当前位置:首页 >> 数学 >> 求通项公式和数列求和的常用方法

求通项公式和数列求和的常用方法


求递推数列通项公式的常用方法


公式法:利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法,常用的公式有 a

n

? Sn ? Sn?1 (n ? 2) ,等差数

列或等比数列的通项公式。 例一 已知无穷数列 ?a n ? 的前 n 项和为 Sn ,并且 an ? Sn ? 1(n ? N * ) ,求 ?a n ? 的通项公式? 【解析】 :
n

Sn ? 1 ? an ,? an?1 ? Sn?1 ? Sn ? an ? an?1 ,? an ?1 ?

1 1 an ,又 a1 ? , 2 2

?1? ? an ? ? ? . ?2?
反思:利用相关数列 ?a n ? 与 ?Sn ? 的关系: a1 ? S1 , an ? Sn ? Sn?1 (n ? 2) 与提设条件,建立递推关系,是本题 求解的关键. 跟踪训练 1.已知数列 ?a n ? 的前 n 项和 Sn ,满足关系 lg 二
? Sn ?1?

? n (n ? 1, 2 ???) .试证数列 ?an ? 是等比数列.

归纳法:由数列前几项用不完全归纳猜测出数列的通项公式,再利用数学归纳法证明其正确性,这种方

法叫归纳法. 例二 已知数列 ?a n ? 中, a1 ? 1 , an ? 2an?1 ? 1(n ? 2) ,求数列 ?a n ? 的通项公式. 【解析】 :

a1 ? 1 , an ? 2an?1 ? 1(n ? 2) ,? a2 ? 2a1 ? 1 ? 3 , a3 ? 2a2 ? 1 ? 7 ????

猜测 an ? 2n ? 1 (n ? N * ) ,再用数学归纳法证明.(略) 反思:用归纳法求递推数列,首先要熟悉一般数列的通项公式,再就是一定要用数学归纳法证明其正确性. 跟踪训练 2.设 ?a n ? 是正数组成的数列,其前 n 项和为 Sn ,并且对于所有自然数 n , an 与 1 的等差中项等于 Sn 与 1 的等比中项,求数列 ?a n ? 的通项公式. 三

累加法 : 利 用 a

n

?a ?a ?a 1 ?( a 2 ? a 1) ? ? ?( n n ? 1 )求 通 项 公 式 的 方 法 称 为 累 加 法 。 累 加 法 是 求 型 如

an?1 ? an ? f (n) 的递推数列通项公式的基本方法( f (n) 可求前 n 项和).

?1? 例三 已知无穷数列 ?a n ? 的的通项公式是 an ? ? ? ,若数列 ?bn ? 满足 b1 ? 1 , (n ? 1) ,求数列 ?bn ? 的通项 ?2?
公式.

n

1 ?1? 【解析】 : b1 ? 1 , bn?1 ? bn ? ? ? (n ? 1) ,? bn ? b1 ? (b2 ? b1 ) ? ???(bn ? bn?1 ) =1+ + ?? + 2 ?2?

n

?1? ? ? ?2?

n ?1

=2??

?1? ? ?2?

n ?1

.

-1-

反思:用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为 an?1 ? an ? f (n) . 跟踪训练 3.已知 a1 ?

1 ?1? , an ?1 ? an ? ? ? (n ? N * ) ,求数列 ?a n ? 通项公式. 2 ?2?
n

n



累乘法:利用恒等式 a

? a1

a a2 a3 ??? n (an ? 0, n ? 2) 求通项公式的方法称为累乘法 ,累乘法是求型如: a1 a2 an?1

an?1 ? g (n)a n 的递推数列通项公式的基本方法(数列 g (n) 可求前 n 项积).
例四 已知 a1 ? 1 , an ? n(an?1 ? an ) (n ? N * ) ,求数列 ?a n ? 通项公式. 【解析】 :

an ? n(an?1 ? an ) ,?

an?1 n ? 1 a a a ,又有 an ? a1 2 3 ??? n (an ? 0, n ? 2) = ? an n a1 a2 an?1

1× × ×??? ×

2 3 1 2

n = n ,当 n ? 1 时 a1 ? 1 ,满足 an ? n ,? an ? n . n-1

反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为 an?1 ? g (n)a n . 跟踪训练 4.已知数列 ?a n ? 满足 a1 ? 1 , an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ???? ? (n ?1)an?1 (n ? 2) .则 ?a n ? 的通项公式是. 五

构造新数列:
an?1 ? an ? f (n) ? an ? f (n) ,利用累加法(逐差相加法)求解。
1 ,求 an 。 n ?n
2

类型 1

解法:把原递推公式转化为 an?1 例 1:已知数列

?an ? 满足 a1 ? 1 , a n?1 ? a n ?
2

解:由条件知: a n ?1

? an ?

1 1 1 1 ? ? ? n ? n n(n ? 1) n n ? 1
2

分别令 n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) , 代入上式得 (n ? 1) 个等式累加之, 即 (a2

? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? (a4 ? a3 ) ? ? ? ? ? ? ? ?(an ? an?1 )
1 n

1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ? ? ?( ? ) 2 2 3 3 4 n ?1 n 1 1 1 3 1 ? a1 ? ,? a n ? ? 1 ? ? ? 2 2 n 2 n
类型 2

所以 a n

? a1 ? 1 ?

an?1 ? f (n)an
an?1 ? f (n) ,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an
3 n a n ,求 an 。 n ?1

解法:把原递推公式转化为

例 2:已知数列

?an ? 满足 a1 ? 2 , an?1 ?
an?1 n ? an n ?1

解 : 由 条 件 知

, 分 别 令

n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1)

, 代 入 上 式 得

(n ? 1)

个 等 式 累 乘 之 , 即

-2-

a a a 2 a3 a 4 1 2 3 n ?1 1 ? ? ? ?????? ? n ? ? ? ? ??????? ? n ? n a1 a2 a3 an?1 2 3 4 a1 n
又? a1

?

2 2 ,? a n ? 3 3n

例 3:已知 a1

? 3 , a n ?1 ?

3n ? 1 a n (n ? 1) ,求 an 。 3n ? 2

解: a n

?

3(n ? 1) ? 1 3(n ? 2) ? 1 3? 2 ?1 3 ?1 ? ? ???? ? a1 3(n ? 1) ? 2 3(n ? 2) ? 2 3? 2 ? 2 3 ? 2
3n ? 4 3n ? 7 ? ? 3n ? 1 3n ? 4 5 2 6 ? ?3 ? 8 5 3n ? 1 。

?

变式( : 2004, 全国 I,) 已知数列{an}, 满足 a1=1, an

? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? ? ? (n ? 1)an?1

(n≥2), 则{an}的通项 a

n

?1 ?? ? ___

n ?1 n?2

解:由已知,得 an?1 当n

? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? ? ? (n ? 1)an?1 ? nan ,用此式减去已知式,得

? 2 时, an?1 ? an ? nan ,即 an?1 ? (n ? 1)an ,又 a2 ? a1 ? 1,

? a1 ? 1,
类型 3

a a a2 a n! ? 1, 3 ? 3, 4 ? 4,? ? ?, n ? n ,将以上 n 个式子相乘,得 an ? (n ? 2) 2 a1 a2 a3 an?1

。 an?1 ? pan ? q (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1) ? 0) )

解法(待定系数法) :把原递推公式转化为: an?1

? t ? p(an ? t ) ,其中 t ?

q ,再利用换元法转化为等比数列求解。 1? p

例 4:已知数列

?an ?中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ,求 an .
an?1 ? 2an ? 3
可以转化为

解:设递推公 式

an?1 ? t ? 2(an ? t )



an?1 ? 2an ? t ? t ? ?3

. 故递推公式 为

an?1 ? 3 ? 2(an ? 3) ,令 bn ? an ? 3 ,则 b1 ? a1 ? 3 ? 4 ,且
比数列,则 bn

bn?1 an?1 ? 3 ? ? 2 .所以 ?bn ? 是以 b1 ? 4 为首项,2 为公比的等 bn an ? 3

? 4 ? 2n?1 ? 2n?1 ,所以 an ? 2n?1 ? 3 .

变式:(2006,重庆,文,14) 在数列

?an ? 中,若 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3(n ? 1) ,则该数列的通项 an ? _______________
? 2n?1 ? 3 )
(或 an?1

(key: an 类型 4 数) 。

。 an?1 ? pan ? q n (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1)(q ? 1) ? 0) )

? pan ? rqn ,其中 p,q,

r 均为常

解法:一般地,要先在原递推公式两边 同除以 q

n ?1

,得:

an?1 p an 1 ? ? ? q n?1 q q n q
-3-

引入辅助数列

?bn ? (其中 bn ? an n
q

) ,得:

bn?1 ?

p 1 bn ? 再待定系数法解决。 q q

例 5:已知数列 解:在 a n ?1

?an ?中, a1 ? 5 , an?1 ? 1 an ? ( 1 ) n?1 ,求 an 。
6 3 2

1 1 2 ? a n ? ( ) n ?1 两边乘以 2 n ?1 得: 2 n?1 ? a n?1 ? (2 n ? a n ) ? 1 3 2 3 2 2 n n 令 bn ? 2 ? an ,则 bn ?1 ? bn ? 1 ,解之得: bn ? 3 ? 2( ) 3 3 bn 1 n 1 n 所以 a n ? n ? 3( ) ? 2( ) 2 3 2
类型 5 递推公式为 an?2 。 ? pan?1 ? qan (其中 p,q 均为常数)
2 方程 x ? px ? q ? 0 , 叫做数列 ?an ? a1 ? ? , a2 ? ? 给出的数列 ?an ? , ? pan?1 ? qan ,

解 (特征根法): 对于由递推公式 an?2 的特征方程。 若 x1 , x 2 是特征方程的两个根, 当 x1

n?1 ,其中 A,B 由 a1 ? ? , a2 ? ? 决定(即把 a1 , a2 , x1 , x2 和 n ? 1,2 , ? x 2 时,数列 ?an ? 的通项为 an ? Ax1n?1 ? Bx2 n?1 ,得到关于 A、B 的方程组) ; ? Ax1n?1 ? Bx2

代入 an 当 x1 入 an

? x 2 时,数列 ?an ? 的通项为 an ? ( A ? Bn) x1n?1 ,其中 A,B 由 a1 ? ? , a2 ? ? 决定(即把 a1 , a2 , x1 , x2 和 n ? 1,2 ,代
。 ? ( A ? Bn) x1n?1 ,得到关于 A、B 的方程组)

例 6: 数列

?an ?: 3an?2 ? 5an?1 ? 2an ? 0(n ? 0, n ? N ) ,
2

a1 ? a, a2 ? b ,求 an
2 , 3

解(特征根法) :的特征方程是: 3x

? 5 x ? 2 ? 0 。? x1 ? 1, x 2 ?

2 n?1 ? A ? B ? ( ) n ?1 。又由 a1 ? a, a2 ? b ,于是 ? an ? Ax1n?1 ? Bx2 3

?a ? A ? B ? A ? 3b ? 2a ? 2 ?? ? b ? A ? B ?B ? 3(a ? b) ? 3 ?
练习:已知数列

故 an

2 ? 3b ? 2a ? 3(a ? b)( ) n ?1 3

?an ?中, a1 ? 1 , a2 ? 2 , an?2 ? 2 an?1 ? 1 an ,求 an 。
3 3

key : an ?

7 3 1 n ?1 ? (? ) 。 4 4 3

变式:(2006,福建,文,22) 已知数列

?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N * ). 求数列 ?an ? 的通项公式;
?an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ... ? (a2 ? a1 ) ? a1

(I)解:

-4-

? 2n ?1 ? 2n ?2 ? ... ? 2 ? 1 ? 2n ? 1(n ? N * ).
类型 6 递推公式为 S n 与 an 的关系式。(或 Sn 解 法 : 利 用

? f (an ) )


?S1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(n ? 1) an ? ? ?S n ? S n ?1 ? ? ? ? ? ? ? (n ? 2)

an ? S n ? S n?1 ? f (an ) ? f (an?1 )

消 去

Sn

(n ? 2)

或 与

S n ? f (S n ? S n?1 ) (n ? 2) 消去 an 进行求解。
例 7:数列

?an ?前 n 项和 S n ? 4 ? an ?
? 4 ? an ? 1 2
n?2

1 2
n?2

.(1)求 an ?1 与 an 的关系; (2)求通项公式 an .

解: (1)由 S n 于是 S n ?1 所以 a n ?1

得: S n ?1

? 4 ? a n ?1 ? 1

1 2 n ?1

? S n ? (a n ? a n ?1 ) ? ( ? an ? an?1 ?

1 2
n?2

1 ? a n ?1 2 n?1

) 2 n ?1 1 1 ? an ? n 2 2

?

.
n ?1 ? 0) ) )的方法,上式两边同乘以 2 得:

( 2 )应用类型 4 ( an?1

? pan ? q n (其中

p , q 均为常数, ( pq( p ? 1)(q ? 1)

2n?1 an?1 ? 2n an ? 2


a1 ? S1 ? 4 ? a1 ?

1 ? a1 ? 1 2
1? 2

. 于 是 数 列

?2 a ? 是 以
n n

2

为 首 项 , 2 为 公 差 的 等 差 数 列 , 所 以

2n an ? 2 ? 2(n ?1) ? 2n ? a n ?

n 2 n ?1

数列求和的常用方法
数列求和是数列的重要内容之一,也是高考数学的重点考查对象。数列求和的基本思路是,抓通项,找规律,套方法。下面介绍 数列求和的几种常用方法: 一、

直接(或转化)由等差、等比数列的求和公式求和
? n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式: S n

(q ? 1) ? na1 ? n a ? an q 2、等比数列求和公式: S n ? ? a1 (1 ? q ) ? 1 (q ? 1) ? 1? q ? 1? q
3、
n 1 S n ? ? k ? n(n ? 1) 2 k ?1 n 1 S n ? ? k 3 ? [ n(n ? 1)]2 2 k ?1

4、 S n

n 1 ? ? k 2 ? n(n ? 1)(2n ? 1) 6 k ?1

5、

例 1(07 高考山东文 18)设 {an } 是公比大于 1 的等比数列, Sn 为数列 {an } 的前 n 项和.已知 S3 -5-

? 7 ,且 a1 ? 3, 3a2,a3 ? 4 构

成等差数列. (1)求数列 {an } 的等差数列. (2)令 bn 求数列 {bn } 的前 n 项和 T ? ln a3n?1,n ? 1 , 2, , .

?a1 ? a2 ? a3 ? 7, ? 解: (1)由已知得 : ? (a ? 3) ? (a ? 4) 解得 a2 ? 2 . 1 3 ? 3a2 . ? ? 2
设数列 {an } 的公比为 q ,由 a2

2 ? 2 ,可得 a1 ? ,a3 ? 2q . q

又 S3

2 ? 7 ,可知 ? 2 ? 2q ? 7 ,即 2q2 ? 5q ? 2 ? 0 , q
? 2,q2 ? 1 .由题意得 q ? 1 , ?q ? 2 . 2

解得 q1

?a1 ? 1 .故数列 {an } 的通项为 an ? 2n?1 .
(2)由于 bn
3n 由(1)得 a3n?1 ? 2 ? ln a3n?1,n ? 1 , 2, ,

?bn ? ln 23n ? 3n ln 2 ,

又 bn?1 ? bn

? 3ln 2n

?{bn } 是等差数列.
?Tn ? b1 ? b2 ?
?

? bn

n(b1 ? bn ) 2 n(3ln 2 ? 3ln 2) ? 2 3n(n ? 1) ? ln 2. 2
故 Tn

?

3n(n ? 1) ln 2 . 2
*

练习:设 Sn=1+2+3+…+n,n∈N ,求

f ( n) ?

Sn 的最大值. (n ? 32) S n ?1

二、

错位相减法
设数列

?an ?的等比数列,数列 ?bn ?是等差数列,则数列 ?an bn ?的前 n 项和 S n 求解,均可用错位相减法。

例 2(07 高考天津)在数列 (Ⅰ)求数列

?an ? 中, a1 ? 2,an?1 ? ?an ? ? n?1 ? (2 ? ?)2n (n ? N? ) ,其中 ? ? 0 .

?an ? 的通项公式;
-6-

(Ⅱ)求数列

?an ? 的前 n 项和 Sn ;
? ?an ? ? n?1 ? (2 ? ?)2n (n ? N? ) , ? ? 0 ,
n ?1

(Ⅰ)解:由 an?1

可得

?2? ?? ? n ?1 ? ??? an?1

?

?2? ? ? ? ? 1, n ? ??? an
1,首项为 0,故

n

所以

n ? ? an ? 2 ? ? ? ? n ?? ? ? 为等差数列,其公差为 ?? ? ? ? ? ? ?

?2? ? ? ? ? n ? 1 , 所 以 数 列 ?an ? 的 通 项 公 式 为 ?n ? ? ? an

n

n . an ? (n ? 1) ?n ? 2

(Ⅱ)解:设 Tn

? ? 2 ? 2? 3 ? 3? 4 ?

? (n ? 2)? n?1 ? (n ?1)? n ,

① ②

?Tn ? ? 3 ? 2? 4 ? 3? 5 ?
当?

? (n ? 2)? n ? (n ?1)? n?1

? 1 时,①式减去②式,

得 (1 ? ? )Tn

? ?2 ? ?3 ?

? ? n ? (n ? 1)? n ?1 ?

? 2 ? ? n?1 ? (n ? 1)? n ?1 , 1? ?


? 2 ? ? n?1 (n ? 1)? n?1 (n ? 1)? n?2 ? n? n?1 ? ? 2 Tn ? ? ? (1 ? ? )2 1? ? (1 ? ? )2
这时数列

?an ? 的前 n 项和 Sn ?

(n ? 1)? n?2 ? n? n?1 ? ? 2 ? 2n?1 ? 2 . 2 (1 ? ? )

当?

? 1 时, Tn ?

n( n ? 1) n(n ? 1) ? 2n ?1 ? 2 . .这时数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 2 2

例 3(07 高考全国Ⅱ文 21)设 {an } 是等差数列,{bn } 是各项都为正数的等比数列,且 a1 (Ⅰ)求 {an } , {bn } 的通项公式;

? b1 ? 1 , a3 ? b5 ? 21 , a5 ? b3 ? 13

(Ⅱ)求数列 ?

? an ? ? 的前 n 项和 Sn . ? bn ?

4 ? ?1 ? 2d ? q ? 21, 解: (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d , ?bn ? 的公比为 q ,则依题意有 q ? 0 且 ? 2 ? ?1 ? 4d ? q ? 13,

解得 d 所以 an

? 2, q ? 2.

? 1 ? (n ?1)d ? 2n ?1 ,

bn ? qn?1 ? 2n?1 .
(Ⅱ)

an 2n ? 1 ? n?1 . bn 2
-7-

3 5 2n ? 3 2n ? 1 ? 2 ? ? n ?2 ? n ?1 ,① 1 2 2 2 2 5 2n ? 3 2n ? 1 2Sn ? 2 ? 3 ? ? ? n ?3 ? n ? 2 ,② 2 2 2 2 2 2 2n ? 1 ? n ? 2 ? n ?1 , ②-①得 S n ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 2 2 2 Sn ? 1 ?

? 1 1 ? 2 ? 2 ? ?1 ? ? 2 ? ? 2 2

?

1 ? 2n ? 1 ?? 2 ? 2n?1
n?2

1 n ?1 2n ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? n ?1 1 2 1? 2 2n ? 3 ? 6 ? n ?1 . 2 1?
三、

逆序相加法
例 4 设函数

把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广)

2x 的图象上有两点 P (x , f ( x) ? x 2 ? 2
1 1

y1)、P2(x2, y2),若 OP

1 1 ? (OP1 ? OP2 ) ,且点 P 的横坐标为 2 2

.

(I)求证:P 点的纵坐标为定值,并求出这个定值;

1 2 3 n ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( ), n ? N * , 求S n ; n n n n 1 1 (I)∵ OP ? (OP1 ? OP2 ) ,且点 P 的横坐标为 . 2 2
(II)若 S n ∴P 是

PP
1

2

的中点,且

x ?x
1

2

?1
x x ? 2 2 ?
1 2

y ?y
1

2

?

2 x1 ? 2

2x

1

?

2x

2x
2 2

2

? 2 ? 2x2

? 2
1

?2x ?
2

?

?2x ? 2 ? 2?
1

?

4? 2 4 ? 2 2 x 2 ? 2 x1

?

?

?2x ? 2x ? ? 1
? x ? ? f ? x ? ? 1, 且f ?1? ? 2 ?
1 2

? y ?1
p

由(I)知,

x ?x
1

2

?1 f

2

?1? ?2? 又S n ? f ? ? ? f ? ? ? ?n? ?n? ?n? ? n ?1 ? ?? f ? ?? Sn ? f ? ?n? ? n ?

? n ?1 ? ?n? ?f? ? ? f ? ? ?1? ? n ? ?n? , (1)+(2)得: ?2? ?1? ? f ? ? ? f ? ? ? 2? ?n? ?n?

-8-

? ?1? 2S n ? f ?1? ? ? f ? ? ? ? ?n? ? 2 f ?1? ? 1 ? 1 ? ?S n ?
四、

? n ? 1 ?? ? ? 2 ? f? ?? ? ? f ? ? ? ? n ?? ? ? n ?

? n ? 2 ?? f? ?? ? ? n ??

? ?n? ?? f ? ?? ? ?n?

? 1 ?? f ? ? ? ? f ?1? ? n ??

?1 ? n ? 3 ? 2 2

n ?3? 2 2 2

裂项求和法

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些 项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如: (1) a n

?

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

(2) an

?

(2n) 2 1 1 1 ? 1? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

(3) an

?

1 1 1 1 ? [ ? ] 等。 n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) 1 1? 2 ? , 1 2? 3 1 n ? n ?1 1 1? 2 ? ,? ? ?, 1 n ? n ?1 ,? ? ? 的前 n 项和.

例 5 求数列

解:设 a n

? n ?1 ? n 1 1

(裂项)



Sn ?

2? 3

? ??? ?

n ? n ?1

(裂项求和)

=( =

2 ? 1) ? ( 3 ? 2 ) ? ? ? ? ? ( n ? 1 ? n )
n ? 1 ?1
y ? f ( x) 的图像经过坐标原点,其导函数为 f ' ( x) ? 6 x ? 2 ,数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,点

例 6(06 高考湖北)已知二次函数

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上。

(Ⅱ)设 bn

?

m 1 ? , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n ? N 都成立的最小正整数 m; 20 an an?1
2

解: (Ⅰ)设这二次函数 f(x)=ax +bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于 f`(x)=6x-2,得 a=3 , b=-2, 所以 f(x)=3x -2x.
?
2

又因为点 (n, Sn )(n ? N

) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上,所以 Sn =3n -2n.
2 2

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n -2n)-

?( 3 n ? 1)

2

? 2(n ? 1)
-9-

? =6n-5.

当 n=1 时,a1=S1=3×1 -2=6×1-5,所以,an=6n-5 ( n ? N )
2

?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得知 bn

?

3 a n a n ?1



3 1 1 1 ? ), = ( (6n ? 5)?6(n ? 1) ? 5? 2 6n ? 5 6n ? 1
1 ). 6n ? 1

故 Tn=

?b = 2
i ?1 i

n

1 ? 1 1 1 1 1 ? 1 (1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? ) = ? 7 7 13 6n ? 5 6 n ? 1 ? ? ? 2

(1-

因此,要使

1 1 m 1 m ? (1- )< ( n ? N )成立的 m,必须且仅须满足 ≤ 2 6n ? 1 20 2 20

,即 m≥10,所以满足要求的最小正整数 m 为 10.

评析:一般地,若数列

?an ? 为 等 差 数 列 , 且 公 差 不 为
=

0,首项也不为 0,则求和:

?a a
i ?1 i

n

1
i ?1

首先考虑

n n 1 1 1 1 1 ? ( ? ) 则 ? ? ? ai ?1 i ?1 ai ai ?1 i ?1 d ai i ?1 ai ai ?1

n

1 1 1 n ( ? )? d a1 a n ?1 a1a n?1

。下列求和:

?
i ?1

n

1 ai ? ai ?1

也可用裂项求和法。

五、

分组求和法
所谓分组法求和就是:对一类既不是等差数列,也不是等比数列的数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见

的数列,然后分别求和,再将其合并。 例 7 数列{an}的前 n 项和 S n

? 2an ? 1,数列{b }满 b1 ? 3, bn?1 ? an ? bn (n ? N ? )
n

.

(Ⅰ)证明数列{an}为等比数列;(Ⅱ)求数列{bn}的前 n 项和 Tn。

解析: (Ⅰ)由 S n

? 2an ? 1, n ? N ? ,? S n?1 ? 2an?1 ? 1,

两式相减得: an?1

? 2an?1 ? 2an , ? an?1 ? 2an , n ? N ? .同a1 ? 1知an ? 0 ,

?

an?1 ? 2, 同定义知 {an } 是首项为 1,公比为 2 的等比数列. an

(Ⅱ) an

? 2 n?1 , bn?1 ? 2 n?1 ? bn

bn?1 ? bn ? 2 n?1 ,

b2 ? b1 ? 2 0 , b3 ? b2 ? 21 , b4 ? b3 ? 2 2 , ?

bn ? bn?1 ? 2 n?2 , 等式左、右两边分别相加得:
bn ? b1 ? 2 0 ? 21 ? ? ? 2 n?2 ? 3 ? 1 ? 2 n ?1 ? 2 n?1 ? 2, 1? 2

?Tn ? (20 ? 2) ? (21 ? 2) ? (22 ? 2) ? ? ? (2n?1 ? 2) ? (20 ? 21 ? 22 ? ? ? 2n?1 ) ? 2n
- 10 -

=

1 ? 2n ? 2n ? 2 n ? 2n ? 1. 1? 2

? 12 ? 22 ? 32 ? 42 ? 解:⑴ 当 n 为偶数时,
例8求S

? (?1)n?1 n2 ( n ? N? )

S ? (12 ? 22 ) ? (32 ? 42 ) ?
⑵ 当 n 为奇数时,

? [(n ? 1)2 ? n2 ] ? ?(1 ? 2 ?

? n) ? ?

n(1 ? n) ; 2
n(n ? 1) 1 ? n2 ? (n2 ? n) 综 上 所 述 , 2 2

S ? (12 ? 22 ) ? (32 ? 42 ) ?
n ?1 1 S ? ( ?1 ) n 2

? [(n ? 2)2 ? (n ? 1)2 ] ? n2 ? ?[1 ? 2 ?

? (n ? 1)] ? n2 ? ?

. n(?

1 )

点评:分组求和即将不能直接求和的数列分解成若干个可以求和的数列,分别求和.

- 11 -


赞助商链接
更多相关文档:

数列求和的基本方法和技巧与大题

数列求和的基本方法和技巧与大题_数学_高中教育_教育专区。高考数列问题 ...(I) 求数列 ? b n ? 的通项公式; (II) 数列 ? b n ? 的前 n 项...

求通项公式和数列求和的常用方法

求递推数列通项公式的常用方法公式法: 一 公式法 利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法,常用的公式有 an = S n S n 1 ( n ≥ 2) ,等差数列或...

高中数学_数列求和及数列通项公式的基本方法和技巧

大沥高级中学论文 数列求和的基本方法和技巧关键词:数列求和 通项分式法 错位...这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,这种方 法主要用于求...

数列求和的基本方法例题

数列求和的基本方法例题_数学_高中教育_教育专区。高一数列求和的方法及经典例题 ...(Ⅰ)求{an}、{bn}的通项公式; (Ⅱ)求数列 的前 n 项和 Sn. 考点: ...

数列求和的常用方法

一.数列求和的常用方法: 1. 公式法 (1) 直接用等差、等比数列求和公式 等差...把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和...

数列求和的基本方法和技巧(例题与答案)

数列求和的基本方法和技巧(例题答案) - 数列求和的基本方法与技巧 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 ...

数列求和的常用方法

常用求和公式求和数列求和的基本最重要的方法。 ...主要用于求数列 {a n × bn } 的前 n 项和,...裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后...

数列的通项公式与求和的常用方法

数列的通项公式与求和的常用方法_数学_高中教育_教育专区。数列重点综合题型总结...(1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)设数列{cn}的前 n 项和为 Sn,...

数列求和的常用方法

数列求和的常用方法_数学_高中教育_教育专区。§2.6 数列求和的常用方法一、..., n ? N ? , 3 (1)求数列 ?an ? 的通项公式. (2)设 bn ? n ,...

数列求和的常用方法

数列求和的常用方法 - 分别设置了公式法、倒序相加法、分组求和法、错位相减法及裂项相消法五类方法相应的例题与习题

更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com