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2010----2011学年下学期第一次月考高二数学(选修2-2)模块试卷


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2010—2011 学年下学期第一次月考

高二数学(选修 2-2)模块试卷
(满分:150 分;时间:120 分钟)

第Ⅰ卷 (选择题

共 50 分)

一、 选择题(本大题共 10 小题,每小题

5 分,共 50 分.每小题只有一个选项符合题目要求.
请将答案填涂在第 页的答题卡上 ) ........5 . ...... 1 1、设函数 f(x)=2x+ -1(x<0),则 f(x) ( x A.有最大值 C.是增函数 ) B.有最小值 D.是减函数

2、设 a ? R ,若 (a ? i) 2 i ( i 为虚数单位)为正实数,则 a ? ( A.2 B.1 C.0

) D. ?1

3、图 1 是一个水平摆放的小正方体木块,图 2,图 3 是由这样的小正方体木块叠放而成的, 按照这样的规律放下去,至第七个叠放的图形中,小正方体木块总数就是( )

A.25 C.91

B.66 D.120 )

2 4、求曲线 y ? x 与 y ? x 所围成图形的面积,其中正确的是(

A. S ? C. S ?

? (x
0

1

2

? x)dx ? y)dy

B. S ? D. S ?

? (y ?
0 1 0

1

y )dy
2

? (y
0

1

2

? ( x ? x )dx

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5、正整数按图 4 的规律排列:

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图4 则上起第 2005 行,左起第 2006 列的数应为( A. 20052 B. 20062 ) D. 2005 ? 2006

C. 2005 ? 2006

6、已知函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如图 5 所示,那么 y=f(x),y=g(x)的图象可能 是 ( )

图5 7、已知 f(x)=x2+2xf′(1),则 f′(0)等于 (
第 2 页 共 14 页

)

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A.-4 B.0

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C.-2 D.2

lim f ' ( x0 ) ? ?3 ,则 h?0 8、若
A. ? 3

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? 3h) ? h (
C. ? 9 )

) D. ?6

B. ?12

9、给出下面四个类比结论(

①实数 a, b, 若 ab ? 0 则 a ? 0 或 b ? 0 ;类比向量 a, b, 若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0
2 ②实数 a, b, 有 (a ? b) 2 ? a 2 ? 2ab ? b 2 ; 类比向量 a, b, 有 (a ? b) ? a ? 2a ? b ? b 2 2

③向量 a ,有 a

2

? a ;类比复数 z ,有 z ? z 2

2

2

2 2 2 2 ④实数 a , b 有 a ? b ? 0 ,则 a ? b ? 0 ;类比复数 z , z 2 有 z1 ? z2 ? 0 ,则

z1 ? z 2 ? 0
其中类比结论正确的命题个数为( A、0 B、1 ) C、2 D、3

10、定义在 (??,??) 上的偶函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x) ,且 f ( x) 在 [?1,0] 上是增函 数,下面五个关于 f ( x) 的命题中: ① f ( x) 是周期函数; ② f ( x) 图像关于 x ? 1 对称; ③ f ( x) 在 [0,1] 上是增函数; ④ f ( x) 在 [1,2] 上为减函数; ⑤ f (2) ? f (0) , A.1 个 正确命题的个数是( B.3 个 ) C.2 个 D.4 个

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第Ⅱ卷 (非选择题

共 100 分)

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请把正确的答案填写在第 也的答 ...........5 . ...
题纸上 ) ...

1 11、若三角形内切圆的半径为 r ,三边长为 a,b,c ,则三角形的面积等于 S ? r (a ? b ? c) , 2
根据类比推理的方法,若一个四面体的内切球的半径为 R ,四个面的面积分别是

S1,S2,S3,S4 ,则四面体的体积 V ?
12、已知经过计算和验证有下列正确的不等式: 1 ?



1 1 1 1 1 ,1 ? ? ? 1,1? ? ? 2 2 3 2 3

?

1 3 ? , 7 2


1?

1 1 ? ? 2 3

?

1 ? 2, 15

,根据以上不等式的规律,写出一个一般性的不等式

?log ( x ? 1), x ? 0, 13、已知函数 f ( x) ? ? 2 若函数 g ( x) ? f ( x) ? m 有 3 个零点,则实数 m 的 2 ?? x ? 2 x, x ? 0.
取值范围是 .

14、图 6 是按照一定规律画出的一列“树型”图:

图6 设第 n 个图 a n 个树枝,则 an ?1 与 an (n ≥ 2) 之间的关系是




15、设曲线 y=xn 1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn, 则 x1· x2· ?· xn 的值 为________.

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2010—2011 学年下学期第一次月考

高二数学(选修 2-2)模块试卷答题卷
(满分:150 分;时间:120 分钟) 题号 答案 11、 13、 12、 14、 15、 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分 评卷人

得分

评卷人

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 得分 评卷人 16、 (本小题满分 12 分)
已知 z 1 、 z 2 为复数, z1 ?

3 ? (10 ? a 2 )i 、 a?5

z2 ?

2 ? (2a ? 5)i?(a ? R )? ,若 z1 ? z2 是实数,求 z2 的值. 1? a

得分

评卷人 17、 (本小题满分 12 分)

设函数 f ( x )

? 2ax ?

b ? 1nx x ,

1 f ( x)在x ? 1, x ? 处取得极值 2 (Ⅰ)若 , 1 [ , 2]存在x0,使得不等式f ( xo ) ? c ? 0成立,求c最小值 (i)求 a、 b 的值; (ii) 在 4 .
(Ⅱ)当 b ? a时,若 f ( x)在(0, ??) 上是单调函数,求 a 的取值范围。 (参考数据 e ? 7.389, e ? 20.08)
2 3

得分

评卷人

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18、 (本小题满分 12 分)
蜜 蜂被认为 是 杰出的建筑师, 单个 似地看作是一个正 图为一组蜂巢的截 第一个图有 1 个蜂 图有 7 个蜂巢, 第三 蜂巢, 按此规律, 以 第 n 幅图的蜂巢总数. (1)试给出 f (4), f (5) 的值,并求 f (n) 的表达式(不要求证明) ; (2)证明: 自然界中最 蜂巢可以近 六边形,如 面图. 其中 巢,第二个 个图有 19 个 f ( n) 表 示

1 1 1 ? ? ? f (1) f (2) f (3)

?

1 4 ? . f ( n) 3

得分

评卷人

19、 (本小题满分 12 分)

/ 已知函数 f ( x) 是在 (0,??) 上每一点均可导的函数,若 xf ( x) ? f ( x) 在 x ? 0

时恒成立. (1)求证:函数 g ( x) ?

f ( x) 在 (0,??) 上是增函数; x

(2)求证:当 x1 ? 0, x2 ? 0 时,有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; (3)请将(2)问推广到一般情况,并证明你的结论.

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得分

评卷人

20、 (本小题满分 13 分)

某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为 3 元,并且每件产品需向总公司交 a 元( 3 ? a ? 5 )的管理费,预计当每件产品的售价为 x 元( 9 ≤ x ≤11 )时,一年的销售 量为 (12 ? x)2 万件. (1)求分公司一年的利润 L (万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式; ( 2 )当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润 L 最大,并求出 L 的最大值

Q(a) .

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得分 评卷人

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21、 (本小题满分 14 分)

对于定义在区间 D 上的函数 f ( x ) ,若存在闭区间 [a, b] ? D 和常数 c ,使得对任意

x1 ?[a, b] ,都有 f ( x1 ) ? c ,且对任意 x2 ∈D,当 x2 ?[a, b] 时, f ( x2 ) ? c 恒成立,则称
函数 f ( x ) 为区间 D 上的“平底型”函数. (Ⅰ) 判断函数 f1 ( x) ?| x ?1| ? | x ? 2 | 和 f 2 ( x) ? x? | x ? 2 | 是否为 R 上的 “平底型” 函数? 并说明理由; (Ⅱ) 设 f ( x) 是 (Ⅰ) 中的 “平底型” 函数, k 为非零常数, 若不等式 | t ? k | ? | t ? k |?| k | ? f ( x) 对一切 t ?R 恒成立,求实数 x 的取值范围; (Ⅲ)若函数 g ( x) ? mx ? x 2 ? 2x ? n 是区间 [?2, ??) 上的“平底型”函数,求 m 和 n 的 值.

第 8 页 共 14 页

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2010—2011 学年下学期第一次月考

高二数学(选修 2-2)模块试卷参考答案

第Ⅰ卷 (选择题

共 50 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.) 1.A 2. B 3.C 4.D 5.C 6.D 7. A 8.B 9.D 10.B

第Ⅱ卷 (非选择题
11、 R(S1 ? S2 ? S3 ? S4 ) 13、 (0,1)
16、 (本小题满分 12 分) 解:由 z1 ?

共 100 分)
1 1 ? ? 2 3 ? 1 n ? (n ? N? ) 2 ?1 2
n

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.)

1 3

1? 12、

14、 an ?1

? 2an ? 2

15、

1 n+1

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.)
3 ? (10 ? a 2 )i, a?5 3 2 ? ? [(a 2 ? 10) ? (2a ? 5)]i a ? 5 1? a
????2 分 ????4 分 ????7 分 ????10 分 ????12 分

? z1 ? z2 ?

? a 2 ? 2a ? 15 ? 0, 解得a ? ?5, 或a ? 3,
又分母不为零,? a ? 3

? z2 ? ?1 ? i

z2 ? 2

17、 (本小题满分 12 分)

f ( x) ? 2ax ?
(Ⅰ)( i )

b ? 1nx x ,定义域为 (0,??)

? f '( x) ? 2a ?

b 1 ? x2 x 。

?????????1 分

f ( x)在x ? 1, x ?

1 1 ? f '(1) ? 0, f '( ) ? 0 2 处取得极值, 2

?????2 分

1 ? a?? ? 2 a ? b ? 1 ? 0 ? ? 3 解得 ? ? ?2a ? 4b ? 2 ? 0 ?b ? ? 1 ? 3 ? 即
第 9 页 共 14 页

1 1 ? 所求a、b的值分别为- , ? 3 3 ????3 分

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1 [ , 2]存在xo , 使得不等式 f ( xo ) ? c ? 0成立,只需c ? [ f ( x)]min , (ii)在 4

2 x 2 ? 3x ? 1 2 1 1 (2 x ? 1)( x ? 1) f '( x) ? ? x ? 2 ? ? ? ?? 2 3 3x x 3x 2 3x 由 ,
1 1 1 1 ?当x ? [ , ]时,f '( x) ? 0, 故 f ( x)在[ , ]是单调递减 4 2 4 2 ; 1 1 x ? [ ,1]时,f '( x) ? 0,故 f ( x)在[ ,1]是单调递增 2 2 当 ;

当x ?[1, 2]时,f '( x) ? 0,故 f ( x)在[1, 2]是单调递减 ;
1 1 ? f ( )是f ( x)在[ , 2]上的极小值 2 4 .

????????5 分

3 1 3 1 1 1 1 7 f ( ) ? ? 1n ? ? 1n2 f (2) ? ? ? 1n2 f ( ) ? f (2) ? ? 1n4 ? 1ne 2 ? 1n4, 3 2 3 6 2 而 2 , ,且 2

3 2 又 e ? 16 ? 0,?1ne ? 1n4 ? 0

3

?[ f ( x)]min ? f (2) ,

? c ? ? f ( x)?min ? ?

7 ? ln 2 6

7 7 ? c的取值范围为[? ? 1n2, ??), 所以c的最小值为 ? ? 1n 2. 6 6 ?????8 分

a ? b时,f '( x) ?
(Ⅱ)当

2ax 2 ? x ? a x2 ,

① 当a ? 0时,f ( x) ? 1mx.则f ( x)在(0, ??)上单调递增 ; ②当 a ? 0 时,

x ? 0,?2ax2 ? x ? a ? 0 ,

? f '( x) ? 0,则f ( x)在(0,+?)上单调递增;
③ 当a ? 0时,设g ( x) ? 2ax ? x ? a, 只需? ? 0 ,
2

a??
从面得

2 , 此时f ( x)在(0 ? ?)上单调递减 4 ; 2 ] [0,+?) 4 .

a的取值范围是(? ?, ?
综上得,
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???????12 分

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18、 (本小题满分 12 分) (1) f (4) ? 37, f (5) ? 61.

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由于 f (2) ? f (1) ? 7 ? 1 ? 6, f (3) ? f (2) ? 19 ? 7 ? 2 ? 6,

f (4) ? f (3) ? 37 ? 19 ? 3 ? 6, f (5) ? f (4) ? 61 ? 37 ? 4 ? 6,
因此,当 n ? 2 时,有 f (n) ? f (n ? 1) ? 6(n ? 1), ??3 分 所以 f (n) ? [ f (n) ? f (n ? 1)] ? [ f (n ? 1) ? f (n ? 2)] ?

??2 分

? [ f (2) ? f (1)] ? f (1)

? 6[(n ?1) ? (n ? 2) ?
(2)当 k ? 2 时,

? 2 ? 1) ? 1 ? 3n2 ? 3n ? 1 .??5 分

又 f (1) ? 1 ? 3 ?12 ? 3 ?1 ? 1 ,所以 f (n) ? 3n2 ? 3n ? 1 . ??6 分

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? ( ? ) . ??9 分 f (k ) 3k ? 3k ? 1 3k ? 3k 3 k ? 1 k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 1 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ( ? ) 所以 f (1) f (2) f (3) f ( n) 3 2 2 3 n ?1 n 1 1 1 4 ? 1 ? (1 ? ) ? 1 ? ? 。??12 分 3 n 3 3

19、 (本小题满分 12 分) (1)由 g ( x) ?

xf / ( x) ? f ( x) f ( x) / , 因为 xf / ( x) ? f ( x) , 得 g ( x) ? x x2
f ( x) 在 (0,??) 上是增函数.3 分 x

所以 g / ( x) ? 0 在 x ? 0 时恒成立,所以函数 g ( x) ? (2)由(1)知函数 g ( x) ?

f ( x) 在 (0,??) 上是增函数,所以当 x1 ? 0, x2 ? 0 时, x



f ( x1 ? x2 ) f ( x1 ) f ( x1 ? x2 ) f ( x2 ) ? , ? 成立,??5 分 x1 ? x2 x1 x1 ? x2 x2 x1 x2 f ( x1 ? x2 ), f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) , x1 ? x2 x1 ? x2

从而 f ( x1 ) ?

两式相加得 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) .??7 分 (3)推广到一般情况为: 若 xi ? 0(i ? 1,2,3 ? ? ? n) , 则 f ( x1 ? x2 ? ? ? ? ? xn ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? ? ? f ( xn ) ,

n ? N , n ? 2 .??8 分
以下用数学归纳法证明 (1)当 n ? 2 时,有(2)已证成立,??9 分 (2)假设当 n ? k (k ? 2) 时成立,即

f ( x1 ? x2 ? ? ? ? ? xk ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? ? ? f ( xk )
那么当 n ? k ? 1 时,
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f ( x1 ? x2 ? ? ? ? ? xk ? xk ?1 ) ? f ( x1 ? x2 ? ? ? ? ? xk ) ? f ( xk ?1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? ? ? f ( xk ) ? f ( xk ?1 )
成立,即当 n ? k ? 1 时也成立. 有(1) (2)可知不等式对一切 n ? N , n ? 2 时都成立.??12 分

20、 (本小题满分 13 分)
解: (1)分公司一年的利润 L (万元)与售价 x 的函数关系式为:

L ? ( x ? 3 ? a)(12 ? x)2,x ?[9, 11] .??????4 分
(2) L?( x) ? (12 ? x)2 ? 2( x ? 3 ? a)(12 ? x)

? (12 ? x)(18 ? 2a ? 3x) . ??????5 分

2 a 或 x ? 12 (不合题意,舍去) .??????7 分 3 2 28 3 ≤ a ≤ 5 ,? 8 ≤ 6 ? a ≤ . 3 3 2 在 x ? 6 ? a 两侧 L? 的值由正变负. 3 2 9 所以(i)当 8 ≤ 6 ? a ? 9 即 3 ≤ a ? 时, 3 2
令 L? ? 0 得 x ? 6 ?

Lmax ? L(9) ? (9 ? 3 ? a)(12 ? 9)2 ? 9(6 ? a) = 54 ? 9a. ??????9 分
(ii)当 9 ≤ 6 ?

2 28 9 a ≤ 即 ≤ a ≤ 5 时, 3 3 2
2 3

Lmax

2 2 2 ?? ? ?? ? ? 1 ? ????11 分 ? L(6 ? a) ? ? 6 ? a ? 3 ? a ? ?12 ? ? 6 ? a ? ? ? 4 ? 3 ? a ? , 3 3 3 ?? ? ?? ? ? 3 ?

9 ? 9(6 ? a ) , 3 ≤ a ? , ? 2 ? 所以 Q(a) ? ? ????12 分 3 ?4 ? 3 ? 1 a ? , 9 ≤ a ≤ 5 ? ? ? 2 ? ? 3 ?
9 ,则当每件售价为 9 元时,分公司一年的利润 L 最大, 2 9 最大值 Q(a) ? 9(6 ? a) (万元) ;若 ≤ a ≤ 5 , 2
答:若 3 ≤ a ? 则当每件售价为 ? 6 ?
第 12 页 共 14 页

? ?

2 ? a ? 元时,分公司一年的利润 L 最大, 3 ?

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? ? 1 ? 3 ?
3

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最大值 Q(a) ? 4 ? 3 ? a ? (万元) . ??????13 分

21、 (本小题满分 14 分)
(1)对于函数 f1 ( x) ?| x ?1| ? | x ? 2 | ,当 x ? [1, 2] 时, f1 ( x) ? 1 . 当 x ? 1 或 x ? 2 时, f1 ( x) ?| ( x ? 1) ? (x ? 2) |? 1恒成立,故 f1 ( x) 是“平底型”函数.(2 分) 对 于 函 数 f 2 ( x) ? x ? | x ? 2 | , 当 x ? ( ? ? , 2时 ] , f 2 ( x )? 2; 当 x ? ( 2 ,? ? 时 ) , 所以不存在闭区间 [ a, b] ,使当 x ? [a, b] 时, f ( x) ? 2 恒成立. f 2 ( x)? 2 x? 2? ,2 故 f 2 ( x) 不是“平底型”函数. (4 分)

(Ⅱ) 若 | t ? k | ? | t ? k |?| k | ? f ( x) 对一切 t ?R 恒成立, 则 (| t ? k | ? | t ? k |)min ?| k | ? f ( x) . 因为 (| t ? k | ? | t ? k |)min ? 2 | k | ,所以 2 | k |?| k | ? f ( x) .又 k ? 0 ,则 f ( x) ? 2 . (6 分) 因为 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 2 | ,则 | x ? 1| ? | x ? 2 |? 2 ,解得 故实数 x 的范围是 [ , ] .

1 5 ?x? . 2 2

1 5 2 2

(8 分)

(Ⅲ)因为函数 g ( x) ? mx ? x 2 ? 2 x ? n 是区间 [?2, ??) 上的“平底型”函数,则 存在区间 [ a, b] ? [?2, ??) 和常数 c ,使得 mx ? x ? 2x ? n ? c 恒成立.
2

?m 2 ? 1 ?m ? 1 ? m ? ?1 ? ? ? 2 2 所以 x ? 2x ? n ? (mx ? c) 恒成立,即 ? ?2 mc ? 2 .解得 ?c ? ?1 或 ?c ? 1 . (10 分) ?n ? 1 ?n ? 1 ?c 2 ? n ? ? ?

?m ? 1 ? 当 ?c ? ?1 时, g ( x) ? x? | x ? 1| . ?n ? 1 ?
当 x ?[?2, ?1] 时, g ( x) ? ?1 ,当 x ? (?1, ??) 时, g ( x) ? 2 x ? 1 ? ?1恒成立. 此时, g ( x) 是区间 [?2, ??) 上的“平底型”函数. (11 分)

第 13 页 共 14 页

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? m ? ?1 ? 当 ?c ? 1 时, g ( x) ? ? x? | x ? 1| . ?n ? 1 ?

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当 x ?[?2, ?1] 时, g ( x) ? ?2 x ? 1 ? 1 ,当 x ? (?1, ??) 时, g ( x) ? 1 . 此时, g ( x) 不是区间 [?2, ??) 上的“平底型”函数. 综上分析,m=1,n=1 为所求. (12 分) (13 分)

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