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2.1.2-指数函数及其性质(3)


第 3 课时 指数函数及其性质(3) 导入新课 思路 1.我们在学习指数函数的性质时,利用了指数函数的图象的特点,并且是用类比和归纳的 方法得出,在上节课的探究中我们知道,函数①y=3x,②y=3x+1,③y=3x-1 的图象之间的关系,由 其中的一个可得到另外两个的图象,那么,对 y=ax 与 y=ax+m(a>0,m∈R)有着怎样的关系呢?在 理论上,含有指数函数的复合函数是否具有奇偶性呢 ?这是我们本堂课研究的内容.教师点出 课题:指数函数及其性质(3). 思路 2.我们在第一章中,已学习了函数的性质,特别是单调性和奇偶性是某些函数的重要特点, 我们刚刚学习的指数函数,严格地证明了指数函数的单调性,便于我们在解题时应用这些性质, 在实际生活中,往往遇到的不单单是指数函数 ,还有其他形式的函数,有的是指数函数的复合 函数,我们需要研究它的单调性和奇偶性,这是我们面临的问题也是我们本堂课要解决的问题 ——指数函数及其性质(3). 推进新课 新知探究 提出问题 (1)指数函数有哪些性质? (2)利用单调性的定义证明函数单调性的步骤有哪些? (3)对复合函数,如何证明函数的单调性? (4)如何判断函数的奇偶性,有哪些方法? 活动:教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,及时评价学生,学生有困惑时加以解 释,可用多媒体显示辅助内容. 讨论结果:(1)指数函数的图象和性质 一般地,指数函数 y=ax 在底数 a>1 及 0<a<1 这两种情况下的图象和性质如下表所示: a>1 0<a<1 图象

图象特征 图象特征图象分布在一、二象限,与 y 轴相交,落在 x 轴的上方

都过点(0,1)

第一象限的点的纵坐标都大于 1;第二象限的点的纵坐标都大于 0 且小于 1 第一象限的点的纵坐标都大于 0 且小于 1;第二象限的点的纵坐标都大于 1

从左向右图象逐渐上升 从左向右图象逐渐下降 性质 (1)定义域:R

(2)值域: (0,+∞)

(3)过定点(0,1),即 x=0 时,y=1

(4)x>0 时,y>1;x<0 时,0<y<1 (4)x>0 时,0<y<1;x<0 时,y>1

(5)在 R 上是增函数 (5)在 R 上是减函数 (2)依据函数单调性的定义证明函数单调性的步骤是: ①取值.即设 x1、x2 是该区间内的任意两个值且 x1<x2. ②作差变形.即求 f(x2)-f(x1),通过因式分解、配方、有理化等方法,向有利于判断差的 符号的方向变形. ③定号.根据给定的区间和 x2-x1 的符号确定 f(x2)-f(x1)的符号,当符号不确定时,可以 进行分类讨论. ④判断.根据单调性定义作出结论. (3)对于复合函数 y=f(g(x))可以总结为: 当函数 f(x)和 g(x)的单调性相同时,复合函数 y=f(g(x))是增函数; 当函数 f(x)和 g(x)的单调性相异即不同时,复合函数 y=f(g(x))是减函数; 又简称为口诀“同增异减”. (4)判断函数的奇偶性: 一是利用定义法,即首先是定义域关于原点对称,再次是考察式子 f(x)与 f(-x)的关系,最后确定 函数的奇偶性; 二是作出函数图象或从已知图象观察,若图象关于原点或 y 轴对称,则函数具有奇偶性. 应用示例 思路 1 例 1 在同一坐标系下作出下列函数的图象,并指出它们与指数函数 y=2x 的图象的关系. (1)y=2x+1 与 y=2x+2;(2)y=2x-1 与 y=2x-2. 活动:教师适当时候点拨,学生回想作图的方法和步骤,特别是指数函数图象的作法,学生回答 并到黑板上作图,教师指点学生,列出对应值表,抓住关键点,特别是(0,1)点,或用计算机作图. 解:(1)列出函数数据表作出图象如图 2-1-2-12. x

-3 -2 -1 0 1 2 3

2x 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8

2x+1 0.25 0.5 1 2 4 8 16

2x+2 0.5 1 2 4 8 16 32

图 2-1-2-12

比较可知函数 y=2x+1、y=2x+2 与 y=2x 的图象的关系为:将指数函数 y=2x 的图象向左平行 移动 1 个单位长度,就得到函数 y=2x+1 的图象;将指数函数 y=2x 的图象向左平行移动 2 个单 位长度,就得到函数 y=2x+2 的图象. (2)列出函数数据表作出图象如图 2-1-2-13 x -3 -2 -1 0 1 2 3

2x 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8

2x-1 0.625 0.125 0.25 0.5 1 2 4

2x-2 0.3125 0.625 0.125 0.25 0.5

1 2

图 2-1-2-13 比较可知函数 y=2x-1、y=2x-2 与 y=2x 的图象的关系为:将指数函数 y=2x 的图象向右平行移 动 1 个单位长度,就得到函数 y=2x-1 的图象;将指数函数 y=2x 的图象向右平行移动 2 个单位 长度,就得到函数 y=2x-2 的图象. 点评:类似地,我们得到 y=ax 与 y=ax+m(a>0,a≠1,m∈R)之间的关系: y=ax+m(a>0,m∈R)的图象可以由 y=ax 的图象变化而来. 当 m>0 时,y=ax 的图象向左移动 m 个单位得到 y=ax+m 的图象; 当 m<0 时,y=ax 的图象向右移动|m|个单位得到 y=ax+m 的图象. 上述规律也简称为“左加右减”. 变式训练 为了得到函数 y=2x-3-1 的图象,只需把函数 y=2x 的图象( ) A.向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 B.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 C.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 D.向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 答案:B 点评:对于有些复合函数的图象,常用变换方法作出. 例 2 已知定义域为 R 的函数 f(x)=是奇函数. (1)求 a,b 的值; (2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的取值范围. 活动: 学生审题,考虑解题思路.求值一般是构建方程,求取值范围一般要转化为不等式,如果有 困难 , 教师可以 提示 , ( 1 )从条 件出发 , 充分利用奇函数 的性质 , 由于定义域 为 R, 所 以 f(0)=0,f(-1)=-f(1),(2)在(1)的基础上求出 f(x),转化为关于 k 的不等式,利用恒成立问题再转 化. (1)解:因为 f(x)是奇函数, 所以 f(0)=0,即=0b=1, 所以 f(x)=; 又由 f(1)=-f(-1)知=a=2. (2)解法一:由(1)知 f(x)==+,易知 f(x)在(-∞,+∞)上为减函数. 又因 f(x)是奇函数,从而不等式:f(t2-2t)+f(2t2-k)<0, 等价于 f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2),因 f(x)为减函数,由上式推得: t2-2t>k-2t2,即对一切 t∈R 有 3t2-2t-k>0, 从而判别式Δ =4+12k<0, ∴k<. 解法二:由(1)知 f(x)=. 又由题设条件得<0, 即<0. 整理得>1,因底数 2>1,故 3t2-2t-k>0, 上式对一切 t∈R 均成立,从而判别式Δ =4+12k<0,即 k<-.

点评:记住下列函数的增减性,对解题是十分有用的,若 f(x)为增(减)函数,则为减(增)函数. 思路 2 例1 设 a>0,f(x)=在 R 上满足 f(-x)=f(x). (1)求 a 的值; (2)证明 f(x)在(0,+∞)上是增函数. 活动:学生先思考或讨论,如果有困难,教师提示,引导. (1)求单独一个字母的值,一般是转化为方程,利用 f(-x)=f(x)可建立方程. (2)证明增减性一般用定义法,回忆定义法证明增减性的步骤,规范书写的格式. (1)解:依题意,对一切 x∈R 有 f(-x)=f(x)成立,即+aex=. 所以=0 对一切 x∈R 成立.由此可得=0,即 a2=1. 又因为 a>0,所以 a=1. (2)证明:设 0<x1<x2, f(x1)-f(x2)===· . 由 x1>0,x2>0,x2-x1>0,得 x2+x1>0,>0,1<0, 所以 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x)在(0,+∞)上是增函数. 点评:在已知等式 f(-x)=f(x)成立的条件下,对应系数相等,求出 a,也可用特殊值求解.证明函数 的单调性,严格按定义写出步骤,判断过程尽量明显直观. 例 2 已知函数 f(x)=3x,且 x=a+2 时,f(x)=18,g(x)=3 的定义域为[0,1]. (1)求 g(x)的解析式; (2)求 g(x)的单调区间,确定其增减性并试用定义证明; (3)求 g(x)的值域. 解:(1)因为 f(x)=3x,且 x=a+2 时 f(x)=18, 所以 f(a+2)=3a+2=18.所以 3a=2. 所以 g(x)=3ax-4x=(3a)x-4x. 所以 g(x)=2x-4x. (2)因为函数 g(x)的定义域为[0,1],令 t=2x,因为 x∈[0,1]时,函数 t=2x 在区间[0,1]上单 调递增, 所以 t∈[1,2],则 g(t)=t-t2=-(t2-t)=-(t-)2+,t∈[1,2]. 因为函数 t=2x 在区间[0,1]上单调递增,函数 g(t)=t-t2 在 t∈[1,2]上单调递减, 所以函数 g(x)在区间[0,1]上单调递减. 证明:设 x1 和 x2 是区间[0,1]上任意两个值,且 x1<x2, g(x2)-g(x1)===, 因为 0≤x1≤x2≤1, 所以,且 1≤<2,1< ≤2. 所以 2<<4. 所以-3<1-<-1,可知<0. 所以 g(x2)<g(x1). 所以函数 g(x)在区间[0,1]上单调递减. (3)因为函数 g(x)在区间[0,1]上单调递减, 所以 x∈[0,1]时,有 g(1)≤g(x)<g(0). 因为 g(1)=21-41=-2,g(0)=20-40=0, 所以-2≤g(x)≤0. 故函数 g(x)的值域为[-2,0].

点评:此题是一道有关函数的概念、函数性质的应用、推理、证明综合题,要通盘考虑. 知能训练 求函数 y=()|1+2x|+|x-2|的单调区间. 活动:教师提示,因为指数含有两个绝对值,要去绝对值,要分段讨论,同时注意底数的大小,分 析出指数的单调区间 ,再确定函数的单调区间 ,利用复合函数的单调性学生思考讨论 ,然后解 答. 解:由题意可知 2 与是区间的分界点. 当 x<时,因为 y=()-1-2x-x+2=()1-3x=23x-1=8x, 所以此时函数为增函数. 当≤x<2 时,因为 y=()1+2x-x+2=()3+x=2-3-x=()x, 所以此时函数为减函数. 当 x≥2 时,因为 y=()1+2x+x-2=()3x-1=21-3x=2()x, 所以此时函数为减函数. 当 x1∈[,2),x2∈[2,+∞)时,因为 2()x2-()x1= =, 又因为 1-3x2-(-3-x1)=4-3x2+x1=4+x1-3x2<0,所以 1-3x2<-3-x1, 即 2()x2<()x1. 所以此时函数为减函数. 综上所述,函数 f(x)在(-∞,]上单调递增,在[,+∞)上单调递减. 拓展提升 设 m<1,f(x)=,若 0<a<1,试求: (1)f(a)+f(1-a)的值; (2)的值. 活动:学生思考,观察,教师提示学生注意式子的特点,做这种题目,一定要有预见性,即第(2)问 要用到第(1)问的结果,联系函数的知识解决. 解:(1)f(a)+f(1-a)=== ===1. (2) =[ =500×1=500. 点评:第(2)问是第(1)问的继续,第(1)问是第(2)问的基础,两个问号是衔接的,利用前一个问号 解决后一个问号是我们经常遇到的情形,要注意问号与问号之间的联系. 课堂小结 本节课复习了指数函数的性质,借助指数函数的性质的运用,我们对函数的单调性和奇偶性又 进行了复习巩固,利用单调性和奇偶性解决了一些问题,对常考的函数图象的变换进行了学习, 要高度重视,在不断学习中升华提高. 作业 课本 P59 习题 2.1A 组 5. 设计感想 指数函数作为一类基本的初等函数,它虽然不具有函数通性中的奇偶性,但是它与其他函数 复合构成具有比较复杂的单调性的函数,同时也可以复合出比较特殊的奇函数和偶函数,判断 复合函数的单调性和奇偶性要十分小心,严格按规定的要求,有时借助数形结合可帮我们找到 解题思路,本堂课是在以前基础上的提高与深化 ,同时又兼顾了高考常考的内容 ,因此涉及面 广,容量大,要集中精力,加快速度,高质量完成教学任务.

习题详解 (课本 54 页练习) 1.a=,a=,a=,a= . 2.(1)=x,(2)=(a+b),(3)=(m-n), (4)=(m-n)2,(5)=p3q,(6)=m=m. 3.(1)()=[()2]=()3=; (2)2××=2×3×()×(3×22)=2×3=2×3=6; (3)aaa=a=a; (4)2x(x-2x)=x-4x=1-4x-1=1. (课本 58 页练习) 1.如图 图 2-1-2-14 2.(1)要使函数有意义,需 x-2≥0,即 x≥2,所以函数 y=3 的定义域为{x|x≥2}; (2)要使函数有意义,需 x≠0,即函数 y=()的定义域是{x∣x≠0}. 3.y=2x(x∈N*) (课本第 59 页习题 2.1) A组 1.(1)100;(2)-0.1;(3)4-π;(4)x-y. 2 解:(1)===a0b0=1. (2)===a. (3)===m0=1. 点评:遇到多重根号的式子,可以由里向外依次去掉根号,也可根据幂的运算性质来进行. 3.解:对于(1),可先按底数 5,再按键,再按 12,最后按,即可求得它的值. 答案:1.710 0; 对于(2),先按底数 8.31,再按键,再按 12,最后按即可. 答案:2.881 0; 对于(3)这种无理指数幂,先按底数 3,再按键,再按键,再按 2,最后按即可. 答案:4.728 8; 对于(4)这种无理指数幂,可先按底数 2,其次按键,再按π 键,最后按即可. 答案:8.825 0. 4.解:(1)aaa=a=a; (2)aa÷a=a=a; (3)(xy)12==x4y-9; (4)4ab÷(ab)=(×4)=-6ab0=-6a; (5)===; (6)(-2xy)(3xy)(-4xy)=[-2×3×(-4)]x=24y; (7)(2x+3y)(2x-3y)=(2x)2-(3y)2=4x-9y; (8)4x (-3xy)÷(-6xy)==2xy. 点评:进行有理数指数幂的运算时,要严格按法则和运算顺序,同时注意运算结果的形式,但结 果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数. 5.(1)要使函数有意义,需 3-x∈R,即 x∈R,所以函数 y=23-x 的定义域为 R. (2)要使函数有意义,需 2x+1∈R,即 x∈R,所以函数 y=32x+1 的定义域为 R. (3)要使函数有意义,需 5x∈R,即 x∈R,所以函数 y=()5x 的定义域为 R.

(4)要使函数有意义,需 x≠0,所以函数 y=0.7 的定义域为{x|x≠0}. 点评:求函数的定义域一是分式的分母不为零,二是偶次根号的被开方数大于零,0 的 0 次幂 没有意义. 6.解:设经过 x 年的产量为 y,一年内的产量是 a(1+),两年内产量是 a(1+)2,?,x 年内的产量是 a(1+)x,则 y=a(1+)x(x∈N*,x≤m). 点评:根据实际问题,归纳是关键,注意 x 的取值范围. 7.(1)30.8 与 30.7 的底数都是 3,它们可以看成函数 y=3x,当 x=0.8 和 0.7 时的函数值; 因为 3>1, 所以函数 y=3x 在 R 上是增函数.而 0.7<0.8,所以 30.7<30.8. (2)0.75-0.1 与 0.750.1 的底数都是 0.75,它们可以看成函数 y=0.75x,当 x=-0.1 和 0.1 时的函数值; 因为 1>0.75,所以函数 y=0.75x 在 R 上是减函数.而-0.1<0.1,所以 0.750.1<0.75-0.1. (3)1.012.7 与 1.013.5 的底数都是 1.01,它们可以看成函数 y=1.01x,当 x=2.7 和 3.5 时的函数值; 因为 1.01>1,所以函数 y=1.01x 在 R 上是增函数.而 2.7<3.5,所以 1.012.7<1.013.5. (4)0.993.3 与 0.994.5 的底数都是 0.99,它们可以看成函数 y=0.99x,当 x=3.3 和 4.5 时的函数值; 因为 0.99<1,所以函数 y=0.99x 在 R 上是减函数.而 3.3<4.5,所以 0.994.5<0.993.3. 8.(1)2m,2n 可以看成函数 y=2x,当 x=m 和 n 时的函数值;因为 2>1,所以函数 y=2x 在 R 上是增 函数.因为 2m<2n,所以 m<n. (2)0.2m,0.2n 可以看成函数 y=0.2x,当 x=m 和 n 时的函数值;因为 0.2<1,所以函数 y=0.2x 在 R 上是减函数.因为 0.2m<0.2n,所以 m>n. (3)am,an 可以看成函数 y=ax,当 x=m 和 n 时的函数值;因为 0<a<1,所以函数 y=ax 在 R 上是减 函数.因为 am<an,所以 m>n. (4)am,an 可以看成函数 y=ax,当 x=m 和 n 时的函数值;因为 a>1,所以函数 y=ax 在 R 上是增函 数.因为 am>an,所以 m>n. 点评:利用指数函数的单调性是解题的关键. 9.(1)死亡生物组织内碳 14 的剩余量 P 与时间 t 的函数解析式为 P=(). 当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳 14 的含量为 P=()=()9≈0.002. 答:当时间经过九个 “半衰期” 后,死亡生物组织内的碳 14 的含量约为死亡前含量的 2?,因此, 还能用一般的放射性探测器测到碳 14 的存在. (2)设大约经过 t 万年后,用一般的放射性探测器测不到碳 14,那么()<0.001,解得 t>5.7. 答:大约经过 6 万年后,用一般的放射性探测器是测不到碳 14 的. B组 1.当 0<a<1 时, a2x-7>a4x-12x-7<4x-1x>-3; 当 a>1 时, a2x-7>a4x-12x-7>4x-1x<-3. 综上,当 0<a<1 时,不等式的解集是{x|x>-3}; 当 a>1 时,不等式的解集是{x|x<-3}. 2.分析:像这种条件求值,一般考虑整体的思想 ,同时观察指数的特点,要注重完全平方公式的 运用. 解:(1)设 y=x+x, 那么 y2=(x+x)2=x+x-1+2. 由于 x+x-1=3,所以 y=. (2)设 y=x2+x-2, 那么 y=(x+x-1)2-2. 由于 x+x-1=3,

所以 y=7. (3)设 y=x2-x-2, 那么 y=(x+x-1)(x-x-1), 而(x-x-1)2=x2-2+x-2=, 所以 y=±3. 点评:整体代入和平方差,完全平方公式的灵活运用是解题的突破口. 3.解:已知本金为 a 元. 1 期后的本利和为 y1=a+a×r=a(1+r), 2 期后的本利和为 y2=a(1+r)+a(1+r)×r=a(1+r)2, 3 期后的本利和为 y3=a(1+r)3, ? x 期后的本利和为 y=a(1+r)x. 将 a=1 000,r=0.022 5,x=5 代入上式得 y=a(1+r)x=1 000×(1+0.022 5)5=1 000×1.02255≈1118. 答:本利和 y 随存期 x 变化的函数关系式为 y=a(1+r)x,5 期后的本利和约为 1 118 元. 4.解:(1)因为 y1=y2,所以 a3x+1=a-2x. 所以 3x+1=-2x. 所以 x=. (2)因为 y1>y2,所以 a3x+1>a-2x.所以当 a>1 时,3x+1>-2x. 所以 x>. 所以当 0<a<1 时,3x+1<-2x.所以 x<. (设计者:刘玉亭)


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