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三角形五心的证明


三角形的五心
三角形中有许多重要的特殊点,特别是三角形的“五心”,在解题时有很多应用,在本节 中将分别给予介绍. 三角形的“五心”指的是三角形的外心,内心,重心,垂心和旁心. 三角形五心 内心:内切圆的圆心,即三条角平分线的交点。 外心:外切圆的圆心,即三条中垂线的交点。 B 旁心:旁切圆的圆心,即三条角平分线的交点。 (类似、但不同于内心) 垂心:三条高的交点。 重心

:三条中线的交点。 1、三角形的外心 三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心). 三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等. 都等于三角形的外接圆半径. 锐角三角形的外心在三角形内; 直角三角形的外心在斜边中点; 钝角三角形的外心在三角形外. 2、三角形的内心 三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心). 三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径. 内切圆半径 r 的计算: 1 S 设三角形面积为 S,并记 p=2(a+b+c),则 r=p. 1 特别的,在直角三角形中,有 r=2(a+b-c). 3、三角形的重心 B 三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心. 上面的证明中,我们也得到了以下结论:三角形的重心到边的中点与到相应顶 点的距离之比为 1∶ 2. 4、三角形的垂心 三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心. 斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中,任何三个为顶点的三角形的垂心就是第 四个点.所以把这样的四个点称为一个“垂心组”. 5、三角形的旁心 三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切 圆圆心). 每个三角形都有三个旁切圆.
B
A

O C

A M I D H
A F G D C E

F

E K C

A

B F

D

C

E Ia

五心的证明
注:红线为所要证明的线,绿线为辅助线。

内心:三条角平分线的交点 证:过点 O 作三边的垂线,垂足分别为 D、E、F。 由角平分线定理(角平分线上一点到两边的 距离相等)得: OD=OF,OF=OE ∴ OD=OE ∴AO 为角 BAC 的平分线

外心:三条中垂线的交点 证:连结 OA、OB、OC,并过 O 点作 OF⊥BC 于点 F。 由线段中垂线定理(线段中垂线上一点到 两端点的距离相等) ,得: OA=OB,OA=OC. ∴OB=OC ∴点 O 在线段 BC 的中垂线上 ∴OF 为线段 BC 的中垂线

旁心:旁切圆的圆心,即三条角平分线的交点 证:过点 O 作三边的垂线,垂足分别为 D、E、F。 由角平分线定理(角平分线上一点到两边的 距离相等)得: OD=OF,OD=OE ∴ OF=OE ∴BO 为角 ABC 的平分线

垂心:三条高的交点 证:连结 DE,连结 AO 交 BC 于 F 点。 ∵角 BDC=角 BEC=90° ∴B、D、E、C 四点共圆(以 BC 为直径的圆) 。 ∴角 FBO=角 CDE · · · · · ·① (同弦(弧)所对圆周角相等) 又∵角 ODA=角 AEO=90° ∴O、D、A、E 四点共圆(以 AO 为直径的圆) 。 ∴角 AOE=角 ADE (同弦(弧)所对圆周角相等) 且 角 AOE=角 BOF

∴角 ADE=角 BOF · · · · · ·② 由①②可知,角 OFB=角 ODA=90° ∴AF 为 BC 边上的高。 重心:三条中线的交点 方法一: 证:连结 AO 交 BC 于点 F。 ∵D 为 AB 的中点 ∴S△ACD=S△BCD (S△表示三角形的面积) (底相等(AD=BD),高相同(都为点 C 到 AB 的距离)) S△AOD=S△BOD ∴S△AOC=S△BOC · · · · · ·① 同理可得: S△BOC=S△AOB · · · · · ·② 由①②得,S△AOC=S△AOB 又∵△AOC 与△AOB 底都为 AO ∴它们高相等,即:点 B 和点 C 到 AF 的距离相等。 对于△AFB 和△AFC,底相同(为 AF) ,高相等(分别为点 B 和点 C 到 AF 的距离) 。 ∴S△AFB=S△AFC 又对于△AFB 和△AFC,高相同(为点 A 到 BC 的距离) 。 ∴它们底相等,即:BF=CF ∴AF 为三角形的中线。 方法二: 证:连 AO 交 BC 于点 F,连 DE 交 AF 于点 N, G,H 分别为 OB、OC 的中点,连 DG,EH。 连 GH 交 AF 于点 M。 ∵DE 为△ABC 的中位线 ∴DE#1/2BC (#表示平行且等于) 同理,可得:GH#1/2BC ∴DE#GH 即:四边形 DEHG 为平行四边形。 易证,△ODN≌△OHM,得 HM=DN ∵DG 为△ABO 的中位线 ∴DG∥NM,即四边形 DGMN 为平行四边形 ∴DN=GM ∴HM=GM,再由三角形中位线定理得,BF=CF。 ∴AF 为三角形的中线。 (另)证明重心定理。 证法 1 如图,D、E、F 为三边中点,设 BE、CF 交于 G,连接 EF,显 ∥1BC,由三角形相似可得 GB=2GE,GC=2GF. 然 EF = 2 又设 AD、BE 交于 G',同理可证 G'B=2G'E,G'A=2G'D,即 G、G'都是 BE 上从 B 到 E 的三分之二处的点,故 G'、G 重合.
B D F G C

A E

即三条中线 AD、BE、CF 相交于一点 G. 证法 2 设 BE、CF 交于 G,BG、CG 中点为 H、I.连 EF、 FH、HI、IE, ∥1BC,HI = ∥1BC, 因为 EF = 2 2 所以 EFHI 为平行四边形. 所以 HG=GE、IG=GF,GB=2GE,GC=2GF. 同证法 1 可知 AG=2GD,AD、BE、CF 共点. 即定理证毕.

A

F G H B D
A

E I C

链接 证明外心、内心定理是很容易的。 外心定理的证明:如图,设 AB、BC 的中垂线交于点 O,则有 OA=OB=OC, 故 O 也在 AC 的中垂线上,因为 O 到三顶点的距离相等,故点 O 是Δ ABC 外接圆的圆心.因而称为外心.
B

O C

A

内心定理的证明:如图,设∠A、∠C 的平分线相交于 I、过 I 作 ID⊥ BC,IE⊥AC,IF⊥AB,则有 IE=IF=ID.因此 I 也在∠C 的平分线 上,即三角形三内角平分线交于一点. 上述定理的证法完全适用于旁心定理,请同学们自己完成.
B

F

M I D H E K C

例 2 证明垂心定理 分析 我们可以利用构造外心来进行证明。 证明 如图,AD、BE、CF 为Δ ABC 三条高,过点 A、B、 C 分别作对边的平行线相交成Δ A'B'C', 显然 AD 为 B'C' 的中垂线; 同理 BE、CF 也分别为 A'C'、A'B'的中垂线, 由外心定理,它们交于一点,命题得证.

C' F

A E

B'

B

D

C

A'

链接 (1)对于三线共点问题还可以利用 Ceva 定理进行证明,同学们可以参考第十八讲的内容。 (Ceva 定理)设 X、Y、Z 分别为△ABC 的边 BC、CA、AB 上的一点,则 AX、BY、CZ 所在直线交于 AZ BX CY 一点的充要条件是ZB· XC· YA=1. (2)对于三角形的五心,还可以推广到 n 边形,例如,如果我们称 n(≥3)边形某顶点同除该 点以外的 n-1 个顶点所决定的 n-1 边形的重心的连线,为 n 边形的中线, (当 n-1=2 时,n-1 边形 退化成一线段,此时重心即为线段的中心)那么重心定理可推广如下:n 边形的各条中线(若有重 合, 只算一条) 相交于一点, 各中线被该点分为: (n-1) ∶1 的两条线段, 这点叫 n 边形的重心. 请 同学们自己研究一下其他几个“心”的推广。


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