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中和中学高2014级2011-2012学年上期第二次阶段性测试数学试题


中和中学高 2014 级 2011-2012 学年上期第二次阶段考试

数 学 试 题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1.已知集合 A ? {0,1,2,3 } ,B= {1,2,4}, 则A ? B ? ( A. {0,1,2,3,4 } B. {1,2,3,4 } C.

{1,2 } ) D.{0}

1 2 ,则化简 4 ( 2 a ? 1) 的结果是( ) 2 A. 2a ? 1 B. ? 2a ? 1 C. 1 ? 2a 3. 函数 y ? log2 x 与 y ? log 1 x 的图象( )
2.若 a ?
2

D. ? 1 ? 2a

A.关于原点对称

B.关于 x 轴对称

C 关于 y 轴对称. )

D. 关于 y ? x 对称

4. 函数 f ( x) ? lg x ? lg(5 ? 3 x) 的定义域是( A. [ 0, )

5 5 5 5 [1, ] B. [ 0, ] C. [1, ) D. 3 3 3 3 5.若 0 ? a ? 1, 在区间(-1,0)上函数 f ( x) ? loga ( x ? 1 )是 ( A.增函数且 f ( x) ? 0 B. 增函数且 f ( x) ? 0 C. 减函数且 f ( x) ? 0 D. 减函数且 f ( x) ? 0
x



6. 由表格中的数据可以判定方程 e ? x ? 2 ? 0 的一个零点所在的区间 (k , k ? 1)(k ? N ) ,则 k 的值为( ) x -1 0.37 1 B.1 0 1 2 1 2.72 3 C.2 ) 2 7.39 4 D.3 3 20.09 5

ex
x?2
A.0 7. 已知函数 f ( x) ? ? A.4 B.

?log3 x, x ? 0 1 ,则 f ( f ( )) 等于( x 9 ? 2 ,x ? 0
C. - 4 )
3.4

1 4

D. ?

1 4
C. 3.5
0.3

8.下列式子中成立的是( A.

log0.4 4 ? log0.4 6

B. 1.01

? 1.013.5

? 3.4 0.3

D. log7 6 ? log6 7

9.已知 2 ? 7
x

2y

? A ,且

1 1 ? ? 2 ,则 A 的值是( x y
D.98



A.7

B. 7 2

C. ? 7 2

10.已知定义域为 R 的函数 f ( x) 在 (8, ? ?) 上为减函数,且函数 y ? f ( x ? 8) 为偶函数, 则( ) B. f (6) ? f (9) C. f (7) ? f (9) ) D. f (6) ? f (7)

A. f (7) ? f (10)

11.下列函数中值域是(1,+ ? )的是(

1 x ?1 A. y ? ( ) 3

B. y ? x

?

3 4

C. y ? ( ) ? 3( ) ? 1
x x

1 4

1 2

D. y ? log3 ( x 2 ? 2 x ? 4)

? ∞? 上是增函数,那么 12.如果函数 f ( x) ? a x (a x ? 3a2 ?1)(a ? 0且a ? 1) 在区间 ?0,
实数 a 的取值范围是 ( )

? 3 ? ? 2? A. ? 0, ? B. ? , C. 1 ,3 ? 1? ? ? 3 ? 3? ? ?

?

?3 ? ? ∞? D? , ?2 ?

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.函数 f ( x) ? a x?1 ? 3 的图象一定过定点 P,则 P 点的坐标是___________ 14. 一批设备价值 a 万元,由于使用磨损,每年比上一年价值降低 b % ,则 n 年后这批 设备的价值为 万元. 15.函数 y ? log 1 ( x ? 3x ? 2) 的单调递增区间为
2 2

.

16.设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且 f ( x ? 3) ? f ( x) ? ?1 , f ( ?1) ? 2 ,

)= 则 f (2011



中和中学高 2014 级 2011-2012 学年上期第二次阶段考试

数学试题答题卷
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.____________ 14.____________ 15.____________ 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分)求值: ① (2 ) ? 2
0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

16.___________

3 5

?2

1 ? 0.0643 ? (2 ) 2 4

1

1



1 (lg 3) 2 ? lg 9 ? 1 ? lg ? 810.5 log3 5 3

18. (本小题满分 12 分) 已知全集 U=R, A ? {x | f ( x) ? ( x ?1)( x ? 2)} , B ? {x | log2 ( x ? a) ? 1} . (1)若 a=1,求 (CU A) ? B . (2)若 (CU A) ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围.

19. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? log 2 (1)判断 f ( x ) 的奇偶性; (2)证明: f ( x ) 在 (1,??) 上是减函数

x ?1 , ( x ? 1或x ? ?1) x ?1

20. (本小题满分 12 分)二次函数 f ( x) ? ax ? bx(a ? 0) ,满足 f (? x ? 1) ? f ( x ? 1) ,
2

且方程 f ( x) ? x 有相等实根。 (1)求 f ( x) 的解析式;

(2)求 f ( x) 在 ? m, m ? 1? 上的最大值。

21. (本小题满分 12 分)知函数 f ( x) ? 2a ? 4x ? 2x ? 1. (1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 在 x ? [?3,0] 的值域; (2)若关于 x 的方程 f ( x) ? 0 有解,求 a 的取值范围.

22. (本小题满分 14 分)我国是水资源比较贫乏的国家之一,各地采用价格调控等手段 以达到节约用水的目的。某市用水收费标准是:水费=基本费+超额费+定额损耗费, 且有如下三条规定: ①若每月用水量不超过最低限量 m 立方米时,只付基本费 9 元和每户每月定额损耗 费 a 元; ②若每月用水量超过 m 立方米时,除了付基本费 9 元和定额损耗费外,超过部分每 立方米付 n 元的超额费; ③每户每月定额损耗费 a 不超过 5 元。 (1) 求每户每月水费 y (元)与月用水量 x (立方米)的函数关系式; (2) 该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示: 月份 用水量(立方米) 水费(元) 4 17 一 5 23 二 2.5 11 三 试分析该家庭今年一、二、三各月份的用水量是否超过最低限量,并求 m, n, a 的值。

答案 一、选择题(每小题 5 分) 1—5:ACCCC 6—10:BBDBA 11—12:CB 二、填空题(每小题 4 分) 13、(1,4). 14、 a(1 ? b%) n 15、 ( ? ?,1) 16、-2

三、解答题 17.(本小题满分 12 分)化简: 解:(1)-0.4 (2)26(过程略) 18. (本小题满分 12 分) 已知全集 U=R, A ? {x | f ( x) ? ( x ?1)( x ? 2)} , B ? {x | log2 ( x ? a) ? 1} . (1)若 a=1,求 (CU A) ? B . (2)若 (CU A) ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围. 解:由已知得 A ? {x | x ? 1或x ? 2} , B ? {x | a ? x ? a ? 2}

?CU A ? {x |1 ? x ? 2}
(1)当 a=时, B ? {x |1 ? x ? 3} , ?(CU A)

B ? {x |1 ? x ? 2}

(2)若 (CU A) ? B ? ? ,则 a ? 2 或 a ? 2 ? 1 ,? a ? 2 或 a ? ?1 . 即 a 的取值范围为 (??,?1] ? [2,??) . 19. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? log 2

x ?1 , ( x ? 1 或 x ? ?1 ). x ?1

(I)判断 f ( x) 的奇偶性. (II)证明: f ( x) 在 (1, ??) 上是减函数.

?x ? 1 x ?1 ? log 2 ?x ? 1 x ?1 x ? 1 ?1 x ?1 = log2 ( ) = ? log2 ( ) = ? f ( x) , x ?1 x ?1 又函数 f ( x) 的定义域关于原点对称 ? 函数 f ( x) 是奇函数. x ? 1 x ?1 ? 2 2 (2)设 x1 , x2 ? (1,+∞) ,且 x1 ? x2 ,又 = =1 ? x ?1 x ?1 x ?1 x1 ? 1 x2 ? 1 2( x2 ? x1 ) 2 2 ? ? ? ? ? ?0, x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) x ? 1 x2 ? 1 即 1 ? ?0 x1 ? 1 x2 ? 1 ? log2 x1 ? 1 ? log2 x2 ? 1 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) x1 ? 1 x2 ? 1 ? f ( x) 在(1,+∞)上是减函数
(1)解:

f (? x) ? log2

20. (本小题满分 12 分)二次函数 f ( x) ? ax ? bx(a ? 0) ,满足 f (? x ? 1) ? f ( x ? 1) ,
2

且方程 f ( x) ? x 有相等实根。 (1)求 f ( x) 的解析式;

(2)求 f ( x) 在 ? m, m ? 1? 上的最大值。 解: (1)∵ f (? x ? 1) ? f ( x ? 1) ∴ a(? x ? 1) ? b(? x ? 1) ? a( x ? 1) ? b( x ? 1)
2 2

∴ (4a ? 2b) x ? 0 ,对 x ? R 成立 ∴ 4a ? 2b ? 0

a??

b 2

又∵ f ( x) ? x 有两相等实根,由△=0 得 b ? 1 ∴a ? ?

1 2

1 f ( x) ? ? x 2 ? x 2

(2) m ? 0 时, f ( x ) 在 [m, m ? 1] 上是增函数 ∴ f ( x) max ? f (m ? 1) ? ?

0 ? m ? 1 时, f ( x) max

1 2 1 m ? 2 2 1 ? f (1) ? 2
∴ f ( x) max ? f (m) ? ?

m ? 1 时, f ( x) 在 [m, m ? 1] 上是减函数

1 2 m ?m 2

21. (本小题满分 12 分)知函数 f ( x) ? 2a ? 4x ? 2x ? 1. (1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 在 x ? [?3,0] 的值域; (2)若关于 x 的方程 f ( x) ? 0 有解,求 a 的取值范围. 解:(1)当 a ? 1 时, f ( x) ? 2 ? 4 x ? 2 x ? 1 ? 2(2 x ) 2 ? 2 x ? 1, 令 t ? 2 , x ? [?3,0] ,则 t ? [ ,1] ,
x

1 8

故 y ? 2t ? t ? 1 ? 2(t ? ) ?
2 2

1 4

9 1 , t ? [ ,1] , 8 8

故值域为 [? ,0] (2)关于 x 的方程 2a(2 ) ? 2 ? 1 ? 0 有解,等价于
x 2 x

9 8

方程 2ax ? x ? 1 ? 0 在 (0,??) 上有解
2

记 g ( x) ? 2ax ? x ? 1
2

当 a ? 0 时,解为 x ? ?1 ? 0 ,不成立

1 ? 0 ,过点 (0,?1) ,不成立 4a 1 ? 0 ,过点 (0,?1) ,必有一个根为正 当 a ? 0 时,开口向上,对称轴 x ? 4a 所以, a ? 0
当 a ? 0 时,开口向下,对称轴 x ?

22. (本小题满分 14 分) 我国是水资源比较贫乏的国家之一,各地采用价格调控等手段以达到节约用水的目的。 某市用水收费标准是:水费=基本费+超额费+定额损耗费,且有如下三条规定: ①若每月用水量不超过最低限量 m 立方米时,只付基本费 9 元和每户每月定额损耗费 a 元; ②若每月用水量超过 m 立方米时,除了付基本费 9 元和定额损耗费外,超过部分每立方 米付 n 元的超额费; ③每户每月定额损耗费 a 不超过 5 元。 (1) 求每户每月水费 y (元)与月用水量 x (立方米)的函数关系式; (2) 该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示: 月份 一 二 用水量(立方米) 4 5 水费(元) 17 23

2.5 11 三 试分析该家庭今年一、二、三各月份的用水量是否超过最低限量,并求 m, n, a 的值。 (1)依题意,得 y ? ?

? 9 ? a,0 ? x ? m 其中0 ? a ? 5. ?9 ? n( x ? m) ? a, x ? m

(2) ? 0 ? a ? 5. ? 9 ? 9 ? a ? 14.由于该家庭今年一、二月份的水费均大于 14 元,故用
水量 4 立方米,5 立方米都大于最低限量 m 立方米。 将 x ? 4, y ? 17和x ? 5, y ? 23 分 别 代 入 y ? 9 ? n( x ? m) ? a 得 n ? 6 ,

a ? 6m ? 16
又 三 月 份 的 用 水 量 为 2.5 立 方 米 , 若 m ? 2.5 , 将 x ? 2.5, y ? 11 代 入

y ? 9 ? n( x ? m) ? a 得 a ? 6m ? 13 与 a ? 6m ? 16 矛盾。
? m ? 2.5 , 即 该 家 庭 三 月 份 的 用 水 量 为 2.5 立 方 米 没 有 超 过 最 低 限 量 , 将

x ? 2.5, y ? 11代入 y ? 9 ? a 得 a ? 2, 所以m ? 3 。

? 该家庭今年一、二月份的超过最低限量,三月份的用水量没有超过最低限量且
m ? 3, n ? 6, a ? 2 。


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