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【创新方案】(浙江专版)2015届高考数学一轮复习 第九章 第一节 变化率与导数、导数的计算演练知能检测 文


第一节

变化率与导数、导数的计算

[全盘巩固] 1.函数 y=x cos x 在 x=1 处的导数是( A.0 C.cos 1-sin 1
2 2

)

B.2cos 1-sin 1 D.1
2 2 2

解析:选 B ∵y′=(x cos x)′=(x

)′cos x+x (cos x)′=2x cos x-x sin x, ∴y′|x=1=2cos 1-sin 1. 2.已知 t 为实数,f(x)=(x -4)(x-t)且 f′(-1)=0,则 t 等于( A.0 B.-1 C. 1 2 D.2
2

)

1 2 解析:选 C f′(x)=3x -2tx-4,f′(-1)=3+2t-4=0,t= . 2 3.(2014·丽水模拟)已知 P,Q 为抛物线 x =2y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4, -2,过 P,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点 A,则点 A 的纵坐标为( A.1 解析:选 C B.3 C.-4 D.-8 )
2

由题意得 P(4,8),Q(-2,2).∵y= ,∴y′=x, 2

x2

∴在 P 处的切线方程:y-8=4(x-4),即 y=4x-8.在 Q 处的切线方程:y-2=-2(x +2),即 y=-2x-2.∴A(1,-4). 4.若曲线 y=x +ax+b 在点(0,b)处的切线方程是 x-y+1=0,则( A.a=1,b=1 C.a=1,b=-1 B. a=-1,b=1 D.a=-1,b=-1
2

)

解析:选 A y′=2x+a,因为切线 x-y+1=0 的斜率为 1,所以 2×0+a=1,即 a =1.又(0,b)在直线 x-y+1=0 上,因此 0-b+1=0,即 b=1. 1 5.直线 y= x+b 是曲线 y=ln x(x>0)的一条切线,则实数 b 的值为( 2 A.2 B.ln 2+1 C.ln 2-1 D.ln 2 )

1 1 1 解析:选 C ∵y=ln x 的导数为 y′= ,∴ = ,解得 x=2,∴切点为(2,ln 2).将 x x 2 1 其代入直线 y= x+b 得 b=ln 2-1. 2 6. (2014·杭州模拟)已知 f′(x)是函数 f(x)的导函数, 如果 f′(x)是二次函数, f′(x)

1

的图象开口向上,顶点坐标为(1, 3),那么曲线 y=f(x)上任意一点处的切线的倾斜角 α 的取值范围是( )

? π? A.?0, ? 3? ?
C.?

?π π ? B.? , ? ?3 2? ?π ? D.? ,π ? ?3 ?
2 2

?π ,2π ? 3 ? ?2 ?

解析:选 B 由题意知 f′(x)=a(x-1) + 3(a>0),所以 f′(x) =a(x-1) + 3≥ 3,即 tan α ≥ 3,所以 α ∈?

? π ,π ? . ? ?3 2?

1 7.已知函数 f(x)= x+1,g(x)=aln x,若在 x= 处函数 f(x)与 g(x)的图象的切线 4 平行,则实数 a 的值为________. 1 1 1 ?1? 1 1 ?1? a 解析:由题意可知 f′? ?= x- |x= =g′? ?= ,可得 a= ,经检验,a= 满足题 4 4 4 ?4? 2 2 ?4? 1 4 意. 1 答案: 4 8.已知函数 y=f(x)及其导函数 y=f′(x)的图象如图所示,则曲线 y=f(x)在点 P 处 的切线方程是________.

解析: 根据导数的几何意义及图象可知, 曲线 y=f(x)在点 P 处的切线的斜率 k=f′(2) =1,又过点 P(2,0),所以切线方程为 x-y-2=0. 答案:x-y-2=0 9.(2014·金华模拟)若曲线 f(x)=ax +ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取 值范围是________. 解析:曲线 f(x)=ax +ln x 存在垂直于 y 轴的切线,即 f′(x)=0 有正实数解.又∵
5 5

f′(x)=5ax4+ ,∴方程 5ax4+ =0 有正实数解.∴5ax5=-1 有正实数解.∴a<0. x x
故实数 a 的取值范围是(-∞,0). 答案:(-∞,0) 10.求下列函数的导数. (1)y=(2x +3)(3x-1);
2

1

1

2

(2)y=( x-2) ; (3)y=x-sin cos ; 2 2 (4)设 f(x)=(ax+b)sin x+(cx+d)cos x,试确定常数 a,b,c,d,使得 f′(x)=

2

x

x

xcos x.
解:(1)∵y=(2x +3)(3x-1)=6x -2x +9x-3,∴y′=(6x -2x +9x-3)′=18x -4x+9. 1 1 2 (2)∵y=( x-2) =x-4 x+4,∴y′=x′-(4 x)′+4′=1-4× x- =1-2x 2 2 1 - . 2
2 3 2 3 2 2

x x 1 ?1 (3)∵y=x-sin cos =x- sin x,∴y′=x′-? sin 2 2 2 ?2

x? ?′=1- cos x.

?

1 2

(4)由已知 f′(x)=[(ax+b) si n x+(cx+d)cos x]′=[(ax+b)sin x]′+[(cx+

d)cos x]′=(ax+b)′sin x+(ax+b)(sin x)′+(cx+d)′cos x+(cx+d)(cos x)′
=asin x+(ax+b)cos x+ccos x-(cx+d)sin x=(a-cx-d)sin x+(ax+b+c)cos x.

∵f′(x)=xcos x,∴必须有?

? ?a-d-cx=0, ?ax+b+c=x, ?

a-d=0, ? ?-c=0, 即? a=1, ? ?b+c=0

? a=d=1,b=c=

0. 11.已知函数 f(x)=x +x-16. (1)求曲线 y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程; (2)直线 l 为曲线 y=f(x)的切线,且经过原点,求直线 l 的方程及切点坐标; 1 (3)如果曲线 y=f(x)的某一切线与直线 y=- x+3 垂直,求切点坐标与切线的方程. 4 解:(1)可判定点(2,-6)在曲线 y=f(x)上.∵f′(x)=(x +x-16)′=3x +1, ∴在点(2,-6)处的切线的斜率为 k=f′(2)=13.∴切线的方程为 y=13(x-2)+(- 6), 即 y=13x-32. (2)设切点为(x0,y0), 则直线 l 的斜率为 f′(x0)=3x0+1, ∴直线 l 的方程为 y=(3x0+1)(x-x0)+x0+x0-16, 又∵直线 l 过点(0,0), ∴0=(3x0+1) (-x0)+x0+x0-16,
2 3 2 3 2 3 2 3

3

整理得,x0=-8,∴x0=-2. ∴y0=(-2) +(-2)-16=-26,
3

3

k=3×(-2)2+1=13.
∴直线 l 的方程 为 y=13x,切点坐标为(-2,-26). (3)∵切线与直线 y=- +3 垂直,∴切线的斜率 k=4.设切点的坐标为(x0,y0), 4 则 f′(x0)=3x0+1=4,解得 x0=±1.∴?
2

x

?x0=1, ? ?y0=-14 ?

或?

?x0=-1, ? ?y0=-18. ?

切线方程为 y=4(x-1)-14 或 y=4(x+1)-18.即 y=4x-18 或 y=4x-14. 12.设函数 y=x -2x+2 的图象为 C1,函数 y=-x +ax+b 的图象为 C2,已知过 C1 与
2 2

C2 的一个交点的两切线互相垂直.
(1)求 a,b 之间的关系; (2)求 ab 的最大值. 解:(1)对于 C1:y=x -2x+2,有 y′=2x-2,对于 C2:y=-x +ax+b,有 y′= -2x+a,设 C1 与 C2 的一个交点为(x0,y0),由题意知过交点(x0,y0 )的两条切线互相垂 直.∴(2x0-2)·(-2x0+a)=-1,即 4x0-2(a+2)x0+2a-1=0,①
? ?y0=x0-2x0+2, 又点(x0,y0)在 C1 与 C2 上,故有? 2 ?y0=-x0+ax0+b, ?
2 2 2 2

? 2x0-(a+2)x0+2-b=0.②

2

5 由①②消去 x0,可得 a+b= . 2 5 5 25 ?5 ? ? 5?2 25 (2)由(1)知:b= -a,∴ ab=a? -a?=-?a- ? + .∴当 a= 时,(ab)max= . 2 4 16 ?2 ? ? 4? 16 [冲击名校]
?x +2x+a,x<0, ? (2013·四川高考)已知函数 f(x)=? ?ln x,x>0, ?
2

其中 a 是实数.设 A( x1,

f(x1)),B(x2,f(x2))为该函数图象上的两点,且 x1<x2.
(1)指出函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)的图象在点 A,B 处的切线互相垂直,且 x2<0,证明:x2-x1≥1; (3)若函数 f(x)的图象在点 A,B 处的切线重合,求 a 的取值范围. 解: (1)函数 f(x)的单调递减区间为(-∞, -1), 单调递增区间为[-1,0), (0, +∞). (2)证明:由导数的几何意义可知,点 A 处的切线斜率为 f′(x1),点 B 处的切线斜率为

f′(x2),故当点 A 处的切线与点 B 处的切线垂直时,有 f′(x1)f′(x2)=-1.
当 x<0 时,对函数 f(x)求导,得 f′(x)=2x+2.因为 x1<x2<0,所以(2x1+2)(2x2 1 + 2) = - 1 , 所 以 2x1 + 2 < 0,2x2 + 2 > 0. 因 此 x2 - x1 = [ - (2x1 + 2) + 2x2 + 2
4

2]≥ [- 1 时等号成立 2

x1+

x2+

3 =1.当且仅当-(2x1+2)=2x2+2=1, 即 x1=- 且 x2=- 2

所以,函数 f(x)的图象在点 A,B 处的切线互相垂直时,有 x2-x1≥1. (3)当 x1<x2<0 或 x2>x1>0 时, f′(x1)≠f′(x2), 故 x1<0<x2.当 x1<0 时, 函数 f(x) 的图象在点(x1, f(x1))处的切线方程为 y-(x1+2x1+a)=(2x1+2)(x-x1), 即 y=(2x1+2)x -x1+a. 1 当 x2>0 时,函数 f(x)的图象在点(x2,f(x2))处的切线方程为 y-ln x2= (x-x2),
2 2

x2

1 ? ? =2x1+2, ① x 即 y= ·x+ln x2-1.两切线重合的充要条件是? 2 x2 ? ② ?ln x2-1=-x2 1+a. 1 1 1 1? 1 ?1 ?2 ?2 由①及 x1<0<x2 知,0< <2.由①②得,a=ln x 2+? -1? -1=-ln + ? -2? x2 x2 4?x2 ? ?2x2 ? -1. 1 1 2 1 2 令 t= ,则 0<t<2,且 a= t -t-ln t.设 h(t)= t -t-ln t(0<t<2), x2 4 4 1 1 t- -3 则 h′(t)= t-1- = <0,所以 h(t)(0<t<2)为减函数. 2 t 2t 则 h(t)>h(2)=-ln 2-1,所以 a>-ln 2-1.而当 t∈(0,2)且 t 趋近于 0 时,h(t) 无限增大, 所以 a 的取值范围是(-ln 2-1,+∞).故当函数 f(x)的图象在点 A,B 处的切线重 合时,a 的取值范围是(-ln 2-1,+∞).
2

5


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