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安徽省芜湖市、马鞍山市2016届高三第一次教学质量监测数学文试题)


2016 届高中毕业班第一次教学质量检测

高三文科数学试题
注意事项: 1. 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分. 2. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3. 全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4. 考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.

第 I 卷(选择题,

共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 个题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. (1)已知全集 U ? {0,1, 2,3, 4} ,集合 A ? {0, 2, 4} , B ? {1, 2,3} ,则 A I (?UB) 为 (A) {0, 4} (B) {2,3, 4} (C) {0, 2, 4} (D) {0, 2,3, 4}

【答案】A 【命题意图】考查集合的运算,难度:简单题. (2)已知 i 为虚数单位,若复数 i ? z ? 2 ? i ,则 | z |? (A)1 (B) 2 (C) 3 (D) 2

【答案】C 【命题意图】考查复数的基本概念和运算,难度:简单题. (3)若双曲线 C :
1 x2 y 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的渐近线方程为 y ? ? x ,则 C 的离心率为 2 2 a b

(A) 2

(B)

6 2

(C) 5

(D)

5 2

【答案】D 【命题意图】考查双曲线性质,难度:简单题. uu u r uuu r ? ? ? ? (4)已知 a , b 是不共线的向量, AB = l a+ b , AC = a+ mb (l , m ? R) ,那么 A ,B,C 三点共线的 充要条件为 (A) l + m = 2 (C) l m = - 1 (B) l m = 1 (D) l - m = 1

【答案】B 【命题意图】考查向量的共线,充要条件,难度:简单题. (5)某同学先后投掷一枚骰子两次,第一次向上的点数记为 x ,第二次向上的点数记为 y ,在直角 坐标系 xoy 中,以 ( x, y ) 为坐标的点落在直线 2 x ? y ? 1 上的概率为 (A)
1 12

(B)

1 9

开始
输入 n
k = 1, S = 0

5 (C) 36

1 (D) 6

k= k+1
S = S + 2k + k
k ? n?




输出S

结束

第(6)题图

【答案】A 【命题意图】考查概率计算,难度:简单题. (6)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入 n 的值为 4, 则输出 S 的值为 (A)20 (B)40 (C)77 (D)546 【答案】B 【命题意图】考查程序框图,难度:简单题. 1 5 (7)已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a2 ? a3 ? 2a1 ,且 a4 与 a 7 的等差中项为 ,则 S 4 = 2 8 (A)32 (B)31 (C)30 (D)29 【答案】C 【命题意图】考查等比数列的概念及运算,难度:简单题. ? ? (8)函数 f ( x) ? A sin(? x ? )( A ? 0, ? ? 0) 的图象与 x 轴的交点的横坐标构成一个公差为 的等差数 2 6 列,要得到函数 g ( x) ? A cos ? x 的图象,只需将 f ( x) 的图象 (A)向左平移 (C)向右平移

? 个单位长度 6 ? 个单位长度 6

(B)向左平移 (D)向右平移

? 个单位长度 3 ? 个单位长度 3

【答案】A 【命题意图】考查三角函数的图象变换与性质,等差数列,难度:简单题. (9)某几何体的三视图如图所示,则其表面积为 17? (A) (B) 9? 2 (C)
19? 2

1

(D) 10?

3

【答案】B 【命题意图】考查三视图,几何体表面积计算,难度:简单
? ?1 ? log 2 (2 ? x), x ? 1 (10)设函数 f ( x) ? ? x ?1 , ,x ?1 ? ??2
则 f ( f (log 2 12)) ? (A) 1 (C) 3 (B) 2 (D) 4

正视图
1 1

侧视图(左)

题.

俯视图

第(9)题图

【答案】D 【命题意图】考查分段函数,对数、指数函数求值,难度:简单题.
?x ? y ? 2 ? 0 x? y ? ,则 (11)已知变量 x,y 满足约束条件 ? x ? 1 的取值范围是 y ?x ? y ? 7 ? 0 ?

7 (A) (??, ] 6

14 (B) [ , ??) 9

14 (C) [ ,7] 9

7 14 (D) [ , ] 6 9

【答案】D

【命题意图】考查线性规划,数形结合 ,难度:中等题. (12) 坐标平面上的点集 S 满足 S ? {( x, y) | log2 ( y 2 ? y ? 2) ? 2sin 4 x ? 2cos4 x,的所有点向 y 轴作投影,所得投影线段的总长度为 (A)1 (B)
3? 5 2

?

将点集 S 中 ? x? }, 8 4

?

(C) 8 2 ? 7

(D)2

【答案】D 【命题意图】考查集合、函数综合题,难度:较难题.

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分. 第 (13) 题~第 (21) 题为必考题, 每个试题考生都必须做答. 第 (22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

? (13)命题 p : ?x ? (0, ),f ( x) ? 0 ,则 ?p : 2

.

? 【答案】 ?x ? (0, ),f ( x) ? 0 2
【命题意图】考查命题、特称与全称命题,难度:简单题. (14) 已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) , 过其焦点且斜率为 2 的直线交抛物线于 A 、B 两点, 若线段 AB 的 中点的横坐标为 3,则该抛物线的准线方程为 【答案】 y 2 ? 8x ? 准线:x ? ?2 【命题意图】考查抛物线方程,难度:简单题. (15)已知 f ( x) 是 R 上的奇函数, f (1) ? 1 ,且对任意 x ? R 都有 f ( x ? 6) ? f ( x) ? f (3) 成立,则
f (2015) ? f (2016) ?

.



【答案】 f (?3 ? 6) ? f (?3) ? f (3) ? f (3) ? 0 , f ( x) 的周期为 6,由 f ( x) 是 R 上的奇函数得 f (0) ? 0 , ∴ f (2015) ? f (2016) ? f (?1) ? f (0) ? ? f (1) ? ?1 【命题意图】考查函数的奇偶性、周期性,难度:中等题. (16)已知函数 f ? x ? ? ? 的取值范围是 【答案】 ( , ??) 【命题意图】考查函数最值,导数应用,难度:较难题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)(本题满分 12 分)
o s B? 2 a ?b , 在 △ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 且 2c ?c 若 △ABC 的面积 S ? 3 ? a ? b ? .

?? x3 ? 2 x 2 ? x, 0 ? x ? 1 ?ln x, x ?1

,对任意 t ? (0, ??) ,不等式 f ? t ? ? kt 恒成立,则实数 k

.

1 e

(Ⅰ)求 C 的度数;

(Ⅱ)求 ab 的最小值. 【命题意图】考查解三角形,难度:中等题. 【解】(Ⅰ)由余弦定理可得: 2c ? 整理可得: a 2 ? b 2 ? c 2 ? ?ab , 故 cos C ?
a ?b ?c 1 ?? , 2ab 2
2 2 2

a 2 ? c 2 ? b2 ? 2a ? b , 2ac

.....................................................3 分 .................................................................... 5 分 .......................................................................6 分

因为 C ? (0, ? ) ,故 C ?

2? . 3

1 3 (Ⅱ)因为 S ? ab sin C ? ab , 2 4



3 ab ? 3(a ? b) ? 2 3 ab . 4

..............................................................10 分

化简得 ab ? 8, ab ? 64 .

....................................................................... 11 分

当且仅当 a ? b ? 8 时等号成立.所以 ab 的最小值为 64. ........................ 12 分 (18)(本题满分 12 分) 对某产品 1 至 6 月份销售量及其价格进行调查,其售价 x 和销售量 y 之间的一组数据如下表所 示: 月份 i 单价 xi (元) 销售量 y i (件) 1 9 11 2 9.5 10 3 10 8 4 10.5 6 5 11 5 6 8 14

(Ⅰ)根据 1 至 5 月份的数据,求出 y 关于 x 的回归直线方程; (Ⅱ)若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过 0.5 元,则认为所得 到的回归直线方程是理想的,试问所得回归直线方程是否理想? (Ⅲ)预计在今后的销售中,销售量与单价仍然服从(Ⅰ)中的关系,且该产品的成本是 2.5 元 /件,为获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本).
?? ? ?a ? ? bx ? ,其中 b 参考公式:回归方程 y

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y

?x
i ?1

.
? nx 2

2

参考数据: ? xi yi ? 392 , ? xi2 ? 502.5 .
i ?1 i ?1

5

5

i

【命题意图】考查统计、回归方程及其应用,难度:中等题. 【解】(Ⅰ)由题意知 x ? 10 , y ? 8 , ...................................................................... 2 分
^

?

?

?b?

?x y
i ?1 5 i

5

i

?5x y ?5x
?2

? ?

?x
i ?1

? ?3.2 , a ? y ? b x ? 40 、

^

?

^ ?

.................................................... 4 分

2

i

? y ? ?3.2 x ? 40 .
^

^

........................................................ 5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 x ? 8 时, y ? ?3.2 ? 8 ? 40 ? 14.4 ,

? y ? y ? 14.4 ? 14 ? 0.4 ? 0.5 ,? 可认为所得到的回归直线方程是理想的.............. 8 分
(Ⅲ)依题意得,利润 L ? ( x ? 2.5) ? (?3.2 x ? 40) ? ?3.2 x2 ? 48x ? 100(2.5 ? x ? 12.5) ........................................................ 10 分

^

48 ? 7.5 时, L 取得最大值. ?当 x ? ? 2 ? (?3.2)
即该产品的单价定为 7.5 元时,利润最大. (19)(本题满分 12 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AD ? 平面A1 BC ,其垂足 D 落在直线 A1 B 上. (Ⅰ)求证: BC ? A1 B ; (Ⅱ)若 P 是线段 AC 上一点, AD ? 3 , AB ? BC ? 2 ,三棱锥 A1 ? PBC 的体积为 值. 【命题意图】考查空间线面关系,多面体体积计算,难度:中等题. (Ⅰ) 【证明】? AD ? 平面A1 BC , BC ? 平面A1 BC ,? AD ? BC . 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中易知 AA1 ? 平面ABC ,? AA1 ? BC .
A

........................................................ 12 分

3 AP ,求 的 3 PC
C

P B

D

? AA1 ? AB ? A ,? BC ? 平面AA1 B1 B . ........................4 分 ? A1 B ? 平面AA1 B1 B ,? BC ? A1B . .............................5 分
(Ⅱ)【解】设 PC ? x ,过点 B 作 BE ? AC 于点 E . 由(Ⅰ)知 BC ? 平面AA1 B1 B ,? BC ? AB . ...............6 分
A1

C1 B1

第(19)题图

1 2 BE ? CP ? x . ................8 分 2 2 ? AD ? 平面A1 BC ,其垂足 D 落在直线 A1 B 上,? AD ? A1B .
? AB ? BC ? 2 ,? AC ? 2 2 , BE ? 2 .? S?PBC ? ? AA1 ? BC , AD ? 3 , AB ? 2 ,? AA1 ? 2 3 . .................................................... 9 分

6 x. 3 3 又三棱锥 A , 1 ? PBC 的体积为 3 6 3 2 x? ,解得 x ? . ? 2 3 3 3 2 AP ? AP ? . ? ? 3. 2 PC ........................12 分

? VA ? PBC ? S?PBC ? AA1 ?
1

1 3

........................................................................... 10 分

..........................................................................11 分 ..............................................
y A F

(20)(本题满分 12 分)
O B x

第(20)题图

已知 O 为坐标原点, F 为椭圆 C : x2 ?

y2 ? 1 在 y 轴正半轴上的焦点,过 F 且斜率为 ? 2 的直 2

线 l 与 C 交与 A 、 B 两点,四边形 OAPB 为平行四边形. (Ⅰ)证明:点 P 在椭圆 C 上; (Ⅱ)求四边形 OAPB 的面积. 【命题意图】考查圆锥曲线,椭圆性质,点到直线的距离,难度:中等题. (Ⅰ)【证明】 F (0,1) , l 的方程为 y ? ? 2x ? 1 ,代入 x2 ?
y2 ?1 2

并化简得 4 x 2 ? 2 2 x ? 1 ? 0 . ................................................................. 2 分 设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y2 ), P( x3 , y3 ) , 因为四边形 OAPB 为平行四边形,故 OP ? OA ? OB , .......................3 分 可得 ( x3 , y3 ) ? ( x1 , y1 ) ? ( x2 , y2 ) 所以 x3 ? x1 ? x2 ?
2 2 , y3 ? y1 ? y2 ? ? 2( x1 ? x2 ) ? 2 ? 1, 故 P( ,1) ....5 分 2 2
y2 2 ? 1 ,故点 P 在椭圆 C 上. ....................6 分 ,1) 满足方程 x2 ? 2 2
2 2 1 3 ) ? 4(? ) ? 2. 2 4 2
1 3 ? 3 . 3
??? ? ??? ? ??? ?

经验证点 P 的坐标 (

(Ⅱ)【解】 AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 3 ( 原点 O 到直线 l: y ? ? 2x ? 1 的距离 d ?

.........................8 分

...................................... 10 分

所以四边形 OAPB 的面积 S ? 2S? OAB ? AB ? d ?

3 3 6 2? ? . ............................12 分 2 3 2

(21)(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? ax ( a 为常数)的图象与 y 轴交于点 A ,曲线 y ? f ( x) 在点 A 处的切线平行 于 x 轴. (Ⅰ)求 a 的值及函数 y ? f ( x) 的极值; (Ⅱ)若不等式 xf ( x) ? 3ln x ? (k ? 3) x 在 x ? 3 时恒成立,证明: k ? e3 ? 1 . 【命题意图】考查导数应用,难度:中等题. 【解】(Ⅰ)由题意知 f ' ( x) ? e x ? a , ....................................................... 1 分

? A(0,1) 且曲线 y ? f ( x) 在点 A 处的切线平行于 x 轴, ? f ' (0) ? e0 ? a ? 0 , ? a ? 1 .

........................................................ 3 分

此时, f ' ( x) ? e x ? 1 . 令 f ' ( x) ? 0 得 x ? 0 . 当 x 变化时, f ' ( x) 与 f ( x) 变化情况如下表
x f ( x)
'

(??, 0)

0 0 .

(0, ??)

-

+

f ( x) ? e ? x
x

? f ( x) 有极小值 1 ,无极大值.

极小值 1 ....................................................... 5 分

(Ⅱ)由 xf ( x) ? 3ln x ? (k ? 3) x 得

k ? f ( x) ?

3ln x ?3 x

.

................................................................................ 6 分

令 g ( x) ? f ( x) ?

3ln x ? 3( x ? 3) , x 3ln x g ( x) ? e x ? x ? ? 3( x ? 3) . x

......................................................................... 7 分 ................................................................ 8 分
?? 3(1 ? ln x) ?0. x2

g '( x) ? ex ?1 ?

3(1 ? ln x) ( x ? 3) . x2

? x ? 3 ? e,? ln x ? ln e ? 1 .

又? e x ? 1 ? 0,

? g '( x) ? 0 .

? g ( x)在?3, +? ? 上为增函数. ......................... 10 分

? g ( x)min ? g (3) ? e3 ? 3 ?
? k ? e3 ? ln 3 ? e3 ? 1 .

3ln 3 ? 3 ? e3 ? ln 3 . ...................... ...................................... 11 分 3

..................................................................................... 12 分

请考生在第(22) , (23) , (24)题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目,如果多做, 则按所做的第一个题目计分。做答时请用 2B 铅笔在答卡上将所选题号后的方框涂黑. (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示,点 P 是圆 O 直径 AB 延长线上的一点, PC 切圆 O 于点 C ,直线 PQ 平分 ?APC ,分 别交 AC,BC 于点 M , N . (Ⅰ)求证: △ CMN 为等腰三角形; (Ⅱ)求证: PB ? CM ? PC ? BN . 【命题意图】考查弦切角定理,三角形相似的判定,难度:中等题. 【解】(1) PC 切圆 O 于点 C , ??PCB ? ?PAC . ..........1 分 又 ?CPM ? ?APM ,
??CNM ? ?CPM ??PCB ? ?APM ??PAM ? ?CMN . ....4 分 ? △ CMN 为等腰三角形. ................................... 5 分

Q M A O

C N B

P

第(22)题图

(2)??CNM ? ?CMN , 又 ?CNM ? ?BNP ,??CMN ? ?BNP . ..................7 分 PB BN 又??CPN ? ?BPN ,?△PNB∽△PMC ? ? . PC CM
?PB ? CM ? PC ? BN

...................................9 分

................................................................................... 10 分

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 ? x ? 2 cos ? ? x ? 1 ? t cos 45? 已知曲线 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数),直线 l 的参 数方程为 ? (t ? y ? 1 ? 2 sin ? ? y ? t sin 45? 为参数),以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求曲线 C 的极坐标方程; (Ⅱ)求直线 l 截曲线 C 所得的弦长. 【命题意图】考查极坐标方程与直角坐标方程的互化方法,直线的参数方程中参数的几何意义,难 度:中等题. 【解】(Ⅰ)曲线 C 的参数方程化为直角坐标方程为 x2 ? ( y ? 1)2 ? 4 (*)

令 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? 代入(*)式 化简得曲线 C 的极坐标方程为: ? 2 ? 2? sin ? ? 3 ? 0 .………………………5 分 (Ⅱ)将 ?
? x ? 1 ? t cos 45? 代入(*)式化简得 t 2 ? 2 ,? t1 ? 2, t2 ? ? 2 , ? y ? t sin 45?

所以所求弦长为 t2 ? t1 ? 2 2 . ………………………………………………10 分

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 3 ? 2 x ? a . (Ⅰ)当 a ? 3 时,求不等式 f ( x) ? 2 的解集; (Ⅱ)若 f ( x) ? x ? 1 ? 0 的解集为 A ,且 [?2, ?1] ? A ,求 a 的取值范围. 【命题意图】考查含绝对值不等式的解法,转化的数学思想,难度:中等题. 【解】(Ⅰ) a ? 3 时, f ( x) ? 2 ?
? ?3 ? x ? 3 ?x ? 3 ? x ? ?3 或 ? 或 ? x ?3 ?2 x ?3 ? 2 ? ? ? 3 x ? 3 ? 2 x ? 9 ? 2 ? ?? x ? 9 ? 2 ?

5 5? 即 ?7 ? x ? ? ,所以,不等式 f ( x) ? 2 的解集为: ? ? x | ?7 ? x ? ? ? .………5 分 3 3? ?

(Ⅱ) [?2, ?1] ? A ? x ? 3 ? 2 x ? a ? x ? 1 ? 0 在 x ? [?2, ?1] 恒成立
? (3 ? x) ? 2 x ? a ? x ? 1 ? 0 在 x ? [?2, ?1] 恒成立 ? x ? a ? 2 在 x ? [?2, ?1] 恒成立 ? a ? 2 ? x 或 a ? ?2 ? x 在 x ? [?2, ?1] 恒成立 ? a ? 4 或 a ? ?1.…………………………………………………………10 分

2016 届高中毕业班第一次教学质量检测
高三文科数学试题参考答案
一、选择题 1 题号 A 答案 二、填空题 13. ?x ? (0,

2 C

3 D

4 B

5 A

6 B

7 C

8 A

9 B

10 D

11 B

12 D

?
2

), f ( x) ? 0 ;

14. x ? ?2 ;

15. -1 ;

16. ( , ??)

1 e

三、解答题 17. 【解】(Ⅰ)由余弦定理可得: 2c ? 整理可得: a ? b ? c ? ?ab ,
2 2 2

a 2 ? c 2 ? b2 ? 2a ? b , 2ac
.....................................................3 分

故 cos C ?

a 2 ? b2 ? c 2 1 ? ? , .................................................................... 5 分 2ab 2
2? . ............................................................................6 分 3

因为 C ? (0, ? ) ,故 C ?

(Ⅱ)因为 S ?

1 3 ab sin C ? ab , 2 4
..............................................................10 分



3 ab ? 3(a ? b) ? 2 3 ab . 4

化简得 ab ? 8, ab ? 64 . ................................................................................ 11 分 当且仅当 a ? b ? 8 时等号成立.所以 ab 的最小值为 64. .................................. 12 分

18. 【解】(Ⅰ)由题意知 x ? 10 , y ? 8 ,........................................................ 2 分

?

?

?b?

^

?x y
i ?1 5 i

5

i

?5x y ?5x
?2

? ?

?x
i ?1

? ?3.2 , a ? y ? b x ? 40 、

^

?

^ ?

.................................................... 4 分

2

i

? y ? ?3.2 x ? 40 .
^

^

........................................................ 5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 x ? 8 时, y ? ?3.2 ? 8 ? 40 ? 14.4 ,

? y ? y ? 14.4 ? 14 ? 0.4 ? 0.5 ,? 可认为所得到的回归直线方程是理想的. ................. 8 分
(Ⅲ)依题意得,利润 L ? ( x ? 2.5) ? (?3.2 x ? 40) ? ?3.2 x2 ? 48x ? 100(2.5 ? x ? 12.5) ........................................................ 10 分

^

?当 x ? ?

48 ? 7.5 时, L 取得最大值. 2 ? (?3.2)
........................................................ 12 分

即该产品的单价定为 7.5 元时,利润最大.

19.(Ⅰ)【证明】? AD ? 平面A1 BC , BC ? 平面A1 BC ,

? AD ? BC .
在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中易知 AA1 ? 平面ABC ,

? AA1 ? BC .
? AA1 ? AB ? A ,? BC ? 平面AA1 B1 B . ........................4 分

? A1 B ? 平面AA1 B1 B ,? BC ? A1B . ..............................5 分
(Ⅱ)【解】设 PC ? x ,过点 B 作 BE ? AC 于点 E . 由(Ⅰ)知 BC ? 平面AA1 B1 B ,? BC ? AB . ......................................................6 分

? AB ? BC ? 2 ,? AC ? 2 2 , BE ? 2 .? S?PBC ?

1 2 BE ? CP ? x . ................8 分 2 2

? AD ? 平面A1 BC ,其垂足 D 落在直线 A1 B 上,? AD ? A1B . ? AA1 ? BC , AD ? 3 , AB ? 2 ,? AA1 ? 2 3 . ............................................ 9 分

? VA ? PBC ? S?PBC ? AA1 ?
1

1 3

6 x. 3
3 , 3

........................................................ 10 分

又三棱锥 A 1 ? PBC 的体积为

?

6 3 2 x? ,解得 x ? . 2 3 3 3 2 . 2 ? AP ? 3. PC

........................................................11 分

? AP ?

........................................................12 分

20. (Ⅰ)【证明】 F (0,1) , l 的方程为 y ? ? 2x ? 1 ,代入 x ?
2

y2 ? 1并化简得 2

4 x2 ? 2 2 x ?1 ? 0 .

........................................................ 2 分

设 A( x1, y1 ), B( x 2 , y2 ), P( x3 , y3 ) ,
??? ? ??? ? ??? ? 因为四边形 OAPB 为平行四边形,故 OP ? OA ? OB , .............................3 分

可得 ( x3 , y3 ) ? ( x1, y1 ) ? ( x2 , y2 ) 所以 x3 ? x1 ? x2 ?

2 2 , y3 ? y1 ? y2 ? ? 2( x1 ? x2 ) ? 2 ? 1, 故 P( ,1) . .......5 分 2 2

y2 2 2 ? 1,故点 P 在椭圆 C 上. ................6 分 经验证点 P 的坐标 ( ,1) 满足方程 x ? 2 2

(Ⅱ)【解】 AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 3 (

2 2 1 3 ) ? 4(? ) ? 2. 2 4 2

.........................8 分

原点 O 到直线 l: y ? ? 2x ? 1 的距离 d ?

1 3 . ........................................ 10 分 ? 3 3

所以四边形 OAPB 的面积 S ? 2S? OAB ? AB ? d ?

3 3 6 2? ? . ..........................12 分 2 3 2

21. 【解】(Ⅰ)由题意知 f ' ( x) ? e x ? a , ........................................................ 1 分
? A(0,1) 且曲线 y ? f ( x) 在点 A 处的切线平行于 x 轴, ? f ' (0) ? e0 ? a ? 0 ,? a ? 1 .
此时, f ' ( x) ? e x ? 1. 令 f ' ( x) ? 0 得 x ? 0 . 当 x 变化时, f ' ( x) 与 f ( x) 变化情况如下表 ........................................................ 3 分

x f ( x)
' x

(??,0)
-

0 0 极小值 1

(0, ??)
+

f ( x) ? e ? x f ( x) ? f ( x) 有极小值 1 ,无极大值.
(Ⅱ)由 xf ( x) ? 3ln x ? (k ? 3) x 得

........................................................ 5 分

k ? f ( x) ?

3ln x ?3 x

.

........................................................ 6 分

令 g ( x) ? f ( x) ?

3ln x ? 3( x ? 3) , x 3ln x g ( x) ? e x ? x ? ? 3( x ? 3) . x
g '( x) ? e x ? 1 ? 3(1 ? ln x) ( x ? 3) . x2 ??

.................................................... 7 分

................................................ 8 分

? x ? 3 ? e,? ln x ? ln e ? 1 .
又? e x ?1 ? 0,

3(1 ? ln x) ? 0. x2

? g '( x) ? 0 .

? g ( x)在?3, +?? 上为增函数. ............... 10 分

? g ( x) min ? g (3) ? e3 ? 3 ?

3ln 3 ? 3 ? e3 ? ln 3 . ........................................................ 11 分 3
........................................................ 12 分

? k ? e3 ? ln 3 ? e3 ? 1.

22. 【解】(1) PC 切圆 O 于点 C ,??PCB ? ?PAC . 又 ?CPM ? ?APM ,
??CNM ? ?CPM ??PCB ? ?APM ??PAM ? ?CMN . ? △ CMN 为等腰三角形. ................................... 5 分

..................................1 分 ..........................4 分

(2)??CNM ? ?CMN ,又 ?CNM ? ?BNP ,??CMN ? ?BNP . ....................7 分 PB BN 又??CPN ? ?BPN ,?△PNB∽△PMC ? ...................................9 分 ? . PC CM
?PB ? CM ? PC ? BN

................................... 10 分 (*)

23.【解】(Ⅰ)曲线 C 的参数方程化为直角坐标方程为 x2 ? ( y ? 1)2 ? 4 令 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? 代入(*)式

化简得曲线 C 的极坐标方程为: ? 2 ? 2? sin ? ? 3 ? 0 .……………………………………(5 分) (Ⅱ)将 ?
? x ? 1 ? t cos 45? 代入(*)式化简得 t 2 ? 2 ,? t1 ? 2, t2 ? ? 2 , y ? t sin 45 ? ?

所以所求弦长为 t2 ? t1 ? 2 2 .…………………………………………………………(10 分)

24.【解】(Ⅰ) a ? 3 时, f ( x) ? 2 ?

? ?3 ? x ? 3 ?x ? 3 ? x ? ?3 或 ? 或 ? x ?3 ?2 x ?3 ? 2 ? ? ? ?3 x ? 3 ? 2 ?? x ? 9 ? 2 ?x ? 9 ? 2

5 5? 即 ?7 ? x ? ? ,所以,不等式 f ( x) ? 2 的解集为: ? ? x | ?7 ? x ? ? ? .………………(5 分) 3 3? ?

(Ⅱ) [?2, ?1] ? A ? x ? 3 ? 2 x ? a ? x ? 1 ? 0 在 x ? [?2, ?1] 恒成立
? (3 ? x) ? 2 x ? a ? x ? 1 ? 0 在 x ? [?2, ?1] 恒成立 ? x ? a ? 2 在 x ? [?2, ?1] 恒成立 ? a ? 2 ? x 或 a ? ?2 ? x 在 x ? [?2, ?1] 恒成立 ? a ? 4 或 a ? ?1.……………………………………………………………(10 分)


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