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第30届全国中学生物理竞赛复赛模拟试题汇编


2013 年物理竞赛复赛模拟试题-第一套
命题人 蔡子星
一、(20 分)某人在设计房子的时候尽量节省空间,弄了一个立起来是储物架,放下来时床的 家具。他设计得很精巧,使得在放下的过程中,架子是保持水平的,而且人不怎么费劲。下 面我们给出一种设计。

A M D P1

AB 、 CD 、 AD 是 三 根 相 互 铰

接 的 轻 杆 , AB ? CD? 2.0m , AD ? 0.5m 。这样就能保证架子上的东西不会掉下来。但是考虑到

O

B

负重分别加在 D 点和 CD 中点 O 点 P 1 ? 10kg , P 2 ? 20kg ,直接 把床推上放下会比较费力,而且容易砸到人,即使没有砸到人,砸 到花花草草也不好。为了解决这个问题,我们在 AB 杆上距离 A 点 0.5m 处的 M 点连一根原长可以忽略的弹簧到 D 点。这样就可以自

?
P2 C

由的上下推动床而几乎不费力了。 g ? 10N/kg (1) 为了尽量省力,弹簧的经度系数 k 应当为多少? (2) 当床与墙面夹角 ? ? 30? 时,请计算 AD 杆上的受力。

第一题解答:

二、(22 分)天宫一号圆满完成了国内第一次太空授课。在课堂演示中我们看到了如下情景, 一个水球悬浮在空中, 我们可以通过水球构成的透镜看到宇航员倒立的像。 假设水球半径为 r ,折射率为 n 。在计算中我们取傍轴近似(只计算小角度范围的光线成的像)


r

O

l


D

假设物体、水球、实像之间的相对位置如图所示,由于相机没有变焦,因而只能对物体前方 距离为 D 处的物体能够清晰成像。 (1) 随着球心到物体之间距离 l 的变化, 将发现两次能清晰成像的位置 l1 、 求 | l1 ? l2 | , l2 。 以及两个实像大小的比值 (2) D 应当满足什么条件才能观察到上述现象。 第二题解答

三、(23 分)如图所示,一个半径为 r 的匀质薄壁圆筒,质量为 m ,被轴承限制只能绕着其中 心轴旋转。一根长为 l ? 2r 的不可伸长的细绳一端系在圆筒上,另一端连接一个质量 m 的 质点,开始如图静止。沿垂直于绳子的方向给质点大小为 J ? mv0 的冲量。 试计算说明,求当绳子与接触点法线夹角是否能到达 30? ,如果可以求出圆筒相对地面的角 速度,如果不可以说明理由。 y

m
O

m
r
l
x

J

第三题解答:

四、 (25 分)我们想做一个演示电磁感应定律的实验: 造一个大电磁铁, 正上面放一个细铁环, 半径为 R ? 10cm ,横截面为一个半径为 r ? 1mm 的圆,电导率为 ? ? 3.7 ?10 ? m ,
7 ?1 ?1

密度为 ? ? 2.7 ?10 kg ? m ,真空介电常数已知。在铁环的位置磁场大小为 B ? kI ,
3 ?3

k ? 0.2 ?10?2 N ? A?2 ? m?1 ,方向与竖直夹角 ? ? 30? ,假磁铁在圆环内磁场的竖直分量不
变。在磁铁中通入如下的正弦交流电,频率均为 f ? 10kHz (很高) ,振幅大小为 I 0

B

?

?

B
I (t )

I (t )

t

在这种情景下是否可以造成“悬浮”的现象,如果可以,估算出 I 0 的大小,如果不可以说 明理由。 (圆环的自感约为 6 ?10 H ,需要计算说明是否可以忽略) 第四题解答:
?7

五、(22 分)理想的非门可以视为一个受控电压源:当输入端电压大于 U c ? 6V 时,输出端 相当于和地线之间短路;当输入端电压小于 U c 时,输出端相当于和地线之间有一个理想电 压源, 电源电压 U 0 ? 12V 。 等效电路图如图所示。 不同非门中接地点可以视为是同一个点。 我们利用非门、电容和电阻能够做成一个输出方波信号的多谐振荡器。画出下图电路中 VO 2 随着时间的变换关系。

Vi ? 6V

VO ? 12V
VO ? 12V

Vi ? 6V

VO ? 0V

Vi

G1

VO1
R

G2

VO 2

Vi

Vi

VO ? 0V

C
提示:已知如左下图的 RC 电路,从刚接通电路开始电容上电压随时间变化规律为:

U C (t ) ? U 0 (1 ? e

?

t RC

)

UC
C

U C (t ) ? U 0 (1 ? e
R

?

t RC

)

U0

t

第五题解答

六、 (22 分)在真空中有一个体积为 V0 的绝热硬箱子, 内部有压强为 P0 温度为 T0 的理想气体。 摩尔质量为 ? ,定容摩尔比热为 CV ?

3 R 。现在通过一个多孔塞让气体缓缓漏出。 2

(1)当气体漏出一半时候,箱子内温度为多少? (2)假设漏出气体的过程中,压强差做的功全部转换为气体的动能,问气体全部漏出的过 程中箱子一共可以获得多少动量? 提示:理想气体绝热方程为 pV 第六题解答:
CV ? R CV

? 常数 , ? x n dx ?
a

b

1 (b n?1 ? a n ?1 ) n ?1

七、(26 分)在诱导原子核衰变的时候,有会用到 ? ? (读作 muon,中文缪子)代替原子中的 一个电子。 原子核核电荷数为 Z ? 65 。 ? ? 除了质量比电子重 207 倍之外几乎没有别的区别。 电子质量 me ? 0.91?10
?30

kg ,电子电量 e ? ?1.6 ?10?19 C ,普朗克常数 h ? 6.64 ?10?34 Js

(1)我们利用玻尔模型和牛顿力学做一个简单估计, ? ? 的基态和第一激发态之间的能级 差为多少?用电子伏特做单位表示。 (2)计算上一问中,基态 ? ? 的速度为多少?如果考虑相对论效应,会使得基态轨道半径 相对于牛顿力学情景相对变化多少? (3)原子核的质量为 mn ? 2.34 ?10
?25

kg ,如果考虑到原子核质量并非远大于 ? ? 质量,

则玻尔量子化改为体系总角动量(不计自旋)量子化。考虑这个效应,基态能量变化百分比 为多少? 第七题解答:

2013 年物理竞赛复赛模拟试题—第一套参考解答
一、(20 分)某人在设计房子的时候尽量节省空间,弄了一个立起来是储物架,放下来时床的 家具。他设计得很精巧,使得在放下的过程中,架子是保持水平的,而且人不怎么费劲。下 面我们给出一种设计。 A M D P1 , AB 、 CD 、 AD 是 三 根 相 互 铰 接 的 轻 杆 , AB ? CD? 2.0m AD ? 0.5m 。这样就能保证架子上的东西不会掉下来。但是考虑到

O

B

负重分别加在 D 点和 CD 中点 O 点 P 1 ? 10kg , P 2 ? 20kg ,直接 把床推上放下会比较费力,而且容易砸到人,即使没有砸到人,砸 到花花草草也不好。为了解决这个问题,我们在 AB 杆上距离 A 点 0.5m 处的 M 点连一根原长可以忽略的弹簧到 D 点。这样就可以自

?
P2 C

由的上下推动床而几乎不费力了。 g ? 10N/kg (1) 为了尽量省力,弹簧的经度系数 k 应当为多少? (2) 当床与墙面夹角 ? ? 30? 时,请计算 AD 杆上的受力。 【解答】 (1)如果势能处处恒定则无需外力。令 AB ? l ? 2.0m , AD ? AM ? a ? 0.5m 由余弦定理 DM 重力势能
2

? a 2 ? a 2 ? 2a 2 cos ?

(1 分)

l cos ? E p1 ? Pl 1 cos ? ? P 2 2
弹性势能

(2 分)

1 1 2 (2 分) E p 2 ? k DM ? k (2a 2 ? 2a 2 cos ? ) 2 2 l 要求总势能为常数,则有 ( Pl ? ka 2 ) cos ? 为常数,于是 1 ?P 2 2 l P 1 gl ? P 2g 2 ? 1600Nm-1 (5 分) k? a2
注:其它方法只要结果正确,过程无明显错误均给分 (2)由于 AD 是轻杆,且只在两端受力,所以受力沿杆,设为 N 对于 AB 杆,以 B 为支点,由合外力矩等于 0

Nl sin ? ? k DM
?AMD 中由正弦定理

3l sin ?AMD ? 0 4

(4 分)

sin ?AMD sin ? ? AD DM
代入力矩方程有

(2 分)

Nl sin ? ? ka
由此得到

3l sin ? ? 0 4

(4 分) 注:其它方法只要结果正确,过程无明显错误均给分 二、(22 分)天宫一号圆满完成了国内第一次太空授课。在课堂演示中我们看到了如下情景, 一个水球悬浮在空中, 我们可以通过水球构成的透镜看到宇航员倒立的像。 假设水球半径为 r ,折射率为 n 。在计算中我们取傍轴近似(只计算小角度范围的光线成的像)

N ? 600N


r

O

l


D

假设物体、水球、实像之间的相对位置如图所示,由于相机没有变焦,因而只能对物体前方 距离为 D 处的物体能够清晰成像。 (1) 随着球心到物体之间距离 l 的变化, 将发现两次能清晰成像的位置 l1 、 求 | l1 ? l2 | , l2 。 以及两个实像大小的比值 (2) D 应当满足什么条件才能观察到上述现象。 【解答】 解法一: (1) 设第一次成像物距为 u ,像距为 v ' ,设第二次成像物距为 u ' ,像距为 v (物在光心左为正,像在光心右为正) 由单球面成像公式

1 n n ?1 ? ? u v' r n n 1? n ? ? ?r u' v
由平面几何

(1) (2)

(3 分) (3 分)

(3) (4) 将(1) 、 (2)代入(3)消去 u ' 和 v ' 得到

u ' ? v ' ? 2r u ? v ? D ? 2r

(1 分) (1 分)

2uv(n ? 1) ? (u ? v)r(n ? 2) ? 2r 2
再将(4)代入得到

2r 2 ? r (n ? 2)( D ? 2r ) uv ? 2(n ? 1)
于是

l1 ? l2 ? u ? v ? (u ? v )2 ? 4uv ? D 2 ?
按放大率定义

2nDr n ?1

(6 分)

第一次成像放大率为

M1 ? ?

v' vn vv ' ?? ? un u ' uu '

(1 分)

由于光路可逆,第二成就和第一相比就是物象对调,因而第二次成像放大率为:

M 2 ? M1?1
代入 u 、 v 的解,得到两个实像大小比值为

(1 分)

M ? M12 ? (

(n ? 1) D ? nr ? (n ? 1)2 D 2 ? 2(n ? 1)nDr 2 ) nr

(2 分)

(2) 需要使得上式有意义,需要根号内大于 0 于是有

D?

2n r n ?1

(4 分)

解法二: 如图假设小角度入射,如图假设各个角度

?

?
x

?' ?'

?'

?

?'
y

?

由傍轴近似

? ( x ? r) ? ? ' r ; ? ( y ? r) ? ? ' r ;

(2 分)

由平面几何,第一次折射角和第二次入射角相等,均为 ? ' ,因而第一次入射角和第二次折 射角均为 ? 。由三角形外角等于两内角和

? ? ? ?? ' ? ?
?'? ?
n ?? x nr

x y ;? ? ? ? ? ' ? ? ; r r

(2 分)

由折射定律及傍轴近似 (2 分)

在中间的三角形中:

? '? ? ' ? 2? '

(2 分)

代入以上各式,只用 ? 和 x 、 y 表示,整理得到:

x?r y?r x x ?? ? ? 2? ; r r y nr

2 1 1 1 ? ? ?2 ; r x y nr 1 1 x ? y 2(n ? 1) ? ? ? x y xy nr
又 (4 分)

x? y ?D
所以

l ? l ' ? x ? y ? ( x ? y )2 ? 4 xy ? D 2 ?
以下同解法一

2nrD n ?1

(2 分)

三、(23 分)如图所示,一个半径为 r 的匀质薄壁圆筒,质量为 m ,被轴承限制只能绕着其中 心轴旋转。一根长为 l ? 2r 的不可伸长的细绳一端系在圆筒上,另一端连接一个质量 m 的 质点,开始如图静止。沿垂直于绳子的方向给质点大小为 J ? mv0 的冲量。 试计算说明,求当绳子与接触点法线夹角是否能到达 30? ,如果可以求出圆筒相对地面的角 速度,如果不可以说明理由。 y

m
O

m
r
l J
x

【解答】
y

?r
A

(? ? ? )l ?r
m
O

?
x

? B

如图,在任意时刻,令接触点 B 的方向与 x 轴夹角为 ? ,令绳子 AB 方向与 OB 夹角 ? B 相对地面的速度为

vB ? ? r

(1 分)

在以 B 为参照的平动系中(即 B 为原点,且坐标轴方向不变的参照系,想象一下在摩天轮 车厢里面的人) , A 相对 B 的速度

v AB ? (? ? ? )l

(4 分) (1 分)

所以 A 对地面速度为 v B 和 v AB 的矢量和 由能量守恒,其中使用了余弦定理

1 1 1 mv02 ? m(? r )2 ? m[(? r )2 ? (? ? ? )2 l 2 ? 2cos ? (? r )(? ? ? )l ] 2 2 2
由角动量守恒,其中使用了矢量叉乘定义

(6 分)

mv0 (r ? l ) ? m? r 2 ? m[(? r )r ? (? ? ? )l 2 ? (? r )l cos? ? (? ? ? )lr cos? ]
为了计算方便,做无量纲化: x ?

(6 分)

?r
v0

,y?

?l
v0

得到

1 ? (6 ? 4cos? ) x 2 ? (8 ? 4cos? ) xy ? 4 y 2
3 ? (6 ? 4cos? ) x ? (4 ? 2cos ? ) y
代入 cos ? ?

3 得到 2

x ? 0.13 ; y ? 0.31
(另一个解 x ? 0.50 , y ? ?0.31 代表相对运动反向时的情景,未给出不扣分) 得到圆筒角速度: ? ? 0.13

v0 r

(5 分)

注 1:这个参照系中绳子与 x 轴转角为 ? ? ? ,因而角速度为 ? ? ? 。若将由结果误写为

v AB ? ? l ,能量守恒和角动量守恒方程只要形式正确不重复扣分,但不给结果分。
注 2:对于题设情景,可以计算绳子拉力,发现一直大于 0,所以绳子不会软。 注 3:保留 cos ? 形式不变,可以得到 ? ? 41? 时, y 只有一个解为 0;即此时相对角速度反 向,也就是说,相对转角最大为 41? 。

四、 (25 分)我们想做一个演示电磁感应定律的实验: 造一个大电磁铁, 正上面放一个细铁环, 半径为 R ? 10cm ,横截面为一个半径为 r ? 1mm 的圆,电导率为 ? ? 3.7 ?10 ? m ,
7 ?1 ?1

密度为 ? ? 2.7 ?10 kg ? m ,真空介电常数已知。在铁环的位置磁场大小为 B ? kI ,
3 ?3

k ? 0.2 ?10?2 N ? A?2 ? m?1 ,方向与竖直夹角 ? ? 30? ,假磁铁在圆环内磁场的竖直分量不
变。在磁铁中通入如下的正弦交流电,频率均为 f ? 10kHz (很高) ,振幅大小为 I 0

B

?

?

B
I (t )

I (t )

t

在这种情景下是否可以造成“悬浮”的现象,如果可以,估算出 I 0 的大小,如果不可以说 明理由。 (圆环的自感约为 6 ?10 H ,需要计算说明是否可以忽略) 【解答】 假设电流为 I ? I 0 cos ?t 则磁通量为
?7

?(t ) ? kI 0? R2 cos? cos ?t
电动势为

(2 分)

? ??

? d ? (t ) ? ?kI 0? R 2 cos? sin ?t ? ?kI 0? R 2 cos? cos(?t ? ) dt 2
(2 分)

(3 分)

圆环电阻为

r0 ?

2? R 2 R ? ? 5.4 ? 10?3 ? ?? r 2 ? r 2
? cos(?t ? ) r0 2

若忽略电感应,则感应电流为

i (t ) ?

?

?

安培力平均值向上为正

F (t ) ? ?i (t ) B(t )sin ? 2? R ? cos(?t ) cos(?t ? ) ? 0 2

?

(3 分)

因而忽略电感导致不可以悬浮,因而不可忽略 (2 分) 利用感抗大小说明不扣分,不说明理由或者理由错误不给分。 保留电感,电路的方程可以写为

? (t ) ? r0i (t ) ? L
令 i (t ) ? i0 cos(?t ?

?

di dt ? ? ) ,代入得到

(3 分)

2

? 0 cos(?t ) ? i0 [cos(?t ?

?
2

? ? )r0 ? ?L sin(?t ? ? ? ? ?)

?
2

? ? )]

? i0 r02 ? ? 2 L2 cos(?t ?

?
2

(2 分)

其中利用辅助角公式 sin ? ? 于是安培力平均值

?L
(? L)2 ? r02

, ? ? 82?

F (t ) ? ?i(t ) B(t )sin ? 2? R
??

?k 2 I 02 cos ? sin ?
r0 2 ? ? 2 L2

2? Rcos(?t ? ) cos(?t ? ? ? ) 2 2

?

?

(2 分)

由于悬浮合外力平均值等于 0(利用积化和差公式)

mg ?

?k 2 I 02? R 2 cos ? sin ?
r0 ? ? L
2 2 2

2? R

sin ? 2

(2 分)

代入数值得到

I 0 ? 1.37A

(4 分)

(作为估算,认为 ? L ? r0 , ? 近似为 90? 得到 I 0 ? 1.35A ,同样给全分)

五、(22 分)理想的非门可以视为一个受控电压源:当输入端电压大于 U c ? 6V 时,输出端 相当于和地线之间短路;当输入端电压小于 U c 时,输出端相当于和地线之间有一个理想电 压源, 电源电压 U 0 ? 12V 。 等效电路图如图所示。 不同非门中接地点可以视为是同一个点。 我们利用非门、电容和电阻能够做成一个输出方波信号的多谐振荡器。画出下图电路中 VO 2 随着时间的变换关系。

Vi ? 6V

VO ? 12V
VO ? 12V

Vi ? 6V

VO ? 0V

Vi

G1

VO1
R

G2

VO 2

Vi

Vi

VO ? 0V

C
提示:已知如左下图的 RC 电路,从刚接通电路开始电容上电压随时间变化规律为:

U C (t ) ? U 0 (1 ? e

?

t RC

)

UC
C

U C (t ) ? U 0 (1 ? e
R

?

t RC

)

U0

t

【解答】 等效电路如图所示,可见电流只在 VO1 - R - C - VO 2 回路中流动。

Vi
V

VO1

VO 2
V

R
C
假设系统存在稳态,则电容电量为常数,因而电阻上电流为 0,则 G1 输入电压等于输出电 压,这显然矛盾,因而系统不存在稳态。 不失一般性,电容初态电压为 0,系统初态 VO1 ? 0V ,因而 VO1 ? 12V 电路沿逆时针给电容充电(电阻 I 上电流从下向上为正,电容电量 Q 右边记为正) 当 Q ? Q0 ? U cC 时候,门反向,进入 I I 门反向,此时 VO1 ? 12V , VO 2 ? 0V ,由于电容上电量不突变,所以

Vi ? 0V ?

Q0 ? ?6V C

因而电路沿顺时针给电容反向充电,新充入电量为 ?Q

12V ? 0V ? ? IR ?

?Q Q0 ? ?Q ;即 18V ? ? IR ? C C

Vi 不断上升,到达 U c ? 6V 时, Q1 ? Q0 ? ?Q ? ?U cC 时,门反向,进入 II
类比题目中的 RC 电路有,此过程历时 tI ? RC ln 3 II 门再次反向,此时 VO1 ? 0V , VO 2 ? 12V ,由于电容上电量不突变,所以

Vi ? 12V ?

Q1 ? 18V C

因而电路沿逆时针给电容正向充电,新冲入电量为 ?Q '

0V ? 12V= ? IR ?

Q1 ? ?Q ' ?Q ' ;即 18V=IR ? C C

Vi 不断上升,到达 U c ? 6V 时, Q0 ? Q1 ? ?Q ' ? U cC 时,门反向,进入 I
类比题目中的 RC 电路有,此过程历时 tII ? RC ln 3 ,重复循环 因此得到方波信号周期等于 T ? 2RC ln3 (只需得到此结果,过程无明显错误即给全分)

六、 (22 分)在真空中有一个体积为 V0 的绝热硬箱子, 内部有压强为 P0 温度为 T0 的理想气体。

摩尔质量为 ? ,定容摩尔比热为 CV ?

3 R 。现在通过一个多孔塞让气体缓缓漏出。 2

(1)当气体漏出一半时候,箱子内温度为多少? (2)假设漏出气体的过程中,压强差做的功全部转换为气体的动能,问气体全部漏出的过 程中箱子一共可以获得多少动量? 提示:理想气体绝热方程为 pV 【解答】 对于还没有喷出的气体而言,它经历了准静态绝热膨胀过程。 ? ?
CV ? R CV

? 常数 , ? x n dx ?
a

b

1 (b n?1 ? a n ?1 ) n ?1
CV ? R 5 ? CV 3

初态 ( P0 ,

V0 ) ,末态体积为 V0 ,由绝热方程: 2 V (4 分) P0 ( 0 )? ? PV0? 2
2 ? PV0 ? T0 21?? ? T0 2 3 V P0 0 2

代入理想气体状态方程,末态温度

T ? T0

(4 分)

(2)假设经过一小段时间过程,有 ?dn 摩尔的气体被推出。 这时内部的气体状态为 ( P,V , T ) 对外做功

dW ? PdV ? P

?dn ? RT ? ?dnRT P

只需求出 T ? T (n) ,就能计算出做功了。 显然,我们知道绝热方程可以改写:

PV ? ? Const ,代入理想气体状态方程: V ? ?1T 为常数
我们可以把这里面初始的 V 看成剩余的 n 的那部分最开始占有的体积

(

n V0 )? ?1T0 ? (V0 )? ?1T n0 n ? ?1 ) n0
(4 分)

得到 T (n ) ? T0 (

对外做功 dW ? ?

RT0n0? ?1

?

d ( n? )

(4 分)

在箱子系中,喷气体动量守恒,因而箱子获得动量 dp 大小等于气体动量。由动能定理

dW ?

(dp )2 2dm
RT0 (n0 ) ?? ?1 )d ( n? ) ? 2 ? RT0 n? ?1 ( ?dn) n0? ?1
(4 分)

dp ? 2? ( ?dn)( ?
代入积分得到

?

P ? 1.06

? P0 2V0 2
RT0

(2 分)

注 1:如果最后系数计算的是 0.64,且积分步骤是 1 积分到 0.5,那么仅扣 1 分). 注 2:如果在地面系使用动能定理,将导致气体获得的动能在不同阶段不同,计算很难。 七、(26 分)在诱导原子核衰变的时候,有会用到 ? (读作 muon,中文缪子)代替原子中的
?

一个电子。 原子核核电荷数为 Z ? 65 。 ? 除了质量比电子重 207 倍之外几乎没有别的区别。
?

电子质量 me ? 0.91?10

?30

kg ,电子电量 e ? ?1.6 ?10?19 C ,普朗克常数 h ? 6.64 ?10?34 Js
?

(1)我们利用玻尔模型和牛顿力学做一个简单估计, ? 的基态和第一激发态之间的能级 差为多少?用电子伏特做单位表示。 (2)计算上一问中,基态 ? 的速度为多少?如果考虑相对论效应,会使得基态轨道半径
?

相对于牛顿力学情景相对变化多少? (3)原子核的质量为 mn ? 2.34 ?10
?25

kg ,如果考虑到原子核质量并非远大于 ? ? 质量,

则玻尔量子化改为体系总角动量(不计自旋)量子化。考虑这个效应,基态能量变化百分比 为多少? 【解答】 (1) 由玻尔模型

mvr ? n
由向心力方程

h ?n 2?

(3 分)

m

v 2 Kq 2 Z ? 2 r r

(3 分)

联立得到

r?
总能量

n2 2 Kq 2 Zm

En ? ?

Kq2 Z K 2 q4 Z 2m ?? 2r 2n 2 2

n ? 1 基态与 n ? 2 第二激发态能量差代入即可

?E ? 8.87 ? 106 eV
(2) 考虑相对论相应,质量变为 m ' ?

(3 分)

m 1? v2 c2

;令 ? ?

1 1? v2 c2

上述方程变为

? mv ' r ' ? n
?m
于是

(2 分)

v '2 Kq 2 Z ? r' r '2

(2 分)

n2 2 r' ? Kq 2 Zm? v' ? n Kq2 Z ? mr ' ? n
2 2

于是 r ' ? r 1 ? v / c ? 0.89r (3) 由于质心不动 角动量

(3 分)

L ? L? ? Ln ? m? ( r ? mn m? m? ? mn r ??n
2

m? mn )2 ? ? mn ( r )2 ? m? ? mn m? ? mn

(4 分)

向心加速度

mn Kq2 Z 2 m? ( r )? ? 2 m? ? mn r
由此可见,只需把 m 换为 代入数据发现相差 0.08%

(4 分)

mn m? m? ? mn

即可 (2 分)

2013 年物理竞赛复赛模拟试题-第二套
命题人蔡子星
题一、 (20 分)经过测试,发现用如左图的四个力,恰好能把一根长为 1.00m 的轻质木棒撇 断。用四根这样的木棒对称的构成右图的架子,支撑在一个圆形碗口(俯视图) ,把一个重 物放挂在 P 点,求重物的最大质量。

0m 20N 0.25m 0.75m 0m 20N 20N 1.00m 20N

0.50m 0.75m P

1.00m

题二、 (22 分)如图所示,在一个光滑的底面积为 S ? 1dm 高为 H ? 0.2m 的固定圆柱形容
2

器内,有一个可以自由上下滑动活塞(活塞下方于大气联通) ,活塞质量为 m0 ? 1.0kg ,活 塞下方用一根劲度系数为 k ? 200N/m ,原长为 l0 ? 0.3m 的轻质弹簧连接到容器底。初始 时刻活塞位于距离底面 h ? 0.1m 高的位置,上方盛满方有密度为 ? ? 1 ? 103 kg/m3 的水, 用手拉住保持活塞静止然后释放。 假设水一旦满出容器就立刻流走, 不再对下方的活塞和水 有作用力。 (1) 求释放活塞上升最大位移 (2) 求从释放到活塞运动到最高点所需时间。

题三、 (20 分)由于潮汐和地球自转的影响,地球上的海水被拉成椭球状,且长轴方向与地 月连线方向略有偏差, 这样地球对月亮的引力的合力会在月亮绕地球运动方向有微小的分量, 从而把月球加速,推动月亮远离地球,同时海水对地球的摩擦使得地球自转变慢,直到月球 公转周期和地球自转周期相同。 (事实恐龙看到的月亮比我们看到的大多了…)已知月球质 量 为 mM ? 7.35 ? 10 kg , 地 球 质 量 为 mE ? 5.9 ? 10 kg , 地 球 到 月 球 距 离 为
22 24

2 r ? 3.8 ? 108 m ,地球半径为 R ? 6.4 ? 106 m 。地球转动惯量 I ? mE R 2 ,月球半径可以 5
忽略, g ? 9.8N/kg 。试求最终月亮会离地球多远?

题四、 (24 分)如图所示,在圆形区域中(足够大) ,有垂直于直面向内随时间均匀增加的 磁场

?B ? k 。在离圆心 O 距离为 d 的位置有一个钉子,钉住了一根长度为 l 均匀的质量为 ?t

m 的绝缘棒的中心 P ,棒子能在平面内自由无摩擦自由转动。棒子上半截均匀带正电,电
量为 Q ,下半截均匀带负电,电量为 ?Q 。初始时刻棒子垂直于 OP 。 (1) 计算在 P 点处钉子受到的压力。 (2) 若棒子受到微小扰动,在平面内来回转动起来(速度很小,洛仑兹力可以忽略) ,求 证此运动是简谐振动,并计算周期。 (棒子绕质心的转动惯量为 I ?

1 2 ml ) 12

y B
O P

l

x

题五、 (16 分)等离子体控制是我们通向可控核聚变的重要技术。我们把某等离子体假设成 为数密度分别为 n0 和 2n0 的正负离子构成,正负电荷电量分别为 ?2q 和 ? q 。正电荷以速度

v 运动时受阻力 f ? ?k? v ,负电荷以速度 v 运动时受阻力 f ? ?k? v 。把等离子体填充进入
一个变长为 l 的绝热绝缘的立方体内,并在上下面放置各放置一块金属板块。将上下极板之 间接入 U 0 的直流电源之后,求电流 I 。 (以下不是考题:将上下极板之间接入 U 0 cos ?t 的 交流电之后,求电流 I (t ) )

题六、 (20 分)如图所示是传统风箱的结构,忽略活塞的摩擦,假设气壁导热良好,环境温 度恒定为 T0 ,向左推动的到左室体积为 V0 ,右气室体积为 2V0 时候开始方向向右推动,向 右推动至右气室体积为 V0 时,反向向左推动。环境气压为 P0 ,当压差为 ?P 的时候单向阀 门才会打开,当气体流出时保持有 ?P 压强差(相当于阻力) 。气体定体摩尔热容量为 CV 。 在活塞反向运动前,左右两气室均达到稳定压强。 (1) 求一个周期中一共从出气口鼓出的气体的摩尔数。 (2) 求一个周期中外力对活塞做功为多少? 提示:

?
a

b

dx b ? ln x a

题七、 (18 分)一个质量为 m 的宇宙飞船在太阳风中行驶,风速为 3u / 2 。初始时刻风速 和飞船速度相对惯性系 S 的大小和方向如图所示。当飞船与太阳风相对速度小于 3u 的时 候,飞船发动机推力恒定为 F ,否则发动机推力恒定为 2 F 。分船可以向任意方向加速, 要求飞船达到末状态为:相对于太阳风,速度为 2u ,方向垂直于风速向上。 (1) 以风速为参照系, v x 和 v y 为坐标轴(原风速方向沿 v x 方向) ,画出飞船初态、末态 速度的位置,标记出飞船受力为 F 的范围。 (2) 求到达末态所需要的最小时间,并在上图中标记历经的状态。

u/2

3u / 2

? ? 90?

题八、 (20 分)在小说《三体》中,人们提出一个“阶梯计划” ,用于把 m0 ? 1kg 的物体加 速到 0.9 倍光速,送往另一个星球以期跟地外文明交流。其实现的方案是:物体自带面积为

S ? 1000m2 的镜子, 在正对镜面方向放置一颗核弹, 点爆核弹, 光子将在镜面上全部反射,
从而推动镜面前进。然而一颗核弹不够,于是将一系列核弹在太阳系中排成一条直线,物体 沿着直线被推出,每经过一个核弹附近,就将核弹点爆,于是物体被不断加速。下面我们估 算这样操作的可行性。我们使用“大伊万”5000 万当量的核弹,假设核弹爆炸前静止,爆 (以静止的核弹为参照系, 炸瞬间能在 100m 附近的镜面产生 J ? 1.6 ?10 Jm s 的能流密度
12 -2 ?1

假设能流全部为光子,并垂直于镜面入射) ,持续时间为 t0 ? 1.0s ,此后的爆炸产生的辐射 可以忽略。 (1) 当镜面速度为 v 时,以镜面为参照系,光的能量密度 J ' 为多少? 提示:多普勒效应表明,以速度 v 远离光源时候,看到的频率和原频率比为

c?v c?v

(2) 当镜面速度为 v 时,一次核弹爆炸后镜面获得的动量为多少?(假设一次爆炸之后 v / c 的变化量很小) (以上答案用字母表示。以下不是考题:试估算需要多少颗核弹才能加速到 0.9c?)

2013 年物理竞赛复赛模拟试题—第二套参考解答
题一、 (20 分)经过测试,发现用如左图的四个力,恰好能把一根长为 1.00m 的轻质木棒撇 断。用四根这样的木棒对称的构成右图的架子,支撑在一个圆形碗口(俯视图) ,把一个重 物放挂在 P 点,求重物的最大质量。 【解答】 木杆之所以会断,是因为杆上部挤压,下部拉伸,所提供的力矩超过极限。 如左图可知,此种木杆所能提供最大力矩:
M max ? 20N ? 0.25m ? 5N ? m

(3 分)
杆② 6 杆① 1 2 3

2 、○ 3 、○ 4 进行受力分析 对右图各点进行标号,对杆○

易得 N3 ? 2 N4 ? 4 N5 ? 8N1 对杆 1 进行受力分析,由力矩平衡
N1 ? 0.5m ? mg ? 0.75m ? N3 ? 1m

(2 分)

(2 分) (2 分)

5

4 杆③

得到

8 mg , N3 ? mg N1 ? 10 10

杆④

由受力平衡 得到
N6 ?

N6 ? N3 ? mg ? N1
3 mg 10

(2 分)

分析杆上提供力矩规律,发现极值只可能出现在受力点处,分析各受力点提供力矩大小,找 到最大值:
M2 ? 8 mg ? 0.25m ? mg ? 0.2m 10 4 mg ? 0.5m ? mg ? 0.2m 10

同时 M 3 ?

(7 分,两式只给出一个扣 3 分)

此值等于 M max 时,杆断。故 得
mg ? 0.2m ? 5N ? m m ? 2.5kg

(2 分)

题二、 (22 分)如图所示,在一个光滑的底面积为 S ? 1dm 高为 H ? 0.2m 的固定圆柱形容
2

器内,有一个可以自由上下滑动活塞(活塞下方于大气联通) ,活塞质量为 m0 ? 1.0kg ,活 塞下方用一根劲度系数为 k ? 200N/m ,原长为 l0 ? 0.3m 的轻质弹簧连接到容器底。初始 时刻活塞位于距离底面 h ? 0.1m 高的位置,上方盛满方有密度为 ? ? 1 ? 10 kg/m 的水,
3 3

用手拉住保持活塞静止然后释放。 假设水一旦满出容器就立刻流走, 不再对下方的活塞和水 有作用力。 (1) 求释放活塞上升最大位移

(2) 求从释放到活塞运动到最高点所需时间。

【解答】 以地面为原点,向上为 x 坐标,描述活塞运动在水未完全溢出前,活塞及水有牛顿第二定律 注意:水也在加速!
? ?m0 ? ? ? s ? H ? x ?? ? ? a ? k ?l0 ? x ? ? m0 g ? ? ? s ? H ? x ? g

(3 分) (2 分) (2 分) (2 分) (2 分)

带入数据得到

a ? 10m s 2 .为匀加速运动。

到达瓶口时,活塞速度为 经历时间为

v1 ? 2 m s
t1 ? 2 10s

后活塞作简谐运动,平衡位置在容器口上 h' ? 0.05m 处 由能量守恒求得其振幅
1 1 2 1 mv12 ? kh' ? kA2 2 2 2
5 m 20 从瓶口上升至最大振幅处,参考圆转过角度



A?

(3 分)

? ? arcsin 5 5 ?


?
2

(3 分)

?? m ? ? 0.14s t2 ? ? arcsin 5 5 ? ? ? 2? k ?
3? 5 m ? 0.26m 20

(1 分)

综上: (1)上升最大位移
S ? ? H ? h ? ? h' ? A ?

(2 分)

(2)经历时间
T ? t1 ? t2 ? 0.29s

(2 分)

题三、 (20 分)由于潮汐和地球自转的影响,地球上的海水被拉成椭球状,且长轴方向与地 月连线方向略有偏差,这样地球对月亮的引力的合力会在月亮绕地球运动方向有微小的分 量,从而把月球加速,推动月亮远离地球,同时海水对地球的摩擦使得地球自转变慢,直到 月球公转周期和地球自转周期相同。 (事实恐龙看到的月亮比我们看到的大多了…)已知月 球 质 量 为 mM ? 7.35 ? 10 kg , 地 球 质 量 为 mE ? 5.9 ? 10 kg , 地 球 到 月 球 距 离 为
22 24

2 r ? 3.8 ? 108 m ,地球半径为 R ? 6.4 ? 106 m 。地球转动惯量 I ? mE R2 ,月球半径可以 5

忽略, g ? 9.8N/kg 。试求最终月亮会离地球多远? 【解答】 设同一地距离用 a 表示,地球自转角速度 ? ,月球公转角速度 ? 由月球运动的牛顿第二定律及万有引力公式 GmM mE (3 分) mM ? ? 2 ? a ? a2 得
? GM E ? 3 ? GM ? 2 或? ? ? 3 E ? a?? ? ? ? ? ? a ?
1

1

带入 GM E ? gR2 , a0 ? r 得 ?0 ? 2.7047 ?10?6 rad / s 写出地球-月球系统角动量表达式(地球质量远大于月球质量)
L ? I ? ? ? mM ?a 2 ? I ? ? ? mM ? GM E ? 3 ?
2 ? 1 3

(3 分)

(3 分)

在整个过程中角动量守恒,而未态 ?未 =?未 故

I ? ?0 ? mM ? gR2 ? 3 ?0
得到 代入得

2

?

1 3

? I ? ?未 +mM ? gR 2 ? 3 ?末

2

?

1 3

(5 分) (3 分) (3 分)

?未 ? 1.4 ? 10?6 rad / s
a未 =5.8 ? 108 m

题四、 (24 分)如图所示,在圆形区域中(足够大) ,有垂直于直面向内随时间均匀增加的 磁场

?B ? k 。在离圆心 O 距离为 d 的位置有一个钉子,钉住了一根长度为 l 均匀的质量为 ?t

m 的绝缘棒的中心 P ,棒子能在平面内自由无摩擦自由转动。棒子上半截均匀带正电,电
量为 Q ,下半截均匀带负电,电量为 ?Q 。初始时刻棒子垂直于 OP 。 (1) 计算在 P 点处钉子受到的压力。 (2) 若棒子受到微小扰动,在平面内来回转动起来(速度很小,洛仑兹力可以忽略) ,求 证此运动是简谐振动,并计算周期。 (棒子绕质心的转动惯量为 I ?

1 2 ml ) 12

y B
O P

l

x

【解答】 涡旋电场大小为 E ,则有
E 2? r ? ? r2 ?B ?t

得到
E? r ? k ,方向垂直于 O 连线(3 分) 2

则杆上场强分量为
k ? Ex ? ? ? y ? ? 2 ? k ?E ? ? d y ? ? 2
x 方向受电场力为:
0 ? 1 Q k k ? Qkl ?Q F ? ?? ? 2 ? dy ? ? y ? ? ? dy ? y ? ? 0 l /2 l / 2 ? 2 2 ? 4 l/2 ?

(3 分)

(1) 由于上下电量相反, y 方向地强不变,故钉子 y 方向不受力。

(3 分)

(3 分)

故钉子压力为

Qkl (由于电场和 y 坐标成正比,因而可以使用平均电场计算) 4

(2) 设棒子转过一微小角度 ? y 方向电场力会提供力矩(由于力臂是一阶小量,横坐标变化引起的电场力改变也是一阶小 量,忽略二阶以上小量,因而不必计算电场力改变量产生的力矩。由于电场几乎是均匀的, 所以正电荷受力的合力力臂为 ?
M ? ??

l ) 4
(6 分)

l ?k ? Qkdl ?? d ?? 2 ? ? Q 4 ?2 ? 4

而 则

M ? I? Qkdl ?? ? ?0 4I
T ? 2? ml 3Qkd

是简谐方程

(3 分)

周期为

(3 分)

题五、 (16 分)等离子体控制是我们通向可控核聚变的重要技术。我们把某等离子体假设成 正负电荷电量分别为 ?2q 和 ? q 。正电荷以速度 为数密度分别为 n0 和 2n0 的正负离子构成,

v 运动时受阻力 f ? ?k? v ,负电荷以速度 v 运动时受阻力 f ? ?k? v 。把等离子体填充进入
一个变长为 l 的绝热绝缘的立方体内,并在上下面放置各放置一块金属板块。将上下极板之 间接入 U 0 的直流电源之后,求电流 I 。 (以下不是考题:将上下极板之间接入 U 0 cos ?t 的 交流电之后,求电流 I (t ) )

【解答】 上下极板加上 U 0 后,产生电场强度 E ? U 0 l (1 分)

? F ? 2qE 其中的正负离子受力大小有 ? ? ? F? ? qE ? F ? f ? ? k? v? 稳定时,正负离子应受力平衡 ? ? ? F? ? f ? ? k ? v?
2qU 0 ? v? ? ? ? k ?l ? ? v ? qU 0 ? ? k ?l ?
s 为横截面积 l 2

(2 分)

(2 分)

由上,可求出

(2 分)

由电流 i ? n ? q ? s ? v

(2 分)



? 4n0 q 2U 0l 2 2qU 0 i n q l 2 ? ? ? ? ? ?? 0 k ?l k? ? ? 2 ? i ? 2n ? q ? l 2 ? qU 0 ? 2n0 q U 0l ? 0 ? k ?l k? ?

(6 分)

总电流 I ? i? ? i? ? ? 4 / k? ? 2 / k? ? ? n0 q2U 0l 注:此题是用来卖萌的

(1 分)

题六、 (20 分)如图所示是传统风箱的结构,忽略活塞的摩擦,假设气壁导热良好,环境温 度恒定为 T0 ,向左推动的到左室体积为 V0 ,右气室体积为 2V0 时候开始方向向右推动,向 右推动至右气室体积为 V0 时,反向向左推动。环境气压为 P0 ,当压差为 ?P 的时候单向阀 门才会打开,当气体流出时保持有 ?P 压强差(相当于阻力) 。气体定体摩尔热容量为 CV 。 在活塞反向运动前,左右两气室均达到稳定压强。 (1) 求一个周期中一共从出气口鼓出的气体的摩尔数。 (2) 求一个周期中外力对活塞做功为多少? 提示:

?
a

b

dx b ? ln x a

【解答】 分析活塞从左至右的过程(即半个周期) 设初始时左气室气体数 n1 ,右室 n2 此时左气室压强 P 1 ? P 0 ? P ,右室 P 2 ? P? P 分别有克拉伯龙方程 (2 分)

? ? V0 ? P0 ? P ? ? n1 RT0 ? ? ?2V0 ? P0 ? P ? ? n2 RT0

(4 分)

(1) 活塞至右端时,右室气体数变为 n1 ,右室 n2 则半周期鼓出气体 ? n2 ? n1 ? 一个周期鼓出 N ? 2 ? n2 ? n1 ? ?

2V0 ? P0 ? 3 P ? RT0

(2 分)

(2) 设左侧气室体积 V1 时,开始吸气. 设右侧气室体积 V2 时,开始鼓起

? V1 ? P0 ? P ? ? n1 RT0 ? 有克拉伯龙方程 ? ? ?V2 ? P0 ? P ? ? n2 RT0
左室吸气前,为等温过程, P ?
n1 RT0 v V1 n RT P ? P 故开始至吸气对活塞做功 W1 ? ? 1 0 dV ? V0 ? P0 ? P ? ln 0 V0 V P0 ? P

(4 分)

(2 分) (1 分)

吸气过程对活塞做功

W2 ? ? 2V0 ? V1 ? ? ? P ? P ? ? ? P0 ? 3 P ? ? V0

同理,两过程中右室对活塞做功
P0 ? P ? ? W3 ? ?2V0 ? P0 ? P ? ln P ? P ? 0 ?W = ? ? P ? 3 P ? ? V 0 0 ? 4 (3分) (1分)

一个周期中外力做功: W ? ?2 ?W1 ? W2 ? W3 ? W4 ? ? 2V0 ? P0 ? 3 P ? ? ln

P0 ? P P0 ? P

题七、 (18 分)一个质量为 m 的宇宙飞船在太阳风中行驶,风速为 3u / 2 。初始时刻风速 和飞船速度相对惯性系 S 的大小和方向如图所示。当飞船与太阳风相对速度小于 3u 的时 候,飞船发动机推力恒定为 F ,否则发动机推力恒定为 2 F 。分船可以向任意方向加速, 要求飞船达到末状态为:相对于太阳风,速度为 2u ,方向垂直于风速向上。 ,画出飞船初态、末态 (1) 以风速为参照系, v x 和 v y 为坐标轴(原风速方向沿 v x 方向) 速度的位置,标记出飞船受力为 F 的范围。 (2) 求到达末态所需要的最小时间,并在上图中标记历经的状态。

u/2

3u / 2

? ? 90?

【解答】
vy

(1)虚线圆内受力为 F(圆心原点半径 3u ) (2)设速度变化量在圆内部分长: v1 设速度变化量在圆外部分长: v2 则初速至末速历时 t ?
m v1 m v2 ? 2F F

(5 分)

v末 =2u

v初 =u
vx

(3 分)

若时间类比光学中的光程, v 类比光线路径长, m f 类比 折射率,由于费马原理则原问题可等效为: 如图,求 A 点发出的光线中可到达 B 点的光线的光程及轨迹 (5 分) 考察 A 正上方点 P ,由几何关系 ?OPA ? 30 , ?BPO ? 90 (2 分) 1 1 (2 分) sin ?BPO ? n外 =1 ? = ? 1=sin ?OPA ? n内 2 2 满足折射定律故折线 APB 即为所求轨迹 带回原问题,得到 v1 ? u , v2 ? u 故最短用时: t ?
3 mu 2 F
n=1
O
n= 1 2

B

(0,2)

P A

R= 3

? ?
3 1 , 2 2

(2 分) (1 分)

题八、 (20 分)在小说《三体》中,人们提出一个“阶梯计划” ,用于把 m0 ? 1kg 的物体加 速到 0.9 倍光速,送往另一个星球以期跟地外文明交流。其实现的方案是:物体自带面积为

S ? 1000m2 的镜子,在正对镜面方向放置一颗核弹,点爆核弹,光子将在镜面上全部反射,

从而推动镜面前进。然而一颗核弹不够,于是将一系列核弹在太阳系中排成一条直线,物体 沿着直线被推出,每经过一个核弹附近,就将核弹点爆,于是物体被不断加速。下面我们估 算这样操作的可行性。我们使用“大伊万”5000 万当量的核弹,假设核弹爆炸前静止,爆 炸瞬间能在 100m 附近的镜面产生 J ? 1.6 ?10 Jm s 的能流密度(以静止的核弹为参照
12 -2 ?1

系,假设能流全部为光子,并垂直于镜面入射) ,持续时间为 t0 ? 1.0s ,此后的爆炸产生的 辐射可以忽略。 (1) 当镜面速度为 v 时,以镜面为参照系,光的能量密度 J ' 为多少? 提示:多普勒效应表明,以速度 v 远离光源时候,看到的频率和原频率比为

c?v c?v

(2) 当镜面速度为 v 时,一次核弹爆炸后镜面获得的动量为多少?(假设一次爆炸之后 v / c 的变化量很小) (以上答案用字母表示。以下不是考题:试估算需要多少颗核弹才能加速到 0.9c?) 【解答】 假设核弹产生的光子数密度为 n0 则在 t0 时间内发射的光子数 N0 ? J ? c ? t0 ? n0 (2 分)

(1) 在地面参考系中,这些光子被镜面接收需时(参考小学数学追击问题)
t? c t0 c?v

(3 分)

在镜面参考系中,由于钟慢效应,接收需时
t ' ? 1 ? v2 c2 t

(2 分)



t' ?

1? v / c ? t0 1? v / c n' ? c?v n0 c?v

带入 n0' 得镜面系光子数 而镜面系中光子频率
J ' ? n' ? hv' ? c ?

(2 分) (2 分) (2 分)

v' ?

c?v v0 c?v

c?v c?v ?J n0 ? hv0 ? c ? c?v c?v

(2) 地面系中,镜面反射来的光子频率? '' 满足 c?v ' c?v ? '' ? v ? v0 c?v c?v 一次核弹爆炸,镜面获动量
P ? N0 ? hv0 ? hv'' c

(2 分)

(3 分) (1 分)
2 J ? s ? t0 c?v

带入 得

J ? n0 hv0c
P?

(1 分)

注:不是考题部分,另第 n 次核爆后镜子的质量为 m ? m0? n 由质能关系得到 Pn ? m0 ? n 2 ? 1 带入(2)结果有:做近似 ? n?1 ? ? n
m0 ? n ?12 ? 1 ? m0 ? n 2 ? 1 ?
1

2 Jst0 c(1 ? 1 ? ? n ?2 )

带入计算器数值解数列得到 n ? 91

2013 年物理竞赛复赛模拟试题-第三套
命题人 蔡子星
有一个质量为 m 半径为 r 的匀质圆筒, 题一、 (20 分) 如图一个倾斜角为 ? ? 30? 的斜面上, 圆筒与地面之间的摩擦系数为 ? ?

3 / 3 。一根长为 r 的轻木棒一端铰接在距离圆心

3 r 3

处的 A 点,另一端通过一块橡皮支撑在斜坡上。 (1) 若橡皮于斜坡之间摩擦系数足够大,则 OA 与竖直方向夹角处于什么范围,才能保 持系统静止。 (2) 若要求 OA 与竖直方向夹角取到上一问的所有取值,则橡皮于斜坡之间摩擦系数 ? ' 至少为多少?
r
O
A

B

? ? 30?

题二、 (24 分)如图有两根光滑的固定细杆,方向水平夹角均为 30? ,斜向下。初始时刻有 两个质量为 m 的小圆 AB 环套在杆上, 距离 O 均为 l 。 用根长度为 l 的不可伸长的细线把 A 和 B 都系在一个质量为 2m 的质点 C 上。重力加速度竖直向下为 g 。 (1) 初态三个 ABC 静止释放,求释放瞬间绳 AC 上的张力。 (2) 初态三个物体静止,给 C 一个向下的冲量 J ,使得 C 的速度变为 v0 。 求 J ,并求此后瞬间绳子拉力 T 。
O

A

B

C

题三、 (26 分)如图所示的平板电容(不考虑边界效应)其中,横截面积为 S ,极板间距为

l ,接在恒压电源 U 0 两极,上极板为正电。一个质量为 m ,电量为 ? q 的粒子被一根长度
为 h 的绝缘的轻绳连在电容器顶端(重力可以忽略) 。初态电荷在水平面内做圆周运动,绳 与竖直方向夹角为 ? 。当电容器下极板缓慢向下拉开一小段距离 ?l 时,假设电荷一直保持 圆周运动(这样电场力可以做功,不考虑角动量的问题) ,求绳子与竖直的夹角变化 ?? 。 提示:高中课内的求导公式: y ? x ; y ' ? nx
n n ?1

其中 n ? ?1 。 y ? cos x; y ' ? ? sin x

O

A

题四、 (24 分)如图电路中有一个电容 C ,电杆 L ,二极管为理想二极管(即正向导通的时 候压降几乎为 0, 反向加电压的时候电流几乎为 0) 。 电势电压为 ? 0 。 初始状态电容电压为 U 0 (定义左边极板为正) ,初始时刻电流为 0(定义从左向右流动电流为正) 。 (1) 对于 U 0 ? 4? 0 的情况,以电感上的电流 I 横轴,以电容电压 U 为纵轴,画出体系随 时间的变化。 (2)为求体系稳定之后的电容电压 U1 随着初态电压 U 0 的变化关系。
C

L

?0

?0

题五、 (20 分)在主光轴轴上顺序放置物体、凸透镜、凹面镜。凸透镜焦距为 F,凹面镜子 半径为 R,其球心位于透镜的主光轴上,到为凸透镜光心距离为 d。发现物体和其通过光学 系统最终成的像重合。分析 F、R、d 不同的时候,物体距离透镜的距离 S。

题六、 (26 分) 如图建立柱坐标系。 以质点到 x ? y 平面的距离为 z , 以质点到 z 轴距离为 ? , 以质点在 x ? y 平面的投影与 x 轴夹角为 ? 。 在 z 轴上有无穷长的稳恒电流 I , 其在 ( ? ,? , z ) 点产生的磁场大小为 B ?

?0 I 。初始时刻有一个质量为 m ,电量为 q 的粒子在 ( r0 ,0,0) 的 2??

位置, 沿着 y 方向以速度 v0 出射, 粒子只有受到洛仑兹力的作用。?0 ? 4? ? 10?7 m ? T/A 。 (1) 粒子绕着 z 轴的角动量是否守恒?动能是否守恒? (2) 写出粒子沿 z 轴动量定理,并计算出当粒子运动到 z 轴距离为 ? 时的沿 z 轴动量 p z 提示:

d ln x 1 ? dx x
6

(3) 对于 q / m ? 5.0 ? 10 C/kg , I ? 0.50A , v0 ? 1.0m/s ,求出粒子距离 z 轴可能的最 远距离 ? m 与 r0 的比求 ? m /r0 。

z

?

?
x
v0

z
y

题七、 ( 20 分 ) 用 一 个 速 度 为 0.8c 的 质 子 撞 击 一 个 固 定 的 ? 介 子 。 已 知 质 子 质 量

mp ? 0.981GeV , ? 介子质量为 m? ? 0.135GeV 。
(1) 以入射质子的动量方向为 x 方向,以 p x 为横轴,以 p y 为纵轴,画出出射质子可能 的动量范围。 (2) 求出射质子的最大偏转角。

2013 年物理竞赛复赛模拟试题—第三套参考解答
题一、 (20 分) 如图一个倾斜角为 ? ? 30? 的斜面上, 有一个质量为 m 半径为 r 的匀质圆筒, 圆筒与地面之间的摩擦系数为 ? ?

3 / 3 。一根长为 r 的轻木棒一端铰接在距离圆心

3 r 3

处的 A 点,另一端通过一块橡皮支撑在斜坡上。 (1) 若橡皮于斜坡之间摩擦系数足够大,则 OA 与竖直方向夹角处于什么范围,才能保 持系统静止。 (2) 若要求 OA 与竖直方向夹角取到上一问的所有取值,则橡皮于斜坡之间摩擦系数 ? ' 至少为多少? 【解答】

O
? ?

O

A
H

?

?

A

?

? ? arctan ?

B

? ? arctan ?

B

(1)由于 AB 是轻杆,只在两端点受力,所以 AB 对球作用力沿杆方向。 (1 分) 由于球不滑动,所以斜坡对球的支持力和摩擦力的合力与法向(垂直于斜面方向)不大于

? ? arctan ? ? 30?

(2 分)

由于球是力矩平衡的,所以支持力摩擦力合力、重力、杆对球的支持力三力交与一点。 这样 AB 的于过 O 点的重力所在的线的交点只能位于左图中红色阴影区域。 (3 分) 情景一 交点在下端点处。由平面几何可知这时候 A 恰好位于重力线和支持力摩擦力合力所 在直线的交点处(因为 HOA 中恰好 ?OHA ? ?HOA ? 30? ,这样使得 OA ? 于是这个临界情景 OA 与竖直夹角为 ? ? 0? (3 分)

3 r) 3

情景二 交点在无穷远处,这时候三个力都演竖直方向。由平面几何

cos(? ? 30?) ?

r?

3 r 2 ; ? ? 46.6? OA

(4 分)

由此可知 OA 与竖直夹角应位于 ? ?[0, 46.6?] (2)由前一问可知, AB 与法线最大夹角为 60?

(3 分)

因此 B 点摩擦系数不应当小于 ? ' ? tan 60? ? 3

(4 分)

题二、 (24 分)如图有两根光滑的固定细杆,方向水平夹角均为 30? ,斜向下。初始时刻有 两个质量为 m 的小圆 AB 环套在杆上, 距离 O 均为 l 。 用根长度为 l 的不可伸长的细线把 A 和 B 都系在一个质量为 2m 的质点 C 上。重力加速度竖直向下为 g 。 (1) 初态三个 ABC 静止释放,求释放瞬间绳 AC 上的张力。 (2) 初态三个物体静止,给 C 一个向下的冲量 J ,使得 C 的速度变为 v0 。 求 J ,并求此后瞬间绳子拉力 T 。
O

A

B

C

【解答】 (1)由几何关系,可知 AOC, BOC 为等边三角形,各内角均为 60 设 C 加速度 a ,由对称性, a 竖直向下 设 A 加速度 a ' ,由对称性,两绳上张力相等,设其为 T . 以 A 为系 由静止释放时, A、C 无相对速度,故 C 无沿绳方向加速度
O a' A T mg a C a 2ma' 2mg T B

(1 分)

a' cos

?
3

? a cos

?
3

? 0 ? a' ? a

(2 分)

牛顿第二定律

? 2mg ? 2ma ? T ? ?

3 ? 3a ? 2m 2
(1 分)

(3 分)

地面系中,分析 A 受力有
1 ?T ? mg ? ? ma 2 g 4

解得 a ? a ' ?
T? 3 mg 2

(2 分)

(2)设绳的冲量为 I 由速度关联, A、C 沿绳方向速度相等
V A I J I C V0 B

VA cos? ? V0 cos? ? VA ? V0

(1 分)

动量定理
J ? 2I cos? ? 2mV0

I

(1 分)

I cos? ? mV0
mg a'

(1 分) (2 分)

? J ? 4mV0
T V0 a'

T mg

V0 a

2ma' 2mg

设 A 加速度 a ' , C 加速度 a ,由对称性, a 竖直向下沿绳向加速度等于向心加速度,即

? a cos ? ? a cos ? ?
'

3V0 l

?

2

(2 分)

牛顿第二定律

? 2mg ? 2ma ? T ? ?
'

? 3 3 3 '? ? 2m ? a ? a? ? 2 2 2 ? ? ?

(3 分)

地面系中,分析 A 受力
T cos? ? mg cos? ? ma'

(1 分)

3V0 2 g ? l 4 解得 2 3V g a' ? 0 ? l 4 a??

6mV0 2 3 T ? mg ? l 2

(3 分)

题三、 (26 分)如图所示的平板电容(不考虑边界效应)其中,横截面积为 S ,极板间距为

l ,接在恒压电源 U 0 两极,上极板为正电。一个质量为 m ,电量为 ? q 的粒子被一根长度
为 h 的绝缘的轻绳连在电容器顶端(重力可以忽略) 。初态电荷在水平面内做圆周运动,绳 与竖直方向夹角为 ? 。当电容器下极板缓慢向下拉开一小段距离 ?l 时,假设电荷一直保持 圆周运动(这样电场力可以做功,不考虑角动量的问题) ,求绳子与竖直的夹角变化 ?? 。 提示:高中课内的求导公式: y ? x ; y ' ? nx
n n ?1

其中 n ? ?1 。 y ? cos x; y ' ? ? sin x

O

A

【解答】 极板之间电场强度为

E?


U l U ?l l2

(1 分)

?E ? ?

(3 分)

由于小球做圆周运动,由牛顿第二定律

v2 Eq tan ? ? m h sin ?
?W ? ? Eqh?? ? sin ?

(4 分)

假设摆角发生了变化 ? ? ? ? ?? ,则小球位移 l ?? ,电场力做功为 (8 分)

由于动能定理,动能增量

1 sin 2 ? ?( mv 2 ) ? ?( Eqh ) ? ?W 2 cos ?
化简:

(4 分)

?( Eqh

sin 2 ? 1 1 ? cos ? ) ? ?E ? qh( ? cos ? ) ) ? Eqh?( cos ? cos ? cos ?

1 sin 2 ? ? Eqh( 2 ? 1)sin ??? ? ?E ? qh ? ?2 Eqh sin ??? (3 分) cos ? cos ?
于是有

?? ?

?l sin ? cos ? l 3cos 2 ? ? 1

(3 分)

题四、 (24 分)如图电路中有一个电容 C ,电杆 L ,二极管为理想二极管(即正向导通的时 初始状态电容电压为 U 0 候压降几乎为 0, 反向加电压的时候电流几乎为 0) 。 电势电压为 ? 0 。 (定义左边极板为正) ,初始时刻电流为 0(定义从左向右流动电流为正) 。 (1) 对于 U 0 ? 4? 0 的情况,以电感上的电流 I 横轴,以电容电压 U 为纵轴,画出体系随 时间的变化。 (2)为求体系稳定之后的电容电压 U1 随着初态电压 U 0 的变化关系。

+ q

C

L

a

I
?0 ?0

b
【解答】 (1)观察 ab 两点之间的状态 若右管导通,左管截至,则有 I ? 0 ,此时 U a ? U b ? ? 0 若左管导通,右管截至,则有 I ? 0 ,此时 U a ? U b ? ?? 0 若左管截至,右管截至,则有 I ? 0 ,此时 ?? 0 ? U a ? Ub ? ? 0 对于整个电路写基尔霍夫方程 令电容器电量为 q ? CU ,则有 q ? I 对于 I ? 0 (2 分) (4 分)

q 1 ? LI ? ? 0 ? 0 ,即 q ? ? ( q ? ? 0C ) C LC
类比简谐振动可知,这是一个角频率为 ? ?

(4 分)

1 ,平衡位置在 q ? ?? 0C 的简谐振动。即 LC
(2 分)

q ? ? 0C ? U 0 cos(?t ? ? ) ; I ? q ? ??CU 0 sin(?t ? ? ) C

在 U ? I 图上看,就是一个圆心在 U ? ?? 0 ,横轴与纵轴比为 ?C ? 对于 I ? 0 ,同理有

C 的右半椭圆。 L

q 1 ( q ? ? 0C ) ? LI ? ? 0 ? 0 ,即 q ? ? C LC
在 U ? I 图上看,就是一个圆心在 U ? ? 0 ,横轴与纵轴比为 ?C ?

C 的左半椭圆。 L

初态从 U ? 4? 0 , I ? 0 开始,电流应当往左流,先画左半椭圆,于是得到如图所示结果:

U 4? 0
m ?0

?? 0 n ?2? 0

I

(4 分)

(2) 由前一问想到对于不同的初态电压,图象是往里转的圈圈,直到与 U 轴的交点落在 m, n 点之间为止,以后二极管截至,电压保持稳定。 初态电压为 U 0 ,第一次 I ? 0 时候电压由平面几何可知

? 0 ? u1 ? U 0 ? ? 0 ; u1 ? ?U 0 ? 2? 0 (3 分)
若 u1 不在截至范围则画右半椭圆,第二次 I ? 0 电压由平面几何可知

?? 0 ? u1 ? u2 ? ? 0 ; u2 ? U 0 ? 4? 0 (3 分)
若 u2 不在截至范围则相当于以 U ? u2 为初态继续画图。 由此可以 U1 ? U 2 函数以 4? 0 为 周期的周期函数。故只给出第一个周期的结果,以后平移即可

U 0 ;(0 ? U 0 ? ? 0 ) ? ? U1 ? ? 2? 0 ? U 0 ;(? 0 ? U 0 ? 3? 0 ) , U1 (U 0 ) ? U1 (U 0 ? 4? 0 ) ?U ? 4? ;(3? ? U ? 4? ) 0 0 0 0 ? 0
n

(2 分)

注 1:也可以通过引入取整函数, ?1 等形式化成一个式子,形式不唯一,不做要求。 注 2:做以下类比之后

1 ? k ; U ? F ; ? 0 ? mg ? C 发现整个系统相当于一个弹簧右边接一个物体放在摩擦系数为 ? 的地面上。初态位移相当 于初态电量 q 。以后的事情就是陈题了,任意查阅一本竞赛书有超过一半概率遇到。
q ? x;I ?v;L ?m;

k

m

?

题五、 (20 分)在主光轴轴上顺序放置物体、凸透镜、凹面镜。凸透镜焦距为 F,凹面镜子 半径为 R,其球心位于透镜的主光轴上,到为凸透镜光心距离为 d。发现物体和其通过光学 系统最终成的像重合。分析 F、R、d 不同的时候,物体距离透镜的距离 S。 【解答】

d
R

如图所示,令物体为 S1 ,通过凸透镜成像为 S 2 ,再通过凹面镜成像为 S3 ,再通过凸透镜成 像到 S 4 , S 4 和 S1 重合。 由光路可逆知道 S 2 和 S3 也重合 (5 分)

由凹面镜成像规律知道有两种情景,情景一:成像在凹面顶点,情景一:成像在凹面圆心。 情景一:凸透镜相距 v ? d ? R 。注意 v ? (0, ?)

1 1 1 ? ? S d?R F (d ? R) F (4 分) 得到: S ? d ?R?F 由于 S ? 0 ,所以只有当 d ? F ? R 时才有此解 (1 分) 情景二:凸透镜相距 v ? d 。
由成像公式 注意 v ? (? R, ?) ,因为只需要 d ? R ? 0 就可以满足“顺序放置”

1 1 1 ? ? S d F dF 得到: S ? (4 分) d ?F 由于 S ? 0 ,所以当 d ? F 时,或者 d ? 0 时才有此解 (1 分)
由成像公式 综合以上: 当R?F 时 当 ? R ? d ? 0 时,有一个解 S ? 当 0 ? d ? R ? F 时, S 无解

dF d ?F

(d ? R) F d ?R?F (d ? R) F dF 当 F ? d 时,有两个解 S ? 或者 S ? d ?R?F d ?F 当R?F 时 dF 当 ? R ? d ? F ? R 时,有一个解 S ? d ?F
当 F ? R ? d ? F 时,有一个解 S ?

(2 分)

当 F ? R ? d ? 0 时,有两个解 S ?

(d ? R) F dF 或者 S ? d ?R?F d ?F (d ? R) F 当 0 ? d ? F 时,有一个解 S ? d ?R?F (d ? R) F dF 当 F ? d 时,有两个解 S ? 或者 S ? (2 分) d ?R?F d ?F

若全部分类正确,且不等号正确再给 1 分,否则只给相应分类的答案分。

题六、 (26 分) 如图建立柱坐标系。 以质点到 x ? y 平面的距离为 z , 以质点到 z 轴距离为 ? , 以质点在 x ? y 平面的投影与 x 轴夹角为 ? 。 在 z 轴上有无穷长的稳恒电流 I , 其在 ( ? ,? , z ) 点产生的磁场大小为 B ?

?0 I 。初始时刻有一个质量为 m ,电量为 q 的粒子在 ( r0 ,0,0) 的 2??

位置, 沿着 y 方向以速度 v0 出射, 粒子只有受到洛仑兹力的作用。?0 ? 4? ? 10?7 m ? T/A 。 (1) 粒子绕着 z 轴的角动量是否守恒?动能是否守恒? (2) 写出粒子沿 z 轴动量定理,并计算出当粒子运动到 z 轴距离为 ? 时的沿 z 轴动量 p z 提示:

d ln x 1 ? dx x
6

(3) 对于 q / m ? 5.0 ? 10 C/kg , I ? 0.50A , v0 ? 1.0m/s ,求出粒子距离 z 轴可能的最 远距离 ? m 与 r0 的比求 ? m /r0 。

z

?

?
x
【解答】

z
y

v0

? ? z z 则所受洛伦兹力为 (1) 设某一时刻粒子速度为 V ? ? ? ? ???
F ? qV ? B
? ? ?? ? ?M I ? ? q? ? ? ? ?? ? ? z z??? 0 ? ? ? ? ? 2?? ? ? ? ? M I z M I ? 0 0 ? q?? ?? ? 2?? 2?? ?

?

?

? z? ? ?

故粒子不受切向力,角动量守恒. 洛伦兹力不做功,故动量守恒
.. qM 0 I ? (2) ? mz 2?? .

(3 分) (2 分)
.

qM 0 I ? Fz ? 2??
Fz ?t ? m?Vz

(3 分)

qM o I ?? ? m?Vz 2??

(1 分) (1 分)

qM 0 I ? ln ? ? m?Vz 2? qM 0 I ? ln ?Vz ? 2? m r0 ?
Pz ? qM 0 I ? ln r0 2?

(3 分) (1 分) (3 分) (3 分)

(3)达到最远时,应有 V? ? 0 角动量守恒, V? ? ? V0 r0
1 1 动能守恒, m ?V? 2 ? Vz 2 ? ? mV02 2 2 qM 0 I ?m 由(2)结论, Vz ? ln r0 2? m


1

?m
r0
?

? ? ,代入数值得
1 2 ? ln ? ? ? 1 4

?

2

(4 分)
?

数值法解得, ? ? 7.249

?m
r0

? 7.249

(2 分)

题七、 ( 20 分 ) 用 一 个 速 度 为 0.8c 的 质 子 撞 击 一 个 固 定 的 ? 介 子 。 已 知 质 子 质 量

mp ? 0.981GeV , ? 介子质量为 m? ? 0.135GeV 。
(1) 以入射质子的动量方向为 x 方向,以 p x 为横轴,以 p y 为纵轴,画出出射质子可能 的动量范围。 (2) 求出射质子的最大偏转角。 【解答】 (1)方法 1: 设碰撞前质子动量为 P0 ,能量为 E0 m pV p 4 则 P0 ? ? mpC 2 3 Vp 1? 2 C

(1 分)

E0 ?

mpC 2 1? V
2 p 2

5 ? mpC 2 3

(1 分)

C 设碰撞后质子 x 方向动量为 Px , y 方向动量为 Py

由动量守恒, ? 介子 x 方向动量 ? D0 ? Px ? , y 方向动量 ? Py 又有:
2 4 2 2 2 2 4 EP ? C 2 PP2 ? m2 p c ? C ? Dx ? P y ? ? mp c

(2 分)

(1 分) (1 分)

2 2 2 4 2 ? 2? 2 4 ? C2 P ? m? E? c x? ?P y ? ? m? c ? C ?? D0 ? P ? 由能量守恒 (2 分) E p ? E? ? E0 ? m? c2 2


2 4 2 ? 2 4 c2 ? Dx D ? Px ? ? Py2 ? ? m? c ? E0 ? m? c 2 ? Py2 ? ? m2 pc ? c ?? 0 ? 2

(1 分)

两边同时除以 c 2 ,有
2 ? Py ? ? Py ? 5 ? D0 ? Px ? ? Py ? 2 2 ? ? ? m ? ? ? ? p ? c ? ? ? c ? ? m? ? 3 m p ? m? c c ? ? ? ? ? ? ? ? 代入数值,进一步化简得 2 2 2

? Px ? 1.09 ? ? Py ? ? 0.22 ? ? ? 0.15 ? ? 1 (单位为 GeV / c ) ? ? ? ? 方法 2(四维动量) 1 u 设后心速度为 u ,令 ? ? , ? ? c 1 ? u 2 / c2

2

2

(6 分)

质心系中, PP'0 ? ? Pp 0 ? ?? E p 0 / c
' P ?0 ? ? P ? 0 ?? E? 0 c 4 Pp 0 ? m p c , 3 5 E p0 ? mp c2 3 2 P ? 0 ? 0, E? o ? m? c
' 质心系中,有 Pp' 0 ? P ?0 ? 0

(2 分) (2 分) (1 分) (1 分)

5 m p ? m? 3 得 Pp' 0 ? 0.1481GeV / c
Px' ? Py' ? Pp' 0
2 2 2

解得

??

4 mp 3

? 0.7390 , ? ?

1 1? ? 2

? 1.4843

(1 分)

质心系中,碰撞前后应动量大小不变,有 (1 分)
' Px ? ?? E p /c

地面系中,
Px ? ? P ? ?? E c
' x ' p

即P ?
' x

?

(2 分) Py ? Py' (2 分)

(1 分)

' 其中 E p c ? ? E c ? ?? Pp 0 ? 0.9921GeV c

' ? P ? ?? E p / c ? ? Py ? 有? x ? ' ? ?1 ? ' ? ? ? ? ? ? Pp 0 ? ? ? Pp 0 ?

2

2

? P ? 1.09 ? ? Py ? 即? x ? ?1 ? ?? ? 0.22 ? ? 0.15 ? 图像如下,为一椭圆:
Py(GeV/c)

2

2

(2 分)

0.15

图像 1
0.87 1.09

Px(GeV/c)

(2)最大偏转角正切值为 求

Py Px
1分

Py Px

最大值,即求过原点与椭圆切线切点

设切线 y ? kx 则方程

? x ? 1.09 ? ? kx ? ? ? ?? ? ?1 ? 0.22 ? ? 0.15 ?


2

2

只有一个根

? 1 1.092 k 2 ? 2 2 ? 1.09 x ? x? ? ?1 ? 0 ? 2 2 ? 2 0.15 ? 0.22 0.222 ? 0.22

有一个根


? 1 ? k 2 ? ? 1.092 ? 2 ? 1.09 ? ? 4?? ? ? ? 1? ? 0 ? 2 ? 2 2 ? ? 2 0.15 ? ? 0.22 ? 0.22 ? ? 0.22 ? 解得 k ? 0.14 tan ? ? k , 故最大偏转角为 8 . (3 分)
2

2013 年物理竞赛复赛模拟试题-第四套
命题人 蔡子星 孙鹏
一、 我们想用一些匀质的光滑的长度为 l 的木条在桌角搭出一个尽量远的“露台” 。逐

层叠放并不一定是最好的方案。比如图(a)用三个木条拉出了 拉开了

l l l ? ? 的距离。而图(b) 2 4 6

l l ? 的距离。问题用四根木条,分别采用图(c)和图(d)的方式,可以用四个木 2 2

条最远能拉开多少距离? 有兴趣的同学可以参考原文 http://arxiv.org/pdf/0710.2357.pdf

图(a)

图(b)

图(c)

图(d)

二、 水波严格说来并不是简单的横波或者纵波, 因为表面的水运动既不是垂直于波速方 向也不是平行于波速方向,而是二者的叠加。水足够深的时候,表面点每个点原地做圆 周运动。设振幅为 A ,波长为 ? ,周期为 T 。 假设 A ? 。跟着波形移动的参考系中看到的就是稳恒流速,波的最高点和最低点的 流速为多少?不考虑表面张力和摩擦损耗,设水密度为 ? ,重力加速度为 g 。考虑能 量守恒,证明波长和周期满足关系: ? ?

gT 2 。 2?

三、

空间中有两个线圈电阻可以忽略的线圈 A 、 B ,分别接入可控电流源 I A 和 I B 。初

时 I A ? IB ? 0 。 (1) 保持 I B 不变,将 I A 缓慢的从 0 增加到 I1 ,然后保持 I A 不变,缓慢的将 I B 从 0 增加到 I 2 。此时线圈 A 和线圈 B 的磁通量分别为? A ? L11I1 ? L12 I 2 ,

? B ? L21I1 ? L22 I 2 。求这个过程中电流源做的总功为多少 Wa 等于多少。
(2) 保持 I A 不变,将 I B 缓慢的从 0 增加到 I 2 ,然后保持 I B 不变,缓慢的将 I A 从 0

增加到 I1 。此时线圈的磁通量和(1)中相同,求此过程中电流源做的总功,并由 此证明 L21 ? L12 。 (3) 如图线圈 A 、 B 的半径分别为 r1 、 r2 的圆圈,两个圆共轴,间距 z ?? r 。两个 。利用(2)中的结论,通过功能原理, 线圈中分别保持恒定电流 I1 和 I 2 (同向) 计算两个线圈之前的相互作用力。(提示 y ? x ; y ' ? nx
n n ?1

)

I1

I2

四、 如图所示,在光滑桌面上有三个洞 ABC ,两两相距 l 。有三个质量为 m 的质点, 各连一根细线,穿过小孔,连接在平面上一个质量为 M 的质点上。
A M B

O
m

C

m m

(1) 初态 M 位于三角形中心处,沿 OA 方向给 M 一个小速度 v0 。求证 M 做简谐振动,并 求出周期。 (2) 初态 M 在 OA 连线上,距离 O 间距 ?x ?? l ,初速度 v0 很小,沿着垂直于 OA 的方向, 求解 M 以后的运动。 (提示 cos(? ? ?? ) ? cos ? ? sin ??? ?

(1 ? x)n ? 1 ? nx ?

n(n ? 1) 2 x , x ?? 1 ) 2

1 cos ? (?? )2 , ?? ?? 1 ; 2

五、 某人设计了一种潜艇, 利用电磁推进提到了螺旋桨。 潜艇推进器的结构简化为下图 所示。水从推进管道中流过。不考虑管道中水流于管壁以及水之间的粘滞阻力作用。 管道中有一个长方体状的区域,该区域横截面积和入水口一样的,尺寸为 a ? b ? c ,其 中由超导磁铁产生了稳定磁场 B ,沿着 b 方向。在上下两个面上各有一块 a ? b 大小的 电极,进入直流电源。假设电流只在这个长方体区域内存在,并且是均匀的。稳定状态 电流大小为 I 。海水密度为 ? m ,海水电阻率为 ? 。 假设稳定流动后潜艇进水口压强为 p1 ,出水口的压强 p2 。入水口面积为 S1 ? b ? c ,

出水口面积为 S 2 。 用 p1 、 p2 、S1 、 (1) 求出稳定流动后, 以潜艇为参照系, 进、 出水口的流速 v1 和 v2 。

S 2 、 ? 、 B 、 I 、 b 表达。
(2) 计算稳定流动后直流电源的功率是多少。用 p1 、 p2 、 S1 、 S 2 、 ? 、 B 、 I 、

b 、 a 、 ? m 表达
注:本题改编于 2013 年浙江高考理综第 25 题。
I

b c
B

a

六、 回音壁效应 在应用光学中用这样一项技术。在折射率为 n ? 1.33 的介质中,有一些半径为 某些角度的光在小球的内壁上做全反射 n 次后 r ? 120nm 的折射率为 n ? 1.48 的小球。 能恰好回到出发点,而光波转一圈回到出发点时相位和初态相比恰好相差 2? ? l ,其中 l 为正整数,则有可能引发一些量子效应,使得小球对介质中该频率的光波进行吸收。 (1) 利用 n 和 l 表达出对应的光波波长 ? (n, l ) (2) 对于 545nm 到 555nm 范围内的光波, 那些波长的光会被吸收?标记出对应的 n, l 。

七、 如图两个底面积分别为 2S 和 S 的绝热圆筒,用一个细的绝热阀门连接。左右各有 一密闭的,绝热的,不记阻力不记重力的活塞,活塞上端通过一个理想的滑轮组连接。 大气压为 P0 。初态阀门关闭,左边充满体积为 2V0 温度为 T0 的理想气体,定体摩尔热 容量为 CV ?

3 R ,右边真空,体积为 V0 。 2

VR , TR 。 (1) 慢慢打开阀门至左右气压平衡的时候, 求左右体积 VL 、 及左右温度 TL 、
(2) 把绝热活塞换成导热活塞,把左边的面积换为 xS ,左边初态体积换为 xV0 ,打 开活塞,平衡态时左边体积是否可能不为 0,若存在求出对应 x 的范围。 提示:理想气体热导率非常低,即活塞绝热,且左右气体保持力平衡不再流动的时候,

两边温度可以在很长时间内维持不一样。

2S

S

2V0

V0

八、? 介子一种可能的衰变模式为 ? ? e ? e ? ? 。 某个 ? 介子在以 0.2c 的速度运动中
0
0 ? ?

0

发生上述衰变。在和 ? 介子前进方向夹角为 ? ? 30? 方向上接受到一个电子。求这个电子
0

速度大小的可能的范围。已知 m? 0 ? 135MeV , me ? 0.511MeV ,普朗克常数

h ? 6.64 ?10?34 J ? s

2013 年物理竞赛复赛模拟试题-第四套
命题人 蔡子星 孙鹏
一、 我们想用一些匀质的光滑的长度为 l 的木条在桌角搭出一个尽量远的“露台” 。逐

层叠放并不一定是最好的方案。比如图(a)用三个木条拉出了 拉开了

l l l ? ? 的距离。而图(b) 2 4 6

l l ? 的距离。问题用四根木条,分别采用图(c)和图(d)的方式,可以用四个木 2 2

条最远能拉开多少距离? 有兴趣的同学可以参考原文 http://arxiv.org/pdf/0710.2357.pdf

图(a)

图(b)

图(c) 【解答】 对于图(c)

图(d)

x 1 ?x 2 令下方物块中心超出边缘距离为 xl ,由于左上两块和右上一块中心恰好在下方物块的
边缘处,因而只需要对整体写力矩平衡方程即可。

1 1 ( ? x)2mg ? xmg ? ( x ? )mg 2 2 1 解得 x ? 8 因而最远距离为 L ? l ? xl ? 1.25l
对于图(d) 即将翘起来的时候发生下图所示状态

假设各种参数如下,假设左边板的右边缘于下板的左边缘间距为 ?1l ,左板右边缘应力 为 N1 ,下板左边缘应力为 N1 ' ;假设右边板的左边缘于下板的右边缘间距为 ? 2l ,右板左

边缘应力为 N 2 ,下板右边缘应力为 N 2 '
1 ? ?1 2 1 ? ?2 2

?1

?2 1 ? ?1 ? ? 2

对于上板受力平衡:

G ? N1 ? N2
对于左板以下板左端点为支点力矩平衡:

1 ( ? ?1 )G ? N1?1 2
对于左板以其右端点为支点力矩平衡:

1 G ? N1 ' ?1 2
对于右板以下板右端点为支点力矩平衡:

1 ( ? ? 2 )G ? N 2 ? 2 2
对于右板以其左端点为支点力矩平衡:

1 G ? N2 ' ?2 2
解得:

1 1 1 1 G ? N1 ' ; ? ? 6; G ? N2 ' ; 2?1 ?1 ? 2 2? 2
对于下板,设下板右端点到底座距离为 d ,以其右端点为支点则有:

0 ? 4Gd ? N1 ' l ? G


l 2

d ?(

1 1 ? )l 8?1 8

最后总伸出的长度为

D ? d ? (1 ? ? 2 )l ? l[

1 9 ? ? ?2 ] 8?1 8

15 1 15 ? 4 2 1 1 9 ? ?2 ] ? l ( ) ? l[ (6 ? ) ? ? ? 2 ] ? l[ ? 8 8? 2 8 8 ?2 8
当且仅当 ? 2 ?

2 时取到,验证得到此时各个量处于合理范围。 4

注:其实上面讨论不严格,有可能在左边木板没有翘起来的时候达到极值,需要用线性规划 严格证明,这里略去。 二、 水波严格说来并不是简单的横波或者纵波, 因为表面的水运动既不是垂直于波速方 向也不是平行于波速方向,而是二者的叠加。水足够深的时候,表面点每个点原地做圆 周运动。设振幅为 A ,波长为 ? ,周期为 T 。 假设 A ? 。跟着波形移动的参考系中看到的就是稳恒流速,波的最高点和最低点的 流速为多少?不考虑表面张力和摩擦损耗,设水密度为 ? ,重力加速度为 g 。考虑能

gT 2 量守恒,证明波长和周期满足关系: ? ? 。 2?

【解答】

u ?v
A
波速为 u ?

u?v
B

?
T

,每个质点的速率大小为 v ? ? A

以波为参照系,在上顶点 A 处速度 vA ? u ? v ;下顶点 B 处速度为 vB ? u ? v 。 对于如图所示管子(把一个质点走过的轨迹作为线,相邻线并成管子) ,考虑单位时间内有 ?m 的水流入管子,同样质量的水流出管子。考虑单位时间内管子内的能量不变,则有(侧 壁不会有能量吞吐) :

1 1 ?mvA2 ? ?mg 2 A ? p0 ?V ? ?mvB 2 ? p0 ?V 2 2
化简得到:

2 gA ? 2uv ?
即: ? ?

? 4?
T T

A

gT 2 2?

三、

空间中有两个线圈电阻可以忽略的线圈 A 、 B ,分别接入可控电流源 I A 和 I B 。初

时 I A ? IB ? 0 。 (1) 保持 I B 不变,将 I A 缓慢的从 0 增加到 I1 ,然后保持 I A 不变,缓慢的将 I B 从 0 增加到 I 2 。此时线圈 A 和线圈 B 的磁通量分别为? A ? L11I1 ? L12 I 2 ,

? B ? L21I1 ? L22 I 2 。求这个过程中电流源做的总功为多少 Wa 等于多少。

(2) 保持 I A 不变,将 I B 缓慢的从 0 增加到 I 2 ,然后保持 I B 不变,缓慢的将 I A 从 0 增加到 I1 。此时线圈的磁通量和(1)中相同,求此过程中电流源做的总功,并由 此证明 L21 ? L12 。 (3) 如图线圈 A 、 B 的半径分别为 r1 、 r2 的圆圈,两个圆共轴,间距 z ?? r 。两个 线圈中分别保持恒定电流 I1 和 I 2 (同向) 。利用(2)中的结论,通过功能原理, 计算两个线圈之前的相互作用力。(提示 y ? x ; y ' ? nx
n n ?1

)

I1

I2

【解答】 (1) 把电流 I 作为纵轴,把磁通量? 作为横轴,图像中的面积意义为电流源做功。

dW ? ? dQ ?
I

d? dQ ? Id? dt

?
做出两个线圈中的 I ?? 关系:

I1 IA
IB

I2

?
I B L21 I A L11 ? I B L21
总功为:

?
I B L22 I B L22 ? I A L12

Wa ?

1 1 L11I A2 ? L22 I B 2 ? L12 I A I B 2 2 1 1 L11I A2 ? L22 I B 2 ? L21I B I A 2 2

(2) 同理得到总功为

Wb ?

令两者相同,得到:

L21 ? L12

(3) 线圈 1 对 2 产生的磁场大小为

B?

?0 I1 2? r1 r1 (利用 Biot-Savart 公式及小量近似) 4? z 2 z
?0 ? r12? r2 2 I1 ? L21I1 z3 2?

线圈 1 对 2 产生的磁通量

? 21 ?

同理线圈 2 对 1 产生的磁通量为

?0 ? r12? r2 2 I2 ? 12 ? L12 I 2 ? 2? z3
电流强度不变,线圈间距从 z 变化到 z ? dz 的时候 线圈 1 中电流源做功为 dW1 ? I1d? 12 ? ?3

?0 ? r12? r2 2 I1I 2 dz 2? z4

线圈 2 中电流源做功为 dW2 ? I 2 d? 21 ? ?3

?0 ? r12? r2 2 I1I 2 dz z4 2?

?0 ? r12? r2 2 系统总储能变化为 dW ? I1 I 2 dL12 ? ?3 I1I 2 dz 2? z4
则外力总功为 ? Fdz ? dW1 ? dW2 ? dW , 因此相互作用力 F ? ?3

?0 ? r12? r2 2 I1I 2 ,负号代表是吸引力。 2? z4

四、 如图所示,在光滑桌面上有三个洞 ABC ,两两相距 l 。有三个质量为 m 的质点, 各连一根细线,穿过小孔,连接在平面上一个质量为 M 的质点上。
A M B

O
m

C

m m

(1) 初态 M 位于三角形中心处,沿 OA 方向给 M 一个小速度 v0 。求证 M 做简谐振动,并 求出周期。 (2) 初态 M 在 OA 连线上,距离 O 间距 ?x ?? l ,初速度 v0 很小,沿着垂直于 OA 的方向, 求解 M 以后的运动。 (提示 cos(? ? ?? ) ? cos ? ? sin ??? ?

1 cos ? (?? )2 , ?? ?? 1 ; 2

(1 ? x)n ? 1 ? nx ?
【解答】

n(n ? 1) 2 x , x ?? 1 ) 2
l x ? , 3 2

(1) 令 | OM |? x ?? l ,则有 | BM |?| CM |?

vM ? x ; vA ? ? x ; vB ?
A

x x 3x ; vC ? ; ?? ? 2 2 2l

M

O
B

??

??

C

对于 M 牛顿第二定律:

Mx ? FA ? FB cos(60? ? ?? ) ? FC cos(60? ? ?? )
对于 A 牛顿第二定律:

mx ? mg ? FA
对于 B 牛顿第二定律:

?m

x ? mg ? FB 2 x ? mg ? FC 2

对于 C 牛顿第二定律:

?m

整理得到:

3 3 3mg ( M ? m) x ? ? 2 2
所以是简谐振动,角频率 ? ?
2

3 3mg 3 2( M ? m)l 2

(2)在 ABC 平面中

A

??1
M

O
B

?? 2

??3

C

在某时刻 ?MOA ? ? , | OM |? ? ,

| AM |? ? 2 ? (

l 2 l l ? ? 2 sin 2 ? ) ? 2cos ?? (1 ? cos a ) ? ? l / 3 2(l / 3)2 3 3 3

? ? 2 sin 2 (? ? 120?) l 同理 | BM |? ? (1 ? cos(? ? 120?) ) 3 2(l / 3) 2 l/ 3
| CM |?

? ? 2 sin 2 (? ? 240?) l (1 ? cos(a ? 240?) ? ) 3 2(l / 3) 2 l/ 3

则系统总动能为

1 1 1 1 1 M ? 2 ? M ? 2? 2 ? m cos 2 ?? 2 ? m cos 2 (? ? 120?) ? 2 ? m cos 2 (? ? 240?) ? 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ? m? 2 sin 2 ?? 2 ? m? 2 sin 2 (? ? 120?)? 2 ? m? 2 sin 2 (? ? 240?)? 2 2 2 2 1 1 1 3 1 3 ? M ? 2 ? M ? 2? 2 ? ? m? 2 ? ? m? 2? 2 2 2 2 2 2 2 Ek ?
总势能

E p ? mg (| AM | ? | BM | ? | CM |)

? mg ( 3l ?

? 2 [sin 2 ? ? sin 2 (? ? 120?) ? sin 2 (? ? 240?)]
2l / 3
3 3? 2 ) 4l

)

? mg ( 3l ?

考虑一个收到正比到达圆心位移作用力

F ??

3 3 mg ? 2l

质量为 M ?

3 1 3m 2 1 3m 2 m ,动能为 Ek ? ( M ? ) x ? (M ? ) y 的质点 2 2 2 2 2

发现其动能和势能形式完全相同,因而其运动规律也相同,因此 M 在 x 和 y 方向分别做简 协振动。 ? 2 ?

3 3mg 3 2( M ? m) 2

把 OA 方向记为 x 正方向,则有 M 运动规律为:

x ? ?x cos(?t ) ; y ?

v0

?

sin(?t ) ;复合起来是一个椭圆。

五、 某人设计了一种潜艇, 利用电磁推进替代了螺旋桨。 潜艇推进器的结构简化为下图 所示。 水从推进管道中流过。 不考虑管道中水流与 管壁以及水之间的粘滞阻力作用。 管道中有一个长方体状的区域,该区域横截面积和入水口一样的,尺寸为 a ? b ? c ,其 中由超导磁铁产生了稳定磁场 B ,沿着 b 方向。在上下两个面上各有一块 a ? b 大小的 电极,进入直流电源。假设电流只在这个长方体区域内存在,并且是均匀的。稳定状态 电流大小为 I 。海水密度为 ? m ,海水电阻率为 ? 。 假设稳定流动后潜艇进水口压强为 p1 ,出水口的压强 p2 。入水口面积为 S1 ? b ? c , 出水口面积为 S 2 。 (1) 求出稳定流动后, 以潜艇为参照系, 进、 出水口的流速 v1 和 v2 。 用 p1 、 p2 、S1 、

S 2 、 ? 、 B 、 I 、 b 表达。
(2) 计算稳定流动后直流电源的功率是多少。用 p1 、 p2 、 S1 、 S 2 、 ? 、 B 、 I 、

b 、 a 、 ? m 表达
注:本题改编于 2013 年浙江高考理综第 25 题。
I

b c
B

a

【解答】 (1) 对于长方体内,由于进出口面积一样,因而流速不变, 所以安培力的效果是增加了压强 ?p ?

BIc BI ? S1 b

从长方体结束区域到出口,由于流量不变:

S1v1 ? S2v2

由于能量守恒,假设单位时间通过体积为 ?V

BI 1 1 ? v12 ?V +(p1 + )?V = ? v2 2 ?V +p2 ?V b 2 2
联立解得

v2 ?

2( p1 ? p2 ? BI / b)

?

S1 S ? S2 2
2 1

v1 ?

2( p1 ? p2 ? BI / b)

?

S2 S12 ? S2 2

(2) 单位时间内直流电源提供的能量为

P ? BIcv1 ? I 2 ? BI b

?mc
ab S2 S1 S ? S2
2 1 2

2( p1 ? p2 ? BI / b)

?

? I2

?m S1
ab 2

六、

回音壁效应

在应用光学中用这样一项技术。在折射率为 n1 ? 1.33 的介质中,有一些半径为

r ? 120nm 的折射率为 n2 ? 1.48 的小球。某些角度的光在小球的内壁上做全反射 n 次
后能恰好回到出发点,而光波转一圈回到出发点时相位和初态相比恰好相差 2? ? l ,其 中 l 为正整数, 则有可能引发一些量子效应, 使得小球对介质中该频率的光波进行吸收。 (1) 利用 n 和 l 表达出对应的光波波长 ? (n, l ) (2) 对于 545nm 到 555nm 范围内的光波, 那些波长的光会被吸收?标记出对应的 n, l 。

【解答】 (1)

?

如图,由于 n 次全反射之后回到出发点,因此 ? ? 由于发生全反射,因此 cos ? ?

2? ? ? 。 2n n

由于相位恰好相差 2? ? l ,因此光程

1.33 ,即 ? ? 0.454 ? 26.0? ,因此 n ? 4 1.48

1.48 ? 2nr sin ? ? l?
解得:

1.48 ? 2nr sin( ) n ?? l
(2) 先粗略估算 对于 l ? 1 , ? ? (1115.7nm,1004.7nm) 对于 l ? 2 , ? ? (502.3nm,557.9nm) 对于 l ? 3 , ? ? (371.9nm,334.9nm) 可见应当取 l ? 2 具体计算得到

?

n 波长/nm

9 546.7

10 548.8

11 550.4

12 551.6

13 552.5

14 553.3

15 553.9

16 554.4

17 554.8

注:我错了?原来是想问从 545nm 到 550nm 的?然后手抖了一下写成了 555nm,于是多了一 坨解?不影响做题 七、 如图两个底面积分别为 2S 和 S 的绝热圆筒,用一个细的绝热阀门连接。左右各有 一密闭的,绝热的,不记阻力不记重力的活塞,活塞上端通过一个理想的滑轮组连接。 大气压为 P0 。初态阀门关闭,左边充满体积为 2V0 温度为 T0 的理想气体,定体摩尔热 容量为 CV ?

3 R ,右边真空,体积为 V0 。 2

(1) 慢慢打开阀门至左右气压平衡的时候, 求左右体积 VL 、 及左右温度 TL 、 VR , TR 。 (2) 把绝热活塞换成导热活塞,把左边的面积换为 xS ,左边初态体积换为 xV0 ,打 开活塞,平衡态时左边体积是否可能不为 0,若存在求出对应 x 的范围。 提示:理想气体热导率非常低,即活塞绝热,且左右气体保持力平衡不再流动的时候, 两边温度可以在很长时间内维持不一样。 理想气体绝热方程为 pV =C ,其中 ? ?
?

CV ? R CV

2S

S

2V0

V0

【解答】 (1) 对于初态,由于右方为真空,假设左边气压为 p1 ,有 对于左边 对于右边 解得

N ? p1 ? 2S ? p0 ? 2S N ? p0 ? S

p1 ? 0.5 p0

对于末态,假设左边活塞没有到底,体积变为 VL ? mV0 , 则高度为

2V mV0 mV0 m V ,所以右方高度为 0 ? ? (2 ? ) 0 , S0 2 S0 2 S0 2S0

所以右方体积为 VR ? (2 ?

m )V0 2

由于两边气压相同,设为 p2 ,由受力平衡得到 p2 ? p0 。 对于从初态到末态,整体热力学第一定律有

nLCV TL ? nRCV TR ? nCV T0 ? p0 (2V0 ? VL ) ? p0 (VR ? V0 )
带入状态方程有

( p0VL ? p0VR ? 0.5 p0 ? 2V0 )
解得: m ? ?

CV ? p0 (2V0 ? VL ) ? p0 (VR ? V0 ) R

2 ,可见假设错误,左边活塞已经到顶。 5

此时 VL ? 0 , VR ? 2V0 同样从初态到末态,整体热力学第一定律有

nRCV TR ? nCV T0 ? p0 ? 2V0 ? p0 (VR ? V0 )
带入状态方程有

( pRVR ? 0.5 p0 ? 2V0 )

CV ? p0 ? 2V0 ? p0 (VR ? V0 ) R

由于左边活塞已经到达底端,所以绳子上可以有拉力,因此不要求 pR ? p0 。

而左边活塞刚刚到底之后气体就停止流动,因此 VR ? 2V0

5 po ? 2V0 5 5 解得: pR ? p0 ,温度 TR ? T0 6 ? T0 。 6 0.5 po ? 2V0 3
所以 VL ? 0 ; VR ? 2V0 ; TR ?

5 T0 。 3

注:在活塞即将到底的时候,由受力平衡: pL 2S0 ? p0 S0 ? pR S0 ? 2 p0 S0 , 解得 pL ?

11 p0 。 12
? ?1

对于没有进入右边的气体,绝热方程成立,因此 p 解得: TL ? (
3 11 8 ) T0 ,当左边气体即将漏尽时。 6

?T?

(2) 对于初态,由于右方为真空,假设左边气压为 p1 ,有 对于左边 对于右边 解得

N ? p1 ? xS ? p0 ? xS
N ? p0 ? S

p1 ?

x ?1 p0 ,初态平衡需要 x ? 1 x
V V0 ,右边高度变为 (2 ? m) 0 。 S0 S0

对于末态,假设左边活塞没有到底,高度变为 m

左边体积为 VL ? xmV0 ,右边体积为 VR ? (2 ? m)V0 , 由于两边气压相同,设为 p2 ,由受力平衡得到 p2 ? p0 。 对于从初态到末态,整体热力学第一定律有

nLCV TL ? nRCV TR ? nCV T0 ? p0 (2V0 ? VL ) ? p0 (VR ? V0 )
带入状态方程有

( p0VL ? p0VR ? 0.5 p0 ? 2V0 )
解得: m ?

CV ? p0 (2V0 ? VL ) ? p0 (VR ? V0 ) R

9 1 ,而 0 ? m ? 2 ,解得 ? x ? 1 ,与初态平衡矛盾 10 5(1 ? x)

可以见不存在。 八、 ? 介子一种可能的衰变模式为 ? ? e ? e ? ? 。其中 ? 为光子, e 为正电子,除电
0
0 ? ?

?

荷相反以外,性质几乎和 e 一致。某个 ? 介子在以 0.2c 的速度运动中发生上述衰变。在和
? 0

? 0 介子前进方向夹角为 ? ? 30? 方向上接受到一个电子。求这个电子速度大小的可能的范
围。已知 m? 0 ? 135MeV , me ? 0.511MeV ,普朗克常数 h ? 6.64 ?10 【解答】 本题书写中调整单位制 c ? 1 在质心系中观察,令电子动量为 p ,正电子动量为 p1 ,光子动量为 p2 由动量守恒得到
?34

J ?s

p ? p1 ? p2
由能量守恒得到

p 2c 2 ? me 2c 4 ? p12c 2 ? me 2c 4 +p2c ? m? c 2
若要求 p 最大,应当有 p1 ? 0 , p2 ? p (在这个情况下质心系动量和地面系动量单调) 解得

p ? 68MeV (其实可以看到 m? ?? me ,所以其实电子是极端相对论性的)
电子能量 Ee ?

p 2c2 ? me2 c4 ? 68MeV

因此在质心系中看到的电子可能的动量分布,在 px ? p y 图中看,在一个半径为 68MeV 的 圆的边界和内部。 换回到地面系中有

E 1 ? ( px ? 0.2 e ) ? px ' ? 2 c 1 ? 0.2 ? ? py ' ? py ?
因此在地面系中看到电子可能的动量分布为一个椭圆,其中 p0 ? 68MeV

(

py ' 2 px '? 0.2 p0 2 ) ?( ) ?1 1.02 p0 p0
py py '

px

px '

令 p y ' ? tan 30? px ' 得到:

py ' ? 0.59 p0 ; px ' ? 0.59 p0
于是 p ' ? ( px '2 ? p y '2 ) ? 1.18 p0 ? 79.8MeV 因此电子最大速度为 v ' ?

p' p ' ? me c
2 2 4

? (1 ? 2.8 ?10?4 )c

从图中可知电子速度最小速度可以是 0 注:本题也可以用速度变换公式进行,基本思路类似,略

2013 年物理竞赛决赛练习-第 01 套
命题人 孙鹏、蔡子星
一、 如图所示摩擦系数为 ? ? 0.5 的桌面上有一个边长为 l 的均质正方体木块,开始质

心距离桌角水平距离为 S ? 2l ,以初速度 v0 向右做减速运动。 a) b) 若木块底边始终不离开桌面所在平面,求 v0 应当满足条件 若木块底边能离开桌面所在平面, 但是还能落回桌面, 且在这个过程中没有出现滑 动,写出 v0 应当满足的方程。

v0
l S

二、 如图,一个质量为 m 半径为 r 长度为 l 的均匀质量圆柱,放在倾角为 ? 的足够长 的粗糙斜坡上。绕着圆柱的直径和侧边上绑一根轻导线,通有恒定的电流 I ,导线固定 在圆柱上。空间中有匀强磁场 B ,方向竖直向上。初态圆柱静止,电流圈在水平面内。 为了使得在以后的运动过程中圆柱不会滚出斜面,求电流 I 的最小值。用 m 、 g 、 r 、

l 、 ? 、 B 表示。
I

r

B

?

三、在电影极乐世界中描绘了这样的情景,建立一个巨大的圆筒型空间站,半径为 r ,绕轴 线旋转的角速度为 ? ,这样就可以有空气存于空间站中。要求在轴线处大气压为 p0 ,在边 缘处大气压为 p1 ,求圆筒的旋转角速度 ? 。已知空气摩尔质量为 ? ,假设大气为理想气体, 温度恒定为 T 。

四、

电偶极子由两个点电荷 ? q 和 ? q 组成,它们之间的距离固定为 l ,总质量

为 m 。偶极子朝着 x 轴的方向,以速度 v0 进入宽度为 2 L ?? l 的区域,如图所 示。在该区域内,没有其他自由电荷,电场的 x 方向分量大小为
? x2 ? E ( x) ? E0 ? 1 ? 2 ? 。 ? L ?

求偶极子所受的合力与其重心横坐标的关系式,其速度的最大值,以及 经过这 2 L 距离所需的时间。假设偶极子在空间中的方向始终不变。 b) 下图只标记了 x 方向的电场,实际电场线是一些曲线。求出通过(0,L ) 点的电场线方程。 (改编于 2012 年全俄物理奥林匹克竞赛)
a)

五、如图电路中 xR 为一个可变电阻,左下电流为 I ,中间是一个非线性元件 D 。

测得电流 I 和 x 之间的函数关系为

1 ? 3U 1 ? x ? 4 R 3x ? 1 ( x ? 3 ) ? ? U 1 I ?? ( ? x ? 3) ? 2R 3 ? 5U 1 ? x ( x ? 3) ? ? 4 R 3x ? 1
IR / U
xR

R
D

R
U0

R

I

1 2
1 3

1

x

请由此求出非线性元件 D 的 U ? I 关系。

六、子弹打木块。这是一个国内同学喜闻乐见的模型。考虑一个长方体木块,质

量为 M ? 1.0kg ,长 l ? 20cm ,宽 d ? 5cm ,高 h ? 10cm ,被一个架子轻轻夹住。一个
子弹质量为 m ? 10 g (可以认为 M ?? m ) ,从木块的正下方向上打入,初速度为 500m/s , 陷入木块后迅速达到相对静止。这样木块就会飞起一定高度 H 。

现在决定把子弹的入射点从正中央改到木块的边缘处,这样木块就一边旋转 一边向上飞起,这样木块就会飞起高度 H ' 。两种情况子弹都留在了木块中。 问题: (1)说明 H 和 H ' 的大小关系 (2)定量计算两种情况的能量转化。 1 提示:木块的绕中心轴的转动惯量为 I ? M (l 2 ? h 2 ) , 12 1 绕中心轴角动量为 L ? I? ,绕中心轴动能为 Ek ? I ? 2 2

七、 我们取一个经典的模型用于试图理解 ? 介子的构成。 假设 ? 介子是由上夸克 u

和反上夸克 u 构成,两个夸克都绕其质心圆周运动,两个夸克都是质点,质量均 为 mu ? 0.5MeV 。 两 者 之 间 的 强 相 互 作 用 势 能 表 示 U ( r ) ? ?
Ke ? r / r0 ,其中 r

r0 ? 1 ? 10?15 m , K 为常数。
(1)求出两个夸克间距为 r 时,两者之间的相互作用力。 (2)取玻尔原子模型,介子内总角动量为 L?n ,其中 n 为整数,
? 1.06 ?10?34 J ? s 。已知对于 ? 介子 n ? 1 ,并认为 u 夸克满足牛顿第二定律,由

此计算 K 的大小。已经 ? 介子直径为 r1 ? 1.2 ?10?16 m 。 (3)对于第二问中 u 的速度为多少?是否应当考虑侠义相对论效应?如果仅考 虑侠义相对论效应,即粒子动量为 p ?
mv 1 ? v2 / c2

,则 ? 介子质量应当为多少?

(4)接第三问,是否可能类似氢原子一样存在 n ? 2 的激发态?如果存在则激发 态的粒子 ? ' 的质量应当为多少?

2013 年物理竞赛决赛训练第 02 套
命题人 孙鹏 蔡子星
一、 荷兰宇航员 Andre Kuipers 在国际空间站上自拍的一张照片。 Kuipers 先让一大颗水 珠飘浮在空中,然后在水球内部注入一些空气。由于处在失重环境,水里的气泡不会浮 出水面,于是这个“中空”的水球就产生了奇妙的折射,形成了一大一小、一正一反的 2 个头像。

假设水球的半径为 10cm ,空气泡半径为 4cm ,人距离球心距离为 40cm 。 求出两个像距离球心的位置,以及放大率。

二、

某个位于 40N 127E 的国家发射一颗满载炸药的卫星,一次点火,使得卫星很快获
-2

得初速度 v0 ? 3.2km/s ,不考虑地球自转对卫星初速度的影响。 g ? 9.8ms ,地球半 径为 R ? 6.37 ?10 m 。要求在地心惯性系中看,落地点跨过的弧度最大,则卫星发射
6

与地面夹角为多少?卫星发射到落地经过多长时间?

三、 (改编自罗马尼亚物理竞赛试题)S 和 B 造了一个方形轮子的车。注意看轮子是完全 方的。这种车在某种路面(周期性的路面,每个周期内有个墩子,请看图中下方黑色的 线??)上行驶正好能非常“平稳” (车子总体的重心不会在竖直方向上变化) 。车子的 重量(不含轮子)为 Mg,均匀的分布。假设车子只受到重力和支持力。开始时候车的 速度是 v0 ,从墩子顶部开始运动

1. 研究车子的动能,已知一个“轮子”的质量为 m,边长为 2a,求一个轮子绕着自己 的轴的转动惯量为 I ?

1 2 ma ,当轮子的角速度为 w ,求以下情景整个车子的动能 6

的表达式 a. 刚好通过路墩顶端的时候 b. 轮子经过路墩底部的“谷”的时候 2. 研究路面的形状 仔细看这个图,其中 AB 表示车轮的底边, G 是轮子的轴,开始时刻正好在“墩子” 的顶端。经过一段时间后会歪一点到达 A ' B ' ,新的轴的位置 G ' 。整个路面会重复 这个“墩子”周期性的。 a. 请解释为什么 G ' 能保持高度不变? b. 请写出 y = f ( x ) “墩子”的形状方程 c. 墩子的长度? d. 最小的两个轮子之间的间距? e. 能不能用一个六边形的轮子在一样的路面上走?

四、

在 2008 年 Y. C. Seow, A. Q. Liu 等人做出了一种新的可以变焦距的透镜。 如图所示,

两种液体冲入一个透明的容器,中间流过液体 A ,折射率为 n1 ,密度为 ?1 ,两边流入 液体 B ,折射率为 n2 ,密度为 ? 2 ,两种液体不相溶。两个液面之间的表面张力系数为

? 。通过控制不同的入口的形态和流速就能控制中间液体的形状。假设流体入口处的
压强为 p0 , 三束流体的初速度为 v0 , 到中间透光位置的地方, 流速变为 vcll 、vco 、vclr 。 不考虑能量损失,取薄透镜近似。求出等效的焦距。 有兴趣的同学可以查看论文源地址 http://arxiv.org/ftp/physics/papers/0104/0104079.pdf

五、 考虑太空版植物大战僵尸。 豌豆射手以速度 v ? 0.8c 沿 x 轴运动。 在豌豆射手看来, 它每隔 1s 发射一个豌豆,方向与 x 轴夹角为 ? 。在地面参照系中看,一个铁栅门僵尸 以速度 v ? 0.6c 冲着豌豆飞过来,速度与 x 轴负方向夹角为 ? ? 30? 。我们把豌豆想象 成为光子。 a) ? 等于多少的时候,在地面才能看见豌豆发射的方向与 x 轴夹角为 30? b) 求这个僵尸看来,它被打到两个豌豆的时间间隔为多少。 c) 在僵尸看来,豌豆是垂直于铁栅门运动的。如果这个僵尸能把豌豆原速度反弹。求 在地面上看来,两个豌豆到达 x 轴的时间间隔。

六、

如图,把两个足够长的密绕螺线管套在一起,单位长度匝数为 n ,半径几乎都未为 r 。左右螺线管电流为 I 。

按照安培环路定理,无限长螺线管中间的地方磁场强度为 B ? ?0 nI 。由于边界效应, 在距离边界距离为 x 的地方,左边的线圈的位置有法向磁场 Bn 。

B?

Bn

B0
?B? 和 Bn 之间应当满足的关系。 ?x

(a) 考虑到封闭的区域磁通量之和为 0,写出

(b) 假设管子足够长,估算两者之间的安培力合力大小。

七、

如图把一个面积为 S ,厚度为 d 的平行板密封起来,内部充满理想气体,气体的

相对介电常数为 ? r ? 1 ? ? , 其中 ? 与分子的数密度成正比。 电容器中间插入一个面积为 S , 带电为 Q 的金属板,把容器均分成两部分。然后推动金属极板。求当中间板与左板间距为 x 时,中间的极板受力。已知电容器左右两个接地,假设气体温度恒定为 T ,初态压强为 p0 。

d

S

Q

2013 年物理竞赛决赛训练-第 03 套
命题人 孙鹏 蔡子星
一、 线圈缠在强导磁率的环,线圈有 N ? 2000 匝,电感 L ? 5H 。线圈两端接上电阻

R ? 200? 的电阻器。电压 U 0 ? 1.5 V 的电池接在线圈一端与从这端算起的第 300 匝
上。接上电池后经过时间 t ? 0.1s ,通过线圈两部分电流是多少?电池是理想的,磁通 量的散失不计。

二、

如图一个平凸透镜,折射率为 n ? 1.58 ,凸面曲率半径为 R ? 10cm ,透镜半径 r ? 5cm 。 考虑傍轴近似,焦点 F 距离凸面中心 f 多少? 考虑全部光线, 平光入射整个透镜平面, 在焦点所在平面上的光斑直径 ? 大小为多 少? 减小透镜半径则 ? 变小; 然而足够小之后需要考虑小孔衍射, 平行光通过直径为 ?

a) b) c)

1.22? 范围内, 从而在焦平面形成一个 ? 亮斑半径为 ? ' 。假设实际情况光斑半径为 ? ? ? ' ,波长 ? ? 550nm ,求最小的光
的圆孔后形成衍射光集中在距离主光轴 ? ? 斑半径以及对应的透镜半径。

三、

如图有三个无限长的共轴圆柱,半径依次为 a, b, c ,长度 l 远大于半径。内部半径

为 a ,带电 Q ,质量为 m ;外部半径为 c ,带电 ?Q ,质量为 M 。中间半径为 b ,是 一个固定的无限长螺线管,单位长度匝数为 n 。不考虑高阶感应。 a) 当螺线管中电流从 I 逐渐下降到 0 ,求内外筒的角动量。 b) 电磁场动量密度为 p ? ? 0 E ? B ,求上一个过程中电磁场的角动量变化。

I

2. 1. +

四、 a) b)

如图一个长度为 l 细绳,下面吊一根质量 m ,长度为 L 的细棒。初态保持竖直。 用冲量 J 沿着水平方向打击细棒底端,求此时棒子质心的速度和角速度。 若改为水平击打棒子 1/3 的位置,棒子的横截面上能承受的冲量矩最大为 M 0 ,则 需要多大的冲量才能将棒子击断?

五、 下图所示的平面机构中,杆 AB 以不变的速度 v 沿水平方向运动,套筒 B 与杆 AB 的端点铰接,并套在绕 O 轴转动的杆 OC 上,可沿该杆滑动。已知 AB 和 OE 两平行线间 的垂直距离为 b。求在图示位置( ? ? 60 , ? ? 30 ,OD=BD)时,杆 OC 的角速度和
o o

角加速度、滑块 E 的速度和加速度。

六、

空间中建立立体直角坐标系 x ? y ? z , z 为上方。在曲面 3( z ? ) 2 ? x 2 ?

l 3

l2 y ( 3

任意)的下方是电导率为 ? 的足够深的介质。这样此图形“横看成岭侧成峰” 。在

x ? 0, z ? ?l 的位置埋有一根沿着 y 方向延伸足够长的半径为 r 金属导线,并其中

? 。求介质内 z 轴上任意一点电场。

r ?? l ,接电源正极,足够远的地方接电源负极,使得每单位长度导线稳定流出电流为

(提示:利用电像法,注意边界条件为法向电场为 0,而非等势。 )

七、

如图两个绝热容器体积为 V0 ,横截面积为 S ,初态左边压强为 p0 ,右边压强为

2 p0 ,中间有一个绝热小孔,右边有一个绝热活塞。初态温度为 T0 。保持右侧恒压推
动活塞相左,直到两边压强平衡。求此时两边温度。摩尔定容热容量为 CV ,绝热方程 为 pV ? ? C ,其中 ? ?

CV ? R 。提示:小孔能保持力平衡,而热平衡足够缓慢。 CV


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