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高中数学课件:第一章 1.5 第一课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及变换


读教材·填要点

第 一 章 三 角 函 数

1.5 函数 y= Asin (ωx +φ) 的图 像

第 一 课 时 函数 y=Asin (ωx+φ) 的图像 及变换

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[读教材·填要点]
1.A、ω、φ对函数y=Asin(ωx+φ)的图像的影响

(1)φ对函数y=sin(x+φ)的图像的影响:

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(2)ω对函数y=sin(ωx+φ)的图像的影响:

(3)A对函数y=Asin(ωx+φ)的图像的影响:

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2.由正弦曲线y=sin x到函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,
ω>0)的图像的变换过程 正弦曲线到函数y=Asin(ωx+φ)的图像的变换过程:
向左(φ>0)或向右(φ<0) y=sin x 的图像――――――――――――→ y=sin(x+φ) 的图 平移|φ|个单位长度

????????? ?

1 所有点的纵坐标变为原来的 倍 ? 横坐标不变

y=sin(ωx+φ) 的图像
的图像.

所有点的纵坐标变为原来的A倍 ????????? y=Asin(ωx+φ) ? 横坐标不变

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[小问题·大思维] π π 1. y=sin(x- )的图像上所有的点向左平移 个单位长 将 6 6
度,所得图像的函数解析式是什么?

提示:y=sin x.
1 2.将函数 y=sin x 的图像上所有点的横坐标伸长为原 3 来的 4 倍,得到图像的函数解析式是什么?
1 提示:y=sin x. 12

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3.函数

? π? π ?2x- ?的图像向左平移 个单位长度 y=2sin 4? 4 ?

得到 y=2sin 2x 的图像,对吗? π 提示:不对.应为 y=2sin(2x+ ). 4 π π 4. y=2sin(2x- )的图像得到 y=sin(2x- )的图像, 由 3 3
应如何变换?
π 提示:y=2sin(2x- )的图像上各点的横坐标不变,纵 3 1 坐标缩短到原来的 倍. 2

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[研一题]
[例 1] 用“五点法”作出函数

? π? y=2sin?2x+3 ?的简图. ? ?

[自主解答]
π 2x+ 3 x y 0 π - 6 0

(1)列表如下:
π 2 π 12 2 π π 3 0 3π 2 7π 12 -2 2π 5π 6 0

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(2)描点画图: 把
? π? π 5π ?2x+ ?,x∈[- , ]的图 y=2sin 3? 6 6 ? ? π? y=2sin?2x+3 ?的简图. ? ?

像向左、右扩展,即可得

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[悟一法]
“五点法”作图,关键是抓住五个关键点,使函数式中的 π 3π ωx+φ 分别取 0, ,π, ,2π,然后求出相应的 x,y 值, 2 2 进而描点,作出图像.

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[通一类] π π 1.函数 y=sin(2x- )在区间[- ,π]上的简图是( 3 2

)

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π 解析:法一:当 x=0 时,y=sin(- )<0,可排除 B,D. 3 π 当 x= 时,y=0,排除 C. 6 π 法二:令 t=2x- ,t,x,y 对应值如下表: 3 π 3 t 0 π 2π π 2 2

x y

π 6 0

5 π 12 1

2π 3 0

11 π 12 -1

7 π 6 0

结合图像知,A正确. 答案:A
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[例 2]

[研一题] 1 如何由函数 y=sin x 的图像通过变换得到 y= 2

π sin(2x+ )的图像. 3
[自主解答]

向左平移 π y = sin x ――――――→ y = sin(x + ) π 3 个单位长度 3

? ???????? y=sin(2 x+ ) ? 3 1 各点纵坐标变为原来的 倍 ? 2 ???????? y=sin(2 x+ ) ? 横坐标不变 3
1 各点横坐标变为原来的 倍 2 纵坐标不变

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1 本例中“y=sin x”若变为“y= cos 2x”,试写出变换 2 过程.

1 1 π 解:∵y= cos 2x= sin(2x+ ) 2 2 2 1 π π = sin[2(x+ )+ ], 2 12 3 1 π ∴由 y= cos 2x 的图像向右平移 个单位长度, 2 12 1 π 即可得 y= sin(2x+ )的图像. 2 3

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[悟一法] 已知两个函数的解析式,判断其图像间的平移关系的 步骤: (1)将两个函数解析式化简成同名三角函数y=Asin ωx 与y=Asin(ωx+φ)的形式,即A,ω及名称相同的结构.

(2)找到由ωx过渡到ωx+φ时,变量x“加”或“减”的量,
即平移的单位量. (3)明确平移的方向.

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[通一类]
2.(2012· 浙江高考)把函数y=cos 2x+1的图像上所有点的横

坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单
位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图像是 ( )

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解析:变换后的三角函数为y=cos(x+1),结合四个选项

可得A选项正确.
答案:A

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函数

? π? π y=sin?5x-2 ?的图像向右平移 个单位长度,再把所得 4 ? ?

1 图像上各点的横坐标缩短为原来的 倍.所得图像的函数解析式 2 为 3 A.y=sin(10x- π) 4 3 C.y=sin(10x- π) 2 ( 7 B.y=sin(10x- π) 2 7 D.y=sin(10x- π) 4 )

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π [错解 1] 将原函数图像向右平移 个单位长度得 4
? ? π π? 3π? y=sin?5x-4-2 ?=sin?5x- 4 ? ? ? ? ?

再压缩横坐标得

? 3π? y=sin?10x- 4 ?.故选 ? ?

A.

π [错解 2] 将原函数图像向右平移 个单位长度得: 4 y=sin
? π π? 5?x-4-10?=sin ? ? ? 7π? 5?x-20 ?,再压缩横坐标得 ? ?

y=sin

? 7π? 10?x-20 ?.故选 ? ?

B.

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[错因] 这两种解法都是错误的. 其原因在于没有弄清楚变换 的对象.错误解法 1 在平移变换时把 5x 看做变换的对象;错误解 法 2 中,在伸缩变换时把 [正解]
? 7π? 5?x- 20 ?看成了变换的对象. ? ?

π 将原函数向右平移 个单位长度,所得函数解析式 4 y=

? ? ? π? π ? 7π? ? ? ? 为 : y = sin ?5 x-4 ?- ? = sin ?5x- 4 ? , 再 压 缩 横 坐 标 得 ? 2? ? ? ? ? ? 7π? sin?10x- 4 ?. ? ?

[答案] D
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