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定积分的应用教案


课题 教 学 目 标 教 学 重 点 难 点 教 学 方 法

《7.4 定积分的应用》

课 型 课 时

新 授

2

1、巩固定积分的几何意义及计算; 2、掌握用定积分求直角坐标系下平面图形的面积的方法; 3、综合运用知识分析解决问题,培养学生思维能力和应用数学意 识。 重点:应用定积分解决平面图形的面积,体会定积分的价值。 难点:如何选择积分变量,确定被积函数。 讲练法,行为引导法,讨论分析法,分层教学法。

教 学 程 序



生 活 动

设计意图

展示周庄的拱桥图片,讲述古代数学家的 情 景 导 入 故事及伟大发现:拱形的面积 【课件展示】拱桥图片 问:桥拱的面积如何求解呢? 答:…… 【学生活动】本环节安排学生讨论,自主发现 解决问题方向——定积分跟面积 的关系
程 设下悬念, 以激发学生 的探索激 情,为后面 作开启性的 铺垫。

教 学 过

复 习 提 问

1、定积分的概念、几何意义是什么?. 2、定积分的计算方法有哪些? 【学生训练】练习一 1.计算

?

2

?2

4 ? x 2 dx

2.计算

复习定积分

? ? sin x dx
2 ? 2

?

的几何意义 及计算,培 养学生复习

【学生活动】思考口答

【课件展示】定积分表示的几何图形、练习答 的 学 习 习 案.
惯。




?

2 ?2

4 ? x 2 dx ?

1 ? ? 22 2
y




复习定积分




?

0

?x

的几何意义




? ? sin x dx ? 0
?

?

【问题探究】 (一) 、探究由曲线所围平面图形 的面积
y

A
0 a b X

【学生活动】思考、探究、讨论 【课件展示】 展示结论
培养学生乐

于尝试、敢

【教师简单点评】探索到的结论一定可行吗? 于创新的精 这就需要通过实践来检验。 【例题实践】例1.计算由曲线 y ? x 与
2

神。

y 2 ? x 所围图形的面积.
【师生活动】探究解法的过程. 1.找到图形----画图得到曲边形.
教 学 过 程 巩固了学生

新 课 讲 授

2.曲边形面积解法----转化为曲边梯形, 做出辅 的 作 图 能 助线 3.定积分表示曲边梯形面积----确定积分 力,在寻找 区间、被积函数. 4.计算定积分.
曲边梯形的 过程中提高

【板书】根据师生探究的思路板书主要分析过 了学生的想 程 解:作出草图,所求面积为图中阴影部分的面 积.
y 象能力。

y ? x2
1 C D -1 O B A 1 x

y2 ? x

完成了一般 理论和具体

-1

问题的有机 结合,初步 达到了识记

2 ? ?y ? x 解方程组 ? 2 得到交点横坐标为 ? ?y ? x

的目标,突 出了教学重 点。

x ? 0及x ?1

?

s ? s 曲边梯形
??
1
1

OABC

? s 曲边梯形

OABD
0

x dx ? ? x 2 dx
0
3 1

2 ? x2 3

0

1 1 2 1 1 ? x3 ? ? ? 3 0 3 3 3




【巩固练习】练习 3.求下列曲线围成的图形 1.y=ex, y=e, x=0 2.y=x3, y=2x




【问题探究】 (二) 、定积分表示曲边梯形面积 的两种形式 练习2.用定积分表示阴影部分面积
y y A







y ? f 1 ( x)

D

b N

D

C

B M O a 图1

C

x ? f1 ( y)
aM x O 图2

培养学生用 x ? f 2 ( y) A B x 发展、联系 的哲学思想 解决问题

y ? f 2 ( x)
b

N

【学生活动】回忆并口答图 1 的答案;

引导学生由 x 为积分变量的定积分 类型来发现以 y 为积分变量的另一 种定积分类型。

【得出结论】定积分表示曲边梯形面积的两种 类型. 【板书】配合学生探究的进展书写推理的过程. 【课件展示】 图 1 选择 X 为积分变量,曲边梯形面积为

A ? ? f1 ( x)dx ? ? f 2 ( x)dx
a a

b

b

图 2 选择 Y 为积分变量,曲边梯形面积为

A ? ? f 2 ( y)dy ? ? f1 ( y)dy
a a

b

b




2 【例题实践】 例2. 计算由 y ? x ? 4 与 y ? 2 x




所围图形的面积. 【师生活动】讨论探究解法的过程(同例 1)





程 使学生懂得 如何灵活选 择积分变 量,确定被 积函数,通

【板书】根据师生探究的思路 板书重要分析过程. 【课件展示】解答过程 解:作出草图,所求面积为 图中阴影部分的面积

过该题突破 教学难点。

2 ? ?y ? x 解方程组 ? 2 得到交点坐标为 (2,-2) 及 ? ?y ? x

(8,4) 选y为积分变量

? S ? 1 (2 ? 8) ? 6 ? ?
2

1 2 y dy ? 18 ?2 2
4

【抽象归纳】 (三)解由曲线所围的平面图形面 积的解题步骤 【学生活动】学生根据例题探究的过程来归纳 【教师点评】帮助学生修改、提炼,强调注意 课





选择 y 型积分变量时,要把函数变形成用 y 表 示 x 的函数 . 【课件展示】解由曲线所围的平面图形面积的 解题步骤: 1.画草图,求出曲线的交点坐标. 2.将曲边形面积转化为曲边梯形面积.







巩 固 练 习

3. 根据图形特点选择适当的积分变量. (注 意选择 y 型积分变量时,要把函数变形成用 y 表示 x 的函数)
探索到的结

4.确定被积函数和积分区间. 5.计算定积分,求出面积. 练习5. 计算由曲线

果通过实 践,学生都 得到了一些

y ? sin x 与 y ? cos x 及

x ? 0、x ?

?
2

解题心得, 及时指导学 生进行抽象 归纳。

所围平面图形的面积. 【学生活动】学生独立思考 邀请一位
y


教 学 过 程

y ? cos x

1

y ? sin x
S2
? 4

同学把自 己的成果 展示给大

S1

O

展 示

? 2

x


通过学生做 这题体现分 层教育法, 使不同层次

A ? A1 ? A2

的学生都有 不同的提

A1 ? ? 4 cos x dx ? ? 4 sin x dx
0 0

?

?

高。

A2 ? ?? sin x dx ? ??2 cos x dx
2 4 4

?

?

【师生活动】解答思路清晰,表达正确 问:此题还有其他解法吗? 答: A1 ? A2 所以只算一个 A,取 2 倍就可

教 师 点 评

以了. 做的漂亮,解题时要注意发现题目的特征,联 系我们以前的知识将问题化简后再解答,提高 效率.
x2 y2 【例题实践】例 3.求椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) a b

所围成的面积 个 别 提 问 【学生活动】学生独立思考. 请一位同学讲解这道题目 【课件展示】解题步骤 如图,一桥拱的形 应 用 提 升 状为抛物线,已知
h

教 学 过 程

该抛物线拱的高为 常数 h, 宽为常数 b. 求抛物线拱的面积
b

巩固解题方 法,锻炼发 散思维

师 生 活 动

探究解题方法 1.建立平面直角坐标系 确定抛物线方程

把本节课的 探究活动推 向高潮,解 决了前面设 下的悬念的 同时,实现

2.求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤

教 师 点 评

问:如何建立平面直角坐 了生活中的
y

实际问题与 抽象数学的
x

标系会使 得抛物线方 程的求解简 单

0

h b
b ( ,? h ) 2

完美结合。







巩固定积分


过 程

答:以抛物线的顶点为坐标原点建立坐标 解题的基本 系.
方法和步 骤。



【学生活动】学生独立求解 抛物线方程. 投影学生练习 如图建立平面直角坐标系,可设抛物线方
y ? ?ax2 (a ? 0) ,

代抛物线上一点 ( ,? h ) 入方程, 则有 ? h ? ?a( ) 2 解得 a ? 程为 y ? ?
4h 2 x . b2 b 2 4h , 所以抛物线方 b2

b 2

在投影中与全班同学一起点评学生的练习.

【师生活动】探究、并在投影中完成该题 问:所求图形有什么特点? 作 业 布 置 答:左右对称;可以解答一半取 2 倍. 【成果展示】在黑板上与学生共同完成设一半 的面积为 S,则有
b ?b ? 4h 2s ? 2? h ? ? 2 (? 2 x 2 )dx ? 0 b ?2 ?

b 4h ?b ? 2 2 …… ? ? 2? h ? (? 2 x 3 ) 0 bh ? 3 3b ?2 ?

问:本节课我们做了什么探究活动呢? 答:用定积分解曲边形面积。 问:如何用定积分解决 曲边形面积问题 呢? 答:1.画草图,求出曲线的交点坐标. 2.将曲边形面积转化为曲边梯形面积. 3. 根 据 图 形 特 点 选 择 适 当 的 积 分 变 量. (注意选择 y 型积分变量时,要把函数变形 成用 y 表示 x 的函数) 4.确定被积函数和积分区间. 5.计算定积分,求出面积. 问:解答曲线所围的平面图形面积时须注 意什么问题?

答:选择最优化的积分变量;根据图形特 点选择最优化的解题方法. 问:体会到什么样的数学研究思路及方法 呢? 答:从问题出发,联系相关知识,探究出 解决问题的思路,通过实践的检验得到一般方 法,通过练习巩固,通过应用提升。 课本P163 1. 2(1、2、5、6、 ) 【课外思考】 有一水沟,沟沿是两条长 100 米的平行线段, 沟宽 2 米,与沟沿垂直平面沟的交线是一条抛 物线,顶点为 0 点,对称轴与地面垂直,沟深 为 1.5 米,水深 1 米,问:沟中的水有多少立 方米?

提问式的课 堂小结,目 的在于调动

学生积极参 与梳理知识 的过程,培 养学生在探 究之后整合 知识的能 力。

作业即是探 究活动的一

种延续。 给学生留出 空间,开阔 思路,培养 学生应用数 学解决实际 问题的能 力。

定积分的发展经过了几百年的历史,所以学生在短短的两节课能加以熟练应用 比较困难,所以新课讲授开始,首先课件动画展示曲线围城的面积,让学生探究由 曲线所围图形的面积,通过动画演示得出用定积分表式计算公式,突出本节课的重 点。即:面积计算公式,接着用例题巩固公式,示范板书过程后,用动画演示,如 何再求面积这样加强图形的直观性,方便学生对知识的掌握。针对不同形状的图形 选择合理的积分变量,分析讨论得出两种形式。说明选择积分变量存在合理性学生 在做题的过程中也能体会到选用哪种积分变量方便解题,从而突破本节课的难点。 教 学 反 思 通过上面几个例题的分析、实践,学生都得到了一些解题心得,及时指导学生 抽象归纳,最后课件展示结果,培养学生的归纳综合能力。为了体现分层教学法特 意补充了一道应用提升题把本节课的探究活动推向高潮,解决了前面设下的悬念, 同时体现了生活中的实际问题与抽象数学的完美结合。 最后是互动小节,一问一答让学生轻松活泼的整理本次课所学的知识,除了书 上面的练习,特补充了两道(一道为必做题,另一道为选做题)让学有余力的学生 有更大的发展。最后布置课后思考题给学生留出空间,开阔思路,培养学生应用数 学意识。从而更好的培养了学生的数学应用能力,加强了与其他专业课的学习的联 系,所教的两个班级课堂听课效果、反映良好,课后需要加强练习和巩固。


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