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妙用“柯西中值定理”秒杀高考导数压轴题(强烈推荐,公式编辑器完美编辑)


妙用“柯西中值定理”秒杀高考导数压轴题
柯西中值定理:若函数 f ? x ? , g ? x ? 满足如下条件: (i) f ? x ? , g ? x ? 在闭区间 [a, b] 上连续; (ii) f ? x ? 在开区间 (a, b) 内可导; (iii)在 ? a, b ? 内的每一点处 g? ? x ? ? 0 则在 ? a, b ? 内至少存在一点 ? ,使得
1、 (2012年天津高考理科数学压轴题) 已知函数 f ? x ? ? x ? ln ? x ? a ? 的最小值为 0, 其中 a ? 0 (Ⅰ)求 a 的值 (Ⅱ)若对 ?x ? ? 0, ??? ,都有 f ? x ? ? kx 成立,求实数 k 的最小值;
2

f ? ?? ? f ? b ? ? f ? a ? . ? g ? ?? ? g ? b ? ? g ? a ?

(Ⅲ)证明:

? 2k ? 1 ? ln ? 2n ? 1? ? 2 ( n ? N
k ?1

n

2

?

).

2、 (2013广西理科数学压轴题) 已知函数 f ? x ? ? ln ?1 ? x ? ?

x ?1 ? ? x ? 1? x
1 1 1 1 ? ? ? ? , 证明: a2 n ? an ? ? ln 2 2 3 n 4n

(Ⅰ)当 x ? 0 时, f ? x ? ? 0, 求 ? 的最小值(Ⅱ)设 an ? 1 ?

3、(2015 年山东高考数学理科第 21 题) 设函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? a( x ? x) ,其中 a ? R .
2

(Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 极值点的个数,并说明理由; (Ⅱ)若 ?x ? 0, f ( x) ? 0 成立,求 a 的取值范围.

4、 (2017 年德阳市二诊数学压轴题) 已知函数 f ? x ? ? ln x ?

x?a 在 x ? 1 处取得极值. x
(Ⅱ)若 ?x ??1, ??? ,不等式 f ? x ? ? m ? x ? 1? 恒成立,求实数 m 的取值范围.
2

(Ⅰ)求证: f ? x ? ? 0 .

x 2 5、已知函数 f ? x ? ? x e ? 1 ? ax .

?

?

(Ⅰ)当 a ? ?

1 时,求函数 f ? x ? 的极值; 2

(Ⅱ)若当 x ? 0 时, f ? x ? ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

6、 (2015 届重庆市巴蜀中学高三 12 月月考数学压轴题) 已知函数 f ? x ? ? x ? ax ?1 , g ? x ? ? e (其中 e 是自然对数的底数).
2 x

(Ⅰ)若 a ? ?1 ,求函数 y ? f ? x ??g ? x ? 在 ? ?1, 2? 上的最大值; (Ⅱ)若 a ? ?1 ,关于 x 的方程 f ? x ? ? k ?g ? x ? 有且仅有一个根,求实数 k 的取值范围; (Ⅲ)若对任意的 x1 、 x2 ? ?0, 2? , x1 ? x2 ,不等式 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? g ? x1 ? ? g ? x2 ? 恒成立,求实数 a 的取值范 围.

7、 (2017 年江苏省南通市二模理科数学) 已知函数 f ? x ? ?

1 , g ? x ? ? ln x ,其中 e 为自然对数的底数. ex

(Ⅰ)求函数 y ? f ? x ? g ? x ? 在 x ? 1 处的切线方程; (Ⅱ)若存在 x1 , x2 ? x1 ? x2 ? ,使得 g ? x1 ? ? g ? x2 ? ? ? ? ? f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? ? 成立,其中 ? 为常数,求证: ? ? e . (Ⅲ)若对任意的 x ? ? 0,1? ,不等式 f ? x ? g ? x ? ? a ? x ?1? 恒成立,求实数 a 的取值范围.


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