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空间向量及其运算教案


第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 教学目标:
知识与技能 (1)通过本章的学习,使学生理解空间向量的有关概念。 (2)掌握空间向量的加减运算法则、运算律,并通过空间几何 体加深对运算的理解。 过程与方法 (1)培养学生的类比思想、转化思想,数形结合思想,培养探 究、研讨、综合自学应用能力。 (2)培养学生空间想象能力

,能借助图形理解空间向量加减运 算及其运算律的意义。 (3)培养学生空间向量的应用意识 情感态度与价值观 通过本节课的学习, 让学生在掌握知识的同时, 体验发现 数学的乐趣,从而激发学生努力学习的动力。

教学重点: (1)空间向量的有关概念;
(2)空间向量的加减运算及其运算律、几何意义; (3)空间向量的加减运算在空间几何体中的应用

教学难点: (1)空间想象能力的培养,思想方法的理解和应用。
(2)空间向量的加减运算及其几何的应用和理解。

课堂类型:新授课 教学方法:研讨、探究、启发引导 教学用具:多媒体 教学过程: 一、创设情境 (老师) :以前我们学过平面向量,请问所有的向量都是平面向量吗?比如:长
方体中的过同一点的三条边上的向量 (老师) :这三个向量和以前我们学过的向量有什么不同? (学生) :这是三个向量不共面 (老师) :不共面的向量问题能直接用平面向量来解决么? (学生) :不能,得用空间向量 (老师) :是的,解决这类问题需要空间向量的知识这节课我们就来学习空间向 量

板书:空间向量及其运算
(老师):实际上空间向量我们随处可见,常见的高压电线及支架所在向量。

二、讲授新课
(老师):接下来我们我们就来研究空间向量的知识、概念和特点,空间向量与 平面向量既有联系又有区别, 我们将通过类比的方法来研究空间向量,首先我们 复习回顾一下平面向量的知识。 (一)复习回顾平面向量的基本概念 1.向量概念:在平面上既有大小又有方向的量叫向量; 2.画法:用有向线段 AB 画出来; 3.表示方式: AB 或 a (用小写的字母表示) ; 4 零向量:在平面中长度为零的向量叫做零向量,零向量的方向是任意的; 5.单位向量:在平面中模为 1 的向量称为单位向量; 6.相反向量:在平面中长度相等,方向相反的两个向量,互称为相反向量; 7.相等向量:在平面中方向相同且模相等的向量称为相等向量; (二)空间向量的基本概念 (老师) :其实空间向量就是把向量放到空间中了,请同学们给空间向量下个定 义, (学生)在空间中,既有大小又有方向的量 (老师) :非常好,请大家类比平面向量得到空间向量的其他相关定义(提问学 生) (学生)回答向量概念、画法、.表示方式及零向量(零向量的方向是任意的) 、 单位向量、相反向量、相等向量的概念。 (老师) :得到空间向量的相关定义,我们做几个题巩固一下(见课件) (三)复习回顾平面向量的加减运算 (老师) :在数学中引入一种量以后,一个很自然的问题就是研究它们的运算, 空间向量的运算我们也采用与平面向量类比的方法, 那么我们首先来复习回顾一 下平面向量的加减运算。 (课件) 复习回顾: (找学生回答) (学生) :1.平面向量的加法法则: (称为三角形法则或平行四边形法则) :记为

a ? b;
几何意义:如图为 a ? b 为平行四边形的对角线 OB ,或三角形 ABO 中边 OB 。 口诀是首尾相连或相同起点。 2.减法法则:记为 a ? b ; 几何意义:如图中 a ? b 为平行四边形的对角线 AC ,方向指向被减向量。口诀 是:减向量终点指向被减向量终点。 3 平面向量运算律:

交换律 a ? b ? b ? a ,结合律 。 (老师) :很好还有没有补充的? (老师) :很好,同学课下的复习很好。我们先来探讨这样一个问题 对于两个向量来说空间向量和平面向量有没有区别? 探讨研究: (老师) :对于两个向量来说空间向量和平面向量有没有区别? (学生讨论、演示、回答) (学生)平面向量可在同一平面内平移,而空间向量也可在空间中平移。平移后 的向量与原向量是同一向量。 由此得出: 空间任意两个向量都可转化为共面向量。 (四)空间向量加减法运算 (老师) :结论一:空间任意两个向量都可转化为共面向量。 还能得到什么结论?换句话说空间任意两个向量的加减运算….? (学生)对于任意的空间中的两个向量, 。平面向量的结论都适用 (引导学生归纳总结)用类比形式对比给出空间向量的相关定义, (课件) (老师) :空间中两个向量的问题就是平面向量的问题,那么三个向量呢?多个 向量呢? (老师) :三个或者多个向量的加减法怎么办?是否能使用结合律呢?请同学们 分组讨论 (老师) :分组讨论探究 (老师) :哪个小组探究完了,请上台来汇报一下。 (学生) 我们认为空间中三个或者多个向量的加法仍然可以应用结合律,演示讲 解 (老师) : 类比于平面向量的推广,能不能得到空间向量的推广? (学生) : (1)首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指 向末尾向量的终点的向量; ????? ????? ????? ??????? ????? A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ??? An?1 An ? A1 An

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c)

(2)首尾相接的多个力的和向量构成封闭图形时合力为零。
????? ????? ????? ????? ? A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ??? An A1 ? 0
现在我们知道了空间向量的相关定义, 得到了空间向量的加减运算法则和运算律 我们来练习一下 探究:已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1, ??? ? ??? ? ???? ?1? 化简下列向量表达式,并标出化简结果的向量: AB ? BC ? AA '
D
1

C
1

A
1

B
1

D A B

C

一般的,三个不共面的向量和这三个向量有什么关系? (学生):回答始点相同的三个不共面向量之和,等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线建立起联系。 三、课堂小结: (老师) :这节课,我们在平面向量的基础上学习了平面向量,接下来给同学们 两分钟的时间总结一下这节课的主要内容 (学生)总结: (老师) :很好通过这节课的学习,我们学会了空间向量的有关概念,加减运算 及其运算律以及空间向量的加减运算在空间几何体中的应用。 四、巩固练习:P86 页 2、3

五、布置作业 P97 页第 1 题 板书设计
一、复习回顾 1、平面向量的概念 2、平面向量的运算 3、平面向量运算律 空间向量及其运算 二、探究新知 1、空间向量的有关概念 2、空间向量的线性运算 3、运算律 课堂小结

作业

教学反思


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