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第23届全国中学生物理竞赛复赛试题 及答案


第 23 届全国中学生物理竞赛复赛试题
本卷共七题,满分 160 分 一、 (23 分)有一竖直放置、两端封闭的长玻璃管,管内为真空,管内有一小球自某处自由下落(初 速度为零) ,落到玻璃管底部时与底部发生弹性碰撞。以后小球将在玻璃管内不停地上下跳动。现用 支架固定一照相机,用以拍摄小球在空间的位置。每隔一相等的确定的时间间隔 T 拍摄一张照片, 照相机的曝光时间极短,

可忽略不计。从所拍到的照片发现,每张照片上小球都处于同一位置。求 小球开始下落处离玻璃管底部距离(用 H 表示)的可能值以及与各 H 值相应的照片中小球位置离 玻璃管底部距离的可能值。 二、 (25 分)如图所示,一根质量可以忽略的细杆,长为 2l,两端 和中心处分别固连着质量为 m 的小球 B、D 和 C,开始时静止在 光滑的水平桌面上。桌面上另有一质量为 M 的小球 A,以一给定 的速度 v0 沿垂直于杆 DB 的方向与右端小球 B 作弹性碰撞。求 刚碰后小球 A、B、C、D 的速度,并详细讨论以后可能发生的运 动情况。 三、 (23 分)有一带活塞的汽缸,如图 1 所示。缸内盛有一定质量的气体。缸内还有一可随轴转动 的叶片,转轴伸到汽缸外,外界可使轴和叶片一起转 动,叶片和轴以及汽缸壁和活塞都是绝热的,它们的 热容量都不计。轴穿过汽缸处不漏气。 如果叶片和轴不转动,而令活塞缓慢移动,则在 这种过程中, 由实验测得, 气体的压强 p 和体积 V 遵 从以下的过程方程式 图1

pV α = k

其中 α、k 均为常量,α>1(其值已知) 。可以由上式导出, 在此过程中外界对气体做的功为

W=

k ? 1 1 ? ? α ?1 ? α ?1 ? α ? 1 ?V 2 V1 ? ? ?

式中 V2 和 V1 分别表示末态和初态的体积。 如果保持活塞固定不动,而使叶片以角速度 ω 做匀角 速转动,已知在这种过程中,气体的压强的改变量 △p 和 经过的时间 △t 遵从以下的关系式

图2 式中 V 为气体的体积,L 表示气体对叶片阻力的力矩的大 小。 上面并没有说气体是理想气体,现要求你不用理想气体的状态方程和理想气体的内能只与温度 有关的知识,求出图 2 中气体原来所处的状态 A 与另一已知状态 B 之间的内能之差(结果要用状 态 A、B 的压强 pA、pB 和体积 VA、VB 及常量 α 表示) 。

?p α ? 1 = L ?ω ?t V

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四、 (25 分) 1 所示的电路具有把输入的交变电压 图 变成直流电压并加以升压、输出的功能,称为整流 倍压电路。图中 D1 和 D2 是理想的、点接触型二 极管(不考虑二极管的电容) 1 和 C2 是理想电 ,C 容器,它们的电容都为 C,初始时都不带电,G 点 接地。 现在 A、 间接上一交变电源, G 其电压 uA 随 时间 t 变化的图线如图 2 所示。试分别在图 3 和图 4 中准确地画出 D 点的电压 uD 和 B 点的电压 uB 在 t=0 到 t=2T 时间间隔内随时间 t 变化的 图线,T 为交变电压 uA 的周期。

图1

图2

图3

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图4

五、 (25 分)磁悬浮列车是一种高速运载工具。它具有两个重要系统。一是悬浮系统,利用磁力(可 由超导电磁铁提供)使车体在导轨上悬浮起来与轨道脱离接触。另一是驱动系统,在沿轨道上安装 的三相绕组(线圈)中,通上三相交流电,产生随时间、空间作周期性变化的磁场,磁场与固连在 车体下端的感应金属板相互作用,使车体获得牵引力。 为了有助于了解磁悬浮列车的牵引力的来由,我们求解下面的问题。 设有一与轨道平面垂直的磁场,磁感应强度 B 随时间 t 和空间位置 x 变化规律为

B( x, t ) = B0 cos(ω t ? kx)
式中 B0 ,ω ,k 均为已知常量,坐标轴 x 与轨道平行。在任一时刻 t,轨道平面上磁场沿 x 方向 的分布是不均匀的,如图所示。图中 Oxy 平面代表轨道平面, “×”表示磁场的方向垂直 Oxy 平 面指向纸里, ”表示磁场的方向垂直 Oxy 平面指向纸外。规定指向纸外时 B 取正值。 “ “×”和 “ ”的疏密程度表示沿着 x 轴 B 的大小分布。一与轨道平面平行的具有一定质量的金属矩形框 MNPQ 处在该磁场中, 已知与轨道垂直的金属框边 MN 的长度为 l, 与轨道平行的金属框边 MQ 的 长度为 d, 金属框的电阻为 R, 不计金属框的电感。 1. 试求在时刻 t, 当金属框的 MN 边位于 x 处时磁场作用于金属框的安培力,设此时刻金属框沿 x 轴正方向移动的速度为 v 。 2. 试讨论 安培力的大小与金属框几何尺寸的关系。

六、 (23 分)有一种称为直视分光镜的光谱学仪器,所有光学元件均放在一直长圆筒内。筒内有: 三个焦距分别为 f1、f2 和 f3 的透镜 L1、L2 和 L3 ,f1=f2>f3 ;观察屏 P,它是一块带有刻度的 玻璃片;由三块形状相同的等腰棱镜构成的分光元件(如图 1 所示) ,棱镜分别用折射率不同的玻璃 制成,两侧棱镜的质料相同,中间棱镜则与它们不同,棱镜底面与圆筒轴平行。圆筒的一端有一与 第 23 届全国中学生物理竞赛复赛试题 第 3 页(共 4 页)

圆筒轴垂直的狭缝,它与圆筒轴的交点为 S,缝平行 于棱镜的底面。当有狭缝的一端对准筒外的光源时, 位于圆筒另一端的人眼可观察到屏上的光谱。 已知:当光源是钠光源时,它的黄色谱线(波长 为 589.3 nm,称为 D 线)位于圆筒轴与观察屏相交 处。 制作棱镜所用的玻璃, 一种为冕牌玻璃, 它对钠 D

图1

′ 线的折射率 nD=1.5170;另一种为火石玻璃,它对钠 D 线的折射率 nD =1.7200。
1. 试在图 2 中绘出圆筒内诸光学元件相对位置的示意图并说出各元件的作用。 2. 试论证三块棱镜各应由何种玻璃制成并求出三棱镜的顶角 α 的数值。

图2

七、 (16 分)串列静电加速器是加速质子、重离子进行核物理基础研究以及核技术应用研究的设备, 右图是其构造示意图。S 是产生负离子的装置,称 为离子源; 中间部分 N 为充有氮气的管道, 通过高 6 压装置 H 使其对地有 5.00×10 V 的高压。 现将氢 气通入离子源 S, 的作用是使氢分子变为氢原子, S 并使氢原子粘附上一个电子,成为带有一个电子电 量的氢负离子。氢负离子(其初速度为 0)在静电场 的作用下,形成高速运动的氢负离子束流。氢负离 子束射入管道 N 后将与氮气分子发生相互作用,这种作用可使大部分的氢负离子失去粘附在它们 上面的多余的电子而成为氢原子,又可能进一步剥离掉氢原子的电子使它成为质子。已知氮气与带 电粒子的相互作用不会改变粒子的速度。质子在电场的作用下由 N 飞向串列静电加速器的终端靶 子 T 。试在考虑相对论效应的情况下,求质子到达 T 时的速度 v 。 - - 电子电荷量 q=1.60×10 19 C,质子的静止质量 m0=1.673×10 27 kg。

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