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高中物理竞赛教程:1.5《透镜成像》


§1.5 透镜成像
1.5.1、透镜成像作图 (1)三条特殊光线 ①通过光心的光线方向不变; ②平行主轴的光线,折射后过焦 点; ③通过焦点的光线,折射后平行 主轴。 (2)一般光线作图:对于任一光 线 SA,过光心 O 作轴 OO’平行于 SA,
OO ? 与焦平面 MM ? 交于 P 点,连接 AP

S
F1

r />F2

S
F1
F2

A
S
O

P F

M O? M? M
O?

M
S
F1

或 AP 的反向延长线即为 SA 的折射光 线

M?

P O

F2

M?

图 1-5-1

*像与物的概念:发光物体上的每个发光点可视为一个“物点” 即“物” 。一个物点上发出的光束,经一系列光学系统作用后,若成 为会聚光束,则会聚点为物的实像点;若成为发散光束,则其反向延 长线交点为物的虚像点;若为平行光束则不成像。 1.5.2、薄透镜成像公式 薄透镜成像公式是:
1 1 1 ? ? u ? f

式中 f、u、v 的正负仍遵循“实正、
? S2

x1 ? 0 x2 ? 0
F2

S1?
??0 x1

S1

F1 S 2 O

? ?0 x2
图 1-5-2

虚负”的法则。若令 x ? u ? f , x? ? ? ? f ,则有
xx ? ? f
2

该式称为“牛顿公式” 。式中 x 是物到“物方焦点”的距离, x ? 是 像到“像方焦点”的距离。从物点到焦点,若顺着光路则 x 取正,反 之取负值;从像点到焦点,若逆着光路则 x ? 取正值,反之取负值,该 式可直接运用成像作图来推导,请读者自行推导,从而弄清 x, x ? 的意 义。下面用牛顿公式讨论一个问题。 一个光源以 v=0.2m/s 的速度沿着焦距 f=20cm 的凸透镜向光心运 动,当它经过距光心 u1 ? 30cm 和 u 2 ? 15cm 的两点时,求像所在的位置 及速度。
x1 ? u1 ? f ? 10cm , x2 ? u 2 ? f ? ?5cm

代入牛顿公式得
? ? 40cm , x? ? ? f ? 60cm ,? 2 ? x2 ? ? f ? ?60cm , x1 ? ?80cm , ?1 ? x1 2

? 意义如图 1-5-2 所示。 上述 x1 、 x 2 、 x1? 、 x 2

设在△t 时间内,点光源的位移为△x,像点的位移为 ?x? ,有
f2 f 2 ( x ? ?x) x ? ? ?x ? ? ? 2 x ? ?x x ? ?x 2

当△t→0 时△x→0,略去△x 的二阶小量,有
x ? ? ?x ? ? f 2 f 2 ?x f 2 ?x ? 2 ? x? ? 2 x x x

n
P
(a)

n?

?x ? ?

f 2 ? ?x x ? ? ? ?x x x2

P? O

?x? x? ?x x? ?? ? ? ? ? ?? ?t x ?t x

O P0
(b)

P0?

图 1-5-3

? ? 0.8m / s , ? 2 ? ? 3.2m / s 。像 ? 的值代入,求得 ?1 将 x1 、 x 2 、 x1? 、 x 2

移动方向与移动方向相同。 *“实正、虚负”法则:凸透镜焦距取正值,凹透镜焦距取负值; 实像像距取正值,虚像像距取负值。实物物距取正值,虚物物距取负 值。 *实物与虚物:发散的入射光束的顶点(不问是否有实际光束通 过此顶点)是实物;会聚的入射光束的顶点(永远没有实际光束通过 该顶点)是虚物。假定 n? ? n ,P 为实物, P? 为虚像使所有光线都循原 路沿相反方向进行,如将(a)反向为(b)图所示,则 P0 表示光线在 未遇凸面镜之前是会聚的, P0 为虚物 P0 均为实物。 1.5.3、组合透镜成像 如果由焦距分别为 f 1 和 f 2 的 A、B 两片薄 透镜构成一个透镜组 (共主轴) 将一个点光源
A B
S S?
?

S 放在主轴上距透镜 u 处, 在透镜另一侧距透
镜 v 处成一像 S ? (图 1-5-4)所示。对这一成 像结果,可以从以下两个不同的角度来考虑。

u 图 1-5-4

v

因为 A、B 都是薄透镜,所以互相靠拢地放在一起仍可看成一个 薄透镜。设这个组合透镜的焦距是 f,则应有
1 1 1 ? ? u ? f



另一个考虑角度可认为 S ? 是 S 经 A、 B 两个透镜依次成像的结果。 如 S 经 A 后成像 S1 ,设 S1 位于 A 右侧距 A 为 ? 1 处,应有

1 1 1 ? ? u ?1 f1



因为 S1 位于透镜 B 右侧 ? 1 处,对 B 为一虚物,物距为? 1 ,再经 B 成像 ,所以
1 1 1 ? ? u ?1 f1



由②、③可解得
1 1 1 ? ? ? ?1 ? f2



比较①、④两式可知
1 1 1 1 ? ? ? u ? f1 f 2

如果 A、B 中有凹透镜,只要取负的 f 1 或 f 2 代入即可。 1.5.4、光学仪器的放大率 实像光学仪器的放大率 幻灯下、照相机都是常见的实像光学

仪器。由于此类仪器获得的是物体的实像,因而放大率 m 一般是指所 有成实像的长度放大率,即 v=mu。 如果有一幻灯机,当幻灯片与银幕相距 2.5m 时,可在银幕上得 到放大率为 24 的像;若想得到放大率为 40 的像,那么,假设幻灯片 不动,镜头和银幕应分别移动多少? 根据第一次放映可知
?u1 ? ?1 ? 2.5 ? ? ? ??1 ? m1u1 ? 24u1

可解得

u1 ? 0.1m , ?1 ? 2.4m

f ?

u1?1 ? 0.096 m u1 ? ?1

第二次放映
1 1 ?1 ? ? ? ?u2 ? 2 f ? ? ?? 2 ? m2 u 2 ? 40u 2 ?

可解得

u 2 ? 0.0984 m , ? 2 ? 3.94 m

比较 u1 和 u 2 ,可知镜头缩回 1.6mm ;比较 ? 1 和 ? 2 ,可知银幕应移远 1.54m。 虚像光学仪器的放大率 望远镜和显微镜是常见的虚像光学仪

器。由于此类仪器得到的是物体的虚像,目的是扩大观察的视角,因 此放大率 m 一般是指视角放大率。如果直接观察物体的视角为α ,用 仪器观察物体的视角为β ,那么

m=β /α
先看显微镜的放大率。 如
A B
O1


L



果有一台显微镜, 物镜焦距为 B2
f1 , 目镜焦距为 f 2 , 镜筒长 L,

F1

B1
?

F2
O2

A1

若最后的像成在离目镜 d 处, 试证明显微镜的放大率
m? Ld f1 f 2 。

A2

d 图 1-5-5

显微镜的光路如图

1-5-5 所示,AB 经物镜Ⅰ成一放大实像 A1 B1 ,物镜的长度放大率

m1 ?

A1 B1 B1O1 ? AB BO1

因 f 1 、 f 2 相对 L 都较小,而且 B 很靠近 F1 ,所以
B1O1 ? L , BO1 ? f



m1 ? L / f1 A2 B2 A1 B1 位于目镜Ⅱ的焦点内, 2 经目镜成一放大的虚像 A2 B(通常让

成在观察者的明视距离 d 上) 。因为都是近轴光线,所以此时观察者 从目镜中看到 A2 B2 的视角β 为
? ? tan ? ?
A2 B2 AB AB ? 1 1 ? 1 1 d B1O2 f2

若观察者不用显微镜,直接观看 AB 的视角α 为
? ? tan? ?
AB d

则显微镜的放大率 m
m?

? A1 B1 d Ld ? ? ? ? f2 AB f1 f 2

不难看出目镜的长度放大率为
m2 ? d / f 2

所以有

m ? m1m2

下面再看天文望远镜的放大率, 如果
A


天文望远镜的物镜焦距为 f 1 , 目镜焦距为
f2 , 试 证 明 天 文 望 远 镜 的 放 大 率
m ? f1 / f 2 。

B O1
s f1 图 1-5-6

?

B1 A1



?

O2

f2

望远镜成像光路如图 1-5-6 所示, 远

处物体 AB 由物镜Ⅰ成像 A1 B1 ,然后再由目镜Ⅱ在远处成一虚像 A2 B2 (图中未画出) ,观察者观察 A2 B2 的视角即为图中的β , ? ? A1 B1 / f 2 。 若不用望远镜,观察者直接观察距望远镜 S 远处的物体 AB 的视角, 近似为图中的α
? ? AB / S ? A1 B1 / f 2

因此望远镜的放大率 m 为
m? f f ? A1 B1 ? ? 1 ? 1 ? f2 A1 B1 f2
聚 光画 镜片

1.5.5、常见的光学仪器
A B 机、印相放大机以及绘图用的投 C

投影仪器

电影机、幻灯

光 源

P Q C?

B?

投影镜头

R?


Q

影仪等,都属于投影仪器,它的 主要部分是一个会聚的投影镜 头,将画片成放大的实像于屏幕 上,如图 1-5-7。由于物距 u 略 大于焦距 f,画片总在物方焦平 面 附 近 , 像 距 υ ?f , 放 大 率
m ? ? / f ,它与像距 v 成正比。

R
u≈f 图 1-5-7

A?
v

P?

A L M P
图 1-5-8

A M P
图 1-5-9

P?

一光学系统如图 1-5-8 所示,A 为物平面,垂直于光轴,L 为会 聚透镜,M 与光轴成 45°角的平面镜。P 为像面,垂直于经平面镜反 射后的光轴。设物为 A 面上的一个“上”字,试在图 1-5-9 中实像面

P 上画出像的形状。
眼睛 眼睛是一个相当复杂的天然光学仪器。从结构上看,类

似于照像机,图 1-5-10 为眼球在水平方向的剖面图。其中布满视觉 神经的网膜,相当于照像机中的感光底片,虹膜相当于照像机中的可 变光阑,它中间的圆孔称为瞳孔。眼球中的晶状体是一个折射率不均 匀的透镜,包在眼球外面的坚韧 的膜,最前面的透明部分称为角 膜,其余部分为巩膜。角膜与晶 状体之间的部分称为前房,其中 充满水状液。晶状体与网膜之间 眼球的内腔,称为后房,其中充 满玻璃状液。所以,眼睛是一个物、像方介质折射率不等的例子。聚 焦光无穷远时,物焦距 f=17.1mm,像方焦距 f=22.8。眼睛是通过改 变晶状体的曲率(焦距)来调节聚焦的距离。 眼睛肌肉完全松弛和最紧张时所能清楚看到的点, 分别称为它调 节范围的远点和近点。 正常眼睛的远点在无穷远。 近视眼的眼球过长, 无穷远的物体成像在网膜之前,它的远点在有限远的位置。远视眼的 眼球过短,无穷远的物体成像在网膜之后(虚物点) 。矫正近视眼和 远视的眼镜应分别是凹透镜和凸透镜。所谓散
A? A F? E BO
图 1-5-10

H H?
角膜 虹膜 瞳孔
H H’

巩膜 后房玻璃状液 晶状体 黄斑 网膜

前房水状液

F

N?

F
盲点
视 神 经

光,是由于眼球在不同方向的平面内曲率不同 B? 引起的,它需要非球面透镜来矫正。 视角、 视角放大 物体的两端对人眼光心

F

图 1-5-11

所张的角度叫做视角,视角的大小跟物体的尺 寸及物体到人眼的距离有关。当两物点(或同一物体上的两点)对人

?4 眼视角大小 I ? (约 2.9 ?10 md )时,才能被人眼区分。

在看小物体时,为了增大视角就要缩短物眼间距离,但当其小于 人眼近点距离时,视网膜上所成的像反而模糊不清。为此,必须使用 光学仪器来增大视角。 图 1-5-11 是人眼(E)通过放大镜观察物体 AB 的像 A?B? ,当人 眼靠近光心时视角。
? ? ? ?A?OB? ?
A?B? AB ? B?O BO

A

若物体很靠近焦点, 且成像于明视距离, 则: B
B?O ? 25cm , BO ? f
图 1-5-12

?

E

?? ?

A?B ? AB ? B ?O f

若不用放大镜将物体置于明视距离,如图 1-5-12,BE=25cm,则 视角:
? ? ?AEB ?
AB 25cm

把用光学仪器观察虚像所得视角 ? ?? 与将物体放在虚像位置上直 接观察的视角φ 的比值叫做光学仪器的视角放大率。用β 表示视角放 大率,即有
?? ? ?? ?

AB 25cm f ?? ? AB f 25cm 对于放大镜,有 。

显微镜

图 1-5-13 是显微镜成像原理图。
B? L

?

L2

被观察物体 AB 置于物镜 L 1 焦点外很靠近焦点
B??

A?

??
L1 A B
图 1-5-13

A??

处, ( u1 ? f1 ) ,成放大实像 A?B? 于目镜 L2 焦点内靠近焦点处( u 2 ? f ) , 眼睛靠近目镜 L2 的光心可观察到位于明视距离的虚像 A??B?? 显微镜的物镜视角放大率
A?B ? AB ? ?? f L ?? 1 ? L ? 1 ? AB AB ?1 f1 L L

? 1 未在图中画出。目镜放大率:
A?B ? A??B ?? ? ?? f2 25cm ? 2 ? 2 ? 25 ? ? A?B ? A?B ? ?2 f2 25 25cm

? 2 未在图中画出。显微镜的视角放大率:
? ? ?1 ? ? 2 ?
25 L f1 ? f 2

式中 L 是镜筒长度。由于 f 2 ?L,因此在计算放大率时用 L 代表物 镜像距。通常显微镜焦距 f 1 很小,多为 mm 数量级,明镜焦距稍长, 但一般也在 2cm 以内。 望远镜 望远镜用
B?? B?
F1 F2 ? ?

于观察大而远的物体, A
?

如图 1-5-14, 图 1-5-15 B 分别表示开普勒望远镜
A??

A?

和伽利略望远镜的光路 图。 两种望远镜都是用

图 1-5-14

B?? A
?
??

B?
F1 F2

B

A??

A?

图 1-5-15

焦距较长的凸透镜做物镜。远处物体从同点发出的光线可近似为平行 光,因此将在物镜的焦平面上成一实像 A?B? 。开普勒望远镜的目镜也 是凸透镜,其焦距较短,物方焦平面和物镜的像方焦平面几乎重合。 结果,以 A?B? 为物,在无穷远处得到虚像 A??B?? 。而伽利略望远镜的目 镜则是凹透镜,当它的物方焦平面(在右侧)与物镜的像方焦平面重 合时,实像 A?B? 却成了虚物,经凹透镜折射成像 A??B?? 于无穷远处。 由图中看出伽利略望远镜观察到的像是正立的, 可用于观察地面 物体, 而开普勒望远镜观察到的像是倒立的, 只适合作为天文望远镜。 从图中的几何关系还可看出两种望远镜的视角放大率均为:
??
f1 f2

还有一类望远镜的物镜是凹面镜,称为反射式望远镜。大型的天 文望远镜都是反射式望远镜。 例题 例 1、如图 1-5-16。AB 为一线状物体, A B 为此物经透镜所成的
1 1

像。试用作图法确定此镜的位置和焦距,写出作图步骤。 分析: 像 A1 B1 是倒像,所以
B
图 1-5-16

A

B1 A1

透镜应是凸透镜。物 AB 和像 A1 B1 不平行, 所以物相对于透镜的主轴 是斜放的,沿物体 AB 和其像 A1 B1 所引出的延长线的交点必在过光 心且垂直于主轴的平面上, 这条特

C
A

D
O

B1

N

M
B

F?

F
A1

E
图 1-5-16

殊光线是解答本题的关键光线。 解: 作 AA1 和 BB1 的连线,两条连线的交点 O 就是凸透镜光心的

位置。作 AB 和 A1 B1 的延长线交于 C 点,C 点必定落在透镜上。由 C、O 两点可画出透镜的位置,过 O 点且与 CO 垂直的连线 MN 就是透镜的 主光轴, 如图 1-5-17 所示。 过 A 点作平行于主光轴的直线交透镜于 D 点, 连接 DA1 , 该连线与主光轴的交点 F 就是透镜的右焦点位置。 过 A1 作平行于主光轴的直线交透镜于 E 点,连线 EA 与主光轴的交点 F ? 就 是透镜左焦点的位置所在。 点评 用特 殊光线来作图是解决这一类作图题的关键。 例 2、如图 1-5-18,MN 是凸透镜主光轴,O 为光心,F 为焦 点,图中所画两条光线为点光源 S 经凸透镜折射的两条光线。用作图 法确定光源 S 与像点 S ? 的位置。 分析: 经凸透镜折射后的两条出射光线它们
M
O N

熟练掌握凸透镜、凹透镜的成像特点和规律,并能灵活运

看上去是由像点发出来的, 所以两条出射光线的反 向延长线的交点就是像点 S ? 的所在位置。 由于物点 发出的过光心的光线不改变方向, 由此可以确定物 点 S 落在 S ?O 直线上, S ? 与凸透镜右焦点 F 的连线 交凸透镜于 P 点, 由于物点发出的平行于主光轴的 光线经凸透镜折射后过 F 焦点, 所以过 P 点作与主

F

F

图 1-5-18

S?

S
O

M

F

F

N

图 1-5-19

光轴 MN 的平行线与 S ?O 相交处就是物点 S 所在位

置。如图 1-5-19 所示。 解: 反向延长两条出射光线, 它们的交点就是像点 S ? , 分别作 S ?

和 O 的连线,S ? 和 F 的连线且与凸透镜交于 P, 过 P 点作与 MN 的平行 线 PS 与 S ?O 交于 S,S 就是物点所在位置。 点评 正确理解像的物理意义,物与像之间的关系,才能顺利解

答这类作图题。 例 3、在斯涅耳的档案中有一张光学图(见 1-5-20) ,由于墨水 褪色只留下三个点;一个薄透镜的焦点 F,光源 S 和透镜上的一点 L。 此外还留下一部分从光源 S 画到其像 S ? 的直线 a。从正文中知道 S 点 比 S ? 点更靠近透镜, 有可能恢复这张图吗?如果 可能,把它画出来,并确定图中透镜的焦距。 解: 1、令 O 为透镜的光学中心;
S S

a
F L
图 1-5-20

2、F 和 O 点应位于垂直于透镜的光轴上, 因此 ?FOL 是直角; 3、连接光源及其像的直线总是通过透镜的 光学中心; 4、连接 F,L 点并以线段 FL 的中点 C 为圆 心,画一通过 F 及 L 点的圆;

a
2F 2F

n2

n1
O2

F C

O1 L

图 1-5-21

5、由于一个圆的直径所对着的圆周角总是直角,可以判定 O 点 位于圆和直线 a 的交点上; 6、从圆中找到 O 点的两个可能的位置( O1 和 O2 ) ; 7、恢复出两种可能的示意图,如图 1-5-21 所示;

8、由于光源 S 比其像 S ? 更靠近透镜,可以断定只有透镜 n1 符合 题意。 实际上, 对透镜 n1 可以看到 S 到 n1 的距离大于二倍焦距, 因此 S ? 到 n1 的距离小于二倍焦距。 例 4 、焦距 均为 f 的二凸透镜 L1 、
L2 与两个圆形平面反 M 2 放置如图 射镜 M 1 、
f 2

M1

L1

L2

M2 F2?
f
f 2

A
F1
f f

F1?
f

O
f

F2
f

1-5-22。 二透镜共轴,

图 1-5-22

透镜的主轴与二平面镜垂直,并通过二平面镜的中心,四镜的直径相 同,在主轴上有一点光源 O。 1、画出由光源向右的一条光线 OA(如图 1-5-22 所示)在此光学 系统中的光路。 2、分别说出由光源向右发出的光线和向左发出的光线各在哪些 位置 (O 点除外) 形成光源 O 的 能看到的像, 哪 些是实像?哪 些是虚像。
f 2

M1
P

L1

L2

M2 F2?
f 2

A
F1
F1?

O

F2

Q

图 1-5-23

3、现在用不透明板把 L1 和 L2 的下半部(包括透镜中心)都遮住, 说出这些像有什么变化。

解: 1、光线 OA 的第一次往返光路如图 1-5-23 所示。当光线由

图中左方返回经 O 点后,将继续向右下方进行,作第二次往返。第二 次往返的光路在图中未画出,可按图中光路对称于主轴画出。以后, 光线重复以上两种往返光路。 2、向右发出的光线:F2? 处成实像,右方无限远处成虚像;F1
f 处成实像;P 处( M 1 左方 2 处主轴上)成虚像。

向左发出的光线: F1 处成实像;左方无限远处成虚像; F2? 处成实
f M 像;Q 处( 2 右方 2 处主轴上)成虚像。

3、向右发出的光线只在 F2? 处成实像。向左发出的光线只在 F1 处 成实像。两像均比未遮住时暗。 例 5、一平凸透镜焦 距为 f,其平面上镀了银, 现在其凸面一侧距它 2f 处,垂直于主轴放置一高 为 H 的物,其下端在透镜 的主轴上(图 1-5-24) 。 (1)用作图法画出物经镀银透镜所成的像,并标明该像是虚、 是实。 (2)用计算法求出此像的位置和大小。 分析 : 这道题实质
P H LM Q F A P S T 图 1-5-25
/

H F 2f F/

图 1-5-24

是一个凸透镜与一紧密接 合的平面镜的组合成像问
A/

S/ F/

? ?

O

题。虽然我们画不出光线经透镜折射后射向平面镜的光路,但光路仍 然遵守凸透镜与平面镜成像规律,这是我们在具体分析光路时必须牢 牢抓住的一点。成像的计算也是遵守凸透镜与平面镜的成像计算方法 的。 解: (1)用作图法求得物 AP 的像 A?P? 及所用各条光线的光路

如图 1-5-25 所示。 说明:平凸透镜平面上镀银后构成一个由会聚透镜 L 和与它
AOF ? 密接的平面镜 M 组合 LM, 如图 1-5-25 所示。 图中 O 为 L 的光心,

为主轴,F 和 F ? 为 L 的两个焦点,AP 为物。作图时利用了下列三条特 征光线: ①由 P 射向 O 的入射光线,它通过 O 后方向不变,沿原方向射向 平面镜 M,然后被 M 反射,反射光线与主光轴的夹角等于入射角,均 为α 。反射线射入透镜时通过光心 O,故由透镜射出时方向与上述反 射线相同,即图中的 OP ? 。 ②由 P 发出且通过 L 左方焦点 F 的入射光线 PFR,它经过 L 折射 后的出射线与主轴平行,垂直射向平面镜 M,然后被 M 反射,反射光 线平行于 L 的主轴,并向左射入 L,经 L 折射后的出射线通过焦点 F, 即为图个中 RFP。 ③由 P 发出的平行于主轴的入射光线 PQ, 它经过 L 折射后的出射 线将射向 L 的焦点 F ? ,即沿图中的 QF ? 方向射向平面镜,然后被 M 反 射,反射线指向与 F ? 对称的 F 点,即沿 QF 方向。此反射线经 L 折射 后的出射线可用下法画出:通过 O 作平行于 QF 辅助线 S ?OS , S ?OS 通

过光心,其方向保持不变,与焦面相交于 T 点。由于入射平行光线经 透镜后相交于焦面上的同一点,故 QF 经 L 折射后的出射线也通过 T 点,图中的 QT 即为 QF 经 L 折射后的出射光线。 上列三条出射光线的交点 P? 即为 LM 组合所成的 P 点的像,对应 的 A? 即 A 的像点。由图可判明,像 A?P? 是倒立实像,只要采取此三条 光线中任意两条即可得 A?P? ,即为正确的答案。 (2)按陆续成像计算物 AP 经 LM 组合所成像的位置、大小。 物 AP 经透镜 L 成的像为第一像,取 u1 ? 2 f ,由成像公式可得像 距 ?1 ? 2 f ,即像在平面镜后距离 2f 处,像的大小 H ? 与原物相同,
H? ? H 。

第一像作为物经反射镜 M 成的像为第二像。 第一像在反射镜 M 后 2f 处,对 M 来说是虚物,成实像于 M 前 2f 处。像的大小 H ?? 也与原物 相同, H ?? ? H ? ? H 。 第二像作为物,再经透镜 L 而成的像为第三像。这是因为光线由

L 右方入射。 且物 (第二像) 位于 L 左方, 故为虚物, 取物距 u3 ? ?2 f ,
1 1 1 ? ? 由透镜公式 u 3 ? 3 f 可得像距

? ?
3

fu 3 ?0 u3 ? f

上述结果表明,第三像,即本题所求的像的位置在透镜左方距离
H ??? ? 3 1 2 ? ? f 3 处,像的大小 H ??? 可由 H ?? u 3 3 求得,即
H ??? ? 1 1 H ?? ? H 3 3

1 像高为物高的 3 。

例 6、如图 1-5-26 所示,凸透镜焦距 f=15cm,OC=25cm,以 C 为 圆心、r=5cm 为半径的发光圆环与主轴共面。试求出该圆环通过透镜 折射后所成的像。 分析 : 先考虑发光圆环上任
C F O F

意一点 P 经透镜所成之像,当 P 点 绕圆环一周时,对应的像点的集合 就构成整个发光圆环通过透镜所成

图 1-5-26

的像。因此可用解析几何的方法讨论本题。 解: 如图 1-5-27 所示, 以 O 点为直角坐标系原点建立坐标系 xOy

和 x?Oy ? 。考虑发光圆环上任一点 P(x,y) ,则有
( x ? 25) 2 ? y 2 ? 5 2



发光点 P(x,y)的 像为 P?( x?, y ?) , 根据透镜成 像公式及放大率关系可有
1 1 1 ? ? x x? f y ? x? ? y x
x C y,yˊ P F O F xˊ Pˊ

② ③

图 1-5-27

联立②、③式解得
x? 15 x ? x ? ? 15 15 y ? x ? ? 15

④ ⑤

y?

将④、⑤式代入①式中并整理得
( x ? ? 45) 2 y?2 ? ?1 15 2 (5 3 ) 2



⑥式即为所需求的圆环之像。这是一个对称中心位于光心 45cm 处,以主光轴为长轴的椭圆。 讨论 如果把发光圆环用一球壳取代,则根据对称性,球壳的像

是以圆环的像绕主轴旋转一周行成的一椭圆。 点评 曲线形线状物通过透镜所成的像也是一定曲线状, 至于是

什么样的曲线,要视具体情况而定。例如本题中的发光圆环所成的像 变为一椭圆环就是一例。本题的关键是要建立恰当的物方和像方坐标 系来球解问题。 例 7、求厚透镜对两个不同波长有同一焦距的条件。并且不同类 型的透镜,讨论可行性。 解: 我们必须知道厚透镜的性质。厚透镜由下述数据表征;球

形表面的半径 r1 和 r2 ,厚度 d 和折射 n(图 1-5-28) ,焦距 f=BF 由下 式给出
?1 1 1 ? n ?1? 1 ? ? (n ? 1) ? ? ? d ? ? ? f ? n ? r1 r2 ? ? r1 r2

焦距是从主点 B 算起的。B 离表面的 距离为
BA ? h ? r2 d n(r1 ? r2 ) ? d (n ? 1)

r1

B d

A

r2 f

F

图 1-5-28

上述公式对任意厚度的厚透镜 都成立,但只对近轴光线才给满意结果,因为是在一定的近似下得到

的。 光被透镜色散。透镜对波长 ? 0 的折射率是 n a ,对波长 ? 的折射率
b

是 n 。按折射率 n 的幂次整理焦距公式,得
b

f (r1 ? r2 ? d )n 2 ? [2 fd ? f (r1 ? r2 ) ? r1r2 ]n ? fd ? 0

这是一个二次方程。给定一个 f 值,应有两个 n 值,因此,我们的问 题可以解决。 先后以 n a 和 nb 代入方程,并令其相等
?1 1 na ? 1 ? (na ? 1)? ?r ? r ?d?n rr ? ? 2 a 1 2 ? ? 1 ?1 1 nb ? 1 ? ? (nb ? 1)? ?r ? r ?d?n rr ? ? 2 b 1 2 ? ? 1

整理后得到
? 1 r1 ? r2 ? d ? ?1 ? n n a b ? ? ? ? ?

如果半径 r1 , r2 与厚度 d 满足这一条件,则对两个不同的波长,即 对两不同的折射率来说, 焦距是相同的。 有趣的是折射率的乘积 n n 在
a b

起作用,而不是色散( nb ? na ) 。因折射率大于 1,于是括号内的数值 小于 1,说明半径之和小于镜厚。这意味着透镜将是相当厚的。 结果讨论:首先,透镜不可以是平凸或平凹的,因为这种透镜有 无限大的半径。其次, r1 和 r2 之一为负的发散透镜是许可的,但不能 是双凹透镜。 如果要求的不是 f 而是(f-h)对两个折射率有相同的值。实现 这一点也是可能的,但却是一个复杂得多的问题。 例 7、照相机镜头 L 前 2.28m 处的物体被清晰地成像在镜头后面

12.0cm 处的最相胶片 P 上,两面平行的玻璃平板插入镜头与胶片之 间,与光轴垂直,位置如图 1-3-29 所示。设照相机镜头可看作一个 简单薄凸透镜,光线为近轴光线。 1、求插入玻璃板后,像的新位置。 2、如果保持镜头、玻璃板、胶片三者间距离 不变,若要求物体仍然清晰地成像于胶片上,则物 体应放在何处? 解: 解法 1
L
0.90cm
z z

P

AzB
8.0cm 12.0cm 图 1-3-29
z

1、 折射率为 n, 厚度为 d 两面平行的玻璃板, 对于会聚在像点 P? 的傍轴光束的折射作用可如下方法求出:如图 1-3-30,取任一指向 P? 点的傍轴光线 C P? ,此光线经平行玻璃板折射 的光路为 CDE P?? ,在平板第一面的入射角 i 与折射角 r 均为小角度, 反向延长 E P?? 交 D 点处的法线于 F,容易看 出,DE P?? P? 为平行四边形,则
P?P?? ? DF ? b / tan? ? b / tan i
d C

i
D

F

r

E

b

P?

P??

平行板厚度 d 为
图 1-3-30

d ? b / tan ?



P?P?? ? d (1 ? tan ? / tan i)

因为 i 与 r 都很小,所以
tan? / tan i ? sin ? / sin i ? 1 / n

故得
? 1? P ?P ?? ? d ?1 ? ? ? n?

以上结果对任何会聚于 P? 点的傍轴光线均成立, 所以向轴上 P? 点 会聚的傍轴光束经平行玻璃板折射后会聚于轴上 P?? 点。在这种情形 下,平行玻璃板的作用是使像点向远离平板方向移动距离 P? P?? ,由题 给数据得
P?P?? ? 0.9 ? (1 ? 1 / 1.5) ? 0.3(cm)

故像成在镜头后面 12.0+0.3=12.3(cm)处。 2、设照像机镜头焦距为 f, 不放玻璃板时有 1/228+1/2=1/f, 可得 f=11.4cm。

插入玻璃板时,若要像仍成在离镜头 12cm 处的胶片上,应改变 物距使不放玻璃板时成像在镜头后面 v 处,即

v=12.0-0.3=11.7(cm)。
设这时物距为 u,则

1/u+1/11.7=1/11.4,
得 u≈4.45m。

即:物体置于镜头前 4.45m 时,插入玻璃板后,仍可在胶片上得到清 晰的像。 解法 2 1、对于玻璃板第一面上的折射,其物距为
AP ? ?8.9cm , n0 ? 1.0 , n ? 1.5
n0 ? 1.0 n ? 1.5

根据公式 可得

AP 1 / AP ? ?n / n0

A

p

p1

(见图 1-5-31)
图 1-5-31

AP 1 ? ? AP ? n / n0 ? (?8.9)( ?1.5 / 1.0) ? 13.35(cm)

对于玻璃板第二面上的折射, (见图 1-3-32) 其物距为
BP 1 ? ?( AP 1 ? AB) ? ?12.45cm
n ? 1.5
n0 ? 1.0

又根据 可得

BP2 / BP 1 ? ? n / n0

B
图 1-5-32

p 2 p1

BP2 ? (?n / n0 ) BP 1 ? (?1.0 / 1.5)( ?12.45) ? 8.3(cm)

故像成在镜头后面的像距为
? ? 3.1 ? 0.9 ? 8.3 ? 12.3(cm)

比原像向后移动△v,即
?? ? 12.3 ? 12 ? 0.3(cm)

2、设照像机镜头焦距为 f,不插入玻璃板时,

1/f=1/228+1/12,


f=11.4cm。

要使放上玻璃板后,像还成在离镜头 12cm 处的胶片上,可采用个光 路可逆性原理从已知像 P2 的位置,求此物体应在的位置。 对于玻璃板第二面上的折射: 已知:像距 BP2 ? 8cm , n ? 1.50 , n0 ? 1.0 ,设与之相应的物为
P1 ,则可得
BP 1 ( ?n / n0 ) ? BP 2 ? ?12 cm

对于玻璃板第一面上的折射: 已知:像距 AP1 ? 12.9cm , n ? 1.5 , n0 ? 1.0 ,设与之相应的物 为 P,则可得

AP ? (?n / n0 ) ? AP 1
? (?1.0 / 1.5) ? 12.9 ? ?8.6(cm)

对于凸透镜,像距为 v=8.6+3.1=11.7(cm) ,则此时物距为

u,则有 1/u+1/11.7=1/11.4, u=4.45m。
即物体应放在照相机镜头前 4.45m 处,才能在胶片上得到清 晰的像。

例 8、有两个焦距分别为 f a 和 f b 的凸透镜。如果把这两个透镜做 适当的配置,则可使一垂直于光轴的小物体在原位置成一等大、倒立 的像,如图 1-5-33 所示。试求出满足 上述 要求的配 置方案 中各透镜 的位 置。

物 L1 L2

分析:

首先,我们应根据题目给
图 1-5-29 L1 v u
O1

出的条件, 分析得出物经透镜 L1 、L2 所 成像的虚、实与大小,从而得出光学 系统的配置关系;然后再运用透镜成 像公式求出光学系统中物、 L1 、 L2 位

d d-v

L2

O2

d+u

置的具体距离与 f a 、 f b 的数量关系。 解: 设光线由左向右,先后经过

图 1-5-31

两个凸透镜而成像于题目所要求的位置。反回去考虑,光线经过第 2

个透镜后将继续向右传播,所以最后成的像必为虚像才能满足题设要 求。由此判定,作为透镜 2 的“物”必在其左侧,物距 u 2 小于透镜 2 的焦距 f 2 ,并且是倒立的。再考虑到透镜 2 的“物”应该是透镜 1 对 给定的傍轴物体所成的像(中间像) ,它只能是给定物的倒立实像, 必然成像在透镜 1 的右侧。 (由于最后的像与原物同样大小,还可以 肯定中间像一定是缩小的。 )以上分析表明,光线系统的配置如图 1-5-28 所示。 根据图上标明的两透镜位置和物距、像距,有
1 1 1 ? ? u ? f1



因最后像为虚像,则
1 1 1 ? ? d ?? d ? u f2



又因物、像大小相等,则
u

?

?

u?d d ??



由③得
??
ud 2u ? d

代入①②并经过化简可得
d ? 2 f1 f 2 ,
u? 2 f1 f2 ? f2 f1

因题图中要求 u ? 0 ,故必须 f 2 ? f1 。由以上分析可知,要取焦距 较小的透镜(即如 f a ? f b ,取透镜 a,反则反之)作透镜 L1 ,放在物 右方距离 u 处,而把焦距较大的透镜作为 L2 透镜放在透镜 L1 右方距离

d 处,就得到题所要求的配置方案。
例 9、焦距为 20cm 的薄凸透镜和焦距为 18cm 的薄凹透镜,应如 何放置,才能使平行光通过组合透镜后成为 1、平行光束;2、会聚光束;3、发散光束; (所有可能的情况均 绘图表示) 。 解: 设凸透镜主焦点为 F1 , F1? ;凹透镜主焦点为 F2 , F2? 。

1、平行光束 (1)凸透镜在前时,d=2cm,d 为两透镜间距离(见图 1-5-34) 。

L1

L2

F′ F (共焦) d 2cm 图 1-5-34 18cm

L1

L2 F2

L2 F1

L1

F′ d 图 1-5-35

F2

图 1-5-36 L1 L2

L1 F2 F1

L2 F2 F′

d 图 1-5-37 F
1 F 2

图 1-5-38

d

LL 图 1-5-39 2 1

(2)凹透镜在前时,d=2cm,根据光路可逆性原理,这相当于 把前面的系统反过来。 2、会聚光束。

(1) (2)

凸透镜在前时,20cm>d>2cm(图 1-5-35) 。 凹透镜在前时 d>2cm(图 1-5-36) 。

3、发散光束 (1)凸透镜在前时,d>2cm(图 1-5-37) (2)凸透镜在前时,20cm>d>2cm(图 1-5-38) 凹透镜在前时,20cm>d>2cm(图 1-5-39)

10、焦距 f 的数值均相同的三个薄透镜 L1 、 L2 与 L3 ,依次为凸 透镜、凹透镜与凸透镜,它们构成一个共轴光学系统,相邻透镜间的 距离均为 d,各透镜的光心分别为 O1 , O2 , O3 ,如图 1-5-40 所示,在透 镜 L1 左方, 位于主光轴上的物点 P, 经过此光学系统最终成像于透镜 L3 右方的 Q 点 分析: 若距离 PO2 ? O2 Q , 则物点 P 与透镜 L1 的距离应为多少? 此题按陆续成像考虑, 一个一
P
O1 L1 L2
L3

个透镜做下去也能得出⑥式的解,但列式 子时容易出错,不如考虑对称性的解法,

Q

d

O2

d

O3

P2

图 1-5-40

有清晰的物理图像,求解主动。 此题的⑦式的解也以用“P 经 L1 成像 O2 ”的思路解出最为简明, 但能这样想必须以“透镜成像时,若物距为零则像距也为零”作为已 知结论才行。 解:(1)该系统对凹透镜 L2 而言是一左右对称的光学系统。依题 意,物点 P 与像点 Q 处于对称的位置上,即对凹透镜 L2 而言,物点及 经它成像后的像点应分居 O2 的两侧,且物距 u 2 与像距? 2 相等。即
u2 ? ? 2


1

代入凹透镜 L2 的物像公式
1 1 1 ? ?? u2 ? 2 f


2

解得

u 2 ? ? 2 ? ?2 f ? 0


3

物距与像距均为负值表明:物点 P 经透镜 L1 成像后,作为凹透镜
L2 的物点 P2 位于它的右侧, 因而是虚物, 经凹透镜 L2 成像于它的左侧,

为 一虚 像, 虚像点 P2 与 虚 像点 Q2 的 凹透 镜 L2 位 于对 称位置 ( 图 1-5-41)
?1 ? 2 f ? d


4

L1

L2

L3

代入凸透镜 L1 的物像公式
1 1 1 ? ?? u1 ?1 f

P
Q2

Q
O1
O2
O3

P2


5

解出
u1 ? f (2 f ? d ) f ?d

图 1-5-41

L1

L2
Q2

L3

P
O1

d

O2

P2

Q

d

O3

图 1-5-42

(2)由②式,凹透镜 L2 的像距可表示为
?2 ? ?
fu 2 ?f ? f u2 ? f 1? u2

当物点 P2 由右向左逐渐趋近于 O2 时, 即物距 u 2 由负值逐渐增大而 趋于零时,像距 ? 2 亦由负值逐渐增大趋于零,即像点 Q2 由左向右亦趋 近于 O2 。即 u 2 ? 0 时,? 2 ? 0 当 u 2 ? 0 时,? 2 ? 0 ,即对凸透镜 L1 而言, 像距?1 ? d ,参见图 1-5-42,代入⑤式
1 1 1 ? ?? u1 d f

解得:
u1 ? fd d? f


7

此结果表明,当物点 P 经过透镜 L1 后恰成像于透镜 L2 的光心 O2 上, 由系统的对称性, 可知经透镜 L3 后, 将成像于对称点 Q。 像距 ? 3 数 值为
?3 ?
fd d? f

由此可知⑥式与⑦式均为所求的解,但对⑦式的结果,透镜间距 d 必须满足条件
d? f


8

这也可以从另一角度来考虑, 当 P 通过 L1 成像正好在 L2 的光心处 时,它经过 O2 的像仍在原处,即 u 2 ? ? 2 ? 0 。这样也可得到上面的结 果。 例 11、一束平行光沿薄平凸透镜的主光轴入射,经透镜折

射后,会聚于透镜后 f=48cm 处,透镜的折射率 n=1.5。若将此透镜 的凸面镀银,物置于平面前 12cm 处,求最后所成像的位置。 分析:平凸透镜的凸面镀银后将成为凹面镜,我们可根据平 凸透镜平行光汇聚的几何关系求出凸球面的曲率半径 R,即求出凹面 镜的焦距, 根据平面折射成像及凹面镜成像的规律可进一步求出最后 所成像的位置。 解:(1)先求凸球面的曲率求径 R。平行于主光轴的光线与 平面垂直,不发生折射,它在球面上发生折射,交主光轴于 F 点,如 图 1-5-43 所示,C 点为球面的球心, CO ? R ,由正弦定理可得
R? f sin r ? R sin(r ? i )


1

i
C

由折射定律知
sin i 1 ? sin r n

i

r r ?i E O
f


2

当 i、r 很小时,sin r ? r ,sin(r ? i) ? r ? i ,sin i ? i 由以上两式得
1? f r n 1 ? ? ? 1? R r ? i n ?1 n ?1
R ? (n ? 1) f

图 1-5-43


3

所以


4

(2)凸面镀银后将成为半径 R 的凹 面镜,如图 1-5-44 所示令 P 表示物所在的位 置,P 点经平面折射成像于 P? ,根据折射定律 可推出
P?O ? n PO

P? P??? P O C P?

12cm 图 1-5-44


5

由于这是一个薄透镜, P? 与凹面镜的距离可认为等于 P ?O , 设反射后成像于 P?? ,则由球面镜成像公式可得
1 1 2 ? ? P?O P?O R


6

因此可解得 P?O ? 36cm ,可知 P? 位于平面的左方,对平面折 射来说,是一个虚物,经平面折射后,成实像于点。
P ???O 1 ? P ??O n
P ???O ? 24(cm)


7


8

最后所成实像在透镜左方 24cm 处。 例 12、在很高的圆柱形容器的上口平放一个焦距为 90mm 的 凸透镜, 在透镜下方中轴线上距透镜 100mm 处平放一个圆面形光源 (如 图 1-5-45) 1、光源产生一个半径为 45mm 的实像,求此实像的位置。 2、若往容器中注水,水面高于光源 10mm, 求此像的位置。 3、继续注水,注满容器但又恰好不碰上透 镜。求此时像的大小。 解:1、设 u,v,f 分别为物距、像距和焦距, 由成像公式
1 1 1 ? ? u ? f
图 1-5-45


? ? uf /(u ? f )

代入 u=100mm,f=90mm,得
? ? 900 mm

又从放大率公式知光源的半径 b 为
b ? ub? / ? ? 5mm

2、注入水后,当水面高于光源 h(mm)时,由于水面的折射 作用,使光源等效于上浮一段距离,等效光源在距水面 h ? 处。设 i,r 分别为入射角和折射角,则 h? ? cot? , h ? cot i (图 1-5-46) ,对近轴光线
h′ i γ

h? / h ? tan i / tan ? ? tan ? / sin ? ? n / n水 ? 3 / 4

h

故原来的物距 u 在注入水后变成等效物 距u
?

图 1-5-46

u ? ? u ? h ? h? ? u ? h / 4

于是像距为
h? ? h ? ? u ? ? u ? f /(u ? ? f ) ? ? u ? ? f / ? u ? ? f ? 4? ? 4 ? ?

本小题中,h=100mm,u=100mm,故得
? ? ? 1170 mm

实像在透镜上方 1170mm 处。 3、当水注满而又恰好不碰上透镜时,仍可用上面的公式, 但此时 h=100mm,
u? ? u ? h ? 75mm 4

等效光源已在焦距之内,此时像的半径为

b? ? b? ? / u ? ? bf /(u ? ? f ) ? ?30 mm

此时所成像是一半径为 30mm 的正立虚像,位于透镜下方。 例 13、有一个由单个凸透镜构成的焦距为 12cm,暗箱的最大伸长 为 20cm 的照相机,要用这个照相机拍摄距镜头 15cm 处的物体,需要 在镜头上附加焦距为多少的一个薄透镜,使暗箱最大伸长时,像能清 晰地呈现在底片上?(假设两个薄透镜紧贴着,其间距离可以忽略不 计) 分析:这是一个组合透镜成像的问题,可以从两个不同角度 来考虑求解。 (1)依照成像先后顺序,物体经前一个透镜成的像视为 后一透镜成像之物,重复运用透镜成像公式来求解; (2)把组合透镜 视为一个透镜整体来处理, 再根据组合透镜的总焦距与各分透镜之间 的关系式来求解。 解法一:将附加薄透镜加在镜头的前面,照相机镜头焦距为 12cm,暗箱最大伸长为 20cm,设它能拍摄的 物体的最近距离为 u。 以 f=12cm,v=20cm 代入透镜成像公 式,可以求得 u。
1 1 1 ? ? u ? f u? f? 12 ? 20 ? ? 30cm u ? f 20 ? 12
A? A?
A B?F ?
O 15cm 30cm
附加薄透镜

B

F?
30cm

(a)
主透镜

B?
F

F B??
O

12cm 30cm (b)


20cm

A??

设附加镜头的焦距为 f ? ,它的作用 是使距镜头 15cm 的物体成像在 30cm 处。
A B



B??

15cm (C) 图 1-5-47

A??

以 u=15cm,v=-30cm 代入透镜成像公式,可以求得 f ? 。
1 1 1 ? ? f? u ? f?? u? 15 ? (?30) ? ? 30(cm) u ? ? 15 ? (?30)

所以 f ? ? 30cm ,是凸透镜,光路图如图 1-5-47 所示。 图 1-5-47(a)表示附加薄透镜的作用是将距镜头 15cm 的 物体在 30cm 处造成的虚像 A?B? 。图 1-5-47(b)表示以 A?B? 为物,经 主透镜成像于镜后 20cm 处底板上成实像 A??B?? 。图 1-5-47(c)表示 附加透镜加在主透镜的前面,距透镜 15cm 的物体 AB,其所发的光线 经附加透镜和主透镜折射后在另一侧 20cm 处得一实像 A??B?? 。 解法二:将附加薄透镜加在镜头后面。 无附加透镜时,物距 u=15cm,焦距 f=12cm,像距为 v。 由 得
1 1 1 ? ? u ? f

??

fu 12 ? 15 ? ? 60cm u ? f 15 ? 12

设附加镜头的焦距为 f ? ,上述像即附加透镜中的虚物,此时物距 为 u? ? ?60cm ,像距为? ? ? 20cm 。 由 得
1 1 1 ? ? u? ? ? f ?
f?? u ?? ? ? 30cm u? ? ? ?

光路图如图 1-5-48 所示。 图 1-5-48(a)表示距主透镜 15cm 的物体,在主透镜另

一侧成一距透镜 60cm 的实像 A?B? 。图 1-5-48(b)表示附加透镜 附于主透镜之后,光线①因通过光心方向不变,由物体射出之光 线,经主透镜折射后其中的光线②再经
主透镜

附加透镜的折射,改变方向为光线③因 而成像于 A??B?? 处。图 1-5-48(c)表示 距透镜 15cm 的物体,经主透镜、附加透

A B

B?

12cm 15cm (a)
2 ○

2 ○ 1 ○

A?

附加薄透镜
B?? F ?

镜折射后成像于另一侧 20cm 处。 解法三:照相机镜头焦距 f=12cm,附加 薄凸透镜焦距为 f ? ,相当于一个焦距为 F 的 凸透镜,且有
1 1 1 ? ? F f f?

F?

1 ○

O?


3

A??
1 ○

(b)


A B



透镜

B??

15cm (c)

A??

因为
u ? 15cm , ? ? 20cm
1 1 1 ? ? u ? F

图 1-5-48

所以

F?

u? 15 ? 20 60 ? ? (cm) u ? ? 15 ? 20 7

把求得的 F 值代入①式 有
1 1 1 ? ? 60 12 f ? 7

则 f ? ? 30(cm) 即为所求附加薄透镜焦距。 点评:透镜与透镜、透镜与平面镜、棱镜、球面镜等一个或

多个光学元件构成一个光学系统的成像问题是一类典型的问题,对于 这类问题,一方面要注意不同的光学元件各自的成像规律,另一方面 要注意成像的先后顺序以及像与物的相对性。即前一光学元件的像视 为后一光学元件之物。 例 14、 长度为 4mm 的物体 AB 由图 1-5-49 所示的光学系统成 像,光学系统由一个直角棱镜、一个会聚透镜和一个发散透镜组成, 各有关参数和几何尺寸均示于图中。求: 1、像的位置; 2、 像的大小, 并作图说明是实 像还是虚像,是正立还是倒立的。 解: 解法 1
图 1-5-49
A 6cm B

f1=-20cm
10cm

f2=-10cm
5cm L1 L2

6cm n=1.5
45?

f1

f2

1、分析和等效处理

根据棱镜玻璃的折射率,棱镜斜面上的全反射临界角为
? c ? arcsin ? 42 ?
1 n

注意到物长为 4mm, 由光路 可估算, 进入棱镜的近轴光线在

6cm 6cm 10cm L1

5cm L2

N=1.5

45?

斜面上的入射角大多在 45 ?左 右,大于临界角,发生全反射,
图 1-5-50

所以对这些光线而言,棱镜斜面可看成是反射镜,本题光路可按反射 镜成像的考虑方法,把光路“拉直” ,如图 4-3-34 的示。 现在,问题转化为正立物体经过一块垂直于光轴、厚度为 6cm 的 平玻璃板及其后的会聚透镜、发散透镜成像的问题。

2、求像的位置 厚平玻璃板将使的近轴光线产生一个向右侧移动一定距离的像, 它成为光学系统后面部分光路的物,故可 称为侧移的物。利用沿光轴的光线和与光 轴成 a 角的光线来讨论就可求出这个移动 的距离。 设轴上物点为 B,由于厚度平玻璃板
B ?
?l

?

?

?

d
B?

d

?

?

D

图 1-5-51

的作用而形成的像点(即侧像的物点)为 B? (图 1-5-51) 。画出厚平 玻璃板对光线的折射,由图可知
?l ? d (cot? )

而 所以

d ? D(tan? ? tan ? )

? tan ? ? ?l ? D?1 ? ? tan? ? ?

当 a 为小角度时
tan ? sin ? 1 ? ? tan? sin ? n

故得
? 1? ?l ? D?1 ? ? ? 2cm ? n?

这也就是物 AB 与它通过厚平玻璃板所成的像之间的距离。 这个像对透镜 L1 来说就是物,而物距
u1 ? [(6 ? 2) ? 6 ? 10]cm ? 20cm

可见,物证好在 的左方焦平面上,像距即为
?1 ? ?

再考虑透镜 L2 ,这是平行光线入射情况
u2 ? ?

所以必成像于这个发散透镜 L2 左侧焦平面上(虚像) 。
? 2 ? f 2 ? ?10cm

整个光路的最后成像位置就是在

的左侧 10cm 处。

3、求像的大小和虚、实、正、倒情况 可用作图法求解, 如图 1-5-52 所示(为了图示清楚,图中把物高加大 了) 。 连接 A?O1 并延长,便得到发自
A? 的光线经 A? 后的平行光线的方向。 过
A?
A??
f2 L1 L2

B?

B ??
f1

C
O1

?
O2

图 1-5-52

L2 的光心 O1 作 A?O1 的平行线, 它与 L1 交

于 C 点,则 A?C 即为从 A? 出发经过 L1 折射又通过 L2 光心的光线。反向 延长 O2 C 与 L2 左侧焦面的交点 A?? 就是 A? 由 L1 经 L2 所成的像点。 令 L2 左 侧焦面与光轴的焦点为 B?? ,A??B?? 就是 A?B? 的像。 这是一个正立的虚像。 由图可得
A??B ?? ? f 2 tan ?
A?B ? ? f1 tan ?

而 A?B? 与 AB 等高,所以像的大小为
A??B ?? ? f2 f1 A?B ? ? 2mm

解法 2

关于物体经棱镜 (折射、 反射、 再折射) 后,所成像的位置及大小可采用视深法处 理。
如图 1-5-53 所示,AB 发出的与 PQ 面近乎垂直的小光束 经 PQ 面折射后成像于 A1 B1 这是视深问题, A1 , B1 与 PQ 面的距离均为 A,B 与 PQ 面的距离的 n 倍,即
A2 B2

A1

B1

A

B

A? B?

P

C1 C2

Q C3

R

图 1-5-53

C1 B1 ? nC1 B

A1 B1 ? AB , (像与物的大不相同)

A1 B1 经 PQ 面的折射成像于 A2 B2 ,大小不变,且
C 2 B2 ? C 2 B1 ? C 2 C1 ? C1 B1 ? PC1 ? nC1 B

A2 B2 经 PQ 面的折射成像于 A?B? ,大小不变,且
C3 B ? ? ? 1 1 C3 B2 ? C3C 2 ? C 2 B2 n n

?

?

1 C1Q ? PC1 ? nC1 B n 1 ? PQ ? C1 B n

?

?

? 6 ? ?? ? 6 ?cm ? 10cm ? 1.5 ?

由此即可求出这个像 A?B? 作为透镜 L1 的物距。其它部分的求解同解法 1。 例 15、 在焦距为 20.00cm 的薄凸透镜的主轴 上离透镜中心 30.00cm 处有一小发光点 S,一个 厚度可以忽略的光楔 C(顶角 a 很小的三棱镜)
图 1-5-54

C

L

M

S

放在发光点与透镜之间,垂直于轴,与透镜的距 离为 2.00cm, 如图 1-5-54 所示, 设光楔的折射率 n=1.5, 楔角 a =0.028

弧度。在透镜另一侧离透镜中心 46.25cm 处放一平面镜 M,其反射面 向着透镜并垂直于主轴。问最后形成的发光点的像相对发光点的位置 在何处(只讨论近轴光线,小角度近似适用。在分析计算过程中应作 出必要的光路图)? 分析:这是一个光具成像问题,厚度可忽略的光楔在成像过程中 的作用相当于一使光线产生偏折的薄平板,平面镜使光线反射后再次 经凸透镜成像,在这一过程中,我们再根据折射定律、透镜成像公式 及有关数学近似进行一系列计算,就可得出最后结果。 解:共有五次成像过程。 (1)光楔使入射光线偏折,其偏向角(出射光线 与入射光线方向的夹角)用 ? 表示,由图 1-5-55 可知
? , sin i2 ? n sin i2 ? , i1 ? ? i2 ? ?? sin i1 ? n sin i1

a
i1 ? ? i2 i2 i1 n

?

对近轴光线, i1 很小,有 i1 ? ni1? ; 因 a 也很小,同样有
? ? ni2 i2

图 1-5-55

故有

? ? i2 ) ? ? (i1 ? i1? ) ? (i2

?
S1?

? ? ? ? (n ? 1)? ? i1 ? i2

S

h l
图 1-5-56

?

代入数值,得
? ? (1.5 ? 1) ? 0.028 rad ? 0.014 rad

因 ? 与入射角大小无关, 各成像光线经光楔后都偏折同样角度 ? 。 又因光楔厚度可忽略,所以作光路图时可画成一使光线产生偏折角 ? 的薄平板,图 1-5-56。

光点 S 经光楔成一虚像点 S1? 。对近轴光线, S1? 在 S 正上方,到 S 的距离为 h,离光楔距离 l ? 28.00cm 。
h ? ?l ? (n ? 1)?l

代入数据,得
h ? 0.39cm
? 的位置可由下式求出 (2) S1? 为透镜 L 的实物,像点 S 2
1 1 1 ? ? u ? f

以 u=30.00cm,f=20.00cm 代入,得
? ? 60.00cm

将 SS1? 视为与光轴垂直的小物,由透镜的放大率公式
M1 ?

?
u
C
S1? h S

L

可求得
? ? M 1h ? 0.78cm h2
? 在光轴下方与光 即像点 S 2
30.00

M F
? h3 ? S3 d 46.25 60.00

? h2 ? S2

轴的距离为 0.78cm,与透镜的 中 心 距 离 为 60.00cm 处 , 图 1-5-57。
图 1-5-57

? ? 在平面镜之后,对平面镜是虚物, (3)S 2 经平面镜成像, 像点 S 3

? 对称于平面镜(图 1-5-57) 与 S2

d ? 13.75cm
? ? h2 ? ? 0.78cm h3 ? 作为透镜的实物, ?? ,S 2 ?? (4)S 3 经透镜折射后再次成像, 设像点 S 2

? 与 L 的距离分别为 和 u ? ,则 及 S3

u? ? 32.50cm ,

?? ?

fu ? ? 52.00cm (u ? f )

?? 在透镜左侧,主轴上方,图 1-5-58。 S2

?? ? M 2 h2 ? ? 1.25cm h2

(5)第二次经透镜折射后成像的光线还要经光楔偏折,再次成
?? 正 下 像 , 像 点 S1?? 在 S 2
C
?? S2 S1??

L

方, 离光楔距离为 50cm, h? 离光轴的距离为(见图 1-5-58) 。

?h h?

2

F
l? 52.00

? S2

图 1-5-58

?h ? ?l ? ? 0.70cm
?? ? ?h ? 0.55cm h? ? h2

像点 S1?? 在光轴上的垂足与 S 的距离为
?s ? l ? ? l ? 22.00cm
即最后的像点在发光点 S 左侧光轴上方,到光轴的距离为 0.55cm,其在光轴上 的垂足到 S 的距离为 22.00cm。


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