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8.线面角与二面角


直线与平面所成角

直线和平面所成的角
?
? ?

当直线在平面内或直线与平面平行时,直线 与平面所成的角为0° 当直线与平面垂直时,直线与平面所成的角 为90 ° 当直线是平面的斜线时,直线和平面所成的 角是指这条直线和它在平面内的射影所成的 锐角.
思考: 两条异面直线所成的角、直线与 平面所成的角、斜线与平面所成 的角这三者的范围有什么区别?

求线面角

正确确定点在平面内的射影的 位置,是解题的关键;

1.在正方体ABCD ? A1 B1C1 D1中,求直线 A1 B和平面A1 B1CD所成的角. 2.?BAC ? 90 ?, 在平面?内, PA是?的斜线, ?PAB ? ?PAC ? 60 ?, 求PA与平面?所成的角.

求线面角

确定点在平面内的射影 (1)找线面垂直;(2)找垂面

3.在正四面体A ? BCD中,E为棱AD中点, 连CE,求CE和平面BCD所成角的正弦值. 4.( 06浙江)在四棱锥P ? ABCD中,底面为 直角梯形,AD // BC,?BAD ? 90 ?,PA ? 底面ABCD,且PA ? AD ? AB ? 2 BC,M , N分别为PC , PB中点. (1)求证:PB ? DM ; ( 2)求CD与平面ADMN所成的角的正弦值 .

5.三棱柱ABC ? A1 B1C1中,AB ? BC , 四边形BCC1 B1是矩形,四边形A1 ABB1 是菱形,?A1 AB ? 60 ?,BC ? 3,AB ? 4 (1)求证:平面A1 BC ? 平面A1 ABB1; ( 2)求直线A1C和平面BCC1 B1所成角的正切.
C1

B1

A1 B A

C

6.(07 湖北)如图,在棱长为 1的正方体中, P是侧棱CC1上的一点,CP ? m. (1)试确定m,使直线AP与平面BDD1 B1 所成角的正切值为3 2 ; ( 2)在线段A1C1上是否存在一个定点Q, 使得对任意的m,D1Q在平面APD1上的 射影垂直于AP,并证明你的结论.

正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N、 E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1 、 D1 N C1D1的中点. A1 求证:(1)求证:E,F,B,D四点共面; (2)平面AMN//平面EFDB; (3)求面AMN和面EFDB之间的 距离; D (4)求AD与平面EFDB所成的角. A

F H
M B1 E

C1

C G

B

在三棱锥P-ABC中,侧面PAC与底面 ABC垂直,PA=PB=PC=3. 求证:(1)求证: AB ? BC;

P

(2)如果AB ? BC ? 2 3 , 求AC与 侧面PBC所成角的大小.
A

DF
C

E
B

如图,已知ABCD是矩形, AB ? a, AD ? b, PA ? 面ABCD, PA ? 2c, Q是PA的中点. (1)求Q到BD的距离; (2)求P到平面BQD的距离; (3)求PB与面BDQ所成的角.

P

Q

A

F
B

E
D C

二面角的求法

二面角的平面角
?

?

?

?

定义1: 垂直于二面角的棱的任 一平面与两个半平面的交线所成 的角叫做二面角的平面角。 定义2: 从二面角的棱上任一点 在两个半平面内分别作垂直于棱 的射线,则这两条射线所成的角 叫做二面角的平面角。 注意1:二面角的平面角与点 (或垂直平面)的位置无关系, 只与二面角的张角大小有关。 注意2:二面角就是用它的平面 角来度量的。一个二面角的平面 角多大,我们就说个二面角是多 少度的二面角。

。 O 。

B B A A

β

α
O 。 B

A
O1 。 A1 α

B1 β

区别几个角的范围
?

?
? ?

,90? ] 异面直线所成角: (0? ,90? ] 直线与平面所成角:[0? ,90? ) 斜线与平面所成角:(0? [0? , 180? ] 二面角:

求二面角的平面角的方法
? ? ? ?

定义法:在棱上一点分别在两个半平面内作垂直于棱 的垂线 垂面法:可先找到垂直于棱的平面与两半平面的交线 三垂线法:利用三垂线定理和逆定理确定平面角 S射 射影面积法: cos ? ?

S原

?

定义法:
?

在棱上一点分别在两个半平面内作 垂直于棱的垂线 常结合全等三角形

1.如图,ABCD是正方形,PA ? 平面ABCD,且PA ? AB. (1)求二面角A ? PD ? C的度数 . ( 2)求二面角B ? PA ? D的度数 . (3)求二面角B ? PA ? C的度数 . ( 4)求二面角B ? PC ? D的度数 .

?

三垂线法:
?

关键是找一个点在另一个半平面 内的射影,即找线面垂直 利用垂面来找线面垂直
D' C'

2.在正方体ABCD ? A1 B1C1 D1中, (1) E为BC中点,求面B1 D1 E与 面BB1C1C所成的二面角的正切值 . ( 2) P是AD中点,求二面角 A ? BD1 ? P的大小.
A A'

B'

F
D E B C

射影面积法:
S射 cos ? ? S原

? ? ?

不局限于三角形 不一定要有公共边 用于解小题

3.如图, PA ? 平面ABC,AC ? BC , PA ? AC ? 1,BC ? 2,求二面角 A ? PB ? C的大小.

练习:
4.如图,在三棱锥S ? ABC中,侧面SAB 与侧面SAC均为等边三角形,?BAC ? 90 ?, O为BC中点. (1)证明:SO ? 平面ABC; ( 2)求二面角A ? SC ? B的余弦值. 5.在直三棱柱ABC ? A1 B1C1中,?ACB ? 90 ?, AA1 ? AC ? BC ? 2,D为AB边上一点,E为 棱BB1的中点,且?A1 DE ? 90 ?. (1)求证:CD ? 平面A1 ABB1; ( 2)求二面角C ? A1 E ? D的大小.
E A D

A1


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