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函数的奇偶性与单调性(教师)


函数的奇偶性
1.函数的奇偶性的定义:由定义知:定义域必关于原点对称; 2.奇偶函数的性质: (1)偶函数的图象关于 y 轴对称, (2)奇函数的图象关于原点对称;这也是判奇偶函数的依据; (3)若奇函数 f(x)的定义域包含 0 ,则 f(0)=0(奇函数的特性) ; (4)f(x)为偶函数?f(x)=f(|x|) 3.判断函数的奇偶性,先看定义域,再看是否 f(-x

)=±f(x 或等价形式:

f ( x) ? f ( ? x) ? 0 ,

f ( x) ? ?1 f (? x)

4.设 f(x),g(x)的定义域分别是 D1,D2,那么在它们的公共定义域上: 奇函数±奇函数=奇函数 奇函数×偶函数=奇函数 奇函数×奇函数=偶函数 偶函数±偶函数=偶函数 奇函数±偶函数=非奇非偶 偶函数×偶函数=偶函数

5 . 任 何 函 数 f (x) 可 以 写 成 一 个 奇 函 数 ? ( x ) ?

? ( x) ?

f ( x) ? f (? x) 的和。 2

f ( x) ? f (? x) 和一个偶函数 2

6.若函数 g(x), (x), [g(x)]的定义域都是关于原点对称的, u=g(x), f(u)都是奇函数时, f f 则 y= y=f[g(x)]是奇函数;u=g(x),y=f(u)都是偶函数,或者一奇一偶时,y= f[g(x)]是偶函数. 7.奇偶性与单调性 (1)奇函数在对称区间(-b,-a)与(a,b)上增减性相同。 (2)偶函数在对称区间(-b,-a)与(a,b)上增减性相反。 4 1、 已知函数 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数. 当 x∈(-∞,0)时,(x)=x-x , 当 x∈(0.+ f 则 ∞)时,f(x)= . 2 2、已知 y=f(x)是偶函数,且在 [0,??) 上是减函数,则 f(1-x )是增函数的区间是

1 . ,若 f ? x ? 为奇函数,则 a ? ________。 2 ?1 1 1 1 . 若 f ( x) 为奇函数,则 f (0) ? 0 ,即 a ? 0 ? 0 ,a= . 解析:函数 f ( x) ? a ? x 2 ?1 2 ?1 2
3 已知函数 f ( x) ? a ?
x

3.下面四个结论:①偶函数的图象一定与 y 轴相交;②奇函数的图象一定通过原点;③偶函数 的图象关于 y 轴对称;④既是奇函数又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(x∈R),其中正确命题的 个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 分析:偶函数的图象关于 y 轴对称,但不一定相交,因此③正确,①错误. 奇函数的图象关于原点对称,但不一定经过原点,因此②不正确. 若 y=f(x)既是奇函数,又是偶函数,由定义可得 f(x)=0,但不一定 x∈R,如例 1 中的(3),

故④错误,选 A. 说明:既奇又偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零 4、判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=lg( x 2 ? 1 -x); (2) f ( x) ? ( x ? 1) (4) f ( x) ? lg( 1 ? x 2 ? x) (7)f(x)= x ? 2 + 2 ? x

1? x lg(1 ? x 2 ) ;(3) f ( x) ? ; 1? x | x ? 2 | ?2 1 1 x ? ; (6) f ( x) ? ? log 3 ?1 ? 3? x ? (5) f ( x) ? x 2 ?1 2 2
? x(1 ? x) (8) f(x)= ? ? x(1 ? x) ( x ? 0), ( x ? 0).

(1)f(x)=lg( x 2 ? 1 -x); (2)f(x)= x ? 2 + 2 ? x

? x(1 ? x) (3) f(x)= ? ? x(1 ? x)

( x ? 0), ( x ? 0).

解:(1)此函数的定义域为 R. ∵f(-x)+f(x)=lg( x2 ? 1 +x)+lg( x2 ? 1 -x)=lg1=0 ∴f(-x)=-f(x),即 f(x)是奇函数。 (2)此函数定义域为{2} ,故 f(x)是非奇非偶函数。 (3)∵函数 f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞) ,并且当 x>0 时,-x<0, ∴f(-x)=(-x) [1-(-x) ]=-x(1+x)=-f(x) x>0). ( 当 x<0 时,-x>0,∴f(-x)=-x(1-x)=-f(x) x<0). ( 故函数 f(x)为奇函数. 方法步骤:判断奇偶的方法及应注意的问题——先看定义域是否关于原点对称,再看 f(-

x)=±f(x)或 等价形式: f ( x) ? f (? x) ? 0 ,

f ( x) ? ?1 f (? x)

7 5 3 5、已知 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? dx ? 5 ,其中 a, b, c, d 为常数,若 f (?7) ? ?7 ,

则 f (7) ? _____19__ 6 函数 F ( x) ? (1 ?

2 ) f ( x)( x ? 0) 是偶函数,且 f (x) 不恒等于零,则 f (x) 2 ?1 A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 可能是奇函数也可能是偶函数 D. 不是奇函数也不是偶函数
x

已知函数 f ( x) ?

ax 2 ? 1 bx ? c

( a, b, c ? Z ) 是奇函数,又 f (1) ? 2, f (2) ? 3 ,求 a、b、c 的整数值。

解:由 f (? x) ? ? f ( x) ? c ? 0 ,又由 ? 7、已知定义域为 R 的函数 f ( x) ?

? f (1) ? 2 ? ?1 ? a ? 2 ,从而可得 a=b=1;c=0 ? f (2) ? 3

?2 x ? b 是奇函数。 2 x ?1 ? a

(Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的 取值范围; 解析: (Ⅰ)因为 f ( x ) 是奇函数,所以 f (0) =0,即

b ?1 1 ? 2x ? 0 ? b ? 1? f ( x) ? a?2 a ? 2 x ?1

1 1? 1? 2 又由 f(1)= -f(-1)知 ? ? 2 ? a ? 2. a?4 a ?1
(Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)知 f ( x) ?

1 ? 2x 1 1 ?? ? x ,易知 f ( x ) 在 (??, ??) 上 x ?1 2?2 2 2 ?1

为减函数。又因 f ( x ) 是奇函数,从而不等式:

f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0

2 2 2 等价于 f (t ? 2t ) ? ? f (2t ? k ) ? f (k ? 2t ) ,因 f ( x ) 为减函数,由上式推得:

t 2 ? 2t ? k ? 2t 2 .即对一切 t ? R 有: 3t 2 ? 2t ? k ? 0 ,
从而判别式 ? ? 4 ? 12k ? 0 ? k ? ? . 8、设奇函数 f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)且在(0,+∞)上单调递增,f(1)=0,解不等 式:f[x(x-

1 3

1 )]<0 2

解:∵奇函数 f(x)在(0,+∞)上递增 ∴f(x)在(-∞,0)上单调递增 又 f(-1)=-f(1) ∴f(-1)=f(1)=0 ∴当 x∈(-1,0)∪(1,+∞)时 f(x)>0 当 x∈(-∞,-1)∪(0,1)时 f(x)<0

1 1 2 1 1 1 )=(x- ) ≥>-1 欲使 f〔x(x- )〕<0 成立,则必有 2 4 16 16 2 1 1 x·(x- )∈(0,1),即 0<x(x- )<1,解之得: 2 2
∴又 x(x-

1 1 ? 17 <x<0 或 <x< 2 4

9、已知 g(x)=-x -3,f(x)是二次函数,当 x∈[-1,2]时,f(x)的最小值是 1,且 f(x)+g(x)是 奇函数,求 f(x)的表达式。 解:设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 则 f ( x) ? g ( x) ? (a ?1) x2 ? bx ? c ? 3 是奇函数

2

b ?a ? 1 ? 0 ?a ? 1 b 1 ? ?? ?? , f ( x) ? x 2 ? bx ? 3 ? ( x ? ) 2 ? 3 ? b 2(1) 1 ? ? ? 2 即 -4 ? b ? 2 2 4 2 ?c ? 3 ? 0 ?c ? 3
时,最小值为: 3 ? (2)当 ?

1 2 b ? 1 ? b ? ?2 2 ?b ? ?2 2, f ( x) ? x2 ? 2 2x ? 3 4

b ? 2 即 b ? ?4 时,f(2)=1 无解; 2 b (3)当 ? ? ?1 即 b ? 2 时, 2

f (?1) ? 1 ? b ? 3, f ( x) ? x2 ? 3x ? 3 f ( x) ? x2 ? 3x ? 3

综上得: f ( x) ? x2 ? 2 2 x ? 3 或

10、定义在 R 上的单调函数 f(x)满足 f(3)=log 2 3 且对任意 x,y∈R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求证 f(x)为奇函数; (2)若 f(k·3 )+f(3 -9 -2)<0 对任意 x∈R 恒成立,求实数 k 的取值范围. 分析:欲证 f(x)为奇函数即要证对任意 x 都有 f(-x)=-f(x)成立.在式子 f(x+y)=f(x)+f(y)中, 令 y=-x 可得 f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题, f(0)的值. x=y=0 可得 f(0)=f(0)+f(0) 求 令 即 f(0)=0,f(x)是奇函数得到证明. (1)证明:
x x x

f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R), ① 令 x=y=0,代入①式,得 f(0+0)=f(0)+f(0),即 f(0)=0. 令 y=-x,代入①式,得 f(x-x)=f(x)+f(-x),又 f(0)=0,则有
0=f(x)+f(-x).即 f(-x)=-f(x)对任意 x∈R 成立,所以 f(x)是奇函数. (2)解: (3)=log 2 3>0, f(3)>f(0), f(x)在 R 上是单调函数, f 即 又 所以 f(x)在 R 上是增函数, 又由(1)f(x)是奇函数.

f(k·3 x )<-f(3 x -9 x -2)=f(-3 x +9 x +2), k·3 x <-3 x +9 x +2,
3
2x

-(1+k)·3 +2>0 对任意 x∈R 都成立.令 t=3 >0,问题等价于 t -(1+k)t+2>0 对任意 t

x

x

2

1? k 2 1? k 1? k ? 0,即k ? ?1 时,f(0)=2>0,符合题意;当 ? 0 时,对任意 t>0,f(t)>0 恒成立 当 2 2
2 >0 恒成立.令 f(t)=t -(1+k)t+2,其对称轴 x ?

?1 ? k ?0 ? ?? 2 ?? ? (1 ? k ) 2 ? 4 ? 2 ? 0 综上所述,所求 k 的取值范围是 (??, ?1 ? 2 2) ? 解得 ? 1 ? k ? ?1 ? 2 2
11、函数 f(x)的定义域为 D={x|x≠0},且满足对于任意 x1、x2∈D,有 f(x1·x2)=f(x1)+f (x2). (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性并证明; (3)如果 f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且 f(x)在(0,+∞)上是增函数,求 x 的 取值范围. 解: (1)令 x1=x2=1,有 f(1×1)=f(1)+f(1) ,解得 f(1)=0. (2)证明:令 x1=x2=-1,有 f[ (-1)×(-1) f(-1)+f(-1).f(-1)=0. ]= 令 x1=-1,x2=x,有 f(-x)=f(-1)+f(x) f(-x)=f(x).∴f(x)为偶函数. , (3)解:f(4×4)=f(4)+f(4)=2,f(16×4)=f(16)+f(4)=3. ∴f(3x+1)+f(2x-6)≤3 即 f[ x+1) x-6) f(64).(*) (3 (2 ]≤

?(3x ? 1)( 2 x ? 6) ? 0, ∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴(*)等价于不等式组 ? 或 ?(3x ? 1)( 2 x ? 6) ? 64

? ?(3x ? 1)( 2 x ? 6) ? 0, ? ?? ? ? (3x ? 1)( 2 x ? 6) ? 64, ? ? 7
<x<3.∴x 的取值范围为{x|-

?

1 x ? 3或x ? ? , 3

? ? x?5 ? 3 ?

? 1 7 1 1 ?? ? x ? 3, 或? 3 ∴3<x≤5 或- ≤x<- 或- 3 3 3 ?x ? R . ?

7 1 1 ≤x<- 或- <x<3 或 3<x≤5} 3 3 3

三、函数的周期性 1、函数的周期性定义:若 T 为非零常数,对于定义域内的任一 x,使 f ( x ? T ) ? f ( x) 恒成立, 则 f(x)叫做周期函数,T 叫做这个函数的一个周期。周期函数定义域必是无界的

2、若 T 是周期,则 k·T(k≠0,k∈Z)也是周期,所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般 所说的周期是指函数的最小正周期。周期函数并非所都有最小正周期。如常函数 f(x)=C; 3,与周期有关的常用的结论: (1) 、若函数 f(x)对定义域内的任意 x 满足:f(x+a)=f(x-a),则 2a 为函数 f(x)的周期。 (若 f(x)满足 f(a+x)=f(a-x)则 f(x)的图象以 x=a 为图象的对称轴,应注意二者的区别) (2) 、若函数 f(x)图象有两条对称轴 x=a 和 x=b, (a<b) ,则 2(b-a)是 f(x)的一个周期。

证明:设P( x, y )为y ? f ( x)图像上任一点,则y ? f ( x),且 P( x, y )关于直线x ? a对称的点Q(2a ? x, y )也在图像上,y ? f (2a - x). ? f ( x) ? f (2a - x) ①, 同理f ( x) ? f (2b - x) ②. ? f ( x) ? f (2a - x) ? f [2b - (2a - x)] ? f [2(b - a) ? x], 2(b - a)为周期。
(推广) 若定义在 R 上的偶函数 f (x) 的图象关于直线 x ? a (a ? 0) 对称, f (x) 是周期函数, : 则

2 a 是它的一个周期
(3) 、若函数 f(x)图象有两个对称中心(a,0)(b,0) , (a<b) ,则 2(b-a)是 f(x)的一个 周期。 (推广)若定义在 R 上的奇函数 f (x) 的图象关于点 (a,0) (a ? 0) 对称,则 f (x) 是周期函数,

2 a 是它的一个周期
(4) 、若函数 f(x)有一条对称轴 x=a 和一个对称中心(b,0) (a<b),则 4(b-a)是 f(x) 的周期。 证明:由已知f ( x) ? f (2a ? x), f ( x) ? ? f (2b ? x).

? f ( x) ? f (2a ? x) ? ? f [2b ? (2a ? x)] ? ? f [2(b ? a) ? x] ? ? f [2a ? 2(b ? a) ? x] ? ? f [2(2a ? b) ? x] ? f [2b ? 2(2a ? b) ? x] ? f [4(b ? a) ? x], 周期为4(b ? a). (推论)若定义在 R 上的奇函数 f (x) 的图象关于直线 x ? a (a ? 0) 对称,则 f (x) 是周期函数, 4 a 是它的一个周期
(5)若 f ( x ? a) ? f ( x ? b) ,则 f (x) 是周期函数, b ? a 是它的一个周期 (6) .① f ( x ? a) ? ? f ( x) ;② f ( x ? a) ?

1 1 ;③ f ( x ? a) ? ? ; f ( x) f ( x)

④ f ( x ? a) ?

f ( x) ? 1 1 ? f ( x) ;⑤ f ( x ? a) ? ; 则 f (x) 是周期函数,2 a 是它的一个周期 f ( x) ? 1 1 ? f ( x)

讲练结合:

1.f(x)是定义在 R 上的奇函数,它的最小正周期为 T,则 f(- A.0 B.

T )的值为 2

T 2

C.T

D.-

T 2

2.(2004 天津)定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数.若 f(x)的最小正周期是 π ,且当 x∈[0, A.-

π 5π ]时,f(x)=sinx,则 f( )的值为 2 3
C.-
3 2

1 2

B.

1 2

D.

3 2

3.设 f (x) 是定义在 (??,??) 上,以 2 为周期的周期函数,且 f (x) 为偶函数,在区间[2,3]上,

f (x) = ? 2( x ? 3) 2 ? 4 ,则 x ? [0,2]时, (x) = f
4.已知函数 f(x)是偶函数,且等式 f(4+x)=f(4-x),对一切实数 x 成立,写出 f(x)的一个最小 正周 5.对任意 x∈R,f(x)=f(x-1)+f(x+1)且 f(0)=6,f(4)=3,则 f(69)= 6. 设 f(x) 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 f ( x ? 3) ? ? f(2007)= 。

1 , 又 当 x ∈ (0 , 3] 时 , f(x)=2x , 则 f ( x)
1 ,又当-3≤ x ≤-2 时, f ( x) ? 2 x , f ( x)

7.设 f (x) 是定义在 R 上的等函数,且 f ( x ? 3) ? ?

则 f (113.5) 的值是 ?

1 . 5
3 5

8.已知函数 y ? f (x) 满足 f ( x) ? f (4 ? x) ( x ?R) ,且 f (x) 在 x ? 2 时为增函数,则 f ( ) 、

3 6 6 f ( ) 、 f (4) 按从大到小的顺序排列出来的是 f (4) ? f ( ) ? f ( ) 5 5 5
9、 已知 f (x)是定义在实数集上的函数,且 f ( x ? 2) ?

1 ? f ( x) , 若f (1) ? 2 ? 3, 则 1 ? f ( x)

f (2005)=
10、已知f(x)是以2为周期的偶函数,且当x∈(0,1)时,f(x)=x+1.求f(x)在(1,2)上的解析式。 解法1: (从解析式入手,由奇偶性结合周期性,将要求区间上问题转化为已知解析式的区间 上。 ) ∵ x∈(1,2), 则-x∈(-2,-1), ∴ 2-x∈(0,1), ∵ T=2,是偶函数 ∴ f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x+1=3-x.

x∈(1,2).
解法2(从图象入手也可解决,且较直观)f(x)=f(x+2) 如图:x∈(0,1), f(x)=x+1.∵是偶函数 ∴x∈(-1,0)时f(x)=f(-x)=-x+1. 又周期为2, x∈(1,2)时x-2∈(-1,0) ∴f(x)=f(x-2)=-(x-2)+1=3-x.

提炼方法:1.解题体现了化归转化的思想,即把未知的(1,2)上向已知的(0,1)上转化;
2.用好数形结合,对解题很有帮助. 11、f(x)的定义域是 R,且 f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x),若 f(0)=2008,求 f(2008)的值。

f ( x ? 4) ? 1 ?1 f ( x ? 2) ? 1 f ( x ? 4) ? 1 ?1 ? ? ? f ( x ? 8) 解: f ( x) ? f ( x ? 2) ? 1 f ( x ? 4) ? 1 ? 1 f ( x ? 4) f ( x ? 4) ? 1 周期为8,? f (2008) ? f (0) ? 2008
法二:依次计算 f(2、4、6、8)知周期为 8,须再验证。 12、若函数 f (x) 在R上是奇函数,且在 ?? 1, 上是增函数,且 f ( x ? 2) ? ? f ( x) . 0? ①求 f (x) 的周期; ②证明f(x)的图象关于点(2k,0) 中心对称;关于直线x=2k+1轴对称, (k∈Z ); ③讨论f(x)在(1,2)上的单调性; 解: ①由已知f(x)=-f(x+2)=f(x+2+2)=f(x+4),故周期T=4. ②设 P(x,y)是图象上任意一点,则 y=f(x),且P关于点(2k,0)对称的点为 P1(4k-x,-y).P关于 直线x=2k+1对称的点为P2(4k+2-x,y). ∵f(4k-x)=f(-x)=-f(x)=-y,∴点P1在图象上,图象关于点(2k,0)对称. 又f(x)是奇函数,f(x+2)=-f(x)=f(-x) ∴f(4k+2-x)=f(2-x)=f(x)=y, ∴点P2在图象上,图象关于直线2k+1对称. ③设1<x1<x2<2,则-2<-x2<-x1<-1, 0<2-x2<2-x1<1. ∵f(x)在(-1,0)上递增, ∴f(2-x1)<f(2-x2)……(*) 又f(x+2)=-f(x)=f(-x) ∴f(2-x1)=f(x1), f(2-x2)=f(x2). (*)为f(x2)<f(x1),f(x)在(1,2)上是减函数. 13、已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的周期函数,周期 T=5,函数 y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数.又 知 y=f(x)在[0,1]上是一次函数,在[1,4]上是二次函数,且在 x=2 时函数取得最小值-5. (1)证明: f (1) ? f (4) ? 0 ;②求 y ? f ( x), x ?[1, 4] 的解析式; ③求 y ? f ( x) 在 [4,9] 上的解析式. 解 : ∵ f ( x ) 是 以 5 为 周 期 的 周 期 函 数 , 且 在 [-1,1] 上 是 奇 函 数 , ∴ f (1) ? ? f (?1) ? ? f (5 ? 1) ? ? f (4) ,∴ f (1) ? f (4) ? 0 .

②当 x ? [1, 4] 时,由题意可设 f ( x) ? a( x ? 2)2 ? 5 (a ? 0) , 由 f (1) ? f (4) ? 0 得 a(1 ? 2)2 ? 5 ? a(4 ? 2)2 ? 5 ? 0 ,∴ a ? 2 , ∴ f ( x) ? 2( x ? 2)2 ? 5(1 ? x ? 4) . ③∵ y ? f ( x)(?1 ? x ? 1) 是奇函数,∴ f (0) ? 0 , 又 知 y ? f ( x) 在 [0,1] 上 是 一 次 函 数 , ∴ 可 设 f ( x) ?

k x? ( 0

? ,) x 1而

f ( 1? )

2?( 2 ? ) ? ,5 1 2 ?

3

∴ k ? ?3 ,∴当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? ?3x , 从而 ?1 ? x ? 0 时, f ( x) ? ? f (? x) ? ?3x ,故 ?1 ? x ? 1 时, f ( x) ? ?3x . ∴当 4 ? x ? 6 时,有 ?1 ? x ? 5 ? 1 ,∴ f ( x) ? f ( x ? 5) ? ?3( x ? 5) ? ?3x ? 15 . 当 6 ? x ? 9 时, 1 ? x ? 5 ? 4 , ∴ f ( x) ? f ( x ? 5) ? 2[( x ? 5) ? 2] ? 5 ? 2( x ? 7) ? 5
2 2

∴ f ( x) ? ?

??3x ? 15,
2

4? x?6 6? x?9

?2( x ? 7) ? 5,

.

14.设函数 f(x)的最小正周期为 2002,并且 f(1001+x)=f(1001-x)对一切 x∈R 均成立,试讨论 f(x)的奇偶性. 解: ∵周期是 2002, ∴ f(2002+x)=f(x), 又由 f(1001+x)=f(1001-x)得 f(2002-x)=f(x) ∴对任意的 x 都有 f(x)=f(2002-x)=f(-x),f(x)是偶函数. 15.设 f(x)为定义在实数集上周期为 2 的函数, 且为偶函数, 已知 x∈[2,3]时 f(x)=x, x∈[-2,0] 求 时 f(x)的解析式。 分析:由 T=2 可得 x∈[-2,-1]和 x∈[0,1]时的解析式;再由奇偶性可得[-1,0]上的解析式。 解:因为函数 f(x)是 T=2 的周期函数,所以 f(x+2)=f(x).

当x ?[ ? 2, ?1]时, x ?[2,3], 则f ( x) ? f ( x ? 4) ? 4 ? x 4+

当x ?[0,1]时2 ? x ?[2,3], 则f ( x) ? f (2 ? x) ? 2 ? x
又由于 f(x)为偶函数,故 f (? x) ? f ( x).当x ?[?1,0]时-x ?[0,1], 则f ( x) ? f (? x) ? 2 ? x

所以解析式为 f ( x) ? ?

?4 ? x x ? [?2, ?1] ?2 ? x x ? (?1,0]

16.设 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的函数,对一切 x∈R 均有 f(x)+f(x+2)=0,当-1<x≤1 时,

f(x)=2x-1,求当 1<x≤3 时,函数 f(x)的解析式。 思路分析:∵ f(x)+f(x+2)=0
∵ 该式对一切 x∈R 成立, ∴ 以 x-2 代 x 得:f(x-2)=-f[(x-2)+2]=-f(x) 当 1<x≤3 时,-1<x-2≤1,∴ f(x-2)=2(x-2)-1=2x-5 ∴ f(x)=-f(x-2)=-2x+5,∴ f(x)=-2x+5(1<x≤3) 17.(2005 广东)设函数 f ( x ) 在 (??, ??) 上满足 f (2 ? x) ? f (2 ? x) , f(7-x)=f(7+x),且在 闭区间[0,7]上,只有 f(1)=f(3)=0。 (Ⅰ)试判断函数 y=f(x)的奇偶性; (Ⅱ)试求方程 f(x)=0 在闭区间[-2005,2005]上的根的个数,并证明你的结论. 解:由 f (2 ? x) ? f (2 ? x) 得 f (2 ? 3) ? f (2 ? 3) 即 f (?1) ? f (5) 由已知易得 f (5) ? 0 ,所以 f (?1) ? 0 ,而 f (1) ? 0 ,从而 f (?1) ? f (1) 且 f (?1) ? ? f (1) 故函数 y ? f (x) 是非奇非偶函数; ∴ f(x)=-f(x+2)

(II)由 ?

? f ( 2 ? x) ? f ( 2 ? x) ? f ( x) ? f ( 4 ? x) ?? ? f (4 ? x) ? f (14 ? x) ? f (7 ? x) ? f (7 ? x) ? f ( x) ? f (14 ? x)

? f ( x) ? f ( x ? 10) ,从而知函数 y ? f (x) 的周期为 T ? 10
当 x ? [?3, 0] 时, 4 ? x ? [4, 7] ,由已知 f (4 ? x) ? 0 ,又 f ( x) ? f (4 ? x) ,则 f ( x) ? 0 ∴当 x ? [?3, 7] 时,只有 f (1) ? f (3) ? 0 ∴方程 f ( x ) =0 在一个周期内只有两个解 而函数 y ? f (x) 在闭区间 [-2005, 2005] 共含有 401 个周期, 所以方程 f ( x ) =0 在闭区间 [-2005, 2005]共含有 802 个解 2 15、对于 k∈Z,用 Ik 表示区间(2k-1,2k+1] 。已知 x∈Ik 时,f(x)= (x-2k) , (1)当 k∈N*时,求集合 Mk={a|使方程 f(x)=ax 在 Ik 上有两个不相等的实根的 a 的值} (2)并讨论 f(x)的周期性。

解:y=f(x)图像就是将 y=x2(x∈(-1,1] )向右平移 2k 个单位所得,其中 k∈N 设 y1=f(x),y2=ax,由集合 Mk 可知,若 a∈M,则函数 y1=f(x)与 y2=ax 图像有 两个交点, 即当 x=2k+1 时,0<y2≤1 ∴0<a≤

1 2k ? 1 1 1 ,k∈N} ,即 Mk=(0, ] 2k ? 1 2k ? 1

∴Mk={a|0<a≤

对任意 x ?[2k ? 1,2k ? 1], f ( x) ? ( x ? 2k )2

而 x ? 2 ?[2(k ? 1) ? 1,2(k ? 1) ? 1] f ( x ? 2) ? [ x ? 2 ? 2(k ? 1)]2 ? ( x ? 2k )2 ? f ( x) ,
所以 f(x)是 2 为周期的周期函数。


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