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2013届高考数学第一轮复习精品学案第1讲:集合


2013 年普通高考数学科一轮复习精品学案
第1讲
一.课标要求:
1.集合的含义与表示 (1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系; (2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受 集合语言的意义和作用; 2.集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集; (2)在

具体情境中,了解全集与空集的含义; 3.集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集; (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集; (3)能使用 Venn 图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用。





二.命题走向
有关集合的高考试题,考查重点是集合与集合之间的关系,近年试题加强了对集合的计 算化简的考查,并向无限集发展,考查抽象思维能力,在解决这些问题时,要注意利用几何 的直观性,注意运用 Venn 图解题方法的训练,注意利用特殊值法解题,加强集合表示方法的 转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主,分值 5 分。 预测 2013 年高考将继续体现本章知识的工具作用,多以小题形式出现,也会渗透在解答 题的表达之中,相对独立。具体题型估计为: (1)题型是 1 个选择题或 1 个填空题; (2)热点是集合的基本概念、运算和工具作用。

三.要点精讲
1.集合:某些指定的对象集在一起成为集合。 (1)集合中的对象称元素,若 a 是集合 A 的元素,记作 a ? A ;若 b 不是集合 A 的元素, 记作 b ? A ; (2)集合中的元素必须满足:确定性、互异性与无序性; 确定性:设 A 是一个给定的集合,x 是某一个具体对象,则或者是 A 的元素,或者 不是 A 的元素,两种情况必有一种且只有一种成立; 互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象) ,因此, 同一集合中不应重复出现同一元素; 无序性:集合中不同的元素之间没有地位差异,集合不同于元素的排列顺序无关; (3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法; 列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内; 描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{}内。 具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再 画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一 般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。 (4)常用数集及其记法: 非负整数集(或自然数集) ,记作 N;

-1-

正整数集,记作 N*或 N+; 整数集,记作 Z; 有理数集,记作 Q; 实数集,记作 R。 2.集合的包含关系: (1)集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,则称 A 是 B 的子集(或 B 包含 A) ,记 作 A ? B(或 A ? B ) ; 集合相等:构成两个集合的元素完全一样。若 A ? B 且 B ? A,则称 A 等于 B,记作 A=B; 若 A ? B 且 A≠B,则称 A 是 B 的真子集,记作 A ? B; (2)简单性质:1)A ? A;2) ? ? A;3)若 A ? B,B ? C,则 A ? C;4)若集合 A 是 n 个元素的集合,则集合 A 有 2n 个子集(其中 2n-1 个真子集) ; 3.全集与补集: (1)包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集,记作 U; (2)若 S 是一个集合,A ? S,则, C S = {x | x ? S且x ? A}称 S 中子集 A 的补集; (3)简单性质:1) C S ( C S )=A;2) C S S= ? , C S ? =S。 4.交集与并集: (1) 一般地, 由属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合, 叫做集合 A 与 B 的交集。 交集 A ? B ? {x | x ? A且x ? B} 。 (2)一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,称为集合 A 与 B 的并集。 并集A ? B ? {x | x ? A或x ? B} 。 注意:求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集 的关键是“且”与“或”,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘 题设条件,结合 Venn 图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法。 5.集合的简单性质: (1) A ? A ? A, A ? ? ? ?, A ? B ? B ? A; (2) A ? ? ? A, A ? B ? B ? A; (3) ( A ? B) ? ( A ? B); (4) A ? B ? A ? B ? A; A ? B ? A ? B ? B ; (5) C S (A∩B)=( C S A)∪ C S B) C S (A∪ ( , B)=( C S A)∩( C S B) 。

四.典例解析
题型 1:集合的概念 例 1.设集合 A ? {x | x ? A. x ? A

9 1 1 k ? , k ? Z } ,若 x ? ,则下列关系正确的是( 2 2 4
C. {x} ? A D. {x} ? A



B. x ? A

-2-

解:由于

1 1 2k ? 1 9 18 k? ? 中 2k ? 1 只能取到所有的奇数,而 ? 中 18 为偶数。则 2 4 2 4 4

9 9 ? A, { } ? A 。选项为 D; 2 2
点评:该题考察了元素与集合、集合与集合之间的关系。首先应该分清楚元素与集合之 间是属于与不属于的关系,而集合之间是包含与不包含的关系。 例 2.设集合 P={m|-1<m≤0 } ,Q={m∈ R|mx2+4mx-4<0 对任意实数 x 恒成立 } ,则下 列关系中成立的是( ) A.P Q B.Q P C.P=Q D.P∩Q=Q 解:Q={m∈ R|mx2+4mx-4<0 对任意实数 x 恒成立=,对 m 分类: ① m=0 时,-4<0 恒成立; ② m<0 时,需 Δ=(4m)2-4× (-4)<0,解得 m<0。 m× 综合① 知 m≤0, ② ∴ Q={m∈ R|m≤0}。 答案为 A。 点评:该题考察了集合间的关系,同时考察了分类讨论的思想。集合 Q 中含有参数 m, 需要对参数进行分类讨论,不能忽略 m=0 的情况。 题型 2:集合的性质 例 3.已知集合 A={1,2,3,4},那么 A 的真子集的个数是( ) A.15 B.16 C.3 D.4 4 解:根据子集的计算应有 2 -1=15(个) 。选项为 A; 点评:该题考察集合子集个数公式。注意求真子集时千万不要忘记空集 ? 是任何非空集 合的真子集。同时,A 不是 A 的真子集。 变式题:同时满足条件:①M ? {1,2,3,4,5}; ② a ? M , 则6-a ? M ,这样的集合 M 有 若 多少个,举出这些集合来。 答案:这样的集合 M 有 8 个。 例 4.已知全集 S ? {1,3, x3 ? x2 ? 2 x} ,A={1, 2 x ? 1 }如果 CS A ? {0} ,则这样的实数 x 是否存在?若存在,求出 x ,若不存在,说明理由。 解:∵CS A ? {0} ; ∴0 ? S且0 ? A ,即 x ? x ? 2 x =0,解得 x1 ? 0, x2 ? ?1, x3 ? 2
3 2

当 x ? 0 时, 2x ? 1 ? 1 ,为 A 中元素; 当 x ? ?1 时, 2 x ? 1 ? 3 ? S 当 x ? 2 时, 2x ?1 ? 3 ? S ∴ 这样的实数 x 存在,是 x ? ?1 或 x ? 2 。 另法:∵CS A ? {0}
-3-

∴0 ? S且0 ? A , 3 ? A ∴x ? x ? 2 x =0 且 2x ?1 ? 3
3 2

∴x ? ? 1 或 x ? 2 。 点评:该题考察了集合间的关系以及集合的性质。分类讨论的过程中 “当 x ? 0 时,

2x ? 1 ? 1 ”不能满足集合中元素的互异性。此题的关键是理解符号 CS A ? {0} 是两层含义:
0 ? S且0 ? A 。

其中m ? 0 , 且A ? B ,求 q 变式题: 已知集合 A ? {m, m ? d , m ? 2d}, B ? {m, mq, mq 2} ,
的值。 解:由 A ? B 可知, (1) ?

?m ? d ? mq

?m ? 2d ? mq

,或(2) ? 2

?m ? d ? mq2 ?m ? 2d ? mq

解(1)得 q ? 1 , 解(2)得 q ? 1, 或q ? ?

1 , 2

又因为当 q ? 1 时, m ? mq ? mq2 与题意不符, 所以, q ? ?

1 。 2
) D. {x|2<x<3 }

题型 3:集合的运算 例 5.已知集合 M={x|x<3 } ,N={x|log2x>1} ,则 M∩N=( A. ? B. {x|0<x<3 } C. {x|1<x<3 }

解: 由对数函数的性质, 2>1, 且 显然由 log2 x ? 1 易得 B ? (2,??) 。 从而 A ? B ? (2,3) 。 故选项为 D。 点评:该题考察了不等式和集合交运算。
2 例 6. 设集合 A ? x x ? 2 ? 2, x ? R ,B ? y | y ? ? x , ?1 ? x ? 2 , CR ?A ? 则 B

?

?

?

?

?等

于( A. R



B. x x ? R, x ? 0

?

?

C. ?0?

D. ?

解: A ? [0, 2] , B ? [?4, 0] ,所以 CR ? A ? B ? ? CR{0} ,故选 B。 点评:该题考察了集合的交、补运算。 题型 4:图解法解集合问题 例 7.已知集合 A={x||x|≤2,x∈ R},B={x|x≥a},且 A B,则实数 a 的取值范围是_ 解:∵ A={x|-2≤x≤2},B={x|x≥a},又 A ? B,利用数轴 上覆盖关系:如图所示,因此有 a≤-2。 点评:本题利用数轴解决了集合的概念和集合的关系问

_。

-4-

题。 例 8.已知全集 I=N*,集合 A={x|x=2n,n∈ *} N ,B={x|x=4n,n∈ ,则( N} A.I=A∪ B C.I=A∪ C I B) ( B.I=( C I A)∪ B D.I=( C I A)∪ C I B) (



解:方法一: C I A 中元素是非 2 的倍数的自然数, C I B 中元素是非 4 的倍数的自然数, 显然,只有C选项正确. 方法二:因 A={2,4,6,8…} ,B={4,8,12,16,…} , 所以 C I B={1,2,3,5,6,7,9…} ,所以 I=A∪C I B,故答案 为C. 方法三:因 B A,所以( C I )A ( C I )B, C I )A∩( C I B) ( = C I A,故 I=A∪ C I A)=A∪ C I B) ( ( 。 方法四: 根据题意, 我们画出 Venn 图来解, 易知 B A, 如图: 可以清楚看到 I=A∪ C I B) ( 是成立的。 点评:本题考查对集合概念和关系的理解和掌握,注意数形结合的思想方法,用无限集 考查,提高了对逻辑思维能力的要求。 题型 5:集合的应用 例 9.向 50 名学生调查对 A、B 两事件的态度,有如下结果 赞成 A 的人数是全体的五分 之三,其余的不赞成,赞成 B 的比赞成 A 的多 3 人,其余的不赞成;另外,对 A、B 都不赞成 的学生数比对 A、B 都赞成的学生数的三分之一多 1 人。问对 A、B 都赞成的学生和都不赞成 的学生各有多少人?
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解:赞成 A 的人数为 50× =30,赞成 B 的人数为 30+3=33,如上图,记 50 名学生组成的集合为 U,赞成 件 A 的学生全体为集合 A;赞成事件 B 的学生全体为集 B。 设对事件 A、 都赞成的学生人数为 x,则对 A、 都 B B 赞成的学生人数为

3 5

A
X 30-X

U B 33-X X +1 3

事 合 不

x +1,赞成 A 而不赞成 B 的人数为 30-x,赞成 B 而不赞成 A 的人数为 33 3 x -x。依题意(30-x)+(33-x)+x+( +1)=50,解得 x=21。所以对 A、B 都赞成的同学有 21 人,都 3
不赞成的有 8 人 。 点评:在集合问题中,有一些常用的方法如数轴法取交并集,韦恩图法等,需要考生切 实掌握。本题主要强化学生的这种能力。解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件,想到 用韦恩图直观地表示出来。本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂,一时理不清头绪, 不好找线索。画出韦恩图,形象地表示出各数量关系间的联系。 例 10.求 1 到 200 这 200 个数中既不是 2 的倍数,又不是 3 的倍数,也不是 5 的倍数的 自然数共有多少个?
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-5-

解:如图先画出 Venn 图,不难看出不符合条件 的数共有(200÷ 2)+(200÷ 3)+(200÷ 5) 5的倍数 -(200÷ 10)-(200÷ 6)-(200÷ 15) 2的倍数 +(200÷ 30)=146 3的倍数 所以,符合条件的数共有 200-146=54(个) 点评:分析 200 个数分为两类,即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类,而不满 足条件的这一类标准明确而简单,可考虑用扣除法。 题型 7:集合综合题 例 11.设集合 A={x||x-a|<2},B={x|

2x ?1 <1},若 A ? B,求实数 a 的取值范围。 x?2

解:由|x-a|<2,得 a-2<x<a+2,所以 A={x|a-2<x<a+2}。 由

2x ?1 x ?3 <1,得 <0,即-2<x<3,所以 B={x|-2<x<3}。 x?2 x?2
? a ? 2 ? ?2 ,于是 0≤a≤1。 ?a ? 2 ? 3

因为 A ? B,所以 ?

点评:这是一道研究集合的包含关系与解不等式相结合的综合性题目。主要考查集合的 概念及运算,解绝对值不等式、分式不等式和不等式组的基本方法。在解题过程中要注意利 用不等式的解集在数轴上的表示方法.体现了数形结合的思想方法。 例 12.已知{an}是等差数列,d 为公差且不为 0,a1 和 d 均为实数,它的前 n 项和记作 Sn, 设集合 A={(an,

Sn 1 2 2 )|n∈ *},B={(x,y)| N x -y =1,x,y∈ R}。 4 n

试问下列结论是否正确,如果正确,请给予证明;如果不正确,请举例说明: (1)若以集合 A 中的元素作为点的坐标,则这些点都在同一条直线上; (2)A∩B 至多有一个元素; (3)当 a1≠0 时,一定有 A∩B≠ ? 。

n(a1 ? an ) S S 1 ,则 n ? (a1+an),这表明点(an, n )的 n 2 2 n S 1 1 1 坐标适合方程 y ? (x+a1),于是点(an, n )均在直线 y= x+ a1 上。 2 2 2 n 1 1 ? ? y ? 2 x ? 2 a1 ? (2)正确;设(x,y)∈ A∩B,则(x,y)中的坐标 x,y 应是方程组 ? 的解,由方程组 ?1 x2 ? y2 ? 1 ?4 ?
解: (1)正确;在等差数列{an}中,Sn= 消去 y 得:2a1x+a12=-4(*), 当 a1=0 时,方程(*)无解,此时 A∩B= ? ;

当 a1≠0 时,方程(*)只有一个解 x=

? 4 ? a1 2a1

2

2 ? ? 4 ? a1 ?y ? 2a1 ? ,此时,方程组也只有一解 ? ,故上 2 ? y ? a1 ? 4 ? 4a1 ?

述方程组至多有一解。

-6-

∴ A∩B 至多有一个元素。

Sn >0,这时集合 n A 中的元素作为点的坐标,其横、纵坐标均为正,另外,由于 a1=1≠0 如果 A∩B≠ ? ,那么据
(3)不正确;取 a1=1,d=1,对一切的 x∈ *,有 an=a1+(n-1)d=n>0, N
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(2)的结论,A∩B 中至多有一个元素(x0,y0),而 x0=

? 4 ? a1 a ? x0 3 2 ? ? <0,y0= 1 ? <0,这样 2a1 5 2 4
2

的(x0,y0) ?A,产生矛盾,故 a1=1,d=1 时 A∩B= ? ,所以 a1≠0 时,一定有 A∩B≠ ? 是不正确的。 点评:该题融合了集合、数列、直线方程的知识,属于知识交汇题。 变式题:解答下述问题: (Ⅰ )设集合 A ? {x | x 2 ? 2x ? 2m ? 4 ? 0}, B ? {x | x ? 0}, , 若A ? B ? ? ,求实数 m 的 取值范围. 分析: 关键是准确理解 A ? B ? 的具体意义, 首先要从数学意义上解释 A ? B ? 意义,然后才能提出解决问题的具体方法。 解: 的

命题 ? 方程x 2 ? 2 x ? 2m ? 4 ? 0至少有一个负实数根 , 设M ? {m | 关于x的方程x 2 ? 2 x ? 2m ? 4 ? 0两根均为非负实数 }, ?? ? 4(?2m ? 3) ? 0 ? 3 ? 则? x1 ? x 2 ? 2 ? 0 ? ?2 ? m ? ? , 2 ? ? x1 x 2 ? 2m ? 4 ? 0 ?
3 3 ? M ? {m | ?2 ? m ? ? }设全集 U ? {m | ? ? 0} ? {m | m ? ? } 2 2

?m 的取值范围是

UM={m|m<-2}.

(解法二 )命题 ? 方程的小根 x ? 1 ? ? 2m ? 3 ? 0 ? ? 2m ? 3 ? 1 ? ?2m ? 3 ? 1 ? m ? ?2.
(解法三)设 f ( x) ? x ? 2 x ? 4, 这是开口向上的抛物线,? 其对称轴x ? 1 ? 0 ,则二次函
2

数性质知命题又等价于 f (0) ? 0 ? m ? ?2, 注意,在解法三中,f(x)的对称轴的位置起了关键作用,否则解答没有这么简单。 (Ⅱ )已知两个正整数集合 A={a1,a2,a3,a4},

B ? {a1 , a2 , a3 , a4 }, 其中a1 ? a2 ? a3 ? a4
2 2 2 2

若A ? B ? {a1 , a4 }, 且a1 ? a4 ? 10, 且A ? B的所有元素之和是 , 求集合A 、B. 124
分析:命题中的集合是列举法给出的,只需要根据“交、并”的意义及元素的基本性质解决,注 意“正整数”这个条件的运用,

-7-

?1 ? a1 ? a 2 ? a3 ? a 4 ,? a1 ? a 2 ? a3 ? a 4 ,
2 2 2 2

? A ? B ? {a1 , a 4 },? 只可能有a1 ? a1 ? a1 ? 1,
2 2 而a1 ? a 4 ? 10,? a 4 ? 9,? a 4 ? a 4 , 2 (1)若a 2 ? a 4 , 则a 2 ? 3,? A ? B ? {1,3, a3 ,9, a3 ,81 }, 2

? a3 ? a3 ? 94 ? 124 ? a3 ? 5;
2

(2)若a3 ? a 4 , 则a3 ? 3,同样可得a 2 ? 5 ? a3 , 与条件矛盾, 不合;
2

综上, A ? {1,3,5,9}, B ? {1,9,25,81 }.
(Ⅲ 设集合A ? {( x, y) | y 2 ? x ? 1 B ? {( x, y) | 4x 2 ? 2x ? 2 y ? 5 ? 0}, ) },

C ? {( x, y) | y ? kx ? b},问是否存在自然数 , b, 使( A ? B) ? C ? k 试证明你的结论 .
分析:正确理解 ( A ? B) ? C ?

,

, 并转化为具体的数学问 . 题 , 必须A ? C ? 且B ? C ?
,

要使 ( A ? B) ? C ? ( A ? C) ? ( B ? C) ? 由?

?y2 ? x ?1 ? k 2 x 2 ? (2kb ? 1) x ? b 2 ? 1 ? 0, ? y ? kx ? b
2

当 k=0 时,方程有解 x ? b ? 1 ,不合题意; 当 k ? 0时由?1 ? (2kb ? 1) ? 4k (b ? 1) ? 0得b ?
2 2 2

4k 2 ? 1 ① 4k

?4 x 2 ? 2 x ? 2 y ? 5 ? 0 ? 4 x 2 ? 2(1 ? k ) x ? 5 ? 2b ? 0, 又由 ? ? y ? kx ? b

20 ? (k ? 1) 2 由 ? 2 ? 4(1 ? k ) ? 16(5 ? 2b) ? 0得b ? ② , 8
2

由① 、② b ? k ? 得

1 20 ? 1, 而b ? , 4k 8

∵ 为自然数,∴ b b=2,代入① 、② k=1 得 点评:这是一组关于集合的“交、并”的常规问题,解决这些问题的关键是准确理解问题条 件的具体的数学内容,才能由此寻求解决的方法。 题型 6:课标创新题 例 13.七名学生排成一排,甲不站在最左端和最右端的两个位置之一,乙、丙都不能站 在正中间的位置,则有多少不同的排法? 解:设集合 A={甲站在最左端的位置}, B={甲站在最右端的位置}, C={乙站在正中间的位置}, D={丙站在正中间的位置},

-8-

则集合 A、B、C、D 的关系如图所示,
7 6 5 ∴ 不同的排法有 A7 ? 4 A6 ? 4 A5 ? 2640种.

点评:这是一道排列应用问题,如果直接分类、分步解答需要一定的基本功,容易错, 若考虑运用集合思想解答,则比较容易理解。上面的例子说明了集合思想的一些应用,在今 后的学习中应注意总结集合应用的经验。 例 14. 是由定义在 [2,4] 上且满足如下条件的函数 ? (x) 组成的集合: 对任意 x ? [1,2] , A ① 都 有 ? (2 x) ? (1,2) ; ②存 在 常 数 L(0 ? L ? 1) , 使 得 对 任 意 的 x1 , x2 ? [1,2] , 都 有

| ? (2 x1 ) ? ? (2 x2 ) |? L | x1 ? x2 |
(1)设 ? ( x) ? 3 1 ? x , x ? [2,4] ,证明: ? ( x) ? A (2)设 ? ( x) ? A ,如果存在 x0 ? (1,2) ,使得 x0 ? ? (2 x0 ) ,那么这样的 x0 是唯一的; (3) ? ( x) ? A ,任取 xl ? (1,2) ,令 xn?1 ? ? (2 xn ), n ? 1,2,? ? ?, 证明:给定正整数 k,对任意的 设 正整数 p,成立不等式 | xk ?l ? xk |? 解: 对任意 x ? [1,2] , ? (2x) ? 3 1 ? 2x , x ?[1,2] , 3 3 ? ? (2 x) ? 3 5 , 1 ? 3 3 ? 3 5 ? 2 ,所以

Lk ?1 | x2 ? x1 | 。 1? L

? (2 x) ? (1,2)
对任意的 x1 , x2 ? [1,2] ,

| ? (2 x1 ) ? ? (2 x 2 ) |?| x1 ? x 2 |
3?

2
3

?1 ? 2 x1 ?

2

? 3 ?1 ? 2 x1 ??1 ? x 2 ? ? 3 ?1 ? x 2 ?

2



3

?1 ? 2 x1 ?2
3

? 3 ?1 ? 2 x1 ??1 ? x2 ? ? 3 ?1 ? x2 ? ,

3 ? 所以 0<

2

?1 ? 2 x1 ?2
2

? 3 ?1 ? 2 x1 ??1 ? x2 ? ? 3 ?1 ? x2 ?
2

2

?

2 , 3


3

?1 ? 2 x1 ?

2

? 3 ?1 ? 2 x1 ??1 ? x2 ? ? 3 ?1 ? x2 ?

=L,

0 ? L ? 1 , | ? (2 x1 ) ? ? (2 x2 ) |? L | x1 ? x2 |
所以 ? ( x) ? A

? ? ? ? 反证法:设存在两个 x0 , x0 ? (1,2), x0 ? x0 使得 x0 ? ? (2 x0 ) , x0 ? ? (2 x0 ) 。
-9-

则由 | ? (2 x0 ) ? ? (2 x0 ) |? L | x0 ? x0 | ,
/ /

得 | x0 ? x0 |? L | x0 ? x0 | ,所以 L ? 1 ,矛盾,故结论成立。
/ /

x3 ? x2 ? ?(2x2 ) ? ?(2x1 ) ? L x2 ? x1 ,
所以 xn?1 ? xn ? Ln?1 x2 ? x1

Lk ?1 | xk ? p ? xk |? ?xk ? p ? xk ? p ?1 ? ? ?xk ? p?1 ? xk ? p?2 ? ? ??xk ?1 ? xk ? ? | x2 ? x1 | 1? L
? x k ? p ? x k ? p ?1 ? x k ? p ?1 ? x k ? p ? 2 ? ? x k ?1 ? x k

? Lk ? p?2 x2 ? x1 ? Lk ? p?3 x2 ? x1 +… Lk ?1 x2 ? x1
? LK ?1 x 2 ? x1 。 1? L

点评:函数的概念是在集合理论上发展起来的,而此题又将函数的性质融合在集合的关 系当中,题目比较新颖。

五.思维总结
集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言,并用集合语言表达数学问 题,运用集合观点去研究和解决数学问题。 1.学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素,熟练运用集合的各种符号,如 ? 、? 、 ,∩等等; ? 、 、=、 C S A、∪ 2.强化对集合与集合关系题目的训练,理解集合中代表元素的真正意义,注意利用几何 直观性研究问题, 注意运用 Venn 图解题方法的训练, 加强两种集合表示方法转换和化简训练; 解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容(即读懂问题中的集合)以及各 个集合之间的关系,常常根据“Venn 图”来加深对集合的理解,一个集合能化简(或求解) ,一 般应考虑先化简(或求解) ; 3.确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容,解决问题时 应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。 ① 区别∈ 与 、 与 ? 、a 与{a}、φ 与{φ}、{(1,2)}与{1,2}; ②A ? B 时,A 有两种情况:A=φ 与 A≠φ。 ③ 若集合 A 中有 n (n ? N ) 个元素, 则集合 A 的所有不同的子集个数为 2 ,所有真子集的
n

个数是 2 -1, 所有非空真子集的个数是 2 ? 2 。
n

n

④ 区分集合中元素的形式: 如 A ? {x | y ? x 2 ? 2x ? 1} ; B ? { y | y ? x 2 ? 2x ? 1} ;

C ? {( x, y) | y ? x 2 ? 2x ? 1} ;

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D ? {x | x ? x 2 ? 2x ? 1} ;

E ? {( x, y) | y ? x 2 ? 2x ? 1, x ? Z , y ? Z} ;

F ? {( x, y' ) | y ? x 2 ? 2x ? 1} ;
y G ? {z | y ? x 2 ? 2 x ? 1, z ? } 。 x
⑤ 空集是指不含任何元素的集合。 {0} 、 ? 和 {? } 的区别;0 与三者间的关系。空集是任 何集合的子集, 是任何非空集合的真子集。 条件为 A ? B , 在讨论的时候不要遗忘了 A ? ? 的 情况。 ⑥ 符号“ ?, ? ”是表示元素与集合之间关系的,立体几何中的体现点与直线(面)的关系 ; 符号“ ?, ? ”是表示集合与集合之间关系的,立体几何中的体现面与直线(面)的关系。 逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科,是人们认识和研究问题不可缺少的工具,是 为了培养学生的推理技能,发展学生的思维能力。

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