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相贯线


第三节 立体与立体相交
零件上两立体相交称为相 贯.两立体的表面相交而 产生的交线称为相贯线
相贯线的基本性质:
1)相贯线一般是封闭的空间曲线 2)相贯线是两形体的共有线,相 贯线上的所有点一定是两形体表面 的共有点

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三通管



弯管

>旋塞体 具有相贯线的零件的实例:

3.4.4.1 概述
相贯线一般是封闭的空间曲线,如图(a)~(f)所示。 特殊时可蜕化成平面曲线、直线等,如图(g)(h)所示。 确定相贯线的三大因素是:两立体的形状、大小和它 们的相互位置。

3.4.4.2 相贯线的求作方法
相贯线的求作过程是先求出两立体表面的一 系列公有点,然后依次光滑连接成曲线。 相贯点有特殊点和一般(中间)点。如曲面 立体的转向轮廓线与另一曲面立体的交点(称 为转向点);相贯线上的最高、最低、最左、 最右、最前、最后点以及相贯线与曲面上素线 的切点(称为极限位置点)等是特殊点。 作图时,应求出特殊点,这有助于确定相贯 线的投影范围和变化趋势,使相贯线的投影更 准确。一般点则按需要求出。

点的求取方法:
(1)表面取点法。常用的作图方法为利用积 聚性在表面取点.条件是必须至少已知相贯 线的一个投影 (2)辅助截面法。没有投影条件限制,但辅 助截面的选择应使所截得的截交线是直线 或平行于投影面的圆。辅助截面法在相贯 线的求作中应用较多。

辅助截面法
如图(a)所示,圆柱与圆锥相贯,过锥顶并平行于 圆柱轴线作辅助截面P,截圆锥面为两相交直线;截圆 柱面为两平行直线。交点Ⅰ、Ⅱ,即为相贯线上的点。 图(b)所示,圆柱与圆锥相贯,辅助截面Q垂直于圆 锥轴线并平行于圆柱轴线,截圆锥为平行于H投影面的 圆,截圆柱为两平行直线。交点Ⅲ、Ⅳ即为相贯线上的 点。选择一系列的辅助面,求得一系列公有点,依次光 滑连接相邻的点完成相贯线的投影。

例1 求不等直径圆柱正交相贯线的投影。
(1)分析:如图所示,两圆柱轴线互相垂直相 交。小圆柱垂直于H面、大圆柱垂直于W面,相贯 线是一封闭的空间曲线,其前后、左右对称。相 贯线的H、W投影分别有积聚性,V投影需要求作。

(2)辅助截平面的选择
分析可知,投影面的平行面均能截出直线或平 行于投影面的圆,因此可作为辅助平面。如图所 示,本例选正平面P为辅助截平面。

(3)求特殊点
如图所示,1、2 是最高点、又是 最左、最右点, 也是V投影方向上 的虚实分界点,3、 4是最低点、又是 最前、最后点。 各点的V投影1′、 2′、3′、4′由 已知的H、W投影 求得。

(4)求一般点
如图所示,5、6两点选择辅助平面P求得。

(5)连线并判别可见性
相贯线前后对称,其V投影虚实重叠。

第三节 立体与立体相交 一、两曲面立体相交(圆柱与圆柱)
利用积聚性在表面取 点 【例】求垂直相交的 两圆柱的相贯线
分析:直立圆柱的水平投 影具有积聚性,因而相贯 线的水平投影与之重合。 水平圆柱的侧面投影具有 积聚性,因而相贯线的侧 面投影与之重合。所以相 贯线的两个投影已确定, 只需求其正面投影 (1)求特殊点 分别求相贯 线上最前点Ⅰ,最左、最 右点Ⅱ、Ⅲ的各投影。

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(2)求一般点 在相贯线的水平投影上任取一般点Ⅳ、Ⅴ的投影, 再根据投影规律求出另外两面投影 (3)连曲线并判别可见性 相贯线后半段与前半段重合,只画实线

(6)不同表面相交情况的分析
上述两圆柱外表面 相交的相贯线,同样 可出现在圆柱上开圆 柱孔的情况下,即圆 柱与圆柱孔(外和内 表面)、圆柱孔与圆 柱孔(内和内表面) 正交时。它们的求作 方法是相同的,如图 所示。

(7)二等直径圆柱正交
其相贯线由空间 曲线蜕化成两个椭 圆。如图所示,各 椭圆所在平面均与V 面垂直,因此它们 的V投影都积聚成直 线,由两立体在V面 上的转向轮廓线的 交点所连成。

第三节 立体与立体相交 一、两曲面立体相交(圆柱与圆柱)
2、相贯线变化趋势
影响两正交圆柱的相贯线 变化的趋势的因素是它们 的相对尺寸 ? 两圆柱正交,小圆柱 穿过大圆柱,在非积聚 性的投影上,其相贯线 弯曲趋势总是朝大圆柱 里弯曲 ? 两正交圆柱,直径差 异越小,相贯线弯曲程 度越大 ? 两正交圆柱直径相等 时,相贯线变成平面曲 线(椭圆),其一个投 影变成相交直线

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第三节 立体与立体相交 一、两曲面立体相交(圆柱与圆柱)
3、两圆柱相交的三种形式
两圆柱相交可能是它们的外表面,也可能是内表面, 但其相贯线的形状和求作方法都是相同的。

两外表 面相交

外表面 与内表 面相交

两内表 面相交

圆筒开孔例1 圆筒开孔例2 圆筒相交例

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第三节 立体与立体相交 一、两曲面立体相交(圆柱与圆柱) 例1 圆筒穿圆柱孔
?外内相贯

?内内相贯

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第三节 立体与立体相交 一、两曲面立体相交(圆柱与圆柱) 例2 圆筒穿圆柱孔
?外内相贯 ?内内相贯 ?圆筒内径 与圆柱孔径 相同

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第三节 立体与立体相交 一、两曲面立体相交(圆柱与圆柱)

例3 两圆筒正交
? 外外相贯 ? 内内相贯

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第三节 立体与立体相交 一、两曲面立体相交(圆柱与圆柱)
【题】完成两相交空心 圆柱相贯线投影
分析: ? 两个空心圆柱正交产生 外外相贯 和 内内相贯。 ? 水平圆筒的侧面投影具 有积聚性,因而两相贯线 的侧面投影与之重合。同 理,相贯线的水平投影与 直立圆筒的水平投影重合 ? 只须求两相贯线的正面 投影(预判相贯线弯曲趋 向由左朝右)。
? 求“外-外”相贯线 1)特殊点 相贯线上的最 高、最低点Ⅰ、Ⅱ;最右 点(最前点)Ⅲ的投影 2)一般点 Ⅳ、Ⅴ 3)连接曲线 即为相贯线 的前半段 ? 求“内-内”相贯线 方法相同。相贯线上的最 高、最低点Ⅵ、Ⅶ ;最 右点Ⅷ。此相贯线被遮挡, 不可见,应画虚线。

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第三节 立体与立体相交 一、两曲面立体相交(圆柱与圆柱)

完成开孔半圆筒 相贯线的投影
分析:

? 本例要作两条相

贯线:外圆柱面与 内圆柱面(圆柱孔) 相贯,两内圆柱面 相贯。 ? 由于正交的两圆 柱孔直径相同,因 此“内-内” 相贯 线在非积聚性投影 (正面投影)变成 相交两直线,因不 可见,要画虚线

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第三节 立体与立体相交 一、两曲面立体相交(圆柱与圆柱)
【题】完成圆筒 相贯线的投影

? 两圆筒正 交 ? 外外相贯 内内相贯 ? 两圆筒外 径相等

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例2 求不等直径圆柱斜交相贯线的投影。
(1)分析 两圆柱轴线倾斜相 交,且平行于V面,因 此相贯线是一封闭的 空间曲线,其前后对 称。由于水平大圆柱 垂直于W面,所以相贯 线的W投影有积聚性, H、V投影需要求作。

(2)辅助截平面的选择
正平面截两圆 柱面的截交线均 为直线,而其他 平面截两圆柱面 会出现椭圆。所 以选正平面P为辅 助平面,如图所 示。

(3)求特殊点
如图所示,Ⅰ、 Ⅱ是最高点、又是 最左、最右点,也 是V投射方向上的 虚实分界点,Ⅲ、 Ⅳ是最低点、又是 最前、最后点。各 点的V、H投影由已 知的W投影求得。

(4)求一般点
如图所示,V、 VI选择正平面P 为辅助平面求 得两点Ⅴ、Ⅵ。 其中,平面P截 倾斜小圆柱面 的二平行素线 通过一次辅投 影求出其准确 位置。

(5)连线并判别可见性
因为相贯线前后 对称,所以V投影 虚实重叠。而H投 影以III、IV为虚 实分界点,其左边 部分为不可见,投 影是虚线。倾斜小 圆柱的上下转向轮 廓线的H投影应补 画到点3、4。

例3 求圆柱与圆锥偏交相贯线的投影
(1)分析 如图所示,圆柱与圆锥轴线垂直但不相交。相 贯线是一封闭的空间曲线,其左右对称。由于水 平圆柱垂直于W面,所以相贯线的W投影有积聚性, H、V投影需要求作。

(2)辅助截平面的选择
选择水平面或过锥顶的侧垂面为辅助平面(分 析为什么?)

(3)求特殊点
如图所示,Ⅱ是最高点,Ⅺ、Ⅻ是最低点、Ⅶ、Ⅷ是最 前点,Ⅰ是最后点。各点的V、H投影由已知的W投影和通过 作水平辅助平面方法求得。而两点Ⅴ、Ⅵ,是相贯线与圆 锥素线的切点。

(4)求一般点

选择水平面或过锥顶的侧垂面为辅 助平面可求得,本例图中未作。

(5)连线并判别可见性
两立体公共可见部 分的交线可见,由已 知的W投影分析知:V 投射方向,以点Ⅲ、 Ⅳ和Ⅸ、Ⅹ为分界, 相贯线的前面部分为 可见;H投射方向, 以点Ⅶ、Ⅷ为分界, 相贯线的上面部分为 可见。因此得到如图 中的投影结果。圆柱 前后转向轮廓线的V 投影和上下转向轮廓 线的H投影补画情况 亦如图所示。

例4 求圆柱与圆球偏交相贯线的投影。
(1)分析 如图所示,圆柱 与球轴线平行但不 相交。相贯线是一 封闭的空间曲线。 由于直立圆柱垂直 于H面,所以相贯 线的H投影有积聚 性,现仅求作V投 影。

(2)辅助截平面的选择
选择投影面平行面为辅助平面,其与圆柱面的 交线是直线或平行于投影面的圆,而与球面的交 线是平行于投影面的圆。

(3)求特殊点
如图所示,I、II是 最左、最右点,III、 IV是最前点、最后点。 而最高、最低点E、F的 H投影应是在H投影中圆 柱和球中心连线与圆周 相交的点e、f。以上各 点的V投影由它们已知 的H投影和通过作正平 面P为辅助平面的方法 求得。

(4)求一般点

可同样选择正平面为辅助平面求得, 本例图中未作。

(5)连线并判别可见性
两立体公共可见 部分的交线可见, 由已知的H投影分 析知:V投影中, 以点I、II为虚实 分界点,相贯线的 前面部分为可见。 圆柱和球的前后转 向轮廓线在V投影 中补画情况亦如图 所示。

3.4.4.3 相贯线的特殊情况 1 两立体相交,它们公切于一个球面时
相贯线由空间曲线蜕化成两个椭圆。如图,各椭 圆所在平面均与V面垂直,它们的V投影积聚成直线, 由两立体在V面上的转向轮廓线的交点所连成。

2 回转体与球相交,且回转体轴线过球心时 其相贯线为一垂直于回转体轴线的圆。

3.4.5 综合举例

概述
几个基本几何体相交组成一个复杂的组合 体时,如何正确作出它们的交线。 1.必须很好掌握单一基本几何体被平面所 截产生截交线和两个基本几何体相交产生相 贯线的分析和求作方法; 2.必须分析清楚组合体由哪几个基本几何 体组成、它们的相对位置以及何处存在交线。 特别注意对形体的认识和分析; 3.必须分析清楚交线的形状和不同交线的 分界点,以及它们的投影情况。 4.按逐一作图,注意衔接,综合完成进行 正确求作。

例1 求立体交线的投影。
(1)分析 该组合体是由三个直径 不同的圆柱组成。 其中左右水平的小、大 两圆柱共轴线并⊥W面; 直立圆柱⊥H面并与水平 两圆柱垂直相交。 组合体前后对称。 直立圆柱与水平大、小 圆柱的相贯线均为不等直 径圆柱正交,各是前后对 称的空间曲线。

(2)作图

点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅵ、Ⅶ、 Ⅷ,分别在W、H中积聚,V为 前后重影。 水平大圆柱左端面是侧 面平行面,与直立圆柱轴线 平行,交线是二铅垂线。其V 重影即3′4′一段,H积聚成 一点即3(4),W是3″4 ″。 后面与前面对称。 直立圆柱下端面是水平面, 与水平小圆柱面相交是二侧 垂线。其V重影即5′6′一段, W积聚成一点即(5 ″)6 ″, H是56(不可见)。后面与前 面完全对称。 最后,补全其它投影,完 成作图。

例2 完成开孔立体的H、W投影。
(1)分析 该组合体是由 共轴线的圆柱和 圆台组成,轴线 垂直于H面。组合 体开有上下、前 后通孔,且互相 垂直相交。组合 体前后、左右均 对称。

(2)作图

如图所示,圆柱开孔在外表面是不 等径圆柱正交的空间曲线和平行于圆柱 轴线的二平行直线,相贯线经过Ⅹ、Ⅺ、 Ⅻ、ⅩⅢ、ⅩⅣ点,其V、H积聚,W为 曲线投影;交线Ⅺ(Ⅰ)和Ⅻ(Ⅱ)是 铅垂线,W投影为直线。 内孔是二等直径圆柱正交,交线椭 圆的W积聚成直线(不可见)。 圆台开圆柱孔在外表面的交线是空 间曲线和双曲线,空间曲线经过Ⅴ、Ⅵ、 Ⅶ、Ⅷ、Ⅸ点,其V积聚,H,W为曲线 投影;交线Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ和Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ是 双曲线,其V、H投影积聚,W为曲线投 影。内孔是二等直径圆柱正交,交线椭 圆的W积聚成直线(不可见)。W中,圆 柱和圆台的转向轮廓线在点Ⅹ、Ⅸ之间 已不存在,交线前后对称。 最后,补全其它投影,完成作图。

例3 分析立体上哪些是截交线?哪些是相贯线? 并补全H投影。
(1)分析 该立体是左右开有圆柱通孔 (半径R)的圆柱。被水平面P、 正垂面Q所截,且左面有一半径 为R的前后圆柱面E与其相贯。 P平面与左右圆柱轴线平行, 与Q平面和圆柱右端面相交,截 交线是一矩形; Q平面与左右圆柱轴线倾斜, 截圆柱和圆柱孔的截交线是椭 圆曲线; 圆柱面E与左右圆柱面是不等 直径圆柱正交,与圆柱孔是等 直径圆柱正交,它们产生的是 相贯线。

(2)作图
H投影前后对称,其中5、 1(8、4)之间是不等直 径圆柱正交的空间曲线投 影,1、9(4、10)之间 是椭圆,9、11(10、12) 是直线;6、2(7、3)之 间是二等直径圆柱正交相 贯线(椭圆)的积聚投影, 2、3是Q平面截圆柱孔的 截交线椭圆的投影。

第三节 立体与立体相交

二、平面立体与曲面立体相交
【例】四棱柱与圆 柱正交,求相贯线
分析:相贯线为由平面 曲线(直线)组成的封 闭折线。

求平面立体与曲面的交 线实质为求截交线问题
过程: (1)求棱柱的棱面与圆 柱的交线—ⅠⅡ、ⅢⅣ 直线段,ⅠⅢ、ⅡⅣ圆 弧段 (2)由于两立体叠加, 重叠处无转向轮廓线 (3)可见性判别

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第三节 立体与立体相交

二、平面立体与曲面立体相交
【例】圆柱贯穿矩 形孔,求相贯线
分析:本例为圆柱与四 棱柱外-内相贯 过程: (1)求棱柱的棱面与圆 柱的交线—ⅠⅡ、ⅢⅣ 直线段,ⅠⅤ Ⅲ、 ⅡⅥ Ⅳ圆弧段 (2)由于切割,相交处 无转向轮廓线 (3)可见性判别,不可见 轮廓线画虚线

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第三节 立体与立体相交

二、平面立体与曲面立体相交
【例】空心圆柱开矩形孔
分析:本例为圆柱与四棱柱 外-内相贯、内内相贯。 交线在水平投影和侧面投 影有重影性,已确定。需要 求其正面投影 过程: (1)先求内棱柱表面与外圆 柱面的交线 (2)再求内棱柱表面与内圆 柱面的交线 注意:由于切割,相交处的 内、外转向轮廓线都不存在 (3)可见性判别,不可见轮廓 线画虚线

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求作侧面投影

? 圆筒上挖长方 孔、长圆孔

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例:三个圆柱相交

点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅵ、Ⅶ、 Ⅷ,分别在W、H中积聚,V为 前后重影。 水平大圆柱左端面是侧 面平行面,与直立圆柱轴线 平行,交线是二铅垂线。其V 重影即3′4′一段,H积聚成 一点即3(4),W是3″4 ″。 后面与前面对称。 直立圆柱下端面是水平面, 与水平小圆柱面相交是二侧 垂线。其V重影即5′6′一段, W积聚成一点即(5 ″)6 ″, H是56(不可见)。后面与前 面完全对称。 最后,补全其它投影,完 成作图。

内 容 小 结 ? 立体的投影图、立体表面取点、求截交线、求相贯线

截交线 平面与立体表面相交所得交线称为截交线,截交
线的求法可归结为求截平面与立体表面的共有点。注意求 找截交线上的特殊点。截平面处于特殊位置时,利用投影 积聚性取点。

相贯线 两立体表面相交所得交线称为相贯线,其求法仍
然是求找共有点。同样要注意求找特殊点,利用投影积聚 性取点。先找特殊点,再找一般点。 根据交线的性质(直线或是曲线),连线。判别可见 性,用虚线描绘不可见线,用粗实线描绘可见线(轮廓线、 边界线、交线)。

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本章完


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第五章 相贯线

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