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山东省山师附中2014届高三11月期中学分认定考试 数学文


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山东省青岛市 2014 届高三上学期期中考试 数学(理科)练习题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔和 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、考试科目、试 卷类型填涂在答题卡规定的位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净 后,再选涂其他答案标号.答案不能答在试题卷上. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)作答,答案必须写在答题纸各题目指定区域内相应 的位置,不能写在试题卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶 带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.已知全集 U ? R , A ? {x | y ? A. [0, ??) B. (??,0)

2 x ? 1} ,则 CU A ?
C. (0, ??) D. (??,0]

2.已知命题 p 、 q ,则“ p ? q 为真”是“ p ? q 为真”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.向量 a ? ( , tan ? ) , b ? (cos ? ,1) ,且 a ∥ b ,则 cos 2? ? A. ?

?

1 3

?

?

?

1 3

B.

1 3

C. ?

7 9

D.

7 9

4.在正项等比数列 {a n } 中, lg a3 ? lg a6 ? lg a9 ? 6 ,则 a1 a11 的值是 A. 10000 B. 1000 C. 100
x

D. 10

5.已知 a ? 0, 且 a ? 1 ,函数 y ? log a x, y ? a , y ? x ? a 在同一坐标系中的图象可能是

y
1
O
A

y
1 1 1 1

y

y

1

x

O
B

x

O
C

1

x

O
D

1

x

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6.定义运算 是

a c

b d

? ad ? bc ,若函数 f ? x ? ?

x ?1 ?x

2 x?3

在 (??, m) 上单调递减,则实数 m 的取值范围

A. (?2, ??)

B. [?2, ??)

C. (??, ?2)

D. (??, ?2]

?x ? 0 y ?1 1 ? 7.设 x , y 满足约束条件 ? y ? 0 ,若目标函数 z ? 的最小值为 ,则 a 的值为 x ?1 2 ?2 x ? 3 y ? a ?
A. 2 8.已知 cos(x ? B. 4 C. 6 D. 8

?
6

)??

3 ? ,则 cos x ? cos(x ? ) ? 3 3
B. ?

A. ?

2 3 3

2 3 3

C. ? 1

D. ? 1

9.下列命题中正确的是

1 的最小值是 2 x 4 2 C. y ? sin x ? 的最小值是 4 sin 2 x
A. y ? x ?

B. y ? 2 ? 3x ?

4 ? x ? 0 ? 的最大值是 2 ? 4 3 x 4 D. y ? 2 ? 3x ? ? x ? 0 ? 的最小值是 2 ? 4 3 x

* 10.已知等差数列 ? an ? 的公差 d ? 0 ,若 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2013 ? 2013at ( t ? N ) ,则 t ?

A. 2014

B. 2013

C. 1007

D. 1006

? ? ? ? a b ? 11.设 a 、 b 都是非零向量,下列四个条件中,一定能使 ? ? ? ? 0 成立的是 |a| |b|
A. a ? ? b

?

1? 3

B. a / / b

?

?

C. a ? 2b

?

?

D. a ? b

?

?

12.已知函数 f ( x) 的导函数图象如图所示,若 ?ABC 为锐角三角形,则一定成立的是 A. f (cos A) ? f (cos B) B. f (sin A) ? f (cos B) C. f (sin A) ? f (sin B) D. f (sin A) ? f (cos B)

y

? O 1

x

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

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二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.已知函数 f ( x) ? ?

?log 1 x, x ? 1 ? 2 ?2 ? 4 , x ? 1 ?
x

,则 f ( f ( )) ?

1 2

.

14.曲线 y ? 2sin x 0 ? x ? ? ) 与直线 y ? 1围成的封闭图形的面积为 (

.

15. 已 知 函 数 f ( x) 是 (??, ??) 上 的 奇 函 数 , 且 f ( x) 的 图 象 关 于 直 线 x ? 1 对 称 , 当 x ? [?1,0] 时, f ( x) ? ? x ,则 f (2013) ? f (2014) ? .

16.若对任意 x ? A , y ? B , A 、 B ? R )有唯一确定的 f ( x, y ) 与之对应,称 f ( x, y ) 为关于 x 、 y 的 ( 二元函数. 现定义满足下列性质的二元函数 f ( x, y ) 为关于实数 x 、 y 的广义“距离”: (1)非负性: f ( x, y ) ? 0 ,当且仅当 x ? y 时取等号; (2)对称性: f ( x, y ) ? f ( y, x) ; (3)三角形不等式: f ( x, y ) ? f ( x, z ) ? f ( z , y ) 对任意的实数 z 均成立. 今 给 出 个 二 元 函 数 :① f ( x, y ) ?| x ? y | ; ② f ( x, y ) ? ( x ? y )
2

③ f ( x, y ) ?

x? y ; ④

f ( x, y) ?


能 s i?n ( .y 则 ) 够 成 为 关 于 的 x 、 y 的 广 义 “ 距 离 ” 的 函 数 的 所 有 序 号 x .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin ? x cos ? x ? 2 3 sin ? x ? 3 ( ? ? 0 )的最小正周期为 ? .
2

(Ⅰ)求函数 f (x) 的单调增区间; (Ⅱ) 将函数 f (x) 的图象向左平移

? 个单位, 再向上平移 1 个单位, 得到函数 y ? g ( x) 的图象. y ? g ( x) 若 6

在 [0, b](b ? 0) 上至少含有 10 个零点,求 b 的最小值.

18. (本小题满分 12 分)
2 已知数列 {d n } 满足 d n ? n ,等比数列 {an } 为递增数列,且 a5 ? a10 , 2(an ? an ? 2 ) ? 5an ?1 , n ? N .

?

(Ⅰ)求 an ; (Ⅱ) cn ? 1 ? (?1) an , 令 不等式 ck ? 2014(1 ? k ? 100, k ? N ) 的解集为 M , 求所有 d k ? ak (k ? M ) 的
n
?

和. 19. (本小题满分 12 分)

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??? ???? ? 2 2 在 ?ABC 中,角 A B、C 对边分别是 a、b、c ,且满足 2 AB ? AC ? a ? (b ? c) . 、
(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 4 3 , ?ABC 的面积为 4 3 ,求 b, c .

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ? b(b ? R) .
2

(Ⅰ)若函数 f ( x) 的值域为 [0, ??) ,若关于 x 的不等式 f ( x) ? c(c ? 0) 的解集为 (k , k ? 6)(k ? R) ,求

c 的值;
(Ⅱ)当 b ? 0 时, m 为常数,且 0 ? m ? 1 , 1 ? m ? t ? m ? 1,求

f (t ) ? t 2 ? t 的取值范围. f (t ) ? 2t ? 1

21. (本小题满分 13 分) 某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为 4 元,并且每件商品需向总店交 a(1 ? a ? 3) 元的管理 费,预计当每件商品的售价为 x(7 ? x ? 9) 元时,一年的销售量为 (10 ? x) 万件.
2

(Ⅰ)求该连锁分店一年的利润 L (万元)与每件商品的售价 x 的函数关系式 L( x) ; (Ⅱ)当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润 L 最大,并求出 L 的最大值. 22. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? e ?
x

1 2 x ? ax (a ? R) . 2

(Ⅰ)若函数 f ( x) 的图象在 x ? 0 处的切线方程为 y ? 2 x ? b ,求 a , b 的值; (Ⅱ)若函数在 R 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)如果函数 g ( x) ? f ( x) ? (a ? ) x 有两个不同的极值点 x1 , x2 ,证明: a ?
2

1 2

e . 2

高三数学(理科)练习题

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参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分. B A D A C D A C B C A D 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13. ?2 14. 2 3 ?

2? 3

15. ?1

16.①

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意得

f ( x) ? 2sin ? x cos ? x ? 2 3 sin 2 ? x ? 3

? sin 2? x ? 3 cos 2? x ? 2sin(2? x ? ) 3
由周期为 ? ,得 ? ? 1 . 由正弦函数的单调增区间得 得 f ? x ? ? 2sin(2 x ?

?

??????2 分

?
3

)

??????4 分

2k? ?

?
2

? 2x ?

?
3

? 2k? ?

?
2

,得 k? ?

?
12

? x ? k? ?

所以函数 f (x) 的单调增区间是 [k? ? (Ⅱ)将函数 f (x) 的图象向左平移

?
12

, k? ?

? 个单位,再向上平移 1 个单位, 6

5? ] , k ? Z ??????6 分 12

5? ,k ?Z 12

得到 y ? 2sin 2 x ? 1 的图象,所以 g ( x) ? 2sin 2 x ? 1 ??????????8 分 令 g ( x) ? 0 ,得: x ? k? ?

7? 11? 或 x ? k? ? (k ? Z) ??????????10 分 12 12

所以在每个周期上恰好有两个零点, 若 y ? g ( x) 在 [0, b] 上有 10 个零点, 则 b 不小于第 10 个零点的横坐标即可, 即 b 的最小值为 4? ?

11? 59? ? 12 12

??????????12 分

18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设 {an } 的首项为 a1 ,公比为 q ,
4 2 9 所以 (a1q ) ? a1q ,解得 a1 ? q 2

????2 分

又因为 2(an ? an ? 2 ) ? 5an ?1 ,所以 2(an ? an q ) ? 5an q 则 2(1 ? q ) ? 5q , 2q ? 5q ? 2 ? 0 ,解得 q ?
2
2

1 (舍)或 q ? 2 2

????4 分

所以 an ? 2 ? 2

n ?1

? 2n

????6 分

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(Ⅱ)则 cn ? 1 ? (?1) an ? 1 ? ( ?2) , d n ? n
n n

n 当 n 为偶数, cn ? 1 ? 2 ? 2014 ,即 2 ? ?2013 ,不成立
n

n 当 n 为奇数, cn ? 1+2 ? 2014 ,即 2 ? 2013 ,
n

因为 2 =1024, =2048 ,所以 n ? 2m ? 1,5 ? m ? 49 2
10 11

????9 分

则 {d k } 组成首项为 11,公差为 2 的等差数列

{ak }(k ? M ) 组成首项为 211 ,公比为 4 的等比数列
则所有 d k ? ak (k ? M ) 的和为

45(11+99) 211 (1 ? 445 ) 2101 ? 2048 2101 ? 5377 ????12 分 ? ? 2475 ? ? 2 1? 4 3 3
19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意可得
2bc cos A ? a2 ? b2 ? c2 ? 2bc , 由余弦定理 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A 得 4bc cos A ? ?2bc , 1 2? ∴ cos A ? ? , ∵ 0 ? A ? ? ,∴ A ? 2 3

??????2 分 ?????4 分 ??????6 分

(Ⅱ) S ?

1 bc sin A ? 4 3 ? bc ? 16 2

??????8 分

a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? b2 ? c2 ? 32 ? b ? c ? 8 ??????10 分
解得: b ? c ? 4 20. (本小题满分 12 分) ??????12 分

解(Ⅰ)由值域为 [0 , ?) ,当 x2 ? 2x ? b=0 时有 V? 4 ? 4b ? 0 , ? 即b ?1 ????2 分

则 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1 ? ( x ? 1)2 ,由已知 f ( x) ? ( x ? 1) 2 ? c 解得 ? c ? x ? 1? c , ? c ? 1 ? x ? c ? 1 ?????4 分

不等式 f ( x) ? c 的解集为 (k , ? 6) ,∴ ( c ? 1) ? (? c ? 1) ? 2 c ? 6 , k 解得 c ? 9
2

?????6 分

(Ⅱ)当 b ? 0 时, f ( x) ? x ? 2 x ,所以

f (t ) ? t 2 ? t t = 2 f (t ) ? 2t ? 1 t ? 1

因为 0 ? m ? 1 , 1 ? m ? t ? m ? 1,所以 0 ? 1 ? m ? t ? m ? 1 ? 2

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1? t2 t ?(t )= 2 令 g (t )= 2 ,则 g ?????8 分 (t ? 1) 2 t ?1
当 0 ? t ? 1 时, g ?(t ) ? 0 , g (t ) 单调增,当 1 ? t ? 2 时, g ?(t ) ? 0 , g (t ) 单调减, 所以当 t ? 1时, g (t ) 取最大值, g (1) ? 因为 g (1 ? m) ? g (1 ? m) ?

1 ?????10 分 2

1? m 1? m ? 2 (1 ? m) ? 1 (1 ? m) 2 ? 1

?2m3 ? ? 0 ,所以 g (1 ? m) ? g (1 ? m) [(1 ? m) 2 ? 1][(1 ? m) 2 ? 1]
所以 g (t )=

1? m 1 t 的范围为 [ , ] ?????12 分 2 (1 ? m) ? 1 2 t ?1
2

21. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由题得该连锁分店一年的利润 L (万元)与售价 x 的 函数关系式为 L( x) ? ( x ? 4 ? a)(10 ? x) , x ?[7,9] .
2

???????????3 分

(Ⅱ) L?( x) ? (10 ? x) ? 2( x ? 4 ? a)(10 ? x)
2

? (10 ? x)(18 ? 2a ? 3x), ????????????????6 分 2 ' 令 L ( x) ? 0 ,得 x ? 6 ? a 或 x ? 10 ???????????8 分 3 20 2 ?1 ? a ? 3,? ? 6 ? a ? 8 . 3 3 2 3 ①当 6 ? a ? 7 ,即 1 ? a ? 时, 3 2 ? x ? [7,9] 时, L?( x) ? 0 , L( x) 在 x ?[7,9] 上单调递减, 故 L( x)max ? L(7) ? 27 ? 9a ?????10 分 2 3 ②当 6 ? a ? 7 ,即 ? a ? 3 时, 3 2 2 2 ? x ? [7, 6 ? a] 时, L' ( x) ? 0 ; x ? [6 ? a,9] 时, L?( x) ? 0 3 3 2 2 ? L( x) 在 x ? [7, 6 ? a] 上单调递增;在 x ? [6 ? a,9] 上单调递减, 3 3 2 a 3 故 L( x)max ? L(6 ? a) ? 4(2 ? ) ?????12 分 3 3 3 答:当 1 ? a ? 每件商品的售价为 7 元时,该连锁分店一年的利润 L 最大,最大值为 27 ? 9a 万元; 2 3 2 a 3 当 ? a ? 3 每件商品的售价为 6 ? a 元时,该连锁分店一年的利润 L 最大,最大值为 4(2 ? ) 万 2 3 3
元. ?????13 分

22. (本小题满分 13 分)

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解: (Ⅰ)∵ f ?( x) ? e ? x ? a ,
x

∴ f ?(0) ? 1 ? a . 于是由题知 1 ? a ? 2 ,解得 a ? ?1 .??????????????????2 分 ∴ f ( x) ? e x ? ∴ f (0) ? 1 ,

1 2 x ?x. 2

于是 1 ? 2 ? 0 ? b ,解得 b ? 1.????????????????????4 分 (Ⅱ)由题意 f ?( x) ? 0 即 e ? x ? a ? 0 恒成立,
x

∴ a ? e ? x 恒成立.????????????????????5 分
x

设 h( x) ? e ? x ,则 h?( x) ? e ? 1 .
x x

当 x 变化时, h?( x) 、 h( x ) 的变化情况如下表:

x h?( x) h( x )
∴ h( x) min ? h(0) ? 1 ,

(??, 0)
?
减函数

0 0
极小值

(0, ?) ?

?
增函数

∴ a ? 1 ????????????????????????????8 分 (Ⅲ)由已知 g ( x) ? e ?
x
x

1 2 1 x ? ax ? ax 2 ? x 2 ? e x ? ax 2 ? ax , 2 2

∴ g ?( x) ? e ? 2ax ? a . ∵ x1 , x2 是函数 g ( x) 的两个不同极值点(不妨设 x1 ? x2 ) , ∴ e ? 2ax ? a ? 0 ( ? )有两个不同的实数根 x1 , x2 ?????????10 分
x

1 时,方程( ? )不成立 2 e x (2 x ? 1) ex ex 则a ? ,令 p( x) ? ,则 p?( x) ? (2 x ? 1) 2 2x ?1 2x ? 1 1 由 p?( x) ? 0 得: x ? 2 当 x 变化时, p ( x) , p?( x) 变化情况如下表: 1 1 1 (??, ? ) (? , ) x 2 2 2 p( x) ? ?
当x??

1 2 0

1 ( , ??) 2 ?
单调递 增

p?( x)

单调递 减

单调 递减

极 小值

∴当 x ? (??, ? ) 时,方程( ? )至多有一解,不合题意;?????12 分 当 x ? (? , ??) 时,方程( ? )若有两个解,则 a ? p ( ) ? 所以, a ?

1 2

1 2

1 2

e 2

e ?????????????????????13 分 2

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