题 转 化 为 二 项 式 的 问 题 呢 ? 如 果 我 们 把 2x-3x 2 看 成 一 个 整 体 , 原 来 的 多 项 式 就 成 为 [1+(2x-3x 2 )] 6 ,是一个二项式的问题了! 解:∵(1+2x-3x 2 ) 6 =[1+(2x-3x 2 )] 6 。它的一般项可以写成: k T k ?1 =C 6 ?(2x-3x 2 ) k ,其中 k=0,1,2??6, 又∵ (2x-3x 2 ) k 的一般项可以写成: T r ?1 =C r ? -3x 2 ) r (2x) k ?r = C r ? -3) r ?2 k ?r ?x k ? r ,其中 r=0,1,2??k k ( k (
k ∴ 原式的一般项为 C 6 ? C r ? -3) r ?2 k ?r ?x k ? r , k (

欲求 x 5 的系数,则 k+r=5 ,即 k=5-r 。 ∵ k=0,1,2??6 ,r=0,1,2??k ,且 r≤k 。 ∴ r 为 0,1,2,对应的 k 可为 5、4、3 。 ∴ 展开式中的 x 5 的系数应为: 4 2 0 C 5 ?C 5 ? (-3) 0 ?2 5 + C 6 ?C 1 ? (-3) 1 ?2 3 + C 3 ?C 3 ? (-3) 2 ?2 1 =-168 4 6 6 13 例 9. (高一)求 y=sin 2 x-3sinx+ 的最小值。有人如下解,对吗? 4

思维力 解:把 sinx 看成 x,类比于二次函数 y=ax 2 +bx+c 来求最值,本题中的 a=1,大于零, 故图像开口向上,函数有最小值为:y min 答案:不对。
3 2 ) +1,括号里式子的值由于 2 受到 sinx 取值范围的限制而不可能为零,那么函数的最小值就不是 1。这个函数虽然外表 上看起来类似于二次函数,但他们的自变量的取值范围是不同的,所以不能这样类比来解。 3 5 正确解法是先配方化为 y=(sinx- ) 2 +1,再算出最小值为 。 2 4
4ac ? b 2 ? = 4a 4 ? 1? 13 ? ( ?3) 2 4 ?1 。 4 ?1

错误原因分析:我们先把函数用配方法化为:y=(sinx-

4.运用类比时的注意事项 ①使用类比推理推出来的结论不一定正确。 例如上面例 2 的结论正确,例 3 的结论就不正确了。 ②不要被表面现象所迷惑。 例如上面的例 9。 习题: 1. (高一)解方程 2 3tgx ?5 tgx =1600 2. (高二)求证:log a b+log b a≥2(a>1,b>1) 3. (高二)若 xy=1,且 x>y>0,证明: 4. (高二)求 y=x 2 + 5. (高三)解方程
1
x2 ? y2 ?2 2 。 x? y

的最值。 1 ? 4x 2 x+2i=-1-yi(x ? R,y ? R) 。

参考答案: 1. (高一)解方程 2 3tgx ?5 tgx =1600 分析: 你是否见过类似的问题?把 tgx 看成一个整体, 2 3tgx ?5 tgx = 3 ? 5)tgx =40 tgx , 则 (2 tgx 2 原方程化为:40 =40 。 解: (略) 2. (高二)求证:log a b+log b a≥2(a>1,b>1)
b a 分析: 你是否见过类似的问题?因为 log a b 与 log b a 互为到数, 所以可以根据 ? ? 2 a b (a>0,b>0)来证明。 证明: (略)

3. (高二)若 xy=1,且 x>y>0,证明:

x2 ? y2 ?2 2 。 x? y

分析:这种二元不等式没有见过,考虑把题给不等式化为我们熟悉的不等式来做。可以 试用两种方法,一是消去一个变量成为熟悉的一元不等式,二是把不等式的右边化为零。 先试第一种,可以使用代入消元法也可以使用换元法。
1 代入消元法:由 xy=1 可得 y= 。原不等式化为 x
x2 ? 1
4 x 2 ? 2 2 ? x ? 1 ? 2 2 。虽然化 1 x3 ? x x? x

为了一元不等式,但出现了 x 的四次方。 换元法: x-y=t,显然 t>0,于是有 x 2 +y 2 =(x-y) 2 +2xy,把 xy=1 代入得: 2 +y 2 =t 2 +2, 令 x 原不等式化为
(t ? 2 ) 2 t2 ?2 t 2 ? 2 ? 2 2t ?2 2? ?0? ? 0 。显然最后的不等式是成立的, t t t

而且中间都是恒等变换,故原不等式成立。 再看第二种方法。 原不等式化为:
x2 ? y2 x 2 ? y 2 ? 2 2 ( x ? y) ?2 2 ? 0? ?0, x? y x? y

因为 x-y>0,只要证 x 2 ? y 2 ? 2 2 ( x ? y) ≥0
? x 2 ? y 2 ? 2 xy ? 2 xy ? 2 2 ( x ? y ) ? 0 ? ( x ? y ) 2 ? 2 xy ? 2 2 ( x ? y ) ? 0 ? ( x ? y ) 2 ? 2 ? 2 2 ( x ? y ) ? 0 ? [(x ? y ) ? 2 ] 2 ? 0

最后的不等式是成立的,而且中间都是恒等变换,故原不等式成立。 1 4. (高二)求 y=x 2 + 的最值。 1 ? 4x 2 4 证明:把原函数的两边同乘 4 后再同加 1 得:1+4y=1+4x 2 + , 1 ? 4x 2 4 3 ? 4 ,∴ y ? ∵ a+b ? 2 ab ,∴ 1+4y ? 2 (1 ? 4 x 2 ) , 4 1 ? 4x 2 3 y 有极小值 。 4 5. (高三)解方程 x+2i=-1-yi(x ? R,y ? R) 。 分析:我们在实数集中做过“解方程(2x-y) 2 +(xy-2) 2 =0”这样的题,当时是根据“都 不小于零的两项的和为零,这两项必同时为零”来解的。本题中,复数的实部和虚部不可能 抵消,故而类似的可得解法。

思维力 解:原方程化为 (x+1)+(y+2)i=0 。 (下略)


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