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含有一个两次命题的否定


1.4.3 含有一个量词的命题的否定

复习回顾
全称命题 “对M中任意一个x,有p(x)成立” 符号简记为:? x∈M,p(x) 读作:对任意x属于M,有p(x)成立

含有全称量词的命题,叫做全称命题
特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立” 符号简记为: x∈R ,p(x) ?

集 合<

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读作:“存在一个x属于M,使p(x)成立”

含有存在量词的命题,叫做特称命题

情景一
设p:“平行四边形是矩形”
(1)命题p是真命题还是假命题 (2)请写出命题p的否定形式 (3)判断?p的真假

命题的否定的真假值与原来的命题 相反 . 而否命题的真假值与原命题 无关 .

矛盾

情景一
设p:“平行四边形是矩形”

你能否用学过的“全称量词和存在量词”来解决上述问题
可以在“平行四边形是矩形”的前面加上全称量词,变为
p:“所有的平行四边形是矩形” 假命题

?p:“并非所有的平行四边形都是矩形”

也就是说,?p : “存在一个平行四边形不是矩形” 真命题 (平行四边形不都是矩形)

情景二

对于下列命题:

想一想?

1)所有的人都喝水; 2)每一个素数都是奇数 3)对所有实数都有 | a |? 0



?尝试对上述命题进行否定,你 发现有什么规律?

新课讲授 从形式看,全称命题的否定是特称命题。
含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论
全称命题 p : ? x ? M,p(x)

它的否定 ? p : ? x ? M , ? p ( x 0 )
0

例 1写 出 下 列 全 称 命 题 的 否 定 : 1) p:所 有 能 被 3整 除 的 整 数 都 是 奇 数 ;

共 2) p:每 一 个 四 边 形 的 四 个 顶 点 公 圆 ;
3) p:对 任 意 x ? Z, x 的 个 位 数 字 不 等 于 3。
2

情景三

对于下列命题:
?

想一想?

?

存在有理数x,使 x ? 2 ? 0 ; 有些实数的绝对值是正数。
2

?尝试对上述命题进行否定,你 发现有什么规律?

从形式看,特称命题的否定都变成了全称命题. 含有一个量词的特称命题的否定,有下面的结论
特称命题 p : x 0 ? M , p ( x 0 ) ? 它的否定 ? p : ? x ? M, ? p(x)
例2

写 出 下 列 特 称命 题 的 否 定 :
2

1 ) p : ? x 0 ? R , x 0 + 2 x 0 + 3 ? 0;
2) p:有 的 三 角 形 是 等 边 三 角 形 ;
3) p:有 一 个 素 数 含 有 三 个 正 因 子 。

问题讨论
写出下列命题的否定形式. (1)q:四条边相等的四边形是正方形. (2)r:奇数是质数. 解答 (1)?q:四条边相等的四边形不是正方形. (2)?r:奇数不是质数. 以上解答是否错误,请说明理由.

注:非p叫做命题的否定,但“非p”绝不是“是”与“不是”的简 演绎。因注意命题中是否存在“全称量词”或“特称量词”

例 2写 出 下 列 命 题 的 否 定 , 并 判 断 真 假 : 1) p:任 意 两 个 等 边 三 角 形 都 是 相 似 的 ;

2) p: ? x ? R,x +2x+2=0;

2

小结
含有一个量词的命题的否定
一般地,我们有: “ ? x ? M , p ( x )”的否定为“ “ ? x ? M , p ( x )”的否定为“ ? x ? M , ? p ( x )” , ? x ? M , ? p ( x )”。

结论:全称命题的否定是特称命题 特称命题的否定是全称命题


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