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正、余弦定理的应用


1.3 正、余弦定理的应用 第 1 课时
学习目标
1. 综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海等有关的实际问题 2. 分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念 3. 将实际问题转化为解三角形问题

学习重点
运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海等有关的实际问题

学习难点
将实际问题转化为解三角形问题

自学评价
1.正弦定理、余弦定理及其变形形式, (1)正弦定理、三角形面积公式: __________________________________;

a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C ; a b c sin A ? , sin B ? , sin C ? ; 2R 2R 2R sin A : sin B : sin C ? a : b : c .

1 1 1 S ?ABC ? bc sin A ? ab sin C ? ac sin B (2)正弦定理的变形: 2 2 2

(3)余弦定理:1)______________________ 变形:2)______________________ 2.运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤是: ①分析:理解题意,弄清已知与未知,画出示意图(一个或几个三角形) ; ②建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中,建立 一个解斜三角形的数学模型; ③求解:利用正弦定理、余弦定理解这些三角形,求得数学模型的解; ④检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解。

【精典范例】
【例 1】为了测量河对岸两点 A, B 之间的距离,在河岸这边取点 C , D ,测得 ?ADC ? 85 ,

?BDC ? 60 , ?ACD ? 47 , ?BCD ? 72 , CD ? 100m .设 A, B, C , D 在同一平面内, 试求 A, B 之间的距离(精确到 1m ).
【解】

【例 2】某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼救信号,我海军舰艇在 A 处获悉后,测出该渔轮 在方位角为 45 ,距离为 10n mile 的 C 处,并测得渔轮正沿方位角为 105 的方向,以

9n mile / h 的速度向小岛 B 靠拢,我海军舰艇立即以 21n mile / h 的速度前去营救.求舰艇
的航向和靠近渔轮所需的时间(角度精确到 0.1 ,时间精确到 1min ). 【解】

【例 3】某海岛上一观察哨 A 在上午 11 时测得一轮船在海岛北偏东 测得轮船在海岛北偏西

? 12 时 40 分轮船到达海岛正西方 5km 的 E 港口.如果轮船 的 B 处, 3

? 的 C 处, 12 时 20 分 3

始终匀速前进,求船速. 【解】

追踪训练一
1. 曲柄连杆机构示意图如图所示.当曲柄OA在水平位置OB时,连杆端点P在Q的位 置.当OA自OB按顺时针方向旋转α 角时,P和Q之间的距离是 xcm.已知OA=25 cm,AP=125cm,根据下列条件,求x的值(精确到0.1cm) : (1)α =50°; (2)α =135°.

2.如图,货轮在海上以40nmile/h的速度由B向C航行,航行的方位角∠NBC =140°, A处有灯塔, 其方位角∠NBA=110°, 在C处观察灯塔A的方位角∠N′ CA=35°,由B到C需航行0.5h,求C到灯塔A的距离.

3.如图, 某人在高出海面600m的山上P处, 测得海面上的航标A在正东, 俯角为30°, 航标B在南偏东60°,俯角为45°,求这两个航标间的距离.

【选修延伸】
【例 4】Δ ABC 中有两个角分别为 300 和 450, a ? b ? c ? 4 ?sin A ? sin B ? sin C ? ,求⊿ ABC 的面积。 【解】

追踪训练二
1.在⊿ABC 中,已知 A= 30 ,且 3a ?
0

3b ? 12,则 C 的值为(



A 4 B 9 C 4或9 D 无解 2.有一广告气球,直径为 6m,放在公司大楼的上空,当行人仰望气球中心的仰角为 300 时, 测得气球的视角 ? ? 10 ,若 ? 很小时可取 sin ? ? ? ,则估算该气球离地高度为( A 72 m C 102 m A 1? c ? C B 86 m D 118 m ) )

3.在锐角三角形 ABC 中, a ? 1 , b ? 2 ,则边 c 的取值范围是 (

3

B D

1? c ? 5
3?c?3

3?c? 5

4.在⊿ABC 中,若

1 1 3 ? ? ,则 B= __ . a?b b?c a?b?c


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