当前位置:首页 >> 学科竞赛 >> 高中数学竞赛辅导讲义第十讲 直线与圆的方程

高中数学竞赛辅导讲义第十讲 直线与圆的方程


第十章
一、基础知识

直线与圆的方程

1.解析几何的研究对象是曲线与方程。解析法的实质是用代数的方法 研究几何.首先是通过映射建立曲线与方程的关系,即如果一条曲线上 的点构成的集合与一个方程的解集之间存在一一映射,则方程叫做这 条曲线的方程, 这条曲线叫做方程的曲线。 x2+y2=1 是以原点为圆心 如 的单位圆的方程。 2.

求曲线方程的一般步骤:(1)建立适当的直角坐标系;(2)写出满足条 件的点的集合;(3)用坐标表示条件,列出方程;(4)化简方程并确定未 知数的取值范围; (5)证明适合方程的解的对应点都在曲线上,且曲 线上对应点都满足方程(实际应用常省略这一步) 。 3. 直线的倾斜角和斜率: 直线向上的方向与 x 轴正方向所成的小于 1800 的正角,叫做它的倾斜角。规定平行于 x 轴的直线的倾斜角为 00,倾 斜角的正切值(如果存在的话)叫做该直线的斜率。根据直线上一点 及斜率可求直线方程。 4.直线方程的几种形式: (1)一般式:Ax+By+C=0; (2)点斜式: y-y0=k(x-x0); (3)斜截式:y=kx+b; (4)截距式: + 式:
x a y = 1; (5)两点 b

x - x1 y - y1 = ; (6)法线式方程:xcosθ+ysinθ=p(其中θ为 x 2 - x1 y 2 - y1 ì x = x0 + t cos q ? y = y 0 + t sin q ?

法线倾斜角, |p|为原点到直线的距离) ; 参数式:? (7) í

(其

中θ为该直线倾斜角) t 的几何意义是定点 P0 x0, y0) , ( 到动点 P (x, y) 的有向线段的数量(线段的长度前添加正负号,若 P0P 方向向上则取

正,否则取负) 。 5.到角与夹角:若直线 l1, l2 的斜率分别为 k1, k2,将 l1 绕它们的交点 逆时针旋转到与 l2 重合所转过的最小正角叫 l1 到 l2 的角;1 与 l2 所成的 l 角中不超过 900 的正角叫两者的夹角。若记到角为θ,夹角为α,则 tanθ=
k 2 - k1 k -k ,tanα= 2 1 . 1 + k1 k 2 1 + k1 k 2

6.平行与垂直:若直线 l1 与 l2 的斜率分别为 k1, k2。且两者不重合, 则 l1//l2 的充要条件是 k1=k2;l1 ^ l2 的充要条件是 k1k2=-1。 7. 两点 P1(x1, y1)与 P2(x2, y2)间的距离公式: 1P2|= ( x1 - x 2 ) 2 + ( y1 - y 2 ) 2 。 |P 8.点 P(x0, y0)到直线 l: Ax+By+C=0 的距离公式: d =
| Ax0 + By 0 + C | A2 + B 2



9.直线系的方程:若已知两直线的方程是 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2: A2x+B2y+C2=0 , 则 过 l1, l2 交 点 的 直 线 方 程 为 A1x+B1y+C1+ λ (A2x+B2y+C2=0;由 l1 与 l2 组成的二次曲线方程为(A1x+B1y+C1 ) (A2x+B2y+C2)=0;与 l2 平行的直线方程为 A1x+B1y+C=0( C ? C1 ). 10. 二元一次不等式表示的平面区域, 若直线 l 方程为 Ax+By+C=0. 若 B>0,则 Ax+By+C>0 表示的区域为 l 上方的部分,Ax+By+C<0 表示的 区域为 l 下方的部分。 11.解决简单的线性规划问题的一般步骤: (1)确定各变量,并以 x 和 y 表示; (2)写出线性约束条件和线性目标函数; (3)画出满足约 束条件的可行域; (4)求出最优解。 12.圆的标准方程:圆心是点(a, b),半径为 r 的圆的标准方程为

(x-a)2+(y-b)2=r2,其参数方程为 í

ì x = a + r cos q (θ为参数) 。 ? y = b + r sin q

13 . 圆 的 一 般 方 程 : x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0) 。 其 圆 心 为
1 ? D E? D 2 + E 2 - 4 F 。若点 P(x0, y0)为圆上一点,则过点 ? - ,- ÷ ,半径为 2 è 2 2?

P 的切线方程为
? x + x? ? y0 + x 0 x + y 0 y + D? 0 ? 2 ÷ + E? 2 ÷ ? è ? è y? ÷ + F = 0. ÷ ?



14.根轴:到两圆的切线长相等的点的轨迹为一条直线(或它的一部 分) 这条直线叫两圆的根轴。给定如下三个不同的圆: , x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0, i=1, 2, 3. 则 它 们 两 两 的 根 轴 方 程 分 别 为 (D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0; (D2-D3)x+(E2-E3)y+(F2-F3)=0;

(D3-D1)x+(E3-E1)y+(F3-F1)=0。不难证明这三条直线交于一点或者互相 平行,这就是著名的蒙日定理。 二、方法与例题 1.坐标系的选取:建立坐标系应讲究简单、对称,以便使方程容易化 简。 例1 在ΔABC 中,AB=AC,∠A=900,过 A 引中线 BD 的垂线与 BC

交于点 E,求证:∠ADB=∠CDE。 [证明] 见图 10-1,以 A 为原点,AC 所在直线为 x 轴,建立直角坐标

系。设点 B,C 坐标分别为(0,2a),(2a,0),则点 D 坐标为(a, 0) 。 直线 BD 方程为 +
x a y = 1, 2a

①直线 BC 方程为 x+y=2a,

②设直线

BD 和 AE 的斜率分别为 k1, k2,则 k1=-2。因为 BD ^ AE,所以 k1k2=-1.

1 ì 1 1 ? y = x, 所以 k 2 = ,所以直线 AE 方程为 y = x ,由 í 2 解得点 E 坐标为 2 2 ? x + y = 2a ? ?4 2 ? ? a, a ÷ 。 è3 3 ? 2 a 3

所以直线 DE 斜率为 k 3 =

4 a-a 3

= 2. 因为 k1+k3=0.

所以∠BDC+∠EDC=1800,即∠BDA=∠EDC。 例2 半径等于某个正三角形高的圆在这个三角形的一条边上滚动。 证

明:三角形另两条边截圆所得的弧所对的圆心角为 600。 [证明] 以 A 为原点,平行于正三角形 ABC 的边 BC 的直线为 x 轴,建

立直角坐标系见图 10-2,设⊙D 的半径等于 BC 边上的高,并且在 B 能 上能下滚动到某位置时与 AB,AC 的交点分别为 E,F,设半径为 r,则 直线 AB, 的方程分别为 y = 3 x , y = - 3 x .设⊙D 的方程为(x-m)2+y2=r2. AC ①设点 E,F 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 y1 = 3 x1 , y 2 = - 3x 2 ,分 别代入①并消去 y 得
2 ( x1 - m) 2 + 3x12 - r 2 = 0.( x 2 - m) 2 + 3x 2 - r 2 = 0.

所以 x1, x2 是方程 4x2-2mx+m2-r2=0 的两根。
m ì ? x1 + x 2 = 2 , 由韦达定理 ? í & ,所以 2 2 ?x x = m - r ? 1 2 4 ?

|EF|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(x1-x2)2+3(x1-x2)2 =4(x1+x2)2-4x1x2=m2-(m2-r2)=r2.

所以|EF|=r。所以∠EDF=600。 2.到角公式的使用。 例3 设双曲线 xy=1 的两支为 C1, 2, C 正ΔPQR 三顶点在此双曲线上,

求证:P,Q,R 不可能在双曲线的同一支上。 [证明] 假设 P,Q,R 在同一支上,不妨设在右侧一支 C1 上,并设 P,
1 1 1 Q,R 三点的坐标分别为 ? x1 , ÷, ? x 2 , ÷, ? x3 , ÷, 且 0<x1<x2<x3. 记∠ ? ÷? ÷? x1 ? è x2 ? è x3 ÷ è ? ? ?? ?? ?

RQP=θ,它是直线 QR 到 PQ 的角,由假设知直线 QR,PQ 的斜率分别为
1 1 1 1 x x2 x x2 1 1 k1 = 3 =, k2 = 1 . =x3 - x 2 x 2 x3 x1 - x 2 x1 x 2 1 1 + x1 x 2 x 2 x3 x ( x1 - x3 ) = 2 2 < 0. 1 x1 x 2 x3 + 1 1+ 2 x1 x 2 x3

由到角公式 tan q =

k 2 - k1 = 1 + k1 k 2

所以θ为钝角,与ΔPQR 为等边三角形矛盾。所以命题成立。 3.代数形式的几何意义。 例4 求函数 f ( x) = x 4 - 3x 2 - 6 x + 13 - x 4 - x 2 + 1 的最大值。

[解] 因为 f ( x) = ( x 2 - 2) 2 - ( x - 3) 2 - ( x 2 - 1) 2 - ( x - 0) 2 表示动点 P(x, x2) 到两定点 A(3, 2), B(0, 1)的距离之差,见图 10-3,当 AB 延长线与抛物 线 y=x2 的交点 C 与点 P 重合时,f(x)取最大值|AB|= 10. 4.最值问题。 例 5 已 知 三 条 直 线 l1: mx-y+m=0, l2: x+my-m(m+1)=0, l3:

(m+1)x-y+m+1=0 围成ΔABC,求 m 为何值时,ΔABC 的面积有最大

值、最小值。 [解]记 l1, l2, l3 的方程分别为①,②,③。在①,③中取 x=-1, y=0,知 等式成立,所以 A(-1, 0)为 l1 与 l3 的交点;在②,③中取 x=0, y=m+1, 等式也成立, 所以 B(0, m+1)为 l2 与 l3 的交点。 l1, l2 斜率分别为 k1, k2, 设 若 m ? 0,则 k1?k2= m? ? 公式|AC|=
| -1 - m 2 - m | 1+ m 1 2
2

1 1? ÷ = -1 , SΔABC= | AC | ? | BC | ,由点到直线距离 2 è m? = | m2 + m +1 | m +1
2

,|BC|=

| -m - 1 + m | 1+ m
2

=

1 1+ m
2



所以 SΔABC= ?

m2 + m + 1 1 ? m ? 3 因为 2m≤m2+1, 所以 SΔABC≤ 。 = ?1 + 2 ÷。 2 2 è m +1? 4 m +1 1 2 m 1 ,所以 SΔABC≥ . 4 m +1
2

又因为-m2-1≤2m,所以 - ?
3 4

当 m=1 时, ΔABC)max= ;当 m=-1 时, ΔABC)min= . (S (S 5.线性规划。 例6 设 x, y 满足不等式组 í
ì1 ? x + y ? 4, ? y + 2 ?| 2 x - 3 | .

1 4

(1)求点(x, y)所在的平面区域; (2)设 a>-1,在(1)区域里,求函数 f(x,y)=y-ax 的最大值、最小值。
ì1 ? x + y ? 4, ì1 ? x + y ? 4, ? [解] (1)由已知得 í y + 2 ? 2 x - 3, 或 ? y + 2 ? 3 - 2 x, í ?2 x - 3 ? 0, ?2 x - 3 < 0. ? ?

解得点(x, y)所在的平面区域如图 10-4 所示, 其中各直线方程如图所示。 AB:y=2x-5;CD:y=-2x+1;AD:x+y=1;BC:x+y=4. (2) f(x, y)是直线 l: y-ax=k 在 y 轴上的截距,直线 l 与阴影相交,因为 a>-1,所以它过顶点 C 时,f(x, y)最大,C 点坐标为(-3,7) ,于是 f(x,

y)的最大值为 3a+7. 如果-1<a≤2,则 l 通过点 A(2,-1)时,f(x, y) 最小,此时值为-2a-1;如果 a>2,则 l 通过 B(3,1)时,f(x, y)取最 小值为-3a+1. 6.参数方程的应用。 例7 如图 10-5 所示,过原点引直线交圆 x2+(y-1)2=1 于 Q 点,在该直

线上取 P 点,使 P 到直线 y=2 的距离等于|PQ|,求 P 点的轨迹方程。 [解] 设直线 OP 的参数方程为 í
ì x = t cos a (t 参数) 。 ? y = t sin a

代入已知圆的方程得 t2-t?2sinα=0. 所以 t=0 或 t=2sinα。所以|OQ|=2|sinα|,而|OP|=t. 所以|PQ|=|t-2sinα|,而|PM|=|2-tsinα|. 所以|t-2sinα|=|2-tsinα|. 化简得 t=2 或 t=-2 或 sinα=-1. 当 t=±2 时,轨迹方程为 x2+y2=4;当 sinα=1 时,轨迹方程为 x=0. 7.与圆有关的问题。 例8 点 A,B,C 依次在直线 l 上,且 AB=ABC,过 C 作 l 的垂线,M

是这条垂线上的动点,以 A 为圆心,AB 为半径作圆,MT1 与 MT2 是这个 圆的切线,确定ΔAT1T2 垂心 的轨迹。 [解] 见图 10-6,以 A 为原点,直线 AB 为 x 轴建立坐标系,H 为 OM

与圆的交点,N 为 T1T2 与 OM 的交点,记 BC=1。 以 A 为圆心的圆方程为 x2+y2=16, 连结 OT1, 2。 OT 因为 OT2 ^ MT2, 1H ^ MT2, T 所以 OT2//HT1,同理 OT1//HT2,又 OT1=OT2,所以 OT1HT2 是菱形。所以

2ON=OH。 又因为 OM ^ T1T2,OT1 ^ MT1,所以 OT12 = ON?OM。设点 H 坐标为(x,y) 。 点 M 坐标为(5, b),则点 N 坐标为 ? , ? ,将坐标代入 OT12 =ON?OM,再 ? ÷
x y è2 2?

由 = 得
16 ? ? ? 16 ? 2 ?x - ÷ + y = ? ÷ . 5? è è5?
2 2

b 5

y x

在 AB 上取点 K,使 AK= AB,所求轨迹是以 K 为圆心,AK 为半径 的圆。 例9 已知圆 x2+y2=1 和直线 y=2x+m 相交于 A,B,且 OA,OB 与 x

4 5

轴正方向所成的角是α和β,见图 10-7,求证:sin(α+β)是定值。 [证明] 过 D 作 OD ^ AB 于 D。 则直线 OD 的倾斜角为 所以 2? tan
a +b = -1 , 2
2 tan

a +b , 因为 OD ^ AB, 2

a +b 4 a +b 1 2 所以 tan = - 。所以 sin(a + b ) = =- . 2 2 5 ?a + b ? 1 + tan 2 ? ÷ è 2 ?

例 10

已知⊙O 是单位圆,正方形 ABCD 的一边 AB 是⊙O 的弦,试确定

|OD|的最大值、最小值。 [解] 以单位圆的圆心为原点,AB 的中垂线为 x 轴建立直角坐标系,设 点 A,B 的坐标分别为 A(cosα,sinα),B(cosα,-sinα),由题设 |AD|=|AB|=2sinα,这里不妨设 A 在 x 轴上方,则α∈(0,π).由对称 性可设点 D 在点 A 的右侧(否则将整个图形关于 y 轴作对称即可) ,从 而点 D 坐标为(cosα+2sinα,sinα),

所以|OD|= (cos a + 2 sin a ) 2 + sin 2 a = 4 sin 2 a + 4 sin a cos a + 1
p = 2(sin 2a - cos 2a ) + 3 = 3 + 2 2 sin ? 2a - ? . ? ÷
è 4?

p 因为 - 2 2 ? 2 2 sin? 2a - ? ? 2 2 ,所以 2 - 1 ?| OD |? 2 + 1. ? ÷
è 4? 3 8 7 8

当 a = p 时,|OD|max= 2 +1;当 a = p 时,|OD|min= 2 - 1. 例 11 当 m 变化且 m≠0 时,求证:圆(x-2m-1)2+(y-m-1)2=4m2 的圆心

在一条定直线上,并求这一系列圆的公切线的方程。 [证明] 由í
ìa = 2m + 1, 消去 m 得 a-2b+1=0.故这些圆的圆心在直线 ?b = m + 1

x-2y+1=0 上 。 设 公 切 线 方 程 为 y=kx+b , 则 由 相 切 有 2|m|=
| k (2m + 1) - (m + 1) + b | 1+ k 2

, 对 一 切

m ≠ 0

成 立 。 即

(-4k-3)m2+2(2k-1)(k+b-1)m+(k+b-1)2=0 对一切 m≠0 成立
3 ì ?k = - 4 , ì- 4k - 3 = 0, 所以 í 即? 当 k 不存在时直线为 x=1。所以公切线方程 í ?k + b - 1 = 0, ?b - 7 . ? 4 ?

y= - x + 和 x=1. 三、基础训练题 1. 已知两点 A(-3,4)和 B(3,2), 过点 P(2,-1)的直线与线段 AB 有公共点, 则该直线的倾斜角的取值范围是__________. 2.已知θ∈[0,π],则 y =
3 + cos q 的取值范围是__________. 2 - sin q

3 4

7 4

3. 三条直线 2x+3y-6=0, x-y=2, 3x+y+2=0 围成一个三角形, 当点 P(x, y) 在此三角形边上或内部运动时,2x+y 的取值范围是__________.

4.若三条直线 4x+y=4, mx+y=0, 2x-3my=4 能围成三角形,则 m 的范 围是__________. 5.若λ∈R。直线(2+λ)x-(1+λ)y-2(3+2λ)=0 与点 P(-2,2)的距离为 d, 比较大小:d__________ 4 2 . 6.一圆经过 A(4,2), B(-1,3)两点,且在两个坐标轴上的 四个截距的和 为 14,则此圆的方程为__________. 7.自点 A(-3,3)发出的光线 l 射到 x 轴上被 x 轴反射,其反射光线所在 的 直 线 与 圆 C : x2+y2-4x-4y+7=0 相 切 , 则 光 线 l 所 在 的 方 程 为 __________. 8.D2=4F 且 E≠0 是圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 与 x 轴相切的__________条 件. 9.方程|x|-1= 1 - ( y - 1) 2 表示的曲线是__________. 10.已知点 M 到点 A(1,0) ,B(a,2)及到 y 轴的距离都相等,若这 样的点 M 恰好有一个,则 a 可能值的个数为__________. 11.已知函数 S=x+y,变量 x, y 满足条件 y2-2x≤0 和 2x+y≤2,试求 S 的最大值和最小值。 12.A,B 是 x 轴正半轴上两点,OA=a,OB=b(a<b),M 是 y 轴正半轴 上的动点。 (1)求∠AMB 的最大值; (2)当∠AMB 取最大值时,求 OM 长; (3)当∠AMB 取最大值时,求过 A,B,M 三点的圆的半径。

四、高考水平训练题 1.已知ΔABC 的顶点 A(3,4),重心 G(1,1),顶点 B 在第二象限,垂心 在原点 O,则点 B 的坐标为__________. 2.把直线 3 x - y + 2 + 3 = 0 绕点(-1,2)旋转 300 得到的直线方程为 __________. 3.M 是直线 l: +
x 4 y = 1 上一动点,过 M 作 x 轴、y 轴的垂线,垂足分别 3

为 A, 则在线段 AB 上满足 AP = 2 PB 的点 P 的轨迹方程为__________. B, 4.以相交两圆 C1:x2+y2+4x+y+1=0 及 C2:x2+y2+2x+2y+1=0 的公共弦为 直径的圆的方程为__________. 5 . 已 知

M={(x,y)|y= 2a 2 - x 2 ,a>0},N={(x,y)|(x-1)2+(y- 3 )2=a2,a>0}.M I N
? ? ,a 的最大值与最小值的和是__________.

6. x2+y2+x-6y+m=0 与直线 x+2y-3=0 交于 P, 两点, 为原点, ^ OQ, 圆 Q O OP 则 m=__________. 7.已知对于圆 x2+(y-1)2=1 上任意一点 P(x,y),使 x+y+m≥0 恒成立, m 范围是__________. 8.当 a 为不等于 1 的任何实数时,圆 x2-2ax+y2+2(a-2)y+2=0 均与直 线 l 相切,则直线 l 的方程为__________. 9.在ΔABC 中,三个内角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,若 lgsinA,lgsinB, lgsinC 成等差数列,那么直线 xsin2A+ysinA=a 与直 线 xsin2B+ysinC=c 的位置关系是__________.

10.设 A={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2},B={(x,y)|x≤10,y≥2,y≤x-4} 是坐标平面 xOy 上的点集,C= ?? í? 围成图形的面积是__________. 11.求圆 C1:x2+y2+2x+6y+9=0 与圆 C2:x2+y2-6x+2y+1=0 的公切线方 程。 12.设集合 L={直线 l 与直线 y=2x 相交,且以交点的横坐标为斜率}。 (1)点(-2,2)到 L 中的哪条直线的距离最小? (2)设 a∈R+,点 P(-2, a)到 L 中的直线的距离的最小值设为 dmin,求 dmin 的表达式。 13.已知圆 C:x2+y2-6x-8y=0 和 x 轴交于原点 O 和定点 A,点 B 是动 点,且∠OBA=900,OB 交⊙C 于 M,AB 交⊙C 于 N。求 MN 的中点 P 的轨迹。 五、联赛一试水平训练题 1.在直角坐标系中纵横坐标都是有理数的点称为有理点。若 a 为无理 数, 过点(a,0)的所有直线中, 每条直线上至少存在两个有理点的直线有 _______条。 2.等腰ΔABC 的底边 BC 在直线 x+y=0 上,顶点 A(2,3),如果它的一 腰平行于直线 x-4y+2=0, 则另一腰 AC 所在的直线方程为__________. 3.若方程 2mx2+(8+m2)xy+4my2+(6-m)x+(3m-4)y-3=0 表示表示条互相 垂直的直线,则 m=__________. 4.直线 x+7y-5=0 分圆 x2+y2=1 所成的两部分弧长之差的绝对值是
ì? x1 + x 2 y1 + y 2 ? ü ? ÷ ( x1 , y1 ) ? A, ( x 2 , y 2 ) ? B ? 所 , ÷ 2 ? ?è 2 ? ? ?

__________. 5.直线 y=kx-1 与曲线 y= - 1 - ( x - 2) 2 有交点,则 k 的取值范围是 __________. 6 . 经 过 点 A(0,5) 且 与 直 线 x-2y=0, 2x+y=0 都 相 切 的 圆 方 程 为 __________. 7.在直角坐标平面上,同时满足条件:y≤3x, y≥ x, x+y≤100 的 整点个数是__________. 8.平面上的整点到直线 y = x + 的距离中的最小值是__________. 9.y=lg(10-mx2)的定义域为 R,直线 y=xsin(arctanm)+10 的倾斜角为 __________. 10. 已知 f(x)=x2-6x+5, 满足 í 为__________. 11.已知在ΔABC 边上作匀速运动的点 D,E,F,在 t=0 时分别从 A,B, C 出发,各以一定速度向 B,C,A 前进,当时刻 t=1 时,分别到达 B, C,A。 (1)证明:运动过程中ΔDEF 的重心不变; (2)当ΔDEF 面积取得最小值时,其值是ΔABC 面积的多少倍? 12. 已知矩形 ABCD, C(4,4), A 在圆 O: 2+y2=9(x>0,y>0)上移动, 点 点 x 且 AB, 两边始终分别平行于 x 轴、 轴。 AD y 求矩形 ABCD 面积的最小值, 以及取得最小值时点 A 的坐标。 13.已知直线 l: y=x+b 和圆 C:x2+y2+2y=0 相交于不同两点 A,B,点
ì f ( x) + f ( y ) ? 0, 的点(x,y)构成图形的面积 ? f ( x) - f ( y ) ? 0 5 3 4 5 1 3

P 在直线 l 上,且满足|PA|?|PB|=2,当 b 变化时,求点 P 的轨迹方程。 六、联赛二试水平训练题 1.设点 P(x,y)为曲线|5x+y|+|5x-y|=20 上任意一点,求 x2-xy+y2 的 最大值、最小值。 2. 给定矩形Ⅰ (长为 b, 宽为 a)矩形Ⅱ , (长为 c、 宽为 d)其中 a<d<c<b, , 求证:矩形Ⅰ能够放入矩形Ⅱ的充要条件是:(ac-bd)2+(ad-bc)2 ≥ (a2-b2)2. 3.在直角坐标平面内给定凸五边形 ABCDE,它的顶点都是整点,求证: 见图 10-8,A1,B1,C1,D1,E1 构成的凸五边形内部或边界上至少有一 个整点。 4.在坐标平面上,纵横坐标都是整数的点称为整点,试证:存在一个 同心圆的集合,使得: (1)每个整点都在此集合的某一圆周上; (2) 此集合的每个圆周上,有且只有一个整点。 5.在坐标平面上,是否存在一个含有无穷多条直线 l1,l2,…,ln,… 的直线族,它满足条件: (1)点(1,1)∈ln,n=1,2,3,…; (2)kn+1≥ an-bn, 其中 kn+1 是 ln+1 的斜率, n 和 bn 分别是 ln 在 x 轴和 y 轴上的截距, a n=1,2,3,…; (3)knkn+1≥0, n=1,2,3,….并证明你的结论。 6.在坐标平面内,一圆交 x 轴正半径于 R,S,过原点的直线 l1,l2 都 与此圆相交,l1 交圆于 A,B,l2 交圆于 D,C,直线 AC,BD 分别交 x 轴正半轴于 P,Q,求证:
1 1 1 1 + = + . | OR | | OS | | OP | | OQ |


更多相关文档:

高中数学竞赛讲义(10)直线与圆的方程

高中数学竞赛讲义(10)直线与圆的方程_数学_高中教育_教育专区。高中数学竞赛讲义...2010高中数学竞赛标准讲... 8页 免费 高中数学竞赛辅导讲义第... 暂无评价 14...

数学竞赛辅导讲义——直线与圆的方程

数学竞赛辅导讲义——直线与圆的方程_高二数学_数学_高中教育_教育专区。内容丰富,表达规范,作图精准,答案详实。数学竞赛辅导讲义——直线与圆的方程一、例题 例 1...

10第十章 直线与圆的方程【讲义】

高中数学竞赛辅导讲义第十... 暂无评价 14页 免费 第十章 直线与圆的方程 12...第十章 直线与圆的方程 一、基础知识 1.解析几何的研究对象是曲线与方程。解析...

10第十章 直线与圆的方程【讲义】

10第十直线与圆的方程讲义】_学科竞赛_高中教育_教育专区。第十直线与圆的方程 一、基础知识 1.解析几何的研究对象是曲线与方程。解析法的实质是用...

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第20讲 直线与圆

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第20讲 直线与圆_学科竞赛_初中教育_教育专区...二十讲 直线与圆 直线与圆的位置有相交、相切、相离三种情形,既可从直线与圆...

数学:第十章《直线与圆的方程》数学竞赛讲义(苏教版)2

数学:第十章《直线与圆的方程》数学竞赛讲义(苏教版)2 高中数学竞赛讲义高中数学竞赛讲义隐藏>> 世纪金榜 圆您梦想 www.jb1000.com 第十直线与圆的方程 一...

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第20讲 直线与圆

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第20讲 直线与圆_初三数学_数学_初中教育_教育专区。第二十讲 直线与圆 直线与圆的位置有相交、相切、相离三种情形,既可从直线...

高中竞赛数学讲义第51讲圆

高中竞赛数学讲义第51圆_学科竞赛_高中教育_教育专区。第 51 讲 圆 对圆的...光线所在直线与圆 x +y2-4x-4y+7=0 相切,求光线 L 所在直线的方程.(...

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第10讲 抛物线

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第10讲 抛物线_学科竞赛_初中教育_教育专区。第...( x , y ),建立含 x 的方程,矩形铁皮的周长能否等于 8 分米,取决求出...
更多相关标签:
初中物理竞赛辅导讲义 | 高中物理竞赛辅导讲义 | 直线与方程讲义 | 直线方程竞赛 | 线性代数辅导讲义 | 2015执业医师辅导讲义 | 2016执业医师辅导讲义 | 执业医师辅导讲义 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com