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高中数学解题思想方法七


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水老师

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高中数学解题思想方法及其应用七:数学方法之反证法 高中数学解题基本方法——反证法

与前面所讲的方法不同,反证法是属于“间接证明法”一类,是从反面的角度思考

问题的证明方法,即:肯 定题设而否定结论,从而导出矛盾推理而得。 法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括: “若肯定定理的假设而否定其结论, 就会导致矛盾” 。 具体地讲,反证法就是从否定命题的结论入手,并把对命题结论的否定作为推理的已知条件,进行正确的逻辑推 理,使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛,矛盾的原因是假设不成立, 所以肯定了命题的结论,从而使命题获得了证明。 反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律” 。在同一思维过程中,两个互相矛盾的判断不能 同时都为真,至少有一个是假的,这就是逻辑思维中的“矛盾律” ;两个互相矛盾的判断不能同时都假,简单地 说“A 或者非 A”,这就是逻辑思维中的“排中律” 。反证法在其证明过程中,得到矛盾的判断,根据“矛盾律” , 这些矛盾的判断不能同时为真,必有一假,而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是 真的,所以“否定的结论”必为假。再根据“排中律” ,结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能 同时为假,必有一真,于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的,反证 法是可信的。 反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定” 。即从否定结论开始,经过正确无误的推理导致 逻辑矛盾,达到新的否定,可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定” 。应用反证法证明的主要三步是:否 定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。实施的具体步骤是: 第一步,反设:作出与求证结论相反的假设; 第二步,归谬:将反设作为条件,并由此通过一系列的正确推理导出矛盾; 第三步,结论:说明反设不成立,从而肯定原命题成立。 在应用反证法证题时,一定要用到“反设”进行推理,否则就不是反证法。用反证法证题时,如果欲证明的 命题的方面情况只有一种,那么只要将这种情况驳倒了就可以,这种反证法又叫“归谬法” ;如果结论的反面情 况有多种,那么必须将所有的反面情况一一驳倒,才能推断原结论成立,这种证法又叫“穷举法” 。 在数学解题中经常使用反证法,牛顿曾经说过: “反证法是数学家最精当的武器之一” 。一般来讲,反证法常 用来证明的题型有:命题的结论以“否定形式” 、 “至少”或“至多” 、 “唯一” 、 “无限”形式出现的命题;或者否 定结论更明显。具体、简单的命题;或者直接证明难以下手的命题,改变其思维方向,从结论入手进行反面思考, 问题可能解决得十分干脆。 Ⅰ、再现性题组: 1. 已知函数 f(x)在其定义域内是减函数,则方程 f(x)=0 ______。 A.至多一个实根 B.至少一个实根 C.一个实根 D.无实根 2. 已知 a<0,-1<b<0,那么 a、ab、ab 之间的大小关系是_____。 A. a>ab> ab
2 2

B. ab >ab>a

2

C. ab>a> ab

2

D. ab> ab >a

2

3. 已知α ∩β =l,a α ,b β ,若 a、b 为异面直线,则_____。 A. a、b 都与 l 相交 B. a、b 中至少一条与 l 相交 C. a、b 中至多有一条与 l 相交 D. a、b 都与 l 相交 4. 四面体顶点和各棱的中点共 10 个,在其中取 4 个不共面的点,不同的取法有_____。(97 年全国理) A. 150 种 B. 147 种 C. 144 种 D. 141 种 【简解】1 小题:从结论入手,假设四个选择项逐一成立,导出其中三个与特例矛盾,选 A; 2 小题:采用“特殊值法” ,取 a=-1、b=-0.5,选 D; 3 小题:从逐一假设选择项成立着手分析,选 B; 4 小题:分析清楚结论的几种情况,列式是:C 10 -C 6 ×4-3-6,选 D。
4 4

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Ⅱ、示范性题组: S 例 1. 如图,设 SA、SB 是圆锥 SO 的两条母线,O 是底面 圆心,C 是 SB 上一点。求证:AC 与平面 SOB 不垂直。 C 【分析】结论是“不垂直” ,呈“否定性” ,考虑使用反 证法,即假设“垂直”后再导出矛盾后,再肯定“不垂直” 。 A O 【证明】 假设 AC⊥平面 SOB, B ∵ 直线 SO 在平面 SOB 内, ∴ AC⊥SO, ∵ SO⊥底面圆 O, ∴ SO⊥AB, ∴ SO⊥平面 SAB, ∴平面 SAB∥底面圆 O, 这显然出现矛盾,所以假设不成立。 即 AC 与平面 SOB 不垂直。 【注】否定性的问题常用反证法。例如证明异面直线,可以假设共面,再把假设作为已 知条件推导出矛盾。 例 2. 若下列方程:x +4ax-4a+3=0, x +(a-1)x+a =0, x +2ax-2a=0 至 少有一个方程有实根。试求实数 a 的取值范围。 【分析】 三个方程至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种:三个方程均没有实根。 先求出反面情况时 a 的范围,再所得范围的补集就是正面情况的答案。 【解】 设三个方程均无实根,则有:
2 2 2 2

1 ? 3 ? ?a? ? 2 2 ?△ 1 ? 16a 2 ? 4( ?4a ? 3) ? 0 ? 1 ? 3 ? 2 2 ,解得 ? a ? ?1或a ? ,即- <a<-1。 ?△ 2 ? ( a ? 1) ? 4a ? 0 3 2 ? ? 2 △ ? 4 a ? 4 ( ? 2 a ) ? 0 ? 2 ?? 2 ? a ? 0 ? ?
所以当 a≥-1 或 a≤-

3 时,三个方程至少有一个方程有实根。 2

【注】 “至少” 、 “至多”问题经常从反面考虑,有可能使情况变得简单。本题还用到了 “判别式法” 、 “补集法” (全集 R) ,也可以从正面直接求解,即分别求出三个方程有实根时 (△≥0)a 的取值范围,再将三个范围并起来,即求集合的并集。两种解法,要求对不等 式解集的交、并、补概念和运算理解透彻。 例 3. 给定实数 a,a≠0 且 a≠1,设函数 y=

1 x ?1 (其中 x∈R 且 x≠ ),证明:①. ax ? 1 a

经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于 x 轴; ②.这个函数的图像关于直线 y=x 成轴对称图像。 【分析】 “不平行”的否定是“平行” ,假设“平行”后得出矛盾从而推翻假设。 【证明】 ① 设 M 1 (x 1 ,y 1 )、M 2 (x 2 ,y 2 )是函数图像上任意两个不同的点,则 x 1 ≠x 2 , 假设直线 M 1 M 2 平行于 x 轴,则必有 y 1 =y 2 ,即 =x 1 -x 2 ∵x 1 ≠x 2 ∴ a=1, 这与已知“a≠1”矛盾,

x1 ? 1 x2 ? 1 = ,整理得 a(x 1 -x 2 ) ax1 ? 1 ax 2 ? 1

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因此假设不对,即直线 M 1 M 2 不平行于 x 轴。 ② 由 y=

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x ?1 y ?1 得 axy-y=x-1,即(ay-1)x=y-1,所以 x= , ax ? 1 ay ? 1 x ?1 x ?1 的反函数为 y= ,图像一致。 ax ? 1 ax ? 1 x ?1 的图像关于直 ax ? 1

即原函数 y=

由互为反函数的两个图像关于直线 y=x 对称可以得到,函数 y=

线 y=x 成轴对称图像。 【注】对于“不平行”的否定性结论使用反证法,在假设“平行”的情况下,容易得到 一些性质,经过正确无误的推理,导出与已知 a≠1 互相矛盾。第②问中,对称问题使用反 函数对称性进行研究,方法比较巧妙,要求对反函数求法和性质运用熟练。 Ⅲ、巩固性题组: 1. 已知 f(x)= x ,求证:当 x 1 ≠x 2 时,f(x 1 )≠f(x 2 )。
1?| x|

2. 已知非零实数 a、b、c 成等差数列,a≠c,求证: 1 、 1 、 1 不可能成等差数列。
a b c

3. 已知 f(x)=x +px+q,求证:|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于 1 。
2

2

4. 求证:抛物线 y= x -1 上不存在关于直线 x+y=0 对称的两点。
2

2

5. 已知 a、b∈R,且|a|+|b|<1,求证:方程 x +ax+b=0 的两个根的绝对值均小于 1。 A 6. 两个互相垂直的正方形如图所示,M、N 在 相应对角线上,且有 EM=CN,求证:MN 不 可能垂直 CF。 B M N E C

2

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