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广东省广州市2014-2015学年高二下学期期末五校联考数学(文)试题 Word


2014—2015 学年度第二学期期末模块考试
五校联考高二年级数学(文)科试题
2015 年 7 月

第一部分

选择题(共 50 分)

一、选择题:本题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。每小题给出的四个选项中,只有一个 选项最符合题目要求。 1.已知集合 A ? ( ??, ] ,

函数 y ? ln ? 2 x ? 1? 的定义域为集合 B ,则 A A. ? ?

1 2

B?
D. ? , ?? ?

? 1 1? , ? 2 2? ?

B. ? ?

? 1 1? , ? ? 2 2?

C. ? ??, ?

? ?

1? ? 2?

?1 ?2

? ?

2.已知 i 为虚数单位,复数 z1 ? a ? 2i , z2 ? 2 ? i ,且 z1 ? z2 ,则实数 a 的值为 B. ?1 C. 1或 ?1 ? ? ? 3.已知 a ? 1, b ? 2 ,且 a 与 b 夹角为 60 ,则 b ? (b ? a) 等于 A. 1 A. 1 4.已知椭圆 B. 3 C. 2 ? 3 D. ? 1 或 0

D. 4 ? 3

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 a ? 0 ? ? 1 有相同的焦点, 则 a 的值为 与双曲线 ? ? a2 4 9 3
B.

A. 2 5.函数 y ? cos( x ?

10

C. 4 )

D. 10

?
12

) 的图象的一条对称轴的方程是(
B. x ?

A.

x?

5? 12

?
6

C. x ?

?
12

D. x ? ?

?
12
开始

6.各项都为正数的等比数列 ?an ? 中, a1a9 ? 10 ,则 a5 的值为 A. 5 D. ? 5 B . ? 10 C.

10
输入 n

? x ? y ? 2 ? 0, ? 7.在平面直角坐标系中,若不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0, 表示的平面区域的 ?y ? t ?
面积为 1 ,则实数 t 的值为 A. 0 B. 1 k=k+1 C. 3 D. ?1 否

k ?1
=3

n ? 3n ? 1

n ? 120 ?
是 输出 k ,n

8. 阅读右图的程序框图. 若输入 n ? 1 , 则输出 k 的值为 A. 3 B. 4

-1-

结束

C. 5

D. 6

9. 如下图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的全面积 为 ...

2

2 2

2

2 2

2

2 俯视图 D. 4 3 ? 4

正(主)视图 A. 12 B.16

侧(左)视图 C.

4 3 ?4 3

1 1 ?1, x ? 0 sgn( ? x) ? 1 sgn( x ? ) ? 1 ? 2 2 10.定义符号函数 sgn x ? ?0, x ? 0 ,设 f ( x) ? ? f1 ( x) ? 2 2 ? ?1, x ? 0 ?
1 ? f 2 ( x) , x ? [0,1] ,若 f1 ( x) ? 2(1 ? x) , f 2 ( x) ? x ? , 若 f ( x) ? a 有两个解,则 a 的取值 2
范围是

3 A. ( , 2 ] 2

B. [1,2]

3 C. {1} ? ( ,2] 2

3 D. (1, ] 2

第二部分

非选择题(共 110 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. )

11.某班甲、乙两位同学升入高中以来的 5 次数学考试成绩的茎叶 图如图,则乙同学这 5 次数学成绩的中位数是 同学这 5 次成绩的平均数都是 84,成绩比较稳定的是 二个空填“甲”或“乙” ) .
12.已知函数 y ? x ? x ? x ? 5 ,该函数在区间 ?0,3? 上的最大值是
3 2

;已知两位 (第



13. △ ABC 的三个内角 A 、B 、C 所对边的长分别为 a 、b 、c , 已知 c ? 3, C ? 则 b 的值为 .

?
3

, a ? 2b ,
B

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题)如图, 已知⊙O 的割线 PAB 交⊙O 于 A, B 两点,割线 PCD 经过圆心,若 PA=3,AB=4,PO=5,则⊙O 的半径 为_____________. 15 . (坐标系与参数方程选做题)已知直线 l : x ? y ? 4 ? 0 与圆
P

A O D

C

-2-

C : x?1?2cos? y ?1?2sin?

?

,则 C 上各点到 l 的距离的最小值为_____________.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,要写出详细的解答过程或证明过程) 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 3 sinx ? cos x ? 1. (1)求函数 f ( x) 的最小正周期和值域; (2)若 ? 为第三象限角,且 f (? ? 17. (本题满分 13 分) 某高校在 2015 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩,按成绩分组,得 到的频率分布表如右图所示. 组号 分组 频数 5 ① 30 20 10 100 频率 0.050 0.350 ② 0.200 0.100 1.000

?
6

)?

1 cos 2? ,求 的值. 3 1 ? cos 2? ? sin 2?

(1) 请先求出频率分布表中①、 ②位置相应的数据; 第 1 组 (2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试 成绩高的第 3、4、5 组中用分层抽样抽取 6 名学生 进入第二轮面试,求第 3、4、5 组每组各抽取多少 名学生进入第二轮面试? (3)在(2)的前提下,学校决定在 6 名学生中随 机抽取 2 名学生接受 A 考官进行面试,求第 4 组至 合计 少有一名学生被考官 A 面试的概率? 18.(本小题满分 13 分) 第3组 第4组 第5组 第2组

?160,165?
?165,170?

?170,175? ?175,180?
[180,185]

在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 底面 ABCD ,底面 ABCD 是直角梯形, AB // CD ,

?BAD ? 90? , AB ? AD ? 1 , CD ? 2 .
(1)求证: AB / / 平面 PCD ; (2)求证: BC ? 平面 PBD ;
P

D

19. (本小题满分14分) 已知等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0 , 它的前 n 项和为 Sn , 若 S5 ? 70 , 且 a1 , a 7 , a37 成等比数列.

C
B

A

-3-

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设数列 ?

?1? 1 3 ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: ≤Tn ? . 6 8 ? Sn ?

20.(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系中 xOy ,已知椭圆 E :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 (1, ) ,且椭圆 E 的离 2 2 a b

心率为

3 . 2

(1)求椭圆 E 的方程; (2)是否存在以 A(0, ?b) 为直角顶点且内接于椭圆 E 的等腰直角三角形?若存在,求出共有 几个;若不存在,请说明理由. 21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? e x ? mx ? 1. (1)当 m ? 1 时,试判断函数 f ( x) 的单调性; (2)对于任意的 x ? [0,??) , f ( x) ? 0 恒成立,求 m 的取值范围;

-4-

2014—2015 学年度第二学期期末模块考试
五校联考高二年级数学(文)科参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 A 2 C 3 B 4 C 5 D 6 C 7 B 8 B 9 A 10 D

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分.14~15 题,考生只能从中选做一题,两题都做者,以 14 题为准。 11 题做对一空给 3 分) 11. 82,甲 14. 2 三、解答题 16. (本题满分 12 分) 解: (1)∵ f ( x) ? 3 sinx ? cos x ? 1 12. 20 15. 2 2 ? 2 13. 3

? 2(

3 1 sin x ? cos x) ? 1 2 2

……1 分

? 2sin( x ? ) ? 1 6
∴函数 f ( x) 的周期为 2? ,值域为 [?1,3] . (2)∵ f (? ?

?

……3 分 ……5 分 ……7 分

?
6

)?

1 1 1 ,∴ 2sin ? ? 1 ? ,即 sin ? ? ? 3 3 3

cos 2? cos 2 ? ? sin 2 ? ? ∵ 1 ? cos 2? ? sin 2? 2cos 2 ? ? 2sin ? cos ? ? (cos ? ? sin ? )(cos ? ? sin ? ) cos ? ? sin ? ? , 2 cos ? 2cos ? (cos ? ? sin ? )
又∵ ? 为第三象限角, 所以 cos ? ? ? ∴原式 ?

……9 分

……10 分

2 2 3

……11 分

cos ? ? sin ? 4 ? 2 ? 2cos ? 8

……12 分

17. (本题满分 13 分) 解: (1)由题可知,第 2 组的频数为 0.35 ?100 ? 35 人, 第 3 组的频率为 ……………… 2 分 ……………… 4 分

30 ? 0.300 , 100
-5-

(2)因为第 3、4、5 组共有 60 名学生,所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生,每组 分 人, 第 4 组: 别 为 : 第 3 组 ……… 5 分 :

30 ?6 ? 3 60
……… 6 分 ……… 7 分

20 ? 6 ? 2 人, 60 10 ? 6 ? 1 人, 第 5 组: 60

所以第 3、4、5 组分别抽取 3 人、2 人、1 人。 (3)设第 3 组的 3 位同学为 A1 , A2 , A3 ,第 4 组的 2 位同学为 B1 , B2 ,第 5 组的 1 位同学为 C1 , 则从六位同学中抽两位同学有 15 种可能如下:

( A1 , A2 ), ( A1 , A3 ), ( A1 , B1 ), ( A1 , B2 ), ( A1 , C1 ), ( A2 , A3 ), ( A2 , B1 ), ( A2 , B2 ), ( A2 , C1 ), ( A3 , B1 ), ( A3 , B2 ), ( A3 , C1 ), ( B1 , B2 ), ( B1 , C1 ), ( B2 , C1 ),
… 9分 第 4 组至少有一位同学入选的有: …………

( A1 , B1 ), ( A1 , B2 ), ( A2 , B1 ), ( A2 , B2 ), ( A3 , B1 ), ( B1 , B2 ), ( A3 , B2 ), ( B1 , C1 ), ( B2 , C1 ), 9 种可
能。 所以其中第 4 组的 2 位同学为 B1 , B2 至少有一位同学入选的概率为 18(本小题满分 13 分) 解:(1) ……… 11 分

9 3 ? 15 5

……… 13 分

AB / / CD ,……………………………………2 分

P

AB ? 平面PCD , CD ? 平面PCD ? AB / / 平面PCD
……………………………………5 分 ……………………………………6 分
D

C
B

A

(2)在直角梯形 ABCD 中, ?BAD ? 90? , AB ? AD ? 1 ,∴ BD ?

2 ,…………7 分

BC 2 ? (CD ? AB) 2 ? AD2 ? 2 ,在 ?CBD 中,由勾股定理的逆定理知, ?CBD 是直角三
角形, 且 CB ? BD , ………………………………………………………………………9 分 …………………11 分
………………13 分

又 PD ? 底面 ABCD , CB ? 平面ABCD ,∴ CB ? PD ,
∵ BD ? PD ? D ,∴ BC ? 平面 PBD .

19. (本小题满分14分) (1)解:因为数列 ?an ? 是等差数列,
-6-

所以 an ? a1 ? ? n ?1? d , Sn ? na1 ?

n ? n ? 1? d . …………………………………1 分 2
…………………3 分

依题意,有 ?

? ? ? S5 ? 70, ?5a1 ? 10d ? 70, 即 ? 2 2 ? ? a7 ? a1a37 . ? ?? a1 ? 6d ? ? a1 ? a1 ? 35d ? .

解得 a1 ? 6 , d ? 4 .

………………………………………………………………5 分
*

所以数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 4n ? 2 ( n ? N ) . (2)证明:由(1)可得 Sn ? 2n2 ? 4n . 所以

…………………………6 分

…………………………………………7 分

1 1 1 1?1 1 ? ? 2 ? ? ? ? ?. S n 2n ? 4n 2n ? n ? 2 ? 4 ? n n ? 2 ?
1 1 1 1 1 ? ? ?L ? ? S1 S2 S3 Sn?1 Sn

…………………………8 分

所以 Tn ?

1? 1? 1?1 1? 1?1 1? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4? 3? 4? 2 4? 4?3 5?
……9 分

1? 1 1 ? 1?1 1 ? ? ? ? ?? ? ? ? 4 ? n ?1 n ? 1 ? 4 ? n n ? 2 ?

1? 1 1 1 ? ? ?1 ? ? ? ? 4 ? 2 n ?1 n ? 2 ?
3 1? 1 1 ? ? ? ? ? ?. 8 4 ? n ?1 n ? 2 ?
因为 Tn ? …………………………………………………10 分

3 3 1? 1 1 ? ?? ? ? ? ? 0 ,所以 Tn ? 8 . 8 4 ? n ?1 n ? 2 ?

…………………………11 分

因为 Tn?1 ? Tn ? 所以 Tn ? T1 ?

1? 1 1 ? ? ? ? ? 0 ,所以数列 ?Tn ? 是递增数列. 4 ? n ?1 n ? 3 ?

…………12 分

1 . 6 1 3 所以 ? Tn ? . 6 8
20. (本小题满分14分) 解: (1)由 e ?

…………………………………………………………………13 分 …………………………………………………………………14 分

3 2 c 3 2 ? 得c ? a , 4 a 2

……1分

-7-

又 c ? a ? b ,b ?
2 2 2 2

1 2 a . 4

……2分

故椭圆 E 方程为 x2 ? 4 y 2 ? a2 ,

? 3? 3 2 ) ,则 (1) 2 ? 4 ? 椭圆 E 经过点 (1, ? 2 ? ? ?a . 2 ? ?
所以 a 2 ? 4, b2 ? 1

2

……3 分

……4分

x2 ? y 2 ? 1. 所以椭圆 E 的标准方程为 4
(2)假设存在这样的等腰直角三角形 BAC .

……5分

明 显 直 线 AB 的 斜 率 存 在 , 因 为 A 点 的 坐 标 为 A(0, ?1) , 设 直 线 AB 的 方 程

AB : y ? kx ? 1(k ? 0)
AC : y ? ? 1 x ?1. k







线

AC









……6分

? y ? kx ? 1 (k ? 0) ? 由 ? x2 得 2 ? y ? 1 ? ?4

(1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kx ? 0
所以 x ? 0 ,或 x ?

8k 1 ? 4k 2

所以 B 点的纵坐标为 y ?

8k 2 ?1 1 ? 4k 2
2

……7分

2 ? 8k 2 ?? 8k ? ? 8k ? 2 所以 | AB |? ? 0 ? . ? ? 1 ? ? 1 ? ? ? ? ? 1? k ? ? 2 2 1 ? 4k 2 ? 1 ? 4k ? ? ? 1 ? 4k ?? 8 1 8 2 同理 | AC |? 1 ? 2 ? k ? 1 ? k ? 2 k 1? 4 k ?4 2 k

……8分

……9分

因为 ?BAC 是等腰直角三角形,所以 | AB |?| AC | ,即

8k 8 ? 1? k 2 ? 2 2 1 ? 4k k ?4 k 1 ? 即 1 ? 4k 2 4 ? k 2 1? k 2 ?
所以 k ? 4k ? 1 ? 4k ,即 k ? 4k ? 4k ? 1 ? 0
3 2 3 2

……10分

……11分

-8-

所以 (k 3 ? 1) ? 4k (k ?1) ? 0 即 (k ? 1)(k 2 ? 3k ? 1) ? 0
2 所以 k ? 1 ,或 k ? 3k ? 1 ? 0

……12分

所以 k ? 1 ,或 k ?

3? 5 . 2

……13分 ……14分 ∵ f ?( x) ? e x ? 1

所以这样的直角三角形有三个. 21. (本小题满分14分) 解: (1)当 m ? 1 时,设 f ( x) ? e x ? x ? 1 ∴当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ; ∴当 m ? 1 时,函数 f ( x) 在 [0,??) 上单调递增,在 (??,0) 上单调递减 (2) ∵对于任意的 x ? [0,??) , f ( x) ? 0 恒成立
x ∵ f ?( x) ? e ? m

………1 分 ………3 分 ………5 分 …7 分

∴当 x ? 0 时, f ( x) min ? 0

(i)当 m ? 1 时, f ?( x) ? e ? m ? 0 ,
x

∴ f ( x) ? e ? mx ? 1在 [0,??) 上单调递增
x

∴ f ( x) min ? f (0) ? 0 ? 0 ,故 m ? 1 符合题意 (ii) 当 m ? 1 时,由 f ?( x) ? e ? m ? 0 ,得 x ? ln m
x x x ∴当 0 ? x ? ln m 时, f ?( x) ? e ? m ? 0 ;当 x ? ln m 时, f ?( x) ? e ? m ? 0

………9 分

∴ f ( x) ? e ? mx ? 1在 (0, ln m) 上单调递减;在 (ln m, ??) 上单调递增;
x

∴ f ( x)min ? f (ln m) ? m ? m ln m ?1 ∴ m ? m ln m ? 1 ? 0 设 r ( x ) ? ln x ? ∴ ln m ?

1 ?1 m

………11 分

1 ( x ? 1) x 1 1 1 x ?1 ∵ r ?( x) ? ? 2 ? 2 ? 0 ∴ r ( x ) ? ln x ? 在 (1,??) 上单调递增; x x x x 1 1 ∴ r (m) ? r (1) ,即 ln m ? ? 1 ,这与 ln m ? ? 1 矛盾, m ? 1 不符合题意 m m
综上, m 的取值范围是 m ? 1 .

……13 分 ………14 分

-9-

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- 10 -


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